Contents
1 Introduction 6
2 Option pricing 8
2.1 Basic approaches in option pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.1 Some denitions and basic models . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.2 The Black-Scholes formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Discrete-time stochastic processes and the GARCH model . . . . . . . 11
2.2.1 Discrete-time stochastic processes . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.2 The GARCH model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.3 Monte Carlo simulation of a GARCH process . . . . . . . . . . 12
3 Overview of Genetic Programming 15
3.1 Genetic algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.1 Basic terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.2 Flowchart of a simple genetic algorithm . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.3 Additional settings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Genetic Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.1 Terminal set and function set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.2 Creation of the initial population . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.3 Genetic operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.4 Automatic dened functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.5 Bloat control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.6 Control parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 A survey of existing approaches in option pricing 26
4.1 Neural networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2 Markov chain approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3 Genetic Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5 Strategic decisions of the new approach 31
5.1 GARCH process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2 Genetic Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.2.1 Functions and terminals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.2.2 Fitness function and bloat control . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.2.3 Population size, number of generations and mutation . . . . . . 34
5.2.4 Automatic dened functions and hybrid approaches . . . . . . . 34
6 Implementation details 36
6.1 Libraries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.1.1 The Genetic Programming kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.1.2 A random number generator library . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.1.3 GNU Scientic Library . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.2 New classes and functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.2.1 Additional functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.2.2 GPOPdata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.2.3 MyGPVariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.2.4 MyGene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.2.5 MyGP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.2.6 MyPopulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.2.7 Executables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.3 Overview UML diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7 Results and statistics 46
7.1 Statistics of the identication of the best conguration . . . . . . . . . 46
7.1.1 Setting of the test environment . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.1.2 Test results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.1.3 Utilization of the ADFs and the hybrid approaches . . . . . . . 49
7.2 Comparison of the best equation found with the original process . . . . 50
7.2.1 Setting of the Genetic Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7.2.2 The result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7.2.3 The original process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.3 Comparison of the results with other approaches . . . . . . . . . . . . . 54
7.3.1 Comparison of the result with [Han98] . . . . . . . . . . . . . . 56
7.3.2 Comparison of the result with [DS01] . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.3.3 Comparison of the result with [Keb99] . . . . . . . . . . . . . . 57
8 Conclusion 58
8.1 New approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.2 Summary of the result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.3 Future issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59