在数学分析的许多分支中, 大量使用几何描述的方法是非常方便的.当然, 用这种几何描述的方法, 并不意味着分析对于几何有任何形式的依赖：它们仅仅是描述, 并不具有更多的含义, 只是为了使得表述清晰. 正因如此, 并不需要对常用的初等几何概念作任何逻辑的分析. 我们可以满足于假设我们知道这些概念的含义, 而不管它离真实有多远.


《纯数学教程第9版》中文PDF+英文PDF
《纯数学教程第9版》中文PDF，429页，有书签，文字可复制；英文PDF。哈代著；张明尧译.。
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像直线、圆以及圆锥曲线这样在初等几何中出现的通常的曲线要比单独由连续性所蕴含的性质有远远多得多的“规律性”. 特别地, 它们在每一点有一个确定的方向; 在曲线的每一点有一条切线(tangent). 在初等几何中, 曲线在点P 的切线定义为“当Q 移动趋向与P 重合时, 弦PQ 的极限位置”. 让我们来考虑在这样一个极限位置的存在性的假设中蕴含着什么.

如果要在直线上标出与分母相继为1, 2, 3, · · · 的有理数对应的所有的点, 你会容易使自己相信：可以用任意接近的有理点覆盖直线. 我们可以把这一思想更加精确地表述如下：如果在直线 上取任意一条线段BC, 我们总可以在BC 上找到你想要的任意多个有理点.