钟根元指南里面的一道例题

在某个交换经济里，A、B两个人的效用函数分别为UA=2xA+yA，UB=xB+2yB，给定初始禀赋均为16，A，B初始禀赋分别为（4,4）（12,12）
解答里面说交换结束后，B的效用没有改变，但是我认为这两个人的效用函数都是线性的，他们的边际替代率和价格比永远不可能相等，那么相应内核阴影所示区域那一段横轴都是可以在两人愿意交换的价格情况下达到的，交换后两人的效用可以同时得到改善，其他价格也是可以的，不同的是两人总效用的和不同。为什么结果一定是B的效用不变，交换按照完全提高A效用的价格比px：py=1:2进行？
我算了一下，价格比按1:2交换，总效用和比其他价格比情况下大，这是不是暗示着这类两人效用函数都是线性的交换一定要有最终交换结束效用和最大的隐形约束？