概率数论和集合论中的酷问题
在计算机科学（算法），概率，统计科学，集合论和数论的交集中，这里有一些不为人所知的问题。虽然初学者很容易理解它们，但要找到其中的一个完整解决方案并不容易，而且即使是当今最好的数学家，下面的一些简单而深刻的问题也很长时间都不会得到回答。 。从某种意义上讲，这与课堂练习相反，因为没有确定完整解决方案的途径。我提供部分解决方案和指导，以帮助解决这些问题。
数学镶嵌图稿
1.特殊号码
在这里，我们尝试构建一个无理数x，它的二进制表示形式（以2为底的数字）具有0的50％和1的50％。到目前为止，没有人知道是否有任何经典的数学常数（Pi，e， log 2，SQRT（2）等）在基数2或任何其他基数中具有0和1的均匀分布。该编号的构造如下。让我们将被p（1）或p（2）或...或p（n）整除的严格正整数集表示为S（n），其中p（k）是要确定的质数后来。当n为n时，我们正式定义x为极限趋于x（n）的无穷大
选择质数p（1），p（2）等，以使x在以2为底的表示形式中具有50％的零和50％的零。我们应该选择哪个素数是一个相对容易的问题，可以使用以下贪婪算法版本实现 ：
p（1）不能为2（为什么？），并且它的最小值可能为p（1）=3。让我们选择p（1）=3。现在，x（1）的三分之一是等于1。
p（2）= 5个作品。因此，让我们选择p（2）=5。现在x（2）的数字中1的比例为7/15，仍然低于50％。
p（3）= 7不起作用，因为x（3）-因此x（4），x（5），x（6）等等-将有超过50％的数字等于1。接下来要选择的最小质数为p（3）=17。通过这种选择，x（3）的数字中1的比例为0.498039216。
最小的下一个质数为p（4）=257。通过这种选择，x（4）的数字中1的比例为0.49999237。
现在我们有了一个算法来找到p（k）。很容易证明（请参阅此处）x（n）中1的比例，表示为r（n）等于
请注意，仅当p（k）没有公因数（为什么？）时，该公式才是正确的，因此我们的重点仅在于质数。如果上述乘积（而不是我们选择的所有素数）具有乘积的事实是发散的，则实际上保证了我们可以无限期地增加素数列表，并且在n趋于无穷大的极限处具有 r（n）会根据需要趋向于50％。简而言之，素数足以使它起作用，而素数平方将不足以使其起作用（上述乘积，如果将所有素数平方求和，就会收敛，从而引起问题）。另请注意，对于n的任何固定值，x（n）是有理数，可以显式计算。
问题
您能找到p（n）的前10个值 吗？那前50个值呢？（为此，您需要高精度计算）
x是在这里构造的，是否有理？
计算x的前10个小数（以10为底）。
计算x（n）的精确值，直到n = 5。
提供p（n）的渐近公式-  本文可能会帮助您找到答案。简而言之，p（n +1）的大小与p（n）的平方相同。
x的数字分布真的是随机的吗？
最后一个问题的答案是否定的。根据构造，这些数字显示出很强的自相关性。还很容易证明x不是正数，因为诸如“ 100001”之类的数字序列永远不会出现在以2为底的表示形式中。  
2.另一个特殊号码
再一次，这里的目的是 在基数2中构造一个介于0和1之间的无理数x，其相同比例的数字等于1或0。我可以称其为无限镜像数，它的构造如下：使用某种镜像原理：
第一位数字为0。
前两位数字：0 | 1个
前4位数字：0、1 | 1、0
前8位数字：0、1、1、0 | 1，0，0，1
前16位数字：0、1、1、0、1、0、0、1 | 1，0，0，1，0，1，1，0
等等。
你能猜出图案吗？解决方案：在每次迭代中，将两个数字串连接在一起：上一个迭代中的一个数字，以及前一个迭代中的一个数字，其中1替换为0，0替换为1。这导致以下递归，从x（1 ）= 0：
那是，
数X，定义为极限X（?）作为?趋于无穷大，共享在第一个问题中讨论的编号几个属性：
x（n）始终是有理数，易于精确计算。
x的数字比例（等于2的0）在构造上为50％。
数字x不正常：数字序列“ 111”从不出现在其二进制扩展中。  
是X是有理数？我在以2为底的x的前几百位数中找不到任何句点；这让我认为这个数字可能是不合理的。您可以计算以10为底的x的前10个小数吗？
最后，数字0（以2为底）出现在以下位置：
1，4，6，7，10，11，13，16，18，19，21，24，25，28，30，31，34，35，37，40，41，44，46，47，49， 52，54，55，58，59，61，64，66，67，69，72，73，76，78，79，81，84，86，87，90，91，93，96，97，100， 102、103、106、107、109、112、114、115、117、120、121、124、126、127，...
您看到该顺序中的任何模式吗？
另一个数字均匀分布的数字（尽管以10为底）是 Champernowne常数，定义为0.12345678910111213 ...该数字甚至是正常的。但是与Pi或SQRT（2）不同，它无法通过许多随机性测试，请参阅我的书第4章中的“未通过间隙测试” 部分。与其使用正数的概念，不如使用“随机数”的数字更好的定义是使用我的“好种子”的概念（在同一本书中讨论），该概念考虑了所有数字的联合分布，而不是只是一些边缘。请注意，对于某些数字，甚至不存在数字的分布。有关示例，请参见同一本书的第10章。
行使
分析以2为底的以下数字的数字分布：
当且仅当k * Pi的小数部分小于0.5时，以2为底的第k位数字等于1 。这个数字应该是不合理的，因为Pi是不合理的（对吗？），并且由于等分定理，所以数字分布是均匀的。
当且仅当k的不同素数的数量为奇数时，以2为底的第k位数字等于1 。回答这个问题的起点是 这个链接 和这个链接。正如您所期望的那样，具有奇数个不同质数因子的整数比例似乎是1/2，但到目前为止似乎尚未证明该结果（因此我想这一定是一个推测）。该比例始终低于1/2，但始终收敛于1/2-有关更多详细信息，请参见此处。我撰写了有关此问题的概括的另一篇文章，请参见此处。
是否存在一个除Pi之外的其他数字，例如x，当且仅当k * x的分数部分小于0.5时，对于所有k，k * Pi的分数部分均小于0.5 ？
3.用数字或函数表示集合
在这里，我们尝试用一个实数来表征一组严格的正整数，或者通过一个函数来表征一组实数。
如果S是一组严格的正整数，则可以用定义如下的数字f（S）= x来表征S：但是，这种方法有一些缺点：例如，f（{1}）= f（{2 ，3
现在转到由实数组成的集合。但首先，让我们提到[0，1]中有足够的实数来表征仅由整数组成的所有集合：简而言之，原则上，整数与实数集之间存在一对一的映射。不幸的是，没有足够的实数来表征所有实数集，因此我们无法通过实数来唯一地表征一组实数。但是，有足够的实值函数可以唯一地表征它们。有关此主题的介绍，请参见本文。  
想到实数的可测量有界集S时，我想到的第一个想法是使用S上均匀分布的特征函数。除非两个集合之间的差异是度量0的集合，否则两个不同的集合将具有两个不同的特征函数。将这个概念推广到无界集合并不难，但是如何将其推广到不可测量的集合呢？同样，许多特征函数不能代表一个集合。例如，在此框架中，没有集合可以具有高斯分布的特征函数。相比之下，对于严格正整数的集合，[0，1]中的任何实数显然表示特定的集合。如何解决这个问题？  
另一个有趣的问题是研究将集合的运算（联合，交集，超对数等）应用于表征其的数字或实值函数时的外观。
当然，下一个棘手的问题是如何用数学对象表示实值函数集。到目前为止，没有足够的特征函数来唯一地表征这些集合。 作为功??能分析的一个分支，运营商可能很合适。这些是其参数为函数本身的函数，例如整数或导数运算符。最后，您应该使用哪种数学对象来唯一表征任何一组数学运算符？显然，这将是某种映射，我们称其为meta-operators，它具有一个运算符作为参数。在这一点上，它变得极为理论化和抽象化。
行使
回到由实数x = f（S）表示严格正整数的集合S的问题。考虑以下表示：
本节开头提出的解决方案的优缺点是什么？
答：所有集合都有一个唯一的编号，但是某些数字（例如严格在1到e-1之间的任何数字）不代表任何集合。请注意，例如，如果您考虑数字S的3的倍数，则会得到x = f（S）的漂亮结果：有关详细信息，请参见此处。结果是
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