陕西师范大学2020年数学分析试题


解：
      （1）、设
                                $\displaystyle u=\frac{x-a}{z-c},v=\frac{y-b}{z-c},$

                 由所给曲面方程，求偏导数得
                                   $\displaystyle F_x=\frac{F_u}{z-c},F_y=\frac{F_v}{z-c},F_z=-F_u\cdot \frac{x-a}{(z-c)^2}-F_v\cdot \frac{y-b}{(z-c)^2},$

                    过任一点$P_0(x_0,y_0,z_0)$的切平面为
                                  $\displaystyle F_x(P_0)(x-x_0)+F_y(P_0)(y-y_0)+F_z(P_0)(z-z_0)=0,$

                       将偏导数代入，整理得
                                   $\displaystyle F_u(P_0)(x-x_0)(z-c)+F_v(P_0)(y-y_0)(z-c)+[F_u(P_0)(a-x_0)+F_v(P_0)(b-y_0)](z-z_0)=0,$

                          将$\displaystyle (x,y,z)=(a,b,c)$代入上述切平面方程，成立。故切平面过定点$\displaystyle (a,b,c)$。命题成立。

          （2）、直接计算即可。

一道练习


解：
                  由已知，很容易得到
                                      $\int_{0}^{\pi}f(x)=0,\Rightarrow \exists x_1\in[0,\pi],s.t.f(x_1)=0.$

                  因为，如果不存在这样的点，则必有$f(x)> 0$,或$f(x)< 0$,由此，积分必恒正或恒负，与条件矛盾。又假设在$[0,\pi]$上仅有一个$x_1,s.t.f(x_1)=0.$则$f(x)$在$[0,x_1)$和$(x_1,\pi]$上异号。而$\cos x$单调减，再由已知

                                        $\begin{align*}0&=\int_{0}^{\pi}f(x)\cos xdx\\\\&=\int_{0}^{\pi}f(x)\cos xdx-\cos x_1\int_{0}^{\pi}f(x)dx\\\\&=\int_{0}^{x_1}f(x)(\cos x-\cos x_1)dx+\int_{x_1}^{\pi}f(x)(\cos x-\cos x_1)dx.\end{align*}$

                  显然，$f(x)(\cos x-\cos x_1)$在$[0,x_1)$和$(x_1,\pi]$上同号，从而，上式右边积分不可能为零，与已知条件矛盾。因此至少存在有一个$x_2,s.t.f(x_2)=0.$

                      命题成立。

更一般的情况如下：
          

一道涉及方向导数的证明

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