Contents
1 Structural Approach 5
1.1 Basic Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Defaultable Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Risk-Neutral Valuation Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Defaultable Zero-Coupon Bond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Classic Structural Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Merton's Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Black and Cox Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3 Further Developments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.4 Optimal Capital Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Stochastic Interest Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Random Barrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.1 Independent barrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Comments on Structural Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Hazard process Approach: A Toy Model 21
2.1 The Toy Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1 Defaultable Zero-coupon with Payment at Maturity . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.2 Defaultable Zero-coupon with Payment at Hit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.3 Implied probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.4 Spreads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Toy Model and Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1 Key Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.2 Some Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.3 Representation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.4 Change of a Probability Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.5 Incompleteness of the Toy model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.6 Risk Neutral Probability Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.7 Partial information: Du±e and Lando's model . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 Pricing and Trading Defaultable Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.1 Generic Defaultable Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.2 Buy-and-hold Strategy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
iii
iv CONTENTS
2.3.3 Spot Martingale Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.4 Self-Financing Trading Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.5 Martingale Properties of Prices of a Defaultable Claim . . . . . . . . . . . . . 43
2.4 Pricing and Trading a CDS under Deterministic Intensity . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.1 Valuation of a Credit Default Swap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.2 Market CDS Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4.3 Price Dynamics of a CDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4.4 Hedging of Defaultable Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5 Successive default times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.5.1 Two times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5.2 More than two times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3 Cox Processes and Extensions 59
3.1 Construction of Cox Processes with a given stochastic intensity . . . . . . . . . . . . 59
3.2 Conditional Expectations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3 Choice of ¯ltration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4 Key lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.5 Conditional Expectation of F1-Measurable Random Variables . . . . . . . . . . . . 61
3.6 Defaultable Zero-Coupon Bond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.7 Extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.8 Term Structure Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.8.1 Du®ee's model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.8.2 Jarrow and Turnbull's model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.8.3 Vacicek Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.8.4 The CIR model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.9 Copula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4 Hazard process Approach: Reference ¯ltration 65
4.1 General case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1.1 The model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1.2 Key lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1.3 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.1.4 Interpretation of the intensity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1.5 Restricting the information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.1.6 Enlargement of ¯ltration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2 (H) Hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.1 Complete model case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.2 De¯nition and Properties of (H) Hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.3 (H) hypothesis and shrinking ¯ltration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2.4 Change of a probability measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2.5 Stochastic Barrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
CONTENTS v
4.3 Representation theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.4 Partial information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4.1 Information at discrete times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4.2 Delayed information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.5 Intensity approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.5.1 Aven's Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5 Hedging 83
5.1 Semimartingale Model with a Common Default . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.1.1 Dynamics of asset prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2 Trading Strategies in a Semimartingale Set-up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2.1 Unconstrained strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2.2 Constrained strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.3 Martingale Approach to Valuation and Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.3.1 Defaultable asset with total default . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.3.2 Defaultable asset with non-zero recovery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3.3 Two defaultable assets with total default . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.4 PDE Approach to Valuation and Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.4.1 Defaultable asset with total default . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.4.2 Defaultable asset with non-zero recovery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.4.3 Two defaultable assets with total default . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6 Indi®erence pricing 119
6.1 Defaultable Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.1.1 Hodges Indi®erence Price . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.2 Hodges prices relative to the reference ¯ltration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.2.1 Solution of Problem (PX
F ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.2.2 Exponential Utility: Explicit Computation of the Hodges Price . . . . . . . . 122
6.2.3 Risk-Neutral Spread Versus Hodges Spreads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.2.4 Recovery paid at time of default . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.3 Optimization Problems and BSDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.3.1 Optimization Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.3.2 Hodges Buying and Selling Prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.4 Quadratic Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.4.1 Quadratic Hedging with F-Adapted Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.4.2 Quadratic Hedging with G-Adapted Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.4.3 Jump-Dynamics of Price . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.5 MeanVariance Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.6 Quantile Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7 Dependent Defaults and Credit Migrations 143
7.1 Basket Credit Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
vi CONTENTS
7.1.1 The ith-to-Default Contingent Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.1.2 Case of Two Entities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.2 Conditionally Independent Defaults . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.2.1 Canonical Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.2.2 Independent Default Times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.2.3 Signed Intensities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.2.4 Valuation of FDC and LDC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.3 Copula-Based Approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.3.1 Direct Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.3.2 Indirect Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.3.3 Laurent's model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7.4 Two default, general case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.4.1 Application of Norros lemma for two defaults . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.5 Jarrow and Yu Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.5.1 Construction and Properties of the Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.5.2 Bond Valuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.5.3 Example: Jarrow and Yu's Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.6 Extension of Jarrow and Yu Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.6.1 Kusuoka's Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.6.2 Interpretation of Intensities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.6.3 Bond Valuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.7 Dependent Intensities of Credit Migrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.7.1 Extension of Kusuoka's Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.8 Dynamics of Dependent Credit Ratings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.9 Defaultable Term Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.9.1 Standing Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.9.2 Credit Migration Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
7.9.3 Defaultable Term Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.9.4 Premia for Interest Rate and Credit Event Risks . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.9.5 Defaultable Coupon Bond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
7.9.6 Examples of Credit Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
7.10 Markovian Market Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.10.1 Description of some credit basket products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.10.2 Valuation of Basket Credit Derivatives in the Markovian Framework . . . . . 176
8 Appendix 179
8.1 Hitting times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
8.1.1 Hitting times of a level and law of the maximum for Brownian motion . . . . 179
8.1.2 Hitting times for a Drifted Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
8.1.3 Hitting Times for Geometric Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
8.1.4 Other processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
CONTENTS 1
8.1.5 Non-constant Barrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
8.1.6 Fokker-Planck equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.2 Copulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
8.3 Poisson processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
8.3.1 Standard Poisson process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
8.3.2 Inhomogeneous Poisson Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
8.4 General theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
8.4.1 Semimartingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
8.4.2 Integration by parts formula for ¯nite variation processes . . . . . . . . . . . 192
8.4.3 Integration by parts formula for mixed processes . . . . . . . . . . . . . . . . 192
8.4.4 Dol¶eans-Dade exponential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
8.4.5 It^o's formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
8.4.6 Stopping times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
8.5 Enlargements of Filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
8.5.1 Progressive Enlargement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
8.6 Markov Chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
8.7 Ornstein-Uhlenbeck processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
8.7.1 Vacisek model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
8.8 Cox-Ingersoll-Ross Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
8.8.1 CIR Processes and BESQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
8.8.2 Transition Probabilities for a CIR Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.8.3 CIR Processes as Spot Rate Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.8.4 Zero-coupon Bond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.9 Parisian Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.9.1 The Law of (G¡;`
D (W) ; WG¡;`
D
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
8.9.2 Valuation of a Down and In Parisian Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

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