如图所示：

修改了图1，重新上传，

目前没有理论证明。。。建议从图论基本开始学习

点击打开，图1  一个国家的相邻情况

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谢谢你们给我带来

上面图1中，国家1的国界线是里圈，国家1的所有邻国是国家2等等，二方面在里圈这个圆周上接壤，形成以国家1为中心的一个邻国圈。不是这个邻国圈成员的国家，叫做其他国家。整体来看这个邻国圈，也有对外的边界线是外圈，外圈上有若干个其他国家前来接壤。这样就形成了里圈外圈的一个圆环。

这个圆环的内部，有可能形成环中之国，类似于前面说的国中之国（这里的环中之国是被二个及以上的国家包围，而国中之国是被一个国家包围）。环中之国可能有一处或多处，一处里面有一个或多个其他国家。环中之国与国家1没有接壤，与国家1的邻国有所接壤，与国家2等等当中的若干个有所接壤。这些其他国家，被国家2等等包围。环中之国的情况，假设暂时不会出现，为了行文方便而暂时省略。

这个圆环的内部，有国家1的所有邻国，邻国为一个或多个，即国家2等等。其中任一邻国的面积任意，特别是形状任意，这相当于，国家2等等可以从起初的一个点，在一个空白的圆环内，向四面八方任意延展，任意流动，任意生长，直至圆环内没有多余的地方，直至原本的空白圆环被国家2等等给占据给充满。

任意的一个国家，例如国家2，在这个圆环内向四面八方的任意延展，是被圆环所约束的，它被里圈限制，被外圈限制，它们之间也相互限制。例如国家2所到之处，国家3等等就无法再来占据，而且，国家2所到之处，还会形成阻隔阻断，国家3等等无法穿插切断，顶多顺着国家2的边缘攀爬。

在上述限制下，例如国家2，它可以向四面八方任意延展。站在里圈上一点来看来说，脚下是里圈是下方，头顶是外圈是上方，左手左方，右手右方，等等。

它可以在左右方向，沿着里圈延展，直至占据整个里圈，此时国家1只有一个邻国是国家2，其他国家被国家2给阻隔阻断，无法与国家1接壤了。它可以沿着里圈跳跃式延展，此时国家2在里圈上形成拱桥，它一个国家在里圈上占据了二段或更多段的线段，亦即拱桥可以有一个或多个桥洞，而桥洞的下面里面可能有国家4、国家5、国家6等等。它可以沿着里圈延展一下，停顿下来，此时它仅仅占据里圈上的一段线段。

它也可以在上下方向，延展到外圈，占据外圈上的一段线段，此时它与其他国家有接壤。它可以沿着外圈左右延展，直至占据整个外圈，此时只有国家2和其他国家接壤，而国家3等等被阻隔阻断，无法和其他国家接壤了。

它还可以在里圈外圈的中间部分，做四面八方的任意延展，而结果要么是到达了外圈，要么是没有达到外圈。

国家1若只有一个邻国是国家2，若只有二个邻国是国家2、国家3，若只有三个邻国是国家2、国家3、国家4，等等，这些情况都很简单，也都可以省略不谈。复杂的地方在于，必须考虑也必然会出现的情况是，国家1可以有成千上万个邻国，邻国的形状也是千奇百怪，无奇不有，互相交织交错在一起，错杂复杂，此时，就需要找出规律性的东西，需要化繁为简。
国家2等等，它们“扎根”在里圈上，各自进行四面八方的任意延展，在这个邻国圈的圆环上来看，在结果上来说，就是这样了：

在里圈及其附近来看，国家2等等，要么占据里圈上的一段（含占据整圈），要么占据里圈上的多段（出现了拱桥、桥洞）。

在外圈及其附近来看，国家2等等，要么占据里圈上的一段（含占据整圈），要么一段也没有，就没有到达外圈。

在里圈外圈中间来看，国家2等等，要么“头顶”上有邻国圈的其他成员国，是“栖身”在“桥洞”下面，要么就没有。

换言之，国家2等等，只有二种极端情况：标准规则简单的情况，非标准不规则复杂的情况。

标准、规则、简单的情况是这样：国家2等等，在里圈上各自占据一条线段，在外圈上也各自占据一条线段。这种情况下，无论国家2等等有任意的形状，有任意的延展，可以一律看成是：一起脚踩里圈，共同头顶外圈，并排林立，切分圆环。此时，国家2等等一起和国家1相邻，而国家2等等之间，只有左右相邻关系。例如国家2，它和国家1相邻，和自己左边的国家相邻，和自己右边的国家相邻，它就只有这三个邻国，只有这些相邻情况。这种情况就很简单了。国家2在里圈上取任意一点，在外圈上取任意一点，二点连线，这条线是国家2的国界线，不会被穿插穿越，国家3等等也是这样，这就相当于，国家2等等切分圆环，它们各自的国界线垂直于里圈外圈，互相之间平行。

非标准、不规则、复杂的情况是这样：国家2等等，在里圈上有的占据一条线段，有的占据多条线段，而在外圈上，有的占据一条线段，有的一条也没有。

进而来看来说，如果有国家在里圈上占据了多条线段，就形成了拱桥，出现了一个或多个桥洞，此时，里圈上的线段数量≧里圈上的国家数量。如果有国家在外圈上没有占据一条线段，此时，外圈上的线段数量=外圈上的国家数量≦里圈上的国家数量。

那么为什么说外圈上的线段数量=外圈上的国家数量？这很简单。外圈上的线段数量＜外圈上的国家数量，这不会存在。外圈上的线段数量＞外圈上的国家数量，这说明国家1的邻国当中，即国家2等等当中，至少有一个国家，它在外圈上占据了二条以上的线段，它又是扎根于里圈，这就形成了一个或多个的Y形、W形、U形之类，U形里面兜着国家1的某一个或多个邻国，隔离隔绝了这某一个或多个的邻国与国家1的接壤一一这也不会存在。所以说，外圈上的线段数量，一定等于外圈上的国家数量，总是等于外圈上的国家数量。换句话说，在外圈上及其附近来看，国家2等等的部分或者全部，一定是左右相邻关系，仅是左右相邻关系。这是一个重要的现象，重要的结论。

以上是说二种极端的情况。那么容易出现的，是二种极端情况的混合混杂。

你说的很对，很有道理。

不过，不能绝对排除，四色猜想存在简单的思路，是直观性的问题，等等，诸如此类。

另外，对我本人来说，对大家来说，考虑四色问题，确实应该学习图论和其他数学知识。应该是很应该的。只是我本人能力有限，精力有限，我对这个问题陆陆续续断断续续想一下就算了，尝试尝试就算了，万一能抛砖引玉就更好了，万一的万一能有所解答也很好。

如果能有所解答，有所证明，请大家关注一下我在劳动价值论等方面的许多思考。

前面的文字有啰嗦的地方，有需要推敲的地方，需要改进的地方，就暂不修改了。因为论坛的过滤词太多，有时候需要等待放出，等等。

前面说，国家1的所有邻国，是国家2等等。国家2等等，脚踩着里圈，头顶上是外圈，在里圈外圈之间，各自可以做任意延展。延展的结果，有二种极端情况。一种是，外圈上的线段数量=外圈上的国家数量=里圈上的国家数量=里圈上的线段数量，这就很标准，很规则，情况很简单。另一种是，外圈上的线段数量=外圈上的国家数量＜里圈上的国家数量＜里圈上的线段数量。线段，就是里圈外圈上的一条线段，是某国的一段国界。那么容易出现的，不那么极端的情况，就是以上二种极端情况的混杂。
前面说，国家2等等，这许许多多的国家，在里圈外圈之间，各自可以做四面八方的任意的延展。这肯定是很庞杂很繁杂的，各种交织交错，盘根错节。可为什么以国家1为中心的，由国家2等等所构成的，相邻关系这么复杂的一个邻国圈，被简单归结为上述？这就比较语焉不详，一笔带过了。下面继续来说这个事情。

国家2等等，各自可以有任意的延展。但是，任何的延展，总是有如下结果：
要么是，（外圈上的线段数量=外圈上的国家数量）＝（里圈上的国家数量＝里圈上的线段数量），
要么是，（外圈上的线段数量=外圈上的国家数量）＜（里圈上的国家数量≦里圈上的线段数量）。
国家2等等，无论是多少个国家，无论各个国家的面积如何，形状如何，等等，总是如上，没有其他结果。

如果是外圈上的国家数量＝里圈上的国家数量这种情况，则国家2等等互相之间是肩并肩的并列的左右相邻关系，其中任意一个国家，它只有左右二个邻国，并且和下面的国家1在里圈上相邻，它合计只有三个邻国。

如果是外圈上的国家数量＜里圈上的国家数量这种情况，则国家2等等当中，有若干个国家到达了外圈，其中有一个或多个形成了拱桥，形状类似n形之类，并扎根在里圈上。拱桥由一个国家独自构成，左右桥墩和拱顶都是它的国土，或者由二个国家一起构成，各自都提供了桥墩及拱顶。拱桥有一处或多处，每处有一个桥洞或多个桥洞。桥洞的下面里面覆盖着接壤着一个或多个国家，被覆盖的国家是没有到达外圈的那些。这些被拱桥覆盖的国家，自己也可能成为拱桥，它上面有拱桥，它在桥洞里，同时，它又是自己下面国家的拱桥，它也有自己的桥洞。就是说，拱桥不但是多处，可能是多处，而且是多层，可能有多层。

当一个国家或二个国家构建了拱桥，桥洞里面接壤着覆盖着一个或多个国家，此时，单独看这被接壤被覆盖的一个或多个国家，它们互相之间一定是肩并肩的并列的左右相邻关系。同时，这被接壤被覆盖的一个或多个国家，和构建了拱桥的国家会有相邻，也和里圈上的国家1相邻。如果，这被接壤被覆盖的一个或多个国家，自己也构建了拱桥，构建了较低层位的拱桥，则会在较低层位上重复上述关系。就是说，上述关系在同一层位上可能有多处的并列的重复性发生，在不同层位上可能有分层的分别的重复性发生，发生在里圈外圈的这个圆环上。这有一点像鱼鳞状，也有一点像熔岩层。

当一个国家或二个国家构建了拱桥，桥墩和拱顶又扎根于里圈上，这就形成了封闭式的桥洞。桥洞里面的国家，与桥洞外面的国家，就处于隔离隔断状态了。此时，构建了拱桥的这一个或二个国家，和桥洞外面的国家会有相邻关系。此时，如果故意忽略了桥洞和桥洞里面的国家，亦即，如果故意忽略了所有拱桥来看，就是这样的结果：外圈上的国家数量=里圈上的国家数量，那么，国家1的“所有邻国”，这些邻国之间，也就一律是肩并肩的并列的左右相邻关系了。

所谓肩并肩的左右相邻，也就是比邻、紧邻、近邻，譬如一排房当中，两家中间一道墙。与此不同的是跨邻、飞邻、远邻，譬如一桥飞架南北，连接两岸交通。所谓相邻接壤，就只有这么二种情况，要么是比邻紧邻近邻，要么是跨邻飞邻远邻。但是，所谓跨邻飞邻远邻，就类似拱桥而已。如果单独看桥墩和拱顶（当二个国家一起构造了桥墩和拱顶），它们是比邻。再单独看桥墩之间，拱顶下面，桥洞里面那些被覆盖被接壤的国家，也仍旧还是比邻----这可能只有一层的比邻，好比就一排房子，也可能是有多层的比邻，桥下还有桥，层层叠叠的，也有点像一栋大楼，有的地方三层，有的地方五层，等等。就是说，国家2等等之间的任何相邻关系，都可以归结为比邻（分层分片的比邻），总是肩并肩的并列着接壤。

共同围绕着接壤着国家1，国家2等等各自进行任意延展，所出现的任何结果，总是只有二种：要么是外圈上的国家数量＝里圈上的国家数量，要么是外圈上的国家数量＜里圈上的国家数量。
前一种是外圈上的国家数量＝里圈上的国家数量，此时，国家2等等互相之间必然是自然是肩并肩的并列着比邻，只有左右相邻。
后一种是外圈上的国家数量＜里圈上的国家数量，此时，外圈上的国家当中，有一个或多个国家，以自身构造了拱桥，桥洞下面另有一个或多个国家。或者，外圈上的国家当中，有一对或多对国家，二者合力构建了拱桥，桥洞下面另有一个或多个国家。或者，以上兼而有之。这样的拱桥有一处或者多处，每处有一个或多个桥洞。这也是第一批或第一层的拱桥。
换句话说，这后一种情况，是在前一种情况的基础上，又在那些外圈上的国家之下面（当某个国家独自构造了拱桥，当某对国家合力构造了拱桥），插入了另外的国家，没有出现在外圈上的那些国家。这也是第一批或第一层的插队者。此时，外圈上的国家之间总是肩并肩并列的比邻关系，同一个桥洞当中的同一批同一层的插队者之间也总是肩并肩并列的比邻关系，亦即只有左右相邻。
进而，这第一批第一层的插队者也可能再建拱桥，又可能有第二批第二层的拱桥，相应会有第二批第二层的插队者。此时，外圈上的国家之间总是肩并肩并列的比邻关系，同一个桥洞当中的同一批同一层的插队者之间也总是肩并肩并列的比邻关系，亦即只有左右相邻。同样，第三批第三层的插队者，第四批第四层的插队者，等等，以此类推，都是如上，都是如此。
并且，在任何批次任何层次出现了拱桥，则拱桥形成覆盖，封闭，阻断，桥洞里面的国家被覆盖，被封闭，被阻断。
所以，概括来说：站在外圈往下来看，总是看到国家2等等都是肩并肩的比邻（那些不是外圈上的国家在桥洞里面，被遮盖遮挡了）。站在里圈往上来看，也总是看到国家2等等都是肩并肩的比邻（在比肩而邻的外圈国家之队列当中，在比肩而邻的外圈国家之拱桥下面，夹杂着另一些国家的比肩而邻）。
总之，国家2等等各自进行任意延展，所出现的任何结果，总是比肩而邻，都是左右相邻。无论国家2等等，各自有多少面积，各自是什么形状，当它们共同围绕着接壤着国家1，被“约束”在这个邻国圈的圆环里，那就只有一种情况，其实只有一种情况：一个层次（当外圈上的国家数量＝里圈上的国家数量）或多个层次（当外圈上的国家数量＜里圈上的国家数量）的比肩而邻。换言之，这就是一整圈连续性（当外圈上的国家数量＝里圈上的国家数量）或阶段式断续性（当外圈上的国家数量＜里圈上的国家数量）的左右相邻。

回到前面的图1来看，图1的右半部分是外圈里圈的平行线，这是邻国圈的局部，是圆环的一段。序号②代表国家2的一些国土及国界，③代表国家3的，④代表国家4的，等等。图1中，国家2、国家3到达了外圈，形成了拱顶，有扎根在里圈上的桥墩，桥墩里面，拱顶下面，有被国家2、国家3覆盖的一些国家。当然，国家2下面，国家3下面，也可能没有覆盖一些国家。
国家2自己构造了一个拱桥，拱桥有一个桥洞（也可能有多处桥洞），桥洞里面有一个国家4（还可能有更多国家）。国家4被国家2覆盖封闭了，只和国家2相邻。如果国家4上面另有国家8等等，则国家4可能被国家8等覆盖，国家4就难以和国家2相邻。如果国家4下面另有国家9等等，则国家9可能被国家4覆盖，国家9难以和国家2相邻。以此类推，诸如此类，可以密密麻麻，可以层层叠叠。国家2和国家3合力构造了一个拱桥，拱桥里面下面有或多或少的国家，例如有邻国圈的成员国，是国家5、国家6、国家7等等，例如有邻国圈的非成员国，是一些其他国家。国家5、国家6、国家7等等当中，如果是存在肩并肩比邻关系的，那自然就是肩并肩的比邻关系。国家5、国家6、国家7等等当中，凡是和国家2有接壤，或者和国家3有接壤，或者和国家2、国家3都有接壤的，则这样的国家之间，肯定是肩并肩的比邻关系。国家5、国家6、国家7等等内部，如果有例外，不是肩并肩的比邻关系，则肯定是在更下一层的拱桥当中了，是桥下有桥了。以此类推，诸如此类，可以密密麻麻，可以层层叠叠。
情况就是这样，类型就是这样，无非是拱桥的出现次数问题，出现规模问题，是若干处，若干层，等等而已。

修改了一下，重新发一下，


回到前面的图1来看，图1的右半部分是外圈里圈构成的平行线，这是邻国圈的局部，是圆环的一段。序号②代表国家2的一些国土及国界，③代表国家3的，④代表国家4的，等等。图1中，国家2、国家3到达了外圈，形成了最高最上面的拱顶，还有扎根在里圈上的桥墩。在桥墩里面，拱顶下面，有被国家2、国家3覆盖的一些国家。当然，国家2下面，国家3下面，也可能没有覆盖一些国家。

国家2自己构造了一个拱桥，拱桥有一个桥洞（也可能有多个桥洞），桥洞里面有一个国家4（还可能有更多国家）。国家4被国家2覆盖封闭了，只和国家2相邻。如果国家4上面另有国家8等等，则国家4可能被国家8等覆盖，国家4就难以和国家2相邻。如果国家4下面另有国家9等等，则国家9可能被国家4覆盖，国家9难以和国家2相邻。以此类推，诸如此类，可以密密麻麻，可以层层叠叠。

国家2和国家3合力构造了一个拱桥，拱桥里面下面有或多或少的国家，例如有邻国圈的成员国，是国家5、国家6、国家7等等，例如有邻国圈之外的非成员国，是一些其他国家。国家5、国家6、国家7等等当中，如果是存在肩并肩比邻关系的，那自然就是肩并肩的比邻关系。国家5、国家6、国家7等等当中，凡是和国家2有接壤，或者和国家3有接壤，或者和国家2、国家3都有接壤的，则这样的国家之间，肯定是肩并肩的比邻关系。国家5、国家6、国家7等等内部，如果有例外，不是肩并肩的比邻关系，则这肯定是，在更上面有拱桥，或者在更下面有拱桥，或者兼而有之，是桥下有桥了，是有多层次的拱桥了。以此类推，诸如此类，可以密密麻麻，可以层层叠叠。

图1当中，仅以国家2、国家3等等为例，以简单的情况为例，代表了圆环上任何地带所可能出现的一切可能情况。情况就是这样，类型就是这样，就是或多或少的拱桥，或多或少的桥洞，若干层的拱桥，分别覆盖若干个的国家，等等而已，无非就是拱桥的出现≥0。

当拱桥的出现=0，没有任何拱桥，亦即外圈上的国家数量=里圈上的国家数量，情况就很简单了，所以，这种简单的情况可以忽略，可以不予考虑。而复杂的情况，无论出现的概率是大是小，一定是必然出现。所以，下面主要考虑拱桥的出现＞0的情况。

那么，如上所述，当拱桥的出现＞0的时候，无论拱桥的规模大小，层次多少，无论国家2等等各自有任何的延展，任何的形状，它们总是肩并肩的比邻关系，只有左右的相邻。无非是分段来看而已，从这一大段的这种比邻关系，接续到那一大段的那种比邻关系，一段接一段，这样走完整个圆环。换言之，另外再看再说，就是以外圈上的国家数量=里圈上的国家数量为基础，为前提，向外圈上的国家下面，从这些最高最顶层的拱桥开始，分批次分层次，插入或多或少的拱桥，插入或多或少的国家，也就行了。

上述这句话说错了。这句话应该删掉。

又修改了一下，再重新发一下，




回到前面的图1来看，图1的右半部分是外圈里圈构成的平行线，这是邻国圈的局部，是圆环的一段。序号②代表国家2的一些国土及国界，③代表国家3的，④代表国家4的，等等。图1中，国家2、国家3到达了外圈，形成了最高最上面的拱顶，还有扎根在里圈上的桥墩。在桥墩里面，拱顶下面，有被国家2、国家3覆盖的一些国家。当然，国家2下面，国家3下面，也可能没有覆盖一些国家。


国家2自己构造了一个拱桥，拱桥有一个桥洞（也可能有多个桥洞），桥洞里面有一个国家4（还可能有更多国家）。国家4被国家2覆盖封闭了，只和国家2相邻。如果国家4上面另有国家8等等，则国家4可能被国家8等覆盖及封闭，国家4就难以和国家2相邻。如果国家4下面另有国家9等等，则国家9可能被国家4覆盖及封闭，国家9难以和国家2相邻。以此类推，诸如此类，可以密密麻麻，可以层层叠叠。


国家2和国家3合力构造了一个拱桥，拱桥里面下面有或多或少的国家，例如有邻国圈的成员国，是国家5、国家6、国家7等等，例如有邻国圈之外的非成员国，是一些其他国家。国家5、国家6、国家7等等当中，如果是存在肩并肩比邻关系的，那自然就是肩并肩的比邻关系。国家5、国家6、国家7等等当中，如果有例外，不是肩并肩的比邻关系，则这肯定是，在更上面有拱桥，或者在更下面有拱桥，或者兼而有之，是桥下有桥了，是有多层次的拱桥了。以此类推，诸如此类，可以密密麻麻，可以层层叠叠。


图1当中，仅以国家2、国家3等等为例，以简单的情况为例，代表了圆环上任何地带所可能出现的一切可能情况。情况就是这样，类型就是这样，就是或多或少的拱桥，或多或少的桥洞，若干层的拱桥，分别覆盖若干个的国家，等等而已，无非就是拱桥的出现≥0。


当拱桥的出现=0，没有任何拱桥，亦即外圈上的国家数量=里圈上的国家数量，情况就很简单了，所以，这种简单的情况可以忽略，可以不予考虑。而复杂的情况，无论出现的概率是大是小，一定是必然出现。所以，下面主要考虑拱桥的出现＞0的情况。


那么，如上所述，当拱桥的出现＞0的时候，亦即外圈上的国家数量＜里圈上的国家数量，此时，无论拱桥的规模大小，层次多少，无论国家2等等各自有任何的延展，任何的形状，它们总是肩并肩的比邻关系，就只有左右的相邻。无非是分段来看而已，从这一大段的这种比邻关系，接续到那一大段的那种比邻关系，一段接一段，这样就能走完整个圆环。这有点类似于，一排平房紧挨一栋楼房，诸如此类，这么接续，形成一圈建筑，等等。换句话说，另外再看再说，就是以外圈上的国家数量=里圈上的国家数量这种单纯的标准的情况为基础为前提，向外圈上的国家之下面，从这当中的最高最顶层的拱桥开始，从外圈到里圈，从上到下，从高到低，分批次分层次，插入或多或少的拱桥，插入或多或少的国家，也就行了，也就全面彻底表达了有关的相邻关系。

国家2等等，这些国家1的邻国，都在里圈上和国家1相邻。里圈到外圈，是国家2等等之间的相邻关系，而这个相邻关系，又总是肩并肩的比邻，只有左右的相邻。这就是一个国家的情况，亦即，以任意一个国家为中心，围绕这个中心构建一个邻国圈，有任意数量的成员国，成员国各自有任意形状，由此可能出现的所有的相邻关系，就是这样了。

上述话应该没错。一个天花板上随机布满白色和粉色的斑点，地板上随机布放一些可伸缩的立柱，立柱直通天花板，分别顶着天花板的某处某点，此时，这些立柱之间肯定是平行的并列的关系。

但是，现在天花板下面增添了吊顶，此时，有一些立柱就触及不到天花板了，是顶着吊顶了。

此时，这些立柱之间，也是平行的并列的关系。

国家2等等，这些国家1的邻国，都和国家1相邻于里圈。里圈到外圈，是国家2等等之间的相邻关系，而这个相邻关系，又总是肩并肩的比邻，只有左右的相邻。这就是一个国家的相邻情况，亦即，以任意一个国家为中心，围绕这个中心构建一个邻国圈，邻国圈有任意数量的成员国，成员国各自有任意形状，由此可能出现的所有的相邻关系，就是这样了。

下面开始上色。

对任一邻国圈，红黄蓝绿四种颜色够用吗？不需要预备第五种颜色吗？

国家1是中心，里圈上有它的所有邻国是国家2等等，外圈是这个邻国圈的对外边界。

国家1可以填涂红黄蓝绿之一，设为红色。剩余黄蓝绿三色，留给国家2等等来选用。

国家1如果有一个邻国，是国家2，可以填涂黄蓝绿三色之一，譬如黄色。

国家1如果有二个邻国，是国家2、国家3，此时，后者它们要么都在外圈上出现，要么只出现一个。如果外圈上出现二个国家，说明没有拱桥，此时里圈分为首尾相连的二大段，它们各占一段，可以填涂黄蓝绿三色之二，譬如黄蓝，或蓝黄、黄绿、绿黄、绿蓝，蓝绿。如果外圈上出现一个国家，例如是国家2，说明有拱桥，且只有一处，且只有一层，且桥洞只有一个。此时，国家2构造了拱桥，拱桥下面是国家3。此时，里圈分为首尾相连的二大段，它们各占一段，可以填涂黄蓝绿三色之二，譬如黄蓝。

国家1如果有三个邻国，是国家2、国家3、国家4，此时，后者它们要么都在外圈上出现，要么只出现二个，要么只出现一个。
如果外圈上出现三个国家，说明没有拱桥，此时里圈分为首尾相连的三大段，它们各占一段，各用一色，合计用黄蓝绿三色。
如果外圈上出现二个国家，例如是国家2、国家3，说明有拱桥。拱桥设由国家2独自构造，或者是由国家2、国家3合力构造。
当国家2独自构造拱桥，国家2自己分成一个拱顶、二个桥墩，桥洞里面覆盖封闭着国家4。此时在里圈上来看，国家2有二个桥墩占二段边界，国家3有一段，国家4有一段，合计四条线段，并首尾相连，闭合着里圈，包围着里圈，围绕着国家1。此时，暂时省略拱桥、桥洞，专门看国家2和国家3，它俩是比肩而邻，左右相邻。此时，再单独看拱桥下面，桥洞里面，是有二个桥墩（都属于国家2），一个国家4。暂时省略拱顶，则作为二个桥墩的国家2，和桥洞里面的国家4，,这仨也是比肩而邻，左右相邻。此时，这四条线段，分属三个国家，可各用一色，合计用黄蓝绿三色。
当国家2和国家3合力构造拱桥，国家2构成一个桥墩，国家3构成另一个桥墩，它俩共同构造了拱顶（各占或多或少的跨度），拱顶的下面，桥墩之间，桥洞的里面，是国家4。暂时省略拱顶来看，则一个桥墩是国家2，桥洞里是国家4，另一个桥墩是国家3，这仨也是比肩而邻，左右相邻。此时，在外圈上来看，国家2和国家3比肩而邻，左右相邻，则国家2和国家3二者必须异色。在里圈上来看，在外圈和里圈的中间来看，国家2、国家4、国家3是比肩而邻，左右相邻，则国家2和国家4二者必须异色，国家4和国家3二者必须异色。此时，先填涂外圈上的国家2、国家3，为黄蓝二色，再填涂国家2、国家3之间的国家4，为绿色，合计用黄蓝绿三色。
如果外圈上出现一个国家，例如是国家2，这说明有拱桥，且拱桥是一层或多层（在这里是二层），桥下有国家3、国家4。
当拱桥只有一层，说明国家2构造了拱桥，拱桥下面有一个桥洞，内有国家3、国家4，或者，拱桥下面有二个桥洞，国家3在这一个桥洞，国家4在另一个桥洞。此时，先填涂作为拱顶的国家3，可填涂黄色，其次填涂作为桥墩的国家（这和作为拱顶的有关国家同色），再次填涂桥洞里的国家，而桥洞里的国家总是被拱顶和桥墩给有所覆盖封闭隔离着。若只有一个桥洞，则国家3和国家4相邻，可填涂蓝绿二色。若有二个桥洞，国家3和国家4二者被拱顶、桥墩和里圈给隔离，二者互不相邻，可一律填涂为蓝色，或者一个填涂蓝色，另一个填涂绿色。
当拱桥是有二层，说明桥下有桥。国家2构造了最高层、第一层的拱桥，拱桥里面例如是国家3。国家3自己也构造了拱桥，这是次高层、第二层的拱桥，拱桥里面是国家4。此时，先从最高层、第一层开始填涂，则国家2可填涂黄色。再填涂次高层、第二层，则国家3可填涂蓝色。之后，填涂更低层位、最低层位，在这里就是国家4了，则国家4被国家3覆盖，与国家2隔离，可以填涂黄色，或者填涂绿色。

国家1有一个邻国，或二个邻国，或三个邻国，各自相邻的全部情况就是这样。在任何可能的情况下，国家2等等不会超出三色，预备黄蓝绿三色就够用了。就国家1为中心的整个邻国圈来看，预备红黄蓝绿四种颜色就够用了。

以上是简单的情况，国家1顶多有三个邻国的情况。在邻国更多的情况下，也不会超出上述情况的类型，而不过是数量上的变化，拱桥及桥墩、桥洞出现的次数更多，层数更多，如此而已，仅此而已。