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I Foundations 10
1 The classical capital asset pricing model 11
1.1 Static portfolio selection problems
1.1.1 The wealth constraint 11
1.1.2 The program 12
1.1.3 The programwithout a safe asset13
1.1.4 Themarket, or “tangency”, portfolio15
1.2 The CAPM 17
1.3 Appendix 1: Analytics details for themean-variance portfolio choice . . . . . . . 21
1.3.1 The primal program 21
1.3.2 The dual program. . 22
2 The CAPM in general equilibrium 24
2.1 Introduction 24
2.2 Static general equilibriumin a nuthshell 24
2.2.1 Walras’ Law and homogeneity of degree zero of the excess demand functions 26
2.2.2 Competitive equilibrium 26
2.2.3 Back to Walras’ law 27
2.2.4 The notion of num´eraire . 27
2.2.5 Optimality 28
2.3 Time and uncertainty in general equilibrium 30
2.4 The role of financial assets 31
2.5 Arbitrage and optimality 32
2.5.1 How to price a financial asset? . . . . . . . . 32
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2.5.2 Absence of arbitrage opportunities and Arrow-Debreu economies 34
2.6 Equivalent martingale measures and equilibrium . . . . . . . . 38
2.6.1 The rational expectations assumption 2.6.2 Stochastic discount factors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6.3 Equilibrium and optimality .. . . . . . 40
2.6.4 Existence . . . . . . . . 42
2.7 Consumption-based CAPM

2.7.1 The beta relationship . . . . 42

2.7.2 The risk-premium . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.7.3 CCAPM & CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.8 Unified budget constraints in infinite horizons models with complete markets . . 43
2.9 Incomplete markets: the finite state-space case . . . . . . 44
2.9.1 Nominal assets and real indeterminacy of the equilibrium . . . . . . . . . 44
2.9.2 Nonneutrality of money . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.10 Broader definitions of risk - Rothschild and Stiglitz theory . . . . . . . . . . . . 46
2.11 Appendix 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.12 Appendix 2: Separation of two convex sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.13 Appendix 3: Proof of theorem2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.14 Appendix 4: Proof of eq. (2.26) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.15 Appendix 5: Themulticommodity case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 Infinite horizon economies 56
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2 Recursive formulations of intertemporal plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3 The Lucas’ model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.1 Asset pricing andmarginalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.2 Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.3 Rational expectations equilibria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3.4 Arrow-Debreu state prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3.5 CCAPM & CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4 Production: foundational issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4.1 Decentralized economy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4.2 Centralized economy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.4.3 Deterministic dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4.4 Stochastic economies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.5 Production based asset pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.5.1 Firms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.5.2 Consumers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.5.3 Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.6 Money, asset prices, and overlapping generationsmodels . . . . . . . . . . . . . 78
3.6.1 Introductory examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.6.2 Money . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.6.3 Money in amodel with real shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
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3.6.4 The Diamond’s model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.7 Optimality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.7.1 Models with productive capital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.7.2 Models with money . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.8 Appendix 1: Finite difference equations and economic applications . . . . . . . . 91
3.9 Appendix 2: Neoclassic growthmodel - continuous time . . . . . . . . . . . . . . 95
3.9.1 Convergence results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.9.2 The model itself . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4 Continuous-time finance 99
4.1 Risk-adjustments in continuous-time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2 Arbitrage, lambdas and betas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2.1 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2.2 On bubbles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.2.3 On reflecting barriers and absence of arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3 Martingales and arbitrage in a Brownianmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.3.1 The fundamental theorem of finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.3.2 Setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.3.3 Viability of the model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.3.4 Completeness conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.4 Equilibriumwith a representative agent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.4.1 The program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.4.2 The older,Merton’s approach: dynamic programming . . . . . . . . . . . 116
4.4.3 Equilibrium and Walras’s consistency tests . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.4.4 Continuous-time CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.4.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.5 Black &Scholes formula and “invisible” parameters . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.6 On jumps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.6.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.6.2 Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.6.3 Properties and related distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.6.4 Asset pricing implications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.6.5 An option pricing formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.7 Continuous-time Markov chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.8 General equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.9 Incomplete markets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.10 Appendix 1: Convergence issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.11 Appendix 2:Walras consistency tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.12 Appendix 3: The Green’s function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.13 Appendix 4: Models with final consumption only . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.14 Appendix 5: Further topics on jumps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.14.1 The Radon-Nikodymderivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.14.2 Arbitrage restrictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
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4.14.3 State price density: introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.14.4 State price density: general case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
II Asset Pricing and Reality 137
5 On kernels and Puzzles 138
5.1 A single factor model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.2 A single factor model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.2.1 Themodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.2.2 Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.3 The equity premium puzzle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.4 The Hansen-Jagannathan cup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.5 Simplemultidimensional extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.5.1 Exponential affine pricing kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.5.2 Lognormal returns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.6 Pricing kernels, Sharpe ratios and themarket portfolio . . . . . . . . . . . . . . 147
5.6.1 What does amarket portfolio do? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.6.2 Final thoughts on the pricing kernel bounds . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.6.3 The Roll’s critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.7 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.7.1 Proof that 1n = E [m∗t ( ¯ m) · (1n + Rt)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.7.2 Proof that Rm∗ can be generated by a feasible portfolio . . . . . . . . . . 153
5.7.3 Proof that 1 = E ¡m · Rm∗¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.7.4 Proof that Rm∗ is mean-variance efficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.7.5 Proof that E ¡Rm∗¢−1 = r − 1+r
1+Sh Sh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.7.6 Proof that Rm∗ is the m-maximumcorrelation portfolio . . . . . . . . . . 155
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6 Aggregate stock-market fluctuations 157
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.2 The empirical evidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.3 Understanding the empirical evidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.4 The asset pricing model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.4.1 Amultidimensionalmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.4.2 A simplified version of themodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.4.3 Issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.5 Analyzing qualitative properties ofmodels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.6 Time-varying discount rates and equilibrium volatility . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.7 Large price swings as a learning induced phenomenon . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.8 Appendix 6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.8.1 Markov pricing kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.8.2 The maximum principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
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6.8.3 Dynamic Stochastic Dominance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.8.4 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.8.5 On bond prices convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.9 Appendix 6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
6.10 Appendix 6.3: Simulation of discrete-time pricingmodels . . . . . . . . . . . . . 184
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7 Tackling the puzzles 188
7.1 Non-expected utility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.1.1 The recursive formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.1.2 Optimality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.1.3 Testable restrictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.1.4 Some examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.1.5 Continuous time extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.2 More habits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.3 Incomplete markets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.4 Limited stock-market participation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.5 Appendix on non-expected utility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.6 Appendix on restricted stock-market participation . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
III Applied asset pricing theory 198
8 Derivatives 199
8.1 General properties of derivative prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.2 Evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.2.1 On spanning and cloning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.2.2 Option pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
8.2.3 The surprising cancellation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.3 Properties of models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.3.1 Rational price reaction to randomchanges in the state variables . . . . . 207
8.3.2 Recoverability of the risk-neutral density from option prices . . . . . . . 208
8.3.3 Hedges and crashes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
8.4 Stochastic volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
8.4.1 Option pricing implications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
8.4.2 Stochastic volatility and market incompleteness . . . . . . . . . . . . . . 212
8.4.3 Formulae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
8.5 Local volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
8.5.1 Topics & issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
8.5.2 How does it work? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
8.5.3 Variance swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
8.6 American options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
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8.7 Exotic options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
8.8 Appendix 1: an alternative derivation of the Black & Scholes formula, and further
properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
8.8.1 The original argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
8.8.2 Some useful properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
8.9 Appendix 2: Stochastic volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
8.9.1 Proof of the Hull andWhite (1987) equation . . . . . . . . . . . . . . . . 220
8.9.2 Simple smile analytics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
8.10 Appendix 3: Technical details for local volatility models . . . . . . . . . . . . . . 221
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
9 Interest rates 226
9.1 Prices and interest rates: introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
9.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
9.1.2 Markets and interest rate conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
9.1.3 Bond prices representations, yield-curve and forward rates . . . . . . . . 228
9.1.4 Forwardmartingalemeasures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
9.2 Models of the short-termrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
9.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
9.2.2 The basic bond price evaluation equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
9.2.3 Some famous univariate short-termratemodels . . . . . . . . . . . . . . 237
9.2.4 Short-term rates as jump-diffusion processes . . . . . . . . . . . . . . . . 242
9.2.5 Multifactor models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
9.2.6 Affine and quadratic term-structuremodels . . . . . . . . . . . . . . . . 245
9.2.7 Why inverting the yield-curve, and how? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
9.3 The Heath-Jarrow-Mortonmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
9.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
9.3.2 Themodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
9.3.3 Embedding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
9.4 Stochastic string shocksmodels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
9.4.1 Addressing stochastic singularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
9.4.2 No-arbitrage restrictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
9.5 Evaluation of interest rate derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
9.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
9.5.2 European options on bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
9.5.3 Related pricing problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
9.5.4 Market models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
9.6 Appendix 1: Rederiving the FTAP for bond prices: the diffusion case . . . . . . 267
9.7 Appendix 2: Certainty equivalent interpretation of forward prices . . . . . . . . 269
9.8 Appendix 3: Additional results on T-forwardmartingalemeasures . . . . . . . . 270
9.9 Appendix 4: On some analytics of the Hull andWhitemodel . . . . . . . . . . . 271
9.10 Appendix 5: Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
9.11 Appendix 6: Additional results on stringmodels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
6
Contents °c by A. Mele
9.12 Appendix 7: Change of numeraire techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
Appendixes 279
Mathematical appendix 281
A.1 Foundational issues in probability theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
A.2 Stochastic calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
A.3 Contraction theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
A.4 Optimization of continuous time systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
A.5 On linear functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
Appendix on time series econometrics 291
B.1 Stochastic processes and econometric representation . . . . . . . . . . . . . . . . 292
B.2 The likelihood function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
B.3M-estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
B.4 Pseudo (or quasi)maximumlikelihood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
B.5 GMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
B.6 Some results for dependent processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
B.7 Simulation-based estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
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这个是ANTONIO MELE的,已经有人发过了

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