Applied Stochastic Control of Jump Diffusions



1 Stochastic Calculus with Jump diffusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Basic definitions and results on L´evy Processes . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 The Itˆo formula and related results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 L´evy stochastic differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 The Girsanov theorem and applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Application to finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Optimal Stopping of Jump Diffusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1 A general formulation and a verification theorem . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Applications and examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Stochastic Control of Jump Diffusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1 Dynamic programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 The maximum principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 Application to finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4 Combined Optimal Stopping and Stochastic Control
of Jump Diffusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 A general mathematical formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5 Singular Control for Jump Diffusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.1 An illustrating example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2 A general formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.3 Application to portfolio optimization with transaction costs . . . 76
5.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
X Contents
6 Impulse Control of Jump Diffusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.1 A general formulation and a verification theorem . . . . . . . . . . . . 81
6.2 Examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7 Approximating Impulse Control of Diffusions
by Iterated Optimal Stopping. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.1 Iterative scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.2 Examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8 Combined Stochastic Control and Impulse Control
of Jump Diffusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.1 A verification theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.2 Examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.3 Iterative methods. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
9 Viscosity Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9.1 Viscosity solutions of variational inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . 124
9.2 The value function is not always C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
9.3 Viscosity solutions of HJBQVI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
9.4 Numerical analysis of HJBQVI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
10 Solutions of Selected Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.1 Exercises of Chapter 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.2 Exercises of Chapter 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.3 Exercises of Chapter 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
10.4 Exercises of Chapter 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
10.5 Exercises of Chapter 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
10.6 Exercises of Chapter 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
10.7 Exercises of Chapter 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
10.8 Exercises of Chapter 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
10.9 Exercises of Chapter 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Notation and Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207