张元鹏的书我没有看过，平新乔老师的十八讲上面的关于slutsky方程的证明是在没有随价格变化的禀赋下的证明。在禀赋随价格变化的情况下预算约束线变为p*(x-1)=0,其中x为总需求量，e为禀赋量，令z = x − e 为消费者的净需求量．设连续函数u(x) 代表了消费者局部非餍足偏好，令v(p,w)为消费者的间接效用函数，w(p,u)为支出函数， z 为瓦尔拉斯需求函数， h 为希克斯需求函数．

从而有w(p,v(p,v))= w， z(p,w) = h(p,v(p,w))．如果z(p,w)可微，就有

∂hi(p,v(p,w))/∂pj=∂zi(p,w)/∂pj+[∂zi(p,w)/∂w ]* [∂w/∂pj]

由于∂w/∂pj=zj, 有∂hi(p,v(p,w))/∂pj=∂zi(p,w)/∂pj + [∂zi(p,w)/∂w]*zj

e 是不变的，所以z的变化也就是x的变化，从而有

∂hi(p,v(p,w))/∂pj=∂xi(p,w)/∂pj +[∂xi(p,w)/∂w](xj-wj)

也就是

∂xi/∂pj=∂hi/∂pj+[∂xi/∂w](wj-xj)

最后的形式和varian在《现代观点》里面加入禀赋收入后的Slutsky方程一样。

∂怎么打上去的？