需求定律内容是：在其他条件不变的前提下，需求量与价格反方向变化：价格上涨，需求量减少；价格下降，需求量增加。

需求定律表面上说的是需求量与价格的关系，但背后隐藏着购买预算与价格的关系。

需求定律用数学方法表达是：

dQ/dP小于0

或Ed=(dQ/Q)/(dP/P)小于0

Q需求量，P价格，Ed需求的价格弹性。

购买预算与价格的关系如下：

令Em=（dm/m）/(dP/P)

m购买预算，Em购买预算的价格弹性。

一般假设购买预算全部用于商品的购买，不留余额。这个购买预算是可以根据价格变化调整的，但调整的幅度是有限的。

考虑到:

m=PQ

有：dm/m=dP/P+dQ/Q

方程两边同时除以dP/P，有：

（dm/m）/(dP/P)=1+（dQ/Q）/(dP/P)

即：Em=1+Ed

如果要求Ed小于0，则必须有：

Em小于1。

也就是说需求定律成立的条件是：Em小于1。这个条件既是充分条件也是必要条件，为充要条件。

西方经济学是用以下模型推出需求定律：

P1Q1+P2Q2=m

P价格；Q需求量；m购买预算，常量。

这是购买两种商品购买预算一定的购买模型。购买总预算与价格变化无关，但购买一种商品的预算会随着该商品价格的变化而变化——假设购买另一种商品的价格不变，但购买数量可以变化。

西方经济学用图像法证明了需求量与价格是反向变化关系。

我们尝试用数学公式证明需求量与价格是反向变化关系。

假设P1、Q1、Q2是变量，P2、m为常量，有：

Q1dP1+P1dQ1+P2dQ2=0

     dP1/P1+dQ1/Q1+P2dQ2/P1Q1=0

     1+(dQ1/Q)/(dP1/P1)+P2dQ2/Q1dP1=0

     (dQ1/Q)/(dP1/P1)=-1-P2dQ2/Q1dP1

如果能证明P2dQ2/Q1dP1大于-1即可以证明  (dQ1/Q)/(dP1/P1)小于0。这个证明看起来不容易，本文不再证明，感兴趣的读者可以尝试证明一下。

显然用数学公式证明比较麻烦，因此西方经济学舍弃了这种证明方法，用图像可以很容易证明。

应该指出的是，需求量与价格的关系一定遵循PQ=m(三者均为变量），但未必遵循P1Q1+P2Q2=m（m为常量，其他可为变量）。所以与其用复杂的 P1Q1+P2Q2=m模型证明需求定律，不如用PQ=m(这是公理，一定成立）模型证明需求定律，后者还可以推出需求定律成立的充要条件：Em小于1。

我们可以这样说需求定律：在Em小于1的前提下，有需求量与价格反方向变化。所谓的其他条件不变，其实是Em小于1。