Numerical Solution of PDE

偏微分方程数值解

先修课程：数值分析、数值代数和偏微分方程或数学物理方程初步、有限元部分还需要某些实变函数和泛函分析知识。


本课程分为差分方法和有限元方法两部分。
主要内容包括：椭圆型方程、抛物型方程和双曲型方程的差分方法；差分格式的相容性、截断误差、稳定性和收敛性；分析差分格式稳定性的若干常用方法，如 Fourier 分析、最大值原理、能量法等；差分格式的修正方程分析及格式的耗散与色散；有限元方法的一般框架；二阶椭圆型方程有限元方法的先验、后验误差估计及自适应算法等


学习和掌握偏微分方程数值方法的基本知识，包括格式的选取、稳定性和收敛性分析、算法的实现等，并且培养学生在偏微分方程数值求解方面分析问题和解决问题的能力，以及实际编程计算的能力。
一、椭圆型方程的差分方法 （约5学时）
   网格、网格函数与差分逼近，有限差分格式、有限体积格式，截断误差、相容性、稳定性与收敛性，边界条件的处理，基于最大值原理的误差估计，渐近误差分析与外推。

二、抛物型方程的有限差分方法 （约8学时）
显式与隐式格式，截断误差、相容性、稳定性、收敛性，最大值原理与一致稳定性， Fourier分析方法与L2稳定性，耗散与守恒性，交替方向隐式格式、局部一维格式和算法的并行性。

三、双曲型方程的有限差分方法 （约8学时）
一阶双曲型方程(组)，特征线法，影响区域、依赖区域和 CFL 条件, 迎风格式与Lax-Wendroff格式, Fourier分析与差分格式的耗散、色散和L2稳定性, 二阶双曲型方程, 显式与隐式格式，稳定性的能量分析方法。

四、线性发展型方程有限差分方法的一般理论（约6学时）
Lax等价定理，von Neumann 稳定性和强稳定性，修正方程分析，能量法分析。

五、椭圆边值问题的变分形式（约5学时）
抽象变分问题，Lax-Milgram引理，索伯列夫空间论初步，定义，逼近定理，嵌入定理，迹定理，紧嵌入。二阶椭圆型边值问题弱解的存在唯一性、及其与古典解的等价性。

六、椭圆边值问题的有限元方法（约4学时）
Galerkin 方法和Ritz方法，有限元空间的构造，刚度矩阵和载荷向量的计算，有限元代数方程组，有限元解的存在唯一性。

七、椭圆边值问题有限元解的误差估计（约8学时）
抽象误差估计，插值误差估计，由数值积分引起的相容性误差估计

八、有限元解的误差控制与自适应方法（约4学时）
有限元解的后验误差估计子，自适应方法。