分数指数-基准统计检验的数据集
我在这里描述了一种奇怪的函数类型，该函数虽然不连续，但相对容易使用概率自变量进行集成。我称它为函数g（x）的参数p的 小数部分，并表示为g（x，p）。我们在这里集中于g（x）= exp（x）。它是通过去除g（x）的泰勒级数中的许多项（通常是无限多个）获得的。例如，通过删除所有与奇指数相关的项。基于g（x）= exp（x的示例）在下面提供，并在我上一篇文章的此处进行了详细说明。
对于p = 8/7，p = 4/7和p = 2/7，分别为Exp（x，p）。
更具体地说，参数p的小数部分（其中p是[0，2]中的任何实数）是通过每当以2为底的p的第k个数字去除第k个项（在泰勒级数中）而获得的，等于0。第一项对应于k =0。形式上，例如，如果g（x）= exp（x），则其定义如下：
其中b（k，p）是基数2中p的第k位，p在[0，2]中。此数字等于0或1。例如，如果如第 一个示例中的p = 8/7（本文的第一个公式），则其二进制数字位于位置k = 0、3、6、9 等。 ，都等于1；所有其他数字均为0。对于[0，2]中的任何p，都有b（k，p）的精确公式，请参见此处。确实，我们有：
其中的括号表示整数部分函数。
函数小数部分的奇异性质
在这里，我们换挡，看着克（X，p）作为的函数p，并考虑X作为一个参数。参见图1所示。此功能无处连续。很容易注意到p = 1，p = 3/2或p = 3/4处的不连续性。但是，在大多数情况下，跳跃幅度很小，肉眼无法察觉。然而，有可能相对于p积分函数g（x，p）。例如，
轻松计算这些积分的一种方法是将b（k，p）视为均匀分布在{0，1}上的独立随机变量。实际上，二进制数字在[0，2]中的p上取平均值时，表现出与随机分布相同的行为。对于[0，2]中的所有p都是正确的，但度量0的无限子集除外，其中包括p = 3/4之类的数字。尽管这看起来很直观，但这是由于几乎所有数字都是正常的结果。请在此处查看有关此事实的陈述和证据（该证据于2010年发布，长达12页。）
图1：针对x的4个值计算的分数指数（X轴表示p）
现在，如果相对于x对g（x，p）进行积分，则对于不定积分，结果为G（x，p / 2），其中G（x）是g（x）的任何基元。通过逐项合并泰勒级数项，可以轻松获得结果。
统计假设的基准检验
这是“数据集”的一个很好的例子，可以用来检测不连续点（跳跃），以测试统计测试可以很好地识别它们，以及什么样本大小（exp（p，x）的数量）需要检测每个不连续性。对于给定的x，在[0，2]中的所有p值处都出现不连续性-例如，使用g（x）= exp（x）x = 1/ 2-但对于大多数p值，跳跃是非常大的较小，但具有统计意义。它还涉及高精度计算 要检测这些最小的跳跃，还意味着增加粒度，这意味着检查大量的p以检测一些最小的跳跃。首先，请查看我的Excel电子表格。
这里的一个不错的功能是，您可以无限增加观察次数（p，exp（p，1/2））来评估测试的功效。数据的行为类似于时间序列，而测试相当于检测时间序列中的跳跃。
此处介绍了具有已知几何分布的无限数据集的另一个示例，该示例可用于基准统计测试（间隙测试）。您甚至可以更改数据，以模仿真实的企业数据集，如下所示：
删除一些数据点以模拟丢失的数据并测试插补方法
添加随机噪声以模拟错误，并查看其如何影响结果
添加离群值以研究离群值对统计检验的影响。
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