√[(-1)(-1)]=√(-1)√(-1)，

而正确的认定√-1=-1
则有：√1=(-1)(-1)
即：
1=1
等式才能成立！

还有：


√[(-1)(-1)(-1)]=√(-1)√(-1)√(-1)，若设√-1=i, i^2=-1，则有：√-1=i×i×√-1即：
i=-i

等式将不成立，不是出现悖谬了吗！
所以设√-1=i, i^2=-1是完全错误的！

√[(-1)(-1)(-1)]=√(-1)√(-1)√(-1)，

而正确的认定√-1=-1
则有：√-1=(-1)(-1)(-1)
即：
-1=-1
等式才能成立！

再有一有力的证据证明设√-1=i, i=-1的谬误：
√[(-1)(-1)]=√(-1)√(-1)，若设√-1=i, i=-1，则有：√1=i×i,即：
1=-1
等式将不成立，不是出现悖谬了吗！
所以设√-1=i, i^2=-1是完全错误的！

由上面的证明可知：

√[(-1)(-1)(-1)……(-1)]=√(-1)√(-1)√(-1).……√(-1)，当(-1)连乘以及对应的√(-1)连乘的个数为2j或2j+1(j为奇数)
若设√-1=i, i^2=-1，则会交替出现1=-1，i=-i的谬误。
而正确的认定√-1=-1，无论连乘的个数为多少，方程两边均始终相等，而决不会出现谬误！

如果数学前辈们看到了以上对虚数“i”的“伪假性”证明。他们也许就不会耗费心思地去搞出一个“逻辑含混、削足适履、偷梁换柱”的“复平面体系”了：

对复平面设置的质疑：

1.诚然，要表达1的逆时针旋转90可用“i”符号来表示，但以此认为 i =√-1，1逆时针旋转180等于i平方，为i与i的相乘，则毫无逻辑根据！反倒是i+i=2i=-1更符合直观和想象的逻辑，有什么逻辑和理由认定1的逆时针旋转是“乘法”的跃进(并还是增量变化的跃进)而不更象是“加法”的连续呢？？？

2.又有什么逻辑和理由认定由i为始点的逆时针旋转，每旋转90, i 就应该会有指数级的增长呢？？？

3.所谓“复平面体系”取i值，在逆时针旋转的弧长未至π时，取相应三角函数对应的i值，但在至π时，又不取三角函数对应的i值，而按预设的-1=i^2来取i值，交替用着两套迥异的取值标准，是一种“偷梁换柱”“逻辑含混”的“投机”取值方式！

普尔在《科学发现的逻辑》中指出：“证伪”对推动科学的发展，起着至关重要的作用。

发现第1亿亿亿只天鹅同样是白的，也还是不能证明“凡天鹅皆白”这一命题。而只需发现了一只天鹅是黑天鹅，就能否定“凡天鹅皆白”这一命题，促进对天鹅更正确的认知。

而上面对虚数“i”之伪假性作出的糸列证明，便是在数学的基本运算理论上，起着重要推动作用的“黑天鹅事件”。

通过前面的论述：作者对数学的一些基础运算问题提出了系列“破旧立新”的思想观点和运算法则及方法。这些新的思想观点和运算法则方法，具有以下的几大优势：

1.完满地解决了一些数学前辈们提出的：“-1<1,何以有(-1)÷1=1÷(-1)？”的深刻质疑，为数学的基础运算，劵实了逻辑基础。

2.解决了古代数学先辈由直觉到怪诞而摈弃正整数偶次开方的负数解，而近代数学前辈们误认为“-1的n次方(n为>1正整数)”为(-1)(-1)…=(-1)^n,为了逻辑的一致性应该有正整数偶次开方的负数解，而对负数根的意义却又感到困惑，莫衷一是的历史谜题。

3.作为数学基础运演的正负数开方运算，才建立在坚实的逻辑(无矛盾性、相容性)及符合事理的基础上，不仅是对世界实在情形的真实表达，并还摆脱了数学正负数偶次方的开方运算一只脚“肿胀”(正数开方)，一只脚却为“假肢”(负数开方)的窘境。

具有了“完美”的对称性：
x^n=a，x=a^1/n ；
x^n=-a,  x=-a^1/n;

4. 它符合“奥卡姆剃刀原理”。

    割除去掉了虚数i，这个长在数学躯体上的“恶性肿瘤”(因它会导出悖谬和矛盾)，使数学的基础运算，从此摆脱了“鬼魅虚数i”附体的病态“复数”运算的阴影。数学的运算，由此不再拖着“复数”的绊绳而进行磕磕绊绊的运算，而走在阳光、便捷、轻快、未隐含着内部矛盾悖谬的健康正确之路上。

5.该文对数学而言，还有一深刻意义：

它揭示出：数学的语言，是从量及结构的角度，对世界实在本真的描述和表达，而非是纯粹的“语言游戏”。它同其它描述和表达世界存在状态的语言，例如“生活语言”一样，因而也具有这样的性质：
  “生活语言”在特殊的“语境”下，作为语言基础的词语及文字的意义会发生改变，而在特殊的“数境”下，作为数学基础的“算词”及符号的意义也会发生改变！而这就是为什么当a×(-b)或a÷(-b)时，其“-”符号会改变为“颠反”意义的理由所在！

千百年来，数学所一直表现出形式上的一致性，严谨的逻辑性，而让人们忘记和忽略了：数学的生命源泉，在于那永恒而又运变不息的存在。数学，是这一永恒而运变不息存在的神圣歌者，它的每一“歌唱的音符”，在不同的乐句中，也可具有不同的意义！
而又正是这一忘记和忽略，使数学前人们只看见和满足于(-a)×b与b×(-a)具有可交换的形式同一性，(-a)×(-b)与a×b具有量上可建立等式的逻辑同一性，而未从对实在本真的表述角度，作更深地考究，所以让他们陷入√-1的困惑。
而直觉主义、特别是逻辑主义数学观和符号形式主义(语言游戏)数学观，在-1<1，为什么有(-1)×1=1×(-1)？这一问题面前，也必然会遭遇滑铁卢。因为他们只满足于表面逻辑上的同一性和形式上的一致性，看不到当(-a)×b转换为b×(-a)，其实“-”号的意义已悄然发生了改变！所以他们最终还是不能完满解决数学上看似矛盾悖谬而其实并非矛盾悖谬的问题。

5.该文对数学而言，还有一深刻意义：

它揭示出：数学的语言，是从量及结构的角度，对世界实在本真的描述和表达，而非是纯粹的“语言游戏”。它同其它描述和表达世界存在状态的语言，例如“生活语言”一样，因而也具有这样的性质：
  “生活语言”在特殊的“语境”下，作为语言基础的词语及文字的意义会发生改变，而在特殊的“数境”下，作为数学基础的“算词”及符号的意义也会发生改变！而这就是为什么当a×(-b)或a÷(-b)时，其“-”符号会改变为“颠反”意义的理由所在！

千百年来，数学所一直表现出形式上的一致性，严谨的逻辑性，而让人们忘记和忽略了：数学的生命源泉，在于那永恒而又运变不息的存在。数学，是这一永恒而运变不息存在的神圣歌者，它的每一“歌唱的音符”，在不同的乐句中，也可具有不同的意义！
而又正是这一忘记和忽略，使数学前人们只看见和满足于(-a)×b与b×(-a)具有可交换的形式同一性，(-a)×(-b)与a×b具有量上可建立等式的逻辑同一性，而未从对实在本真的表述角度，作更深地考究，所以让他们陷入√-1的困惑。
而直觉主义、特别是逻辑主义数学观和符号形式主义(语言游戏)数学观，在-1<1，为什么有(-1)×1=1×(-1)？这一问题面前，也必然会遭遇滑铁卢。因为他们只满足于表面逻辑上的同一性和形式上的一致性，看不到当(-a)×b转换为b×(-a)，其实“-”号的意义已悄然发生了改变！所以他们最终还是不能完满解决数学上看似矛盾悖谬而其实并非矛盾悖谬的问题。

5.该文对数学而言，还有一深刻意义：

它揭示出：数学的语言，是从量及结构的角度，对世界实在本真的描述和表达，而非是纯粹的“语言游戏”。它同其它描述和表达世界存在状态的语言，例如“生活语言”一样，因而也具有这样的性质：
  “生活语言”在特殊的“语境”下，作为语言基础的词语及文字的意义会发生改变，而在特殊的“数境”下，作为数学基础的“算词”及符号的意义也会发生改变！而这就是为什么当a×(-b)或a÷(-b)时，其“-”符号会改变为“颠反”意义的理由所在！

千百年来，数学所一直表现出形式上的一致性，严谨的逻辑性，而让人们忘记和忽略了：数学的生命源泉，在于那永恒而又运变不息的存在。数学，是这一永恒而运变不息存在的神圣歌者，它的每一“歌唱的音符”，在不同的乐句中，也可具有不同的意义！
而又正是这一忘记和忽略，使数学前人们只看见和满足于(-a)×b与b×(-a)具有可交换的形式同一性，(-a)×(-b)与a×b具有量上可建立等式的逻辑同一性，而未从对实在本真的表述角度，作更深地考究，所以让他们陷入√-1的困惑。
而直觉主义、特别是逻辑主义数学观和符号形式主义(语言游戏)数学观，在-1<1，为什么有(-1)×1=1×(-1)？这一问题面前，也必然会遭遇滑铁卢。因为他们只满足于表面逻辑上的同一性和形式上的一致性，看不到当(-a)×b转换为b×(-a)，其实“-”号的意义已悄然发生了改变！所以他们最终还是不能完满解决数学上看似矛盾悖谬而其实并非矛盾悖谬的问题。

将-1的二次方，认为是(-1)(-1)=(-1)^2
将-1的n次方，认为是(-1)^n,是我们一直被迷惑而陷入的误区！
-1，其更精准的符号表达为：-|1|, 而-1的二次方，其精准的符号表达为：-|1|^2,而不应表达为：(-|1|)^2，
因为，正负符号而其本身，是不可能进行加减乘除和乘方开方数值运算的！所以不可能有：
(-^2|1|^2)=(-|1|)^2
所以：
-1的二次方，其精准符号表达为：
-|1|^2。

同理：
-1的n次方，其精准符号表达为：-|1|^n。

而另一方面：数学上我们
所谓的“负负得正”，也不可能在数值运算的推演中得到证明！(欧拉就试图进行证明而未能成功)，而只能在：上述提出的“颠反理论”中得到理解。