最优策略与基础概率及概率修正

                       于德浩

                     2020.11.1

先说老生常谈的最优策略问题。假设已知红灯亮的概率是70%，绿灯亮的概率是30%。如果猜对加1分，猜错减1分；请问100次竞猜中，猜多少次“红灯亮”才是最优策略。

一般人的感性认识，是想当然的猜70次红灯亮及30次绿灯亮。但，实际最优策略是100次全部猜红灯亮。为什么呢？我们设x次猜红灯亮，（100-x）次猜绿灯亮，那么得分的期望值就是， x*0.7*1+x*0.3*(-1)+(100-x)*0.3*1+(100-x)*0.7*(-1)=0.4*(2x-100)，

显然，当x=100时，有最大值40分；当x=0时，有最小值-40分。当x=70时，是16分。而当x=50时（各猜一半），期望值是0分（不赔不赚）。

我们再扩展一下，假设红灯亮的概率是未知的p，那么得分期望值就是，

      （2p-1）*（2x-100）；

显然，只要概率p>50%，那么，总是当x=100时（全猜红灯亮时），才有最大期望值。

而如果各猜一半x=50时，无论概率p是多少，总是期望值=0，不赔不赚的结果。就是说，如果你随机的各猜一半，相当于白折腾一通；还不如直接不参与这个竞猜游戏。

实际应用一下。如果你预计未来一年是牛市，平均每个月上涨的概率更大（>50%），那么你的最优策略就是“一直持股不动待涨”。一般股民往往感性的认为“高卖低买”似乎更好。但实际上，由于牛市的基础概率是上涨70%，下跌30%；所以，每一个卖出操作，你总是先天不利的。通俗的讲，你知道股价必然有期间下跌回调的时候；但你不知道，是在涨+10%处就立即回调5%，还是在涨+20%处才回调8%。在投资实践上，老股民及投资大师，往往都是一旦买入股票，就会长期持有。

在牛市中，认购期权投资的最优策略。我们假设未来一年12个月是大牛市，股价平均每月上涨+6%，一年翻倍。但，每个月总有30%的概率下跌或不涨。如果是短期剩余30天认购期权，相当于一个月70%的概率会翻倍收益，有30%的概率会被清零。

显然，为了防备一下子被全部清零，我们把50万本金，分为5份，一次只短线投入10万。一个月的收益期望值就是0.7*10+0.3*（-10）=4万元。那么累积12个月就是48万元的总利润，总利润率是48/50=100%。这期间，肯定是有赚有赔，很是刺激惊险。

而如果我们大智若愚的买入正股投资，初始全部投入50万本金，那么安心持股不动一年后，也可以收获50万总利润。

最优策略应该是买入剩余90天的中期认购期权。如果平均每月上涨+6%，三个月就累积上涨+18%，平值认购期权就可以变成实六认购。累积三个月就有0.6/0.15=4倍收益。即使这期间有一个月出现回调，使得累积只涨+3%，那也是平值变为实一认购，0.1/0.15=0.67倍，仅浮亏33%，不会被清零出局。在投资实践中，我们可以只投入70%的资本金，去买剩余90天的中期认购，到剩余15天时，再调仓到新的中期认购期权合约，那么也有三个月约3倍的期望收益。

基础概率，是整体长远的观点。比方说，指数化投资理论认为，未来50年，股价指数平均每年上涨+8%，标准差是20%。我们认可这个观点，那么仅在这个观点下，我们就会推断出下一个月股价上涨的概率是51%，要比下跌概率大一点点。

如果价值投资理论认为，未来3年股价要涨+100%，平均每月上涨+2%，每月标准差是6%。那么，如果我们认可这个观点，就可以推断出下一个月上涨的概率是N（0.33）=0.63。

如果，长周期股价分布模型认为，未来1年股价要涨+100%，平均每月上涨+6%，月标准差是6%。那么每月上涨的概率就是84%，每月涨幅大于+3%的概率就是70%。当然，这个观点，可能很多人并不会很信服。

当然，无论如何，哪怕是最保守的指数化投资模型，每个月上涨的基础概率是51%，这总是正确的。

我们在具体问题具体分析时，要考虑更多的因素，我们要用到贝叶斯分析方法，要概率修正。比方说，我承认，每个月上涨的基础概率是51%；但，这个月利空消息很多，我估计约有80%的概率下跌。这样修正后的上涨概率从0.51就减小为，

（0.51*0.2）/（0.51*0.2+0.49*0.8）=0.21；

就是说，如果整体的基础概率是50%，那么就不会影响到对局部概率的判断。也就是说，人们在具体问题具体分析时，完全可以忽略掉基本的指数化投资模型的观点。

但是，如果我强烈看涨，基础概率是84%，那么即使有80%的局部利空消息，也仅仅是把上涨概率0.84修正减小为，

（0.84*0.2）/（0.84*0.2+0.16*0.8）=0.57；

从定性上看，我还是应该继续持股待涨做多。就是说，我坚定看涨观点；所有的近因，局部消息，都视为干扰信息，要被忽略掉。

还有，如果局部信息的概率是50%，那么对修正就没有任何影响，还是原来基础概率的观点。 （p*0.5）/（p*0.5+（1-p）*（1-0.5））=p。 就是说，有消息和没消息的实际效果是一样的。比方说，局部信息是股价反弹到了矩形整理形态的上边沿。若是在一般情形下，我会得出，股价受到压力线，大约是90%的概率下跌回调；但是，当前已经震荡4个月了，估计此时向上突破的概率也不小，局部下跌概率也就是约50%。此时，综合修正后的概率就是原来的基础概率70%看涨，所以，还是要继续持股待涨。

当然，我们不能事后诸葛亮，以最后的结果去所谓“检验”概率。比方说，基础概率是0.8上涨，局部是70%概率下跌；修正后的综合上涨概率就是，

   （0.8*0.3）/（0.8*0.3+0.2*0.7）=0.63；

因为0.63>0.5，这时的最优策略是持股待涨。倘若后面的实际观测值，是股价短线下跌回调。这时，你应该坦然接受这个“失败”结果；而不是冒然怀疑，“也许基础概率仅是0.6上涨，或者局部是99%概率下跌。”

在大牛市行情中，只要不是涨的太离谱，就不要轻易止盈。比方说，我们已知平均每月上涨+6%。如果第一个月大涨+10%，这时不要止盈，这很正常；如果第二个月又大涨+10%，也不要止盈；如果第三个月还大涨+10%。此时，才要考虑适当止盈。因为，平均四个月累积是+24%，第四个月得是-6%才行。就是说，第四个月的下跌概率从基础的30%，修正到了大约80%概率下跌回调。

大智若愚的做法，就是在牛市中，简单的一直持股待涨；不能因小失大。