BS期权定价公式及其他定价模型总结综述

                         于德浩

                       2021.4.22

期权定价是一个很现实的问题。比如，当前股价是S=3.5元，股价的月波动率是σ=6%，请问剩余期限T=30天的行权价K=3.5元的平值认购期权的价格C是多少？  实际市场数据是C=0.1元，经验公式x=C/S=0.5*σ。 我们能从理论上推出这个公式吗？

首先是，简单期权定价公式及等概率涨跌的“公平游戏”模型。我们假设当前股价S就是对称轴，股价末态要么上涨到+1X处，要么下跌到-1X处，各50%的概率。我们应用原理，初态=末态概率期望值。

对于平值期权和虚值期权，显然若在-1X处，则无法行权，即收益为0；若在+1X处，行权收益就是（S*(1+σ)-K），于是就有初态C=0.5*0+0.5*(S*(1+σ)-K)=0.5*(S-K)+0.5*S*σ。这就能很好的解释市场数据，根据这个理论公式，平值期权，即K=S时，x=C/S=0.5σ。

对于深度实值期权，若在-1X时，也能有行权收益（S*(1-σ)-K），所以，根据初态=末态期望值原理，C=0.5*（S*(1-σ)-K）+0.5*（S*(1+σ)-K）=S-K，这也与实际数据相吻合。

但是，这个简单期权定价公式，对于深度虚值期权定价不符合实际市场数据。比方说，对于虚二认购期权，K=S*（1+σ），这个理论价格C=0，对于虚三及虚四认购还会出现负价格，这显然不对。

第二就是以股价正态分布假设去近似描述股价随机运动变化。微分方程就是dS/S0=μ*dt+σ*dB，解出宏观方程就是，S=S0*(1+μ*t+σ*t^0.5*Z)，这里的Z是标准正态分布N（0,1）的一个随机数，这里出现了σ*t^0.5，与上面简单期权定价公式的σ是一个物理意义，利用了“整体分布的方差是局部方差之和”。

我们利用连续的正态分布概率密度函数去求末态期望值。首先，要计算出临界点（偏离度），d=(K-S)/(S*σ*T^0.5)，显然，当末态股价ST>d时，才能有行权收益（ST-K）。就是说，我们要计算（d，+∞）区间的（ST-K）的概率期望值。在市场中性条件下，定价概率，即μ=0，也就是上文的“公平游戏”。于是，我们就得出，C=p*（S-K）+S*σ*T^0.5*N’(d)，其中行权概率p=1-N（d）， N’(d)=1/（2*π）^0.5*e^(-0.5*d^2)，就是正态分布概率密度函数。

这个认购期权的定价公式，最初是在1900年，巴舍利耶推导出来的。可以很好的描述实值期权和浅度虚值期权，但对于虚二（K=S*（1+σ））以上的深度虚值期权，理论结果比实际市场价格明显偏小。

后来，我才知道，股价正态分布其实是股价对数正态分布的一阶近似，如果再加上二阶近似，效果就会更好些，结果就与BS期权定价公式几乎一样了。

第三就是著名的BSM期权定价公式，曾经获得诺贝尔经济学奖。从本质上讲，就是以股价日涨幅的正态分布去替换股价正态分布。微分方程是，dS/S=μ*dt+σ*dB，这里应用泰勒展开的二阶近似及伊藤引理dB^2=dt，解得S=S0*e^(μ*t-1/2*σ^2*t+σ*t^0.5*Z)。还可以给出数学上更严格的BS期权定价方程。(C- S*∂C/∂S)*r=∂C/∂t+1/2*（S*σ）^2*∂^2C/∂S^2)。

这里有边界条件，C（T=0）=ST-K，剩余期限T=T0-t。

从而可以解出，C=S*N（d1）-e^(-r*T)*K*N(d2)， 其中r是无风险收益率，-d2是临界点，-d2=(ln(S/K)+r*T-1/2*σ^2*T)/(-σ*T^0.5)， d1=d2+σ*T^0.5。

BS期权定价公式，在1973年得出，应用的原理是，初态=末态期望值再折现。BS公式的最大进步就是从理论上合理的说明了折现因子r很小，可以用无风险收益率去近似替代。因为方程的左边是一个对冲投资组合的收益率，肯定不会大，大约是0附近的无风险收益率r。

其实，早在1965年，著名经济学家萨谬尔森就得出了与BS期权定价公式几乎一样的形式，只是折现因子里的股票收益率ρ与期权收益率α，无法确定。众所周知，风险与收益成正比，所以这两个收益率，当时人们是不敢轻易假设为0或r的。

其实，如果我们把市场观点的定价概率，与客观的股价涨跌概率，这两个概念区分开来，就可以简单的令折现因子μ=0，市场中性观点，“公平游戏”。其实，我个人认为，这个r无风险收益率也是画蛇添足的。直接得出C=S*N（d1）-K*N（d2），还有对称美。

BS期权定价公式的不足之处，根本上还是对于描述深度虚值期权，理论价格还是相对市场价格偏低，需要逐渐调大隐含波动率σ才行。

第四是复利因子的股价运动变化方程。巴舍利耶是用S=S0*(1+μ*t+σ*t^0.5*Z)，而BS定价是用S=S0*e^(μ*t-1/2*σ^2*t+σ*t^0.5*Z)。我就想，如果换成复利因子，S=S0*(1+μ)^t*(1+σ*t^0.5)^Z)，会不会描述深度虚值期权更好些呢？

这个没法直接计算，先利用牛顿二项式展开做二阶近似，市场中性定价μ=0， S=S0*(1+σ*t^0.5*Z+1/2*Z*（Z-1）*(σ*t^0.5)^2)。对于求（ST-K）的末态期望值，前面计算都是一样的，我们只看多出来的Z^2/2就行了。

x^2/2，在（d，+∞）的正态分布概率期望值，用分部积分的方法就得到两项，

即二阶近似，C2=1/2*S*d*σ^2*T*N’(d)+p*S*1/2*σ^2*T。其中，临界点d=ln（K/S）/ln（1+σ*T^0.5）≈（K-S）/（S*σ*T^0.5），与前面简单期权定价公式的d是一样的。行权概率p=1-N（d），也是一样的表达式和物理意义。

最后，C=p*（S-K）+ S*σ*T^0.5* N’(d)+1/2*S*d*σ^2*T*N’(d)+ p*S*1/2*σ^2*T。

可见，第三项比原来的第二项多出来了1/2*d*σ*T^0.5的因子≈0.5（K-S）/S；而第四项约等于0，要远小于第一项。

对于平值期权K=S，即d=0，只有第二项起作用，C=0+S*σ*T^0.5*0.4+0+0。对于实值期权，第一项是最大项，后面几乎都可忽略C=p*（S-K）+0+0+0。对于深度实值期权，行权概率p≈1，故C=S-K。与市场数据吻合。

但对于深度虚值期权，加上第三项，也只是比股价正态分布更好些，与BS期权定价公式几乎一样的结果，但还是比市场价格偏低。

第五是简单期权定价公式的修正和扩展。若想更好的描述深度虚值期权定价，还得回到简单的“公平游戏”等概率股价涨跌模型。末态期望值=行权概率*行权收益。如果用正态分布，那么行权概率就是p=1-N（d），其中d=（K-S）/（S*σ*T ^0.5），是临界点，偏离值。

对于行权收益，我们要用到指代概率。就是说，我们用f（1）的单个量子态去指代（0，+2）的所有连续量子态。在正态分布中也恰巧满足积分中值定理。N(2)-N（0）=0.48，而概率密度函数f（1）*（2-0）=0.24*2=0.48。所以，对于平值期权，行权概率=0.5，行权收益=S*(1-0)*σ*T^0.5*。写成数学表达式，C=p*S*（ξ-d）*σ*T ^0.5。ξ就是指代概率。

对于平值及浅度虚值期权，当-1<d<1时，行权概率p=1-N（d），积分宽度w=2.0，积分中值f(ξ)=p/w=p/2，即1/（2*π）^0.5*e^(-0.5*ξ^2)=p/2，解得ξ=（2*ln（0.8/p））^0.5。最后整理为，C=（1-N（d））*S*（（2*ln（0.8/p））^0.5-d）*σ*T ^0.5。

对于深度实值期权，当d<-1时，行权概率p≈1，此时给定指代概率ξ=0，于是，C=1*S*（0-（K-S）/（S*σ*T ^0.5））*σ*T ^0.5=S-K。

对于深度虚值期权，当d>1 时，我们要修正行权概率p，不再用正态分布累积函数了。一个唯象函数，p=0.6*e^(-4/3*d)；同时给定行权收益ξ-d=1，即若能成功行权，末态股价会上涨到行权价右边+1个标准差处。于是，深度虚值期权C=0.6* e^(-4/3*d)*S*σ*T ^0.5。

这里我们可以求一下偏导数，∂C/∂d=（-4/3）*C。如果Δd=0.5，则有C（n+1）/Cn=e^(-2/3)=0.51，这与实际市场数据的剩余30天的虚值认购期权价格成q=0.5的等比数列的现象很一致。

我们比较一下这里的唯象的虚值期权行权概率p=0.6*e^(-4/3*d)与正态分布的p=（1-N（d））的区别。从虚一到虚六认购期权。

当d=0.5时，p=0.31； 与1-N（0.5）=0.31一致。

当d=1.0时，p=0.16； 与1-N（0.5）=0.16一致。

当d=1.5时，p=0.081； 比1-N（0.5）=0.067更大。

当d=2.0时，p=0.042； 是1-N（0.5）=0.023的2倍。

当d=2.5时，p=0.021； 是1-N（0.5）=0.0062的3倍大。

当d=3.0时，p=0.011； 是1-N（0.5）=0.0013的9倍大。

对于认沽期权定价，应用平价关系，C-P≈S-K；可以求出认沽期权定价P=C-（S-K）。