这个问题属于历史遗留问题，由于我国最初引进的数学教材都是翻译自苏联的，
而苏联的教材中，凹和凸的概念正好和其它主要欧洲国家以及美国是相反的，
这就造成了很多中国的数学和经济学书籍当中关于这个问题的不同定义。

二阶导数即是增速的增速。所以：
·当二阶导数<0 是凸函数 ，导数负增长，函数增长速度变慢。
·当二阶导数>0 是凹函数 ，导数正增长，函数增长速度越来越快。

当二阶导数<0 是凸函数 ，导数负增长，函数增长速度变慢。
当二阶导数>0 是凹函数 ，导数正增长，函数增长速度越来越快。

这种定义都不全面的，0=<t=<1.对于任意都属于函数定义域的x1与X2两者，如果有f（tx1+(1-t)x2）>=tf(x1)+(1-t)f(x2)，则f(x)就属于凹函数。反之为凸函数。并没有说要连续可导，这一点一定要明白。

这种说法很容易误导人的。你所见到的在定义域之情况。

英语大家应该明白的，凸凹函数大家也应该知道，只是看一本书里怎么定义的，不同的书可能对凸凹的定义不同。。。XXX告诉我们要具体问题具体分析

反正我感觉数学里面的和经济学里面的是反的，我也很晕...

分为上凸还是下凸啊，教材的规定不一样，后面就不一样啦啊

让我想起来，刚上大学那会子了。上数学分析发现这个定义跟高中学的相反，当时郁闷至极呢，心想这嘛呀高中学了这么多年一上大学就变了？

4# apollonia 我们老师告诉我们说凹函数的时候为了明白就说是向上凹的凹函数，凸函数就说是向上凸的函数，这样就明白了！

我只能说，经济学历的凸凹和数学里的相反，这是需要注意的！

而关于拟凹与拟凸的定义可能要弱一些了。它就只是关于有一凸的定义域里，拟凹函数与其大于等高线下的定义域的X值是一个凸集是完全等价的。而我们所以看到的大于某一效用所有无差异性曲线的组合就是一个凸集，那么效用函数是拟凹的。
最重要的是凹函数一定是拟凹函数，反之却不一定了，因为拟凹函数的定义的条件要比后两者轻微一些，即0=<t=<1.对于任意都属于函数定义域的x1与X2两者，如果有f（tx1+(1-t)x2）>=min{f(x1),f(x2)}，则f(x)就属于拟凹函数
这是许多人容易误解的地方。

理解就行了  就中文书里也是各种表述的

1# apollonia
中国好多教材害死人。谁都在编教材。

这不是英文与中文的差别，而是经济学与数学的差别。经济学与数学关于凸函数和凹函数的定义完全相反。

以前我也迷惑，惧怕。

中国不同数学教材的凸凹都是反的，呵呵

凹凸函数不同的教科书都有不同的说法，同一条曲线在这本书上可能是凸函数，在另一本书上又可能是凹函数，所以我们一般用上凸、下凸函数来区分

这是因为我们以前学的同济高数第五版的翻译是和国外的相悖了

我看过几本高微的教材，不同层次的书对该概念的定义的层次也不一致。我感觉不能单纯从所谓的一阶可导二阶可导的方式去判别，当然，如果在连续的可微的一元或多元函数下，可以用相关的不等式去定义函数的凸凹性。但一定得注意，拟凹函数即可以是凹函数也可以是凸函数却在可微的条件下得到。而在有些书里却不这样定义。比如分析Y=（X1*X2）^k。从可微的角度衡量该函数的拟凹性，就可以发现，它不管K值的大少，都可以得到是拟凹，但是，当K>=0.5时。该函数却是凸的，而K<=0.5时，它却是凹的。
另外一本书从最普遍的形式的定义下，认为
A concave function is quasiconcave. A strictly concave function is strictly quasiconcave. A convex function is quasiconvex. A strictly convex function is strictly quasiconvex.
这时就要注意，并没有说quasiconcave must be a  concave function等等的话语。要注意其充分必要的关系。

确实很令人崩溃！ 1# apollonia

我现在在在研究这个问题。

在高数里面和在高级经济学里面定义的都是相反的，自己明白怎么回事就行

要崩溃了

凹函数和凸函数是相对的，要看你从哪边看，自己知道定义就行了，不用那么计较，就没那么难了

许多坛友就用相反的来说明这一点可能不是让人容易明白，更重要的是我们必须要从经济学角度的定义去发掘理解这个问题，为何要规定消费集的凸性，为什么要得到消费效用的拟凹性，还是有很强的经济学解释意义的。

凹凸以原点为参照，concave是凹向原点的，convex是凸向原点的，弄清定；凹集和凸集另有定义。

哇~看大家的评论也学习到好多呢 当初学经济学时候就说过“凸向原点”所以凹凸得有个参照才能说吧~貌似中英不同说法 - -  
MS我的评论对LZ木有多大贡献~~ 就是发发感慨 嘻嘻~~

我看范里安书上凸函数用的convex啊。

之前还真没注意到这个问题~~