混合量子经典计算的量子贝叶斯网络视图
混合量子经典计算（HQCC）（又称变分量子本征求解器（VQE））经常被吹捧为量子AI的主要算法之一。实际上，多年来一直向其超导量子计算机提供云访问权限的硅谷公司Rigetti，已经围绕HQCC范式设计了服务。
在这篇简短的博客文章中，我将解释如何用量子贝叶斯网络来理解HQCC。在此过程中，我将回顾有关经典和量子贝叶斯网络（bnet）的一些基本事实。
HQCC通常由量子计算机和经典计算机之间的反馈回路来表示。
用GIMP创建
经典贝叶斯网络
首先，让我们回顾一下有关经典bnet的一些基本事实。
考虑条件概率的链式规则。对于取决于5个随机变量x 0，x 1，...，x 4的概率分布P（），一个具有
eq-完全con
最后一个等式可以用以下bnet图形表示，即一个“完全连接” DAG（有向无环图），其中箭头从其所有前任x j-1，x j-2，...，x 指向x j 1，x 0表示j = 1，2，...，4：
完全骗子
为了确定性，我们选择了节点数量nn = 5。如何对此进行概括，以便nn等于任何大于1的整数。
今后，我们将用带下划线的字母表示随机变量，并使用不带下划线的字母表示随机变量的值。例如，x = x。
数学家通常用大写字母代表随机变量，并用小写字母代表数值。例如，X = x。对于像我这样的物理学家来说，这种约定不是很方便，因为物理学家使用大写字母表示各种不是随机变量的事物。同样，他们经常希望对随机变量使用小写字母。因此，我个人认为大写字母约定表示随机变量过于繁琐。这就是为什么我改用带下划线的字母约定。
数学家对随机变量有一个严格的定义，但是出于本博客的目的，随机变量只是赋予bnet节点的名称。对于经典和量子bnet都是如此。
bnet中的箭头表示依赖性。上面给出的完全连接的bnet包含所有可能的依赖项。当每个节点仅取决于其直接的前任时，我们得到所谓的马尔可夫链。nn = 5的马尔可夫链为：
eq-mc-cl
mc-cl
bnets从技术上讲是无环图，因此禁止反馈循环。但是，只要您了解下图应该“展开”到马尔可夫链中，其中有两种类型的节点（具有偶数下标的节点和具有奇数下标的节点），一个节点可以表示此特殊类型如下图所示的具有两种类型节点的马尔可夫链的关系，其中j = 0，1，...，nn-1：
循环cl
最后一个图是业务中所谓的动态贝叶斯网络（DBN）的特例。您可能已经熟悉的DBN的早期类型就是著名的Kalman滤波器。
请注意，在这个经典bnet的简要介绍中，我们仅使用了具有离散随机变量x j的离散节点，其中j = 0、1、2，...，nn-1。但是，这些节点中的任何一个都可以轻松地替换为具有连续随机变量x j的连续节点。连续节点X ?具有概率密度代替的概率分布作为其转移矩阵P（X ? | x的父母?），以及一个集成而不是总和超过其状态x ?。
经典bnet的定义非常简单。归根结底，bnet只是显示条件概率链规则的一种图形方式。这是一个简单但很有成效的定义。古典的网络使我想起了另一个简单而又富有成效的定义，即数学组。用裸露的克里斯托弗·马洛（Christopher Marlowe）来解释，一个组（和一个bnet的定义）的定义引发了上千个深刻的定理。
量子贝叶斯网络
接下来，我们将回顾有关量子bnet的一些基本事实。
量子bnets简史：关于量子bnets第一篇文章是这个由我。在那篇论文中，量子bnet仅用于表示纯态。在随后的论文，比如，这一次，我解释了如何使用量子bnets代表混合态了。量子bnet使我发明了压扁缠结的定义。
伯恩法则说，在量子力学中，通过取复数值“概率振幅” A的绝对值平方来获得概率P。换句话说，P = | A |。2。
为了定义量子bnet，我们为条件概率幅度（A代替P）写了一条链规则。例如，对于nn = 5，一个具有
eq-完全con-q
该链式规则可以用我们上面用来表示完全连接的nn = 5经典bnet的同一图表示。但是，请注意，现在
节点X ?具有复数转移矩阵A（X ? | X的父母?），而不是实值一个P（X ? | X的父母?）。因此，从现在开始，我们将用蓬松的蓝色球表示量子节点，而不是用一直用来表示经典节点的棕色小球表示量子节点。
就像我们为经典bnet定义了马尔可夫链一样，可以为量子bnet定义它们。在这两种情况下，每个节点仅取决于其直接的前任节点。对于nn = 5的量子马尔可夫链，
eq-mc-q
可以用以下量子bnet表示：
mc-q
必须强调的是，量子bnet从一开始就一直只是作为表示量子力学状态向量的图形方式。他们没有对量子力学的标准公理增加任何新的约束。此外，它们无意成为量子力学的新解释。
连贯和不连贯的总和
在本节中，我们将考虑量子bnet的相干和非相干和。为简单起见，我们将本节的讨论限制在量子马尔可夫链上，但是我们在本节中所说的一切都可以轻松地推广到任意量子bnet，包括完全连接的量子bnet。
假设我们有一个经典的马尔可夫链，其节点为x 0，x 1，...，x 4，并且我们想要计算其最后一个节点的概率分布P（x 4）。通过对除最后一个节点以外的所有节点求和来实现：
eq-sum-mc-cl
最后一个等式可以用等效形式的幅度来重写：
eq-sum-mc-cl-2
在上面的经典案例中，我们对幅度平方之外的所有变量求和。置于绝对值平方之外的变量之和称为非相干和。但是，量子力学的公理也允许放置在幅度平方内的变量总和并赋予其含义。置于绝对值平方内的变量之和称为相干和。例如，在最后一个等式中，如果将所有不相干和替换为相干和，则得到：
eq-sum-mc-q
但这还不是全部。不必以不连贯的方式对所有变量求和，也不必以连贯的方式对所有变量求和。一个可以连贯地总结一些变量，而可以不连贯地总结其他变量。例如，可能对以下总和感兴趣：
eq-sum-hyb
（注：本节方程式中称为P（x 4）和P（x 3）的量可能需要归一化，然后才是真实的概率分布。）
量子贝叶斯网络的观点
后两个方程可以使用动态量子bnet表示，如下所示：
mc-cl-q1
和
mc-cl-q2
（注：您也可以考虑2个图，例如最后2个图，但是
x j与j的相干和，偶数（而不是奇数）和
x j与j奇数（而不是偶数）的非相干和。
同样，nn本身通常很大，以允许收敛到P（x nn-1）和P（x nn-2）的平衡分布，并且nn可以是奇数或偶数。）
后两个图的图形部分可由以下反馈循环表示：
循环hyb
最后一个反馈循环与米奇老鼠的幻想曲卡通的反馈循环等效，我们以此博客文章开头，并将其描述为HQCC的图形表示。

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