三、现代通信技术和香农熵  

第二次世界大战中，由于战争的需要，美国军方大力发展现代通信技术。战后，他们仍然大力支持通信技术的研究。先后在贝尔实验室，麻省理工学院工作、学习的香农(Claude Shannon，1916～2001)在20世纪40年代末，做出了开创性的工作，奠定了现代通信技术的理论基础。香农对通信技术的贡献是多方面的和原创性的，这里简单介绍几个贡献。  

一个通信系统可以简单地理解为，有一个发送端、一个接收端、一个连接发送端和接收端的通路，通常称为信道。通常遇到的实际通信问题是，发送端不断地发送很多信号，接收端接收到很多信号，由于信道常常有噪音，信号在信道中传输常常有损失和扭曲，导致接收端接收到的信号和发送端发的信号很不一样。通信技术研究的内容包括如何从接收到的信号中恢复发送端发出的信号，以及给定一个信道，如何能通过这个信道在一定时间内传输尽可能多的信息。



举例来说，大家上网常用到的宽带DSL服务，它有两端：一端是位于用户端的DSL Modem，俗称“DSL猫”；另一端是DSLAM，归各种电信运营商管理。连接“DSL猫”和DSLAM的电话线就是信道。宽带上网的网速就是指DSL系统的传输速度。  再举一个例子，大家都用到的无线业务，手机是一端，基站是另一端。连接手机和基站的空间就是信道（追根求源的话，这个信道的特性就是电磁波在空气以及介质，包括墙壁中的传输特性，应该求解麦克斯韦方程在复杂介质和边界条件的解，同时要考虑别的干扰。如一个手机信号对邻近的手机，一个基站信号对临近的基站就是干扰。但在实际应用中，信道的特性常常是测量出来的，而不是通过求解麦克斯韦方程）。  通常，如果有可能，人们都是想要更高的传输速率，无论对于有线还是无线传输都是如此。香农对通信技术的主要贡献是给出了一个通信系统的传输速率的上限

  



一个通信系统的传输速率的上限是由通信频宽和信噪比决定的。这个公式对于通信技术是很基本的。通信技术经常研究的一个问题，就是如何提高系统的性能，使它的传输效率尽可能地逼近理论上限（2）。

举例来说，在DSL技术之前，电话线上的数据传输技术通常是音频段的modem技术（voice band modem）。这种技术只用一个很窄的频段，通常只有4千赫兹。最高传输速率只能达到56千比特/秒。早期的DSL技术，ADSL1用了1.1兆赫兹的频段，把实际最高传输速率提高到几兆比特/秒。ADSL2+用了2.2兆赫兹的频段，把实际最高传输速率提高到24兆比特/秒。ADSL的后续技术，VDSL2+用了17兆赫兹的频宽，可以提供30~100兆比特/秒（用户能够达到的实际传输速率还取决于很多因素，比如DSL modem 和 DSLAM的距离）。

从上面来看，好像通过拓展频宽来提高传输速率是很容易的，而实际实现上远没有这么简单。早期DSL技术，单是斯坦福大学的John Cioffi教授和他的学生就投入了近十年时间的研究。从早期DSL发展到今天的VDSL2+，用了差不多二十年的时间。

提高通信速率的另一个方面是提高信噪比。通常信号强度是有限制的，不能无限制地提高。这是由于，一方面，高的信号强度会给“周围邻居”造成更大的信号干扰，这在无线通信和许多有线通信应用中都是需要控制的；另一方面，高的信号强度意味着更高的能源消耗，在当前世界节能减排的大趋势下，这也是需要避免的。对于手机等移动通信设备，高的信号强度意味着更短的电池工作时间。因此，在给定信号强度时，人们通过各种技术降低噪音，来提高通信速率。

还是以DSL技术为例，VDSL2+之后，为了提高速率，一种基于协同处理的降低噪音的技术正在被研究，并被融合到相关的国际标准。用了这种最新降低噪音技术的DSL技术称为“矢量DSL”(VectorDSL)。由ASSIA等公司推动的这项技术，会进一步提高通过电话线的数据传输速率，使之可以达到数百兆比特/秒。这与常用的光纤接入技术性能上相似，但成本却只有光纤接入解决方案的几分之一或更低。

这种数据传输速率对频段和信噪比的依赖，一样适用于无线通信。不同的无线通信技术，常常使用不同的频段，以及有特定的信噪比。对于无线通信，频段是稀缺资源，不同的运营商，不同的技术常常为一个频段的使用权发生争吵。  



说了这些应用，就是为了说明香农定理对于通信技术的贡献是多么的重要。这样一个对通信技术极为根本的定理，香农是通过研究香农熵得到的。举一个例子来说明香农熵。一个记者到现场看世界杯决赛， 西班牙队对荷兰队。为了能尽快在比赛结束时把消息发出去，这位记者比赛之前提前写好了两条短消息：“西班牙队赢了”，“西班牙队输了”，并准备在比赛结束时从中选择一个发出去。香农研究了这样一个问题，这个记者将要发出去的消息包含的信息量是多少？比赛之前，由于不知道哪一个结果会发生，我们不知道哪一条消息会被发出去，只能假设两个结果都有一定的概率发生，并来研究将要发出去的消息包含的平均信息量是多少。  

我们把这两个结果发生概率记为：p0，p1，p0＋p1＝1。对这个例子，香农发现可以用如下定义的H来描写每条消息包含的平均信息量，



这个H就是香农熵（在我国大部分热学教科书上香农熵写为信息熵）。  对于一般的一个通信系统，需要发送的消息(symbol)有多个，假设每个消息可能出现的概率是pi，那么它的香农熵是：



如果对比公式(1)和(4)，就会发现香农熵和玻尔兹曼熵的确很相似。这种相似不仅显示在数学表达式上，它们的统计意义也是非常相似的。一个系统越混乱，它的玻尔兹曼熵就越大；一个系统越混乱，它包含的信息量越大，它的香农熵就越大（从这个意义上理解，热力学第二定理——熵增原理，可以理解为信息量增加原理）。  



为什么一个系统越混乱，它包含的信息量越大？这可能有些与直觉相抵触。我们举一个例子来解释它。有一张方格纸，它可以有两种状态。一种是全部格子都涂成同一种颜色，比如蓝色。另外一种状态是每个格子的颜色都是完全任意随机的。那么从感官上，第二种状态比第一种状态“更混乱”。哪种状态包含的信息量更多呢？第一种状态包含的信息量是很少的，因为为了完整地描述它的状态，我们只需要说全部格子都是蓝色。第二种状态，为了完整地描述它的状态，我们需要给出每个格子的颜色。这个例子又是现代数字压缩技术的理论基础，被广泛地应用到存储、图形和图像的压缩传输。一个系统可以被压缩的最大程度取决于它所包含的信息量。  



香农不仅仅导出了一个通信系统的传输速率上限公式(2)，还定义了我们通常说的信息量的单位“比特(bit)”。由于现代通信技术和计算机的广泛应用，比特已经进入人们的日常生活用语。也许你已无意识地时常在用这个词了。比如，你会说：“我用的宽带上网ADSL的速度是24兆的，我的3G无线上网的速度是1.5兆的，或我买了一个的20G的移动硬盘”。这里，24兆就是指24´106比特/秒，1.5兆就是指1.5´106比特/秒，20G就是说移动硬盘的存储容量是20´109字节(byte)，一个字节有8个比特。这个移动硬盘存储容量是20´109´8＝160´109比特。或许你已经注意到了，上面的例子中比特既被作为通信传输的单位，又被作为计算机存储的单位。实际上，正是它搭建了沟通现代通信技术和计算机技术的桥梁。  



那么，一个比特是如何定义的？在我们举的例子中，如果西班牙队赢和输的概率都一样，p0＝p1＝1/2，代入公式(3)就会算出：H＝1比特。也就是说，这种情况下，这个记者将要发出去的消息包含的信息量就是一个比特。回到物理学的例子：对于一个真空中的自由电子，它只有两个微观态，自旋向上或向下，这两个微观态发生的概率都是一样的，p0＝p1＝1/2。那么这个系统的香农熵是H＝1比特，玻尔兹曼熵是S＝kln2=0.9569939´10-23焦耳/开尔文。由于香农熵和玻尔兹曼熵都是关于系统混乱的描写，他们是一样的，所以  



   (5)式是很有意思的。因为，出现在左边是信息量的单位，出现在右边是能量焦耳和温度开尔文的单位。这说明了信息和能量温度是可以转换的。如何理解这种转换呢？有待进一步地研究。  香农除了对通信技术做出了巨大贡献以外，他对于股票投资也很有兴趣。

四、香农和股票投资   

香农做股票投资，当然会和普通人不一样。他尝试用科学的方法来研究股票投资。香农没有发表过任何他关于股票投资研究的文章，他在麻省理工学院做过两个关于股票投资演讲。我们知道，香农和他的一些学生很早（20世纪70年代）就开发过一些试图用于股票投资的算法和计算机程序。特别是他仔细研究了一个投资策略，持续重新平衡组合(Constant Re-balance Method)。这种策略的一个简单形式是，对一个投资组合，举例来说，一个包括几十支股票的股票基金，如果投资人不断地“抛高吸低”，就是说，把基金中表现好的股票卖掉一些或全部，买进一些基金中表现差的股票，那么，长期而言，这种投资策略一般会有很好地回报（对于香农他们当时研究的投资市场）。这种“抛高吸低”的频率可高可低，如果选择用比较高的交易频率，这就演化成高频交易的一种策略。（除了股票价格，持续重新平衡组合还可以依照一些别的投资参数进行重新平衡组合）。  



香农本人的投资实际上并没有用到上述方法，因为他发现，持续重新平衡组合需要频繁交易，要花很多交易手续费，而且在20世纪70年代，计算机和网络技术都不成熟，对于具体应用这一策略也有难度。我们后面要提到，进入八九十年代后，这个方法被许多定量高频对冲基金(Quantitative High Frequency Hedge Funds)采用了，并融合到他们的投资策略中（对冲基金是投资基金的一种。与一般的基金相比，它们受到的监管比较少，可以采用比较灵活的投资手段、方法和技术。比如可以做空，可以做高频交易，以及投资我们后面要提到的各种金融衍生物）。

即便如此，香农本人的股票投资是非常成功的。因为他在工业界有广泛的联系，他选择了投资一些朋友的公司（用今天的话讲就是投资“团队”）。香农本人的投资主要包括惠普(HP)、Teradyne这样一些成功的高科技企业。同期，他的投资回报率超过了沃伦·巴菲特（Warren Buffett）。  香农本人虽然没有用通信理论的方法做投资（持续重新平衡组合和香农熵实际上是有联系的），但他影响了很多人把通信理论应用到投资领域。我们这里提几个有代表性的人，凯利（J.L.Kelly）、爱德华·绍帕(Jr.Edward O.Thorp)、欧文·伯莱坎普（Elwyn Berlekamp）和汤姆·库沃（Thomas Cover）。  



五、凯利和投资中的资金分配   

凯利是香农的朋友和同事，20世纪50年代初在贝尔实验室研究通信技术。他发现，通信系统可以等价地用一个连续赌博系统来研究。并由此提出了一个很有意思的判据，被称为凯利判据。  

举个最简单的例子来解释这个凯利判据。如果有一种赌博（或投资）机会，你可以不断重复下注。假若你赢的概率是p=0.6，输的概率是1－p＝0.4。如果赢了，你用来投资的钱就翻倍；输了，钱就全部损失了（Double or Nothing）。那么，你每次应该用你手中资金的多少去投资以便达到最好的回报？显然，一次就把全部钱都投进去不是一个好的策略。如果赌错了，根本就没有再捞回来的机会。



正确的答案是：2p－1＝0.2。             （6）  

你每次应该用你手头资金的20%去赌。你可以期待，平均每赌36次，你手里的钱就会翻一番。（一般而言，如果赢的概率是p，并且p>0.5，这个问题的答案是2p－1；如果p<0.5，就不应该参与。）显而易见，这是一个与投资有关的问题，但是凯利是在研究通信理论中的公式(2)时发现的。大家可以看的出来，这个判据对于基金管理中资金分配是有意义的。因为，如果基于某种模型和历史数据，基金经理对于一种投资策略“赢”的概率有一定的估算，那么这时凯利判据就告诉基金经理一次应该投资多少资金。 凯利本人是否把他的方法用于个人投资就不得而知了，但受香农影响的另外几个人却对投资领域有知名的影响。后面几章陆续做一下介绍。



六、汤姆·库沃、爱德华·绍帕和欧文·伯莱坎普  

斯坦福大学电子工程系教授汤姆·库沃（美国工程院院士）进一步深刻地研究了如何把香农熵应用到投资领域，并提出了一个有意思和有争议的“普适组合”(Universal Portfolio)理论。他从理论上论证了“普适组合”是一种最优投资方法，虽然他并没有给出在实际投资中应当如何构建“普适组合”。

这个“普适组合”在通信理论界是被大家认可的，库沃教授为此得到了通信理论领域最高奖——香农奖，但这个理论却遭到了著名经济学家、诺贝尔奖获得者萨缪尔森（Paul Samuelson , 1915~2009）的强烈批评。库沃教授曾尝试把他的理论付诸实践，开过一个对冲基金，关于他的这个对冲基金，人们了解得不多。  



爱德华·绍帕是早期成功定量投资的先行者之一，他把凯利判据应用到投资中，也办过对冲基金。后来，绍帕写过许多定量投资的文章。这是不多见的，因为大部分对冲基金的管理人员对他们的投资策略是避而不谈的，即便他们离开他们管理的基金已经多年。  

欧文·伯莱坎普是加州大学伯克利分校数学系退休教授，美国科学院、工程院院士，是一个研究领域非常广泛的人。他在通信领域、密码学和数学等许多领域有广泛的贡献。举例来说，他发明了通信领域中非常有用的Reed-Solomon编码的解码方法。他成功地开创了一个密码技术公司，并把公司做上市。他的最新研究领域是有关围棋中终盘（又叫“官子”）的数学理论。2009年元旦，作者在旧金山举办的江铸久杯围棋赛上遇见了伯莱坎普教授。在一盘棋后问他：“你的围棋理论研究对你比赛有没有帮助？”，他说：“到收官时，我已经落后太多。”言下之意，到收官时如果不是落后太多，那可就不一定了。关于伯莱坎普和围棋，江铸久和芮乃伟曾写过一篇很好的文章《喜欢围棋的数学天才欧文·伯莱坎普博士》。研究围棋的数学理论有什么意义呢？对国际象棋的计算机研究曾经对计算机科学的发展起到非常重要的作用。图灵在1947年，香农在1949年发表的关于国际象棋的计算机研究是理论计算机科学的奠基性的工作之一。伯莱坎普教授本人在1962年发表的这方面的工作也是计算科学中的重要工作。由于计算机已经可以战胜人类国际象棋大师，这方面的部分研究就转移到关于围棋的数学理论的研究上了。为什么要研究围棋的终盘呢？因为围棋太复杂了，终盘是相对而言比较容易的一部分。历史上，国际象棋的计算机研究也是从对终盘的研究开始的。  

这里提及伯莱坎普的另一个原因是，他和大名鼎鼎的文艺复兴基金公司(Renaissance Technologies)的 联系。

七、文艺复兴基金和詹姆斯·西蒙斯  

文艺复兴基金公司是目前为止最成功的定量对冲基金公司之一。文艺复兴基金公司是由詹姆斯·西蒙斯于1982年创办的。这个公司中最成功的基金叫大奖章（Medallion）基金。大奖章基金在过去二三十年有着非常优秀的回报。西蒙斯凭着少许的资本，依靠大奖章基金多年优厚的回报，目前个人资产有85亿美元之多(《福布斯》2010年3月的数据)。大奖章基金是由Axcom Trading Advisors设立的。伯莱坎普对Axcom起了很重要的作用，曾经是它的最大的股东和总经理（President and CEO），并制定了它的投资策略。伯莱坎普在1991年把Axcom基金以不菲的价格卖给了文艺复兴基金公司。（可见，伯莱坎普做的非常数学的研究，诸如编码、密码理论和算法研究都给了他丰厚的经济回报，不知道他目前研究的围棋终盘的数学理论，又会带来什么样的回报?）  



西蒙斯是一个卓有成就的数学家，多年来担任纽约州立大学石溪分校数学系主任。他博士毕业后，曾在伯克利大学和陈省身先生工作过一段时间。他们一起提出的陈—西蒙斯不变量在微分几何、量子场论和超弦理论中都是非常重要的一个概念。 另一个非常成功的对冲基金的创始人大卫·萧（D.E.Shaw）对他的评价是：“他是一个第一流的学者，用真正科学的方法做（炒股）交易，很少有人像他那样。（He is a first-rate scholar, with a genuinely scientific approach to trading. There are very few people like him）。”大卫·萧自己创立的对冲基金也是非常成功的，从少许的资本开始，他目前也有25亿美元的身价(《福布斯》2010年3月的数据)。大卫·萧获得斯坦福大学计算机博士，在创立对冲基金前曾在哥伦比亚大学任助理教授。  

投资成功之后，西蒙斯和大卫·萧都热衷于捐款和公益事业。比如，西蒙斯曾多次捐款给杨振宁先生所在的纽约州立大学石溪分校物理系及布鲁克海文（Brookhaven）国家实验室。大卫·萧热衷于捐款支持基础生命科学的研究。顺便提一下，互联网电子商务的最成功的公司之一——亚马逊公司的原始的思想是当时大卫·萧公司的一个员工Jeff  Bezos提交 给公司的一个内部建议。  

另外值得一提的是，西蒙斯曾经做过三年的密码学的研究。文艺复兴基金公司还聘用了多位做自然语言处理研究的专家。熵在自然语言处理研究方面也是非常重要的，因为一段语言中包含的信息量与这段语言的熵是紧密相关的。  西蒙斯、大卫·萧和绍帕等通过科学的方法来投资。按照西蒙斯的话，这种投资的特点是：“依照基本面的(炒股)交易让我难受，因为我懂科学(Fundamental trading gave me ulcers, Science, I understood)”，并依照科学的办法来投资。并由此诞生了一个新的工种“矿工(Quant)”。近年来，大批物理、数学、统计、计算机、电子工程专业的博士和专业人士转行做了“矿工”。其中，许多人都在定量对冲基金工作。一般而言，对冲基金的投资策略和方法都是对外保密的。但我们前面提到的持续重新平衡组合，凯利判据和高频交易至少一度曾被多家对冲基金所采用。  



追溯历史，起源于热学研究的熵，通过通信理论进入到了投资领域。许多人也许依靠建立在上面的一些方法得到了丰厚的回报，并开创了定量投资的方向。但另外一个与热学相关的方程，对现代西方金融体系有着更大的影响，甚至与发生自2007年开始的金融危机有着不可分割的联系。为介绍这个方程，我们先得介绍一下股票期权的概念。



八、股票期权和热传播方程

简单地讲，股票期权是一种权力，拥有它的人就是拥有一种在未来可以行使的权力。这种权力的最简单的形式是在未来某个特定的时间，可以用一定的价格购买或出售所对应的股票。股票期权最原始的用处是人们为了预防对未来不确定的一种保险。  



举例来说：一只股票A，今天的价格是28元/股。你计划在今后三个月或六个月投资这只股票。为什么不在今天投资呢？可以有非常多的原因。举例来说，目前资金不到位，或三到六个月后，你的商业运作需要你持有这只股票；甚至更简单，你认为这只股票今后会涨，但你不想现在就进入市场，以便保持资金的流动。可是，你又想做些什么来预防这只股票今后涨很多，你丧失以后买它的机会。股票期权的原始用处就是为了满足这种需求设置的。你可以到股票期权市场看看这只股票的期权（call option，又称看涨期权，买方期权）的价格。（股票期权交易在西方金融交易市场是很普通的，国内暂时还没有开放股票期权交易，其原因与我们下面要讨论的金融衍生物的风险是紧密相联系的。有鉴于国内有可能近期开放股票期权交易，我们举例仍然用元做货币单位，而不用西方货币单位）。你会发现如表1所示：






表1的第一行是股票的目标价格，第二、第三行是不同时间到期的期权的价格。比如说，你花了1.18元/股购买了三个月后目标价格是28元/股的期权，这样你就有了权力，在三个月后，可以用28元/股购买这只股票，而不论这只股票当时的价格。这是一种权力，你可以行使它或不行使它。如果三个月后，股票价格低于28元/股，你就没有必要去行使这种权力。如果三个月后，股票价格高于28元/股，你就可以去行使这种权力。举例来说，如果三个月后，股票价格是35元/股，你仍然可以用28元/股去买进，因为你有这种权力。



举一个幸运买家的例子。出于商业需求，你决定购买10万股三个月后目标价格是40元/股的期权。按照上面的表，这个期权的价格是0.02元/股。这样，你只需要付出100000&acute;0.02＝2000元就可以购买这样一份权力，容许你三个月后，用40元/股的价格来购买10万股股票。我们进一步假设，由于股票市场表现非常好，加上这只股票有出人意料的重大好消息，这只股票三个月后的价格涨到了50元/股。由于你拥有40元/股的买方期权，你就可以行使这个权力，用40元/股的价格买进10万股这只股票。这样你的投资回报就是100000&acute;(50－40)＝1000000元。由于你动用的资金是2000元，你的投资回报率是1000000/2000＝500倍。（为了简单说明，我们忽略了一些期权交易手续费用。由于期权和保险的相似，这个幸运买家的投资回报，又可以解释为，花了2000元买了一份保险，保险公司后来为此赔给了这位买家一百万元。）作为对比，如果你不是用股票期权，而是直接购买股票的话，购买10万股股票，需要资金100000&acute;28＝2800000元。三个月后，由于涨到了50元/股，你的投资回报是100000&acute;(50－28)＝2200000元，你的投资回报率是22000000/2800000＝78.57%。虽然说，三个月就有78.57%的投资回报率是非常优秀的，但仍然和使用期权获得的500倍的投资回报率相差悬殊。  




这个例子说明股票期权的一个重要特点：杠杆效应（用武侠小说中的话就是“四两拨千斤”）。你可以用较少的资金，对未来有较大的控制影响。股票价格本身一个较小的变化，可以导致股票期权价格一个较大的变化。  




这个例子引出了两个有意思的问题。  

第一，这个股票期权的价格是怎么决定的？  

第二，你只用了2000元购买股票期权，三个月后你赚了一百万元。那么，明显的是卖给你股票期权的一方（卖家）亏了钱（成为不幸的卖家）。那么卖家为什么要卖给你这个期权？  



第二个问题比较容易解释，我们先回答它。在上面的例子中，如果三个月后，股票价格没有涨到40元/股（例如股票价格涨到了39.99元/股），到时，这个期权就没有价值。你就会损失你最初的2000元的投资，这2000元就进了期权卖家的腰包。期权卖家认为，三个月后，股票涨到40元/股以上的概率非常小，他承担的风险很小，所以他就愿意用很低的价格0.02元/股卖这个期权。如果他认为三个月后，股票涨到40元/股以上的概率比较高，他承担的风险较大，那么对同一个期权（三个月后，目标股票价格是40元/股的期权），他的要价就会比较高。当然，如果他的要价过高，就没有买方了。  



可见，这里面的一个核心问题是，如何给一个特定的期权定价。从直观上看，一个股票期权的价格f取决于这只股票此刻的价格S，这只股票未来的目标价格S(t)，时间间隔t，利息r以及这只股票价格未来走向的不确定程度s（volatility又被翻译成波动性）。上述几个因素中，股票期权的价格依赖于时间间隔，是由于未来越远不确定程度就越大，正如俗话所说“夜长梦多”。股票的期权依赖利息，一方面是由于涉及未来的投资，原始资本可以看成是从银行借来的；另一方面，利息影响人们的投资。举例来说，如果银行的存款利息非常高，那么人们就更愿意把钱放到银行，去追求无风险回报，而不是去购买期权。  



那么，一个股票的期权是如何依赖上面列的因素呢？答案就是大名鼎鼎的Black-Scholes-Merton方程，而这个方程就是热扩散理论中的一类热扩散方程。这个热扩散方程根源于爱因斯坦研究过的布朗运动。为什么股票的期权价格遵循一个热扩散方程？因为股票价格本身的变化遵循一类布朗运动（至少理论上可以通过这样的模型来研究）。认识到股票的期权价格遵循一个扩散方程，对股票期权理论的发展和理解都很有影响。  



这个Black-Scholes-Merton方程现在常见的一个形式是：









   方程（7）中，股票的期权价格f是作为时间t和股票本身价格S的函数，f＝f（S,t）。利息r和不确定程度s 被假设为与时间无关的常数。如果利息r和不确定程度s是时间的函数，上述方程需要做些简单修改。给定合适的边界条件，通过求解这个方程，可以给出一个股票期权的“合理”定价。  



Black-Scholes-Merton理论对于金融理论和当代西方金融业是极为重要的。因为我们前面举的例子中的股票期权仅仅是西方金融行业中常用的金融衍生物中最简单的一种。不仅仅股票可以有期权、股票指数、大宗商品（如原油，金属）期货都有期权，他们都是金融衍生物。各种简单的金融衍生物又可以组合成更为复杂的金融衍生物。每天，各种复杂的金融衍生物都在世界许多金融市场上交易。正如，单一股票期权的交易需要有合理的定价模型，每种复杂的金融衍生物也需要自己的定价模型。一般而言，复杂的金融衍生物的定价模型常常很复杂，没有解析表达式。  



对于金融衍生物的定价，Black-Scholes-Merton方程是至关重要的。可这个方程有一个容易引起麻烦的地方。方程中股票的期权价格f＝f（S,t）是需要求解的函数，时间t、股票的目标价格S是作为自变量进入的，利息r在简单的情况下，可以假设为常数。这些都是确定的因素，不会引起麻烦。但股票价格未来走向的不确定程度s 到底是什么呢？应该怎样计算呢？  

由于我们不知道未来，只能通过分析这只股票过去的价格变化，并假设（希望）它未来的变化和过去的行为差不多。一只股票的价格变化依赖的因素太多，与企业本身的表现、竞争对手和行业的表现、整个市场的表现，以及国际国内大的社会政治经济形势都有关系。简单地讲，一只股票价格未来走向的不确定程度s是很不容易估计的。如果股票价格的s 估计得不准，把它带入Black-Scholes-Merton方程，就会导致与它相关的金融衍生物（例如，它的股票期权）的定价不准，并导致与此相关的交易存在很大的风险。简单的股票期权如此，复杂的金融衍生物的不确定程度（波动性及相关风险）的估算就更是非常困难和容易出错的，2007年开始的金融危机产生的原因就与这种困难密不可分。

楼主很厉害

～楼主转载文章不写出处也罢了～最开头第一句转行当话是别人自己的～这也不会去掉么？～