摘要翻译：
设$d$是具有商域$k$的整域，设$x$是$d$上的不定域。另外，设$\boldsymbol{\mathcal{T}}:=\{T_{\lambda}\mid\lambda\in\lambda\}$是$d$的商环的定义族，并假定$\ast$是$\boldsymbol{\mathcal{T}}$诱导的$d$上的有限类型星运算。我们证明$D$是一个P$\AST$MD(resp.,P$V$MD)当且仅当$(\CO_D(fg))^{\AST}=(\CO_D(f)\CO_D(g))^{\AST}$(resp.,$(\CO_D(f))^{w}=(\CO_D(f)\CO_D(g))^{w}$)对于K[X]$中的所有$0\ne f,g\。这个结果的一个更一般的版本在半star操作设置中给出。对于某一有限型星运算$\AST$，我们给出了一种识别不是P$\AST$MD的P$V$MD的方法。我们研究了对于任何有限类型星型操作$\AST$来说，$\AST$-类组$\CL^{\AST}(D)$等于$t$-类组$\CL^{t}(D)$的域$D$，并给出了P$V$MD的$D$的示例，例如$\CL^{\AST}(D)\subsetneq\CL^{t}(D)$。我们还计算$\cl^v(D)$用于某些估值域$D$。
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英文标题：
《Some remarks on Pr\"{u}fer $\star $--multiplication domains and class
  groups》
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作者：
David F. Anderson, Marco Fontana and Muhammad Zafrullah
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最新提交年份：
2007
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Commutative Algebra        交换代数
分类描述：Commutative rings, modules, ideals, homological algebra, computational aspects, invariant theory, connections to algebraic geometry and combinatorics
交换环，模，理想，同调代数，计算方面，不变理论，与代数几何和组合学的联系
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Algebraic Geometry        代数几何
分类描述：Algebraic varieties, stacks, sheaves, schemes, moduli spaces, complex geometry, quantum cohomology
代数簇，叠，束，格式，模空间，复几何，量子上同调
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英文摘要：
  Let $D$ be an integral domain with quotient field $K$ and let $X$ be an indeterminate over $D$. Also, let $\boldsymbol{\mathcal{T}}:=\{T_{\lambda}\mid \lambda   \in \Lambda \}$ be a defining family of quotient rings of $D$ and suppose that $\ast $ is a finite type star operation on $D$ induced by $\boldsymbol{\mathcal{T}}$. We show that $D$ is a P$ \ast $MD (resp., P$v$MD) if and only if $(\co_D(fg))^{\ast}=(\co_D(f)\co_D(g))^{\ast}$ (resp., $(\co_D(fg))^{w}=(\co_D(f)\co_D(g))^{w}$) for all $0 \ne f,g \in K[X]$. A more general version of this result is given in the semistar operation setting. We give a method for recognizing P$v$MD's which are not P$\ast $MD's for a certain finite type star operation $\ast $. We study domains $D$ for which the $\ast $--class group $\Cl^{\ast}(D)$ equals the $t$--class group $\Cl^{t}(D)$ for any finite type star operation $\ast $, and we indicate examples of P$v$MD's $D$ such that $\Cl^{\ast}(D)\subsetneq \Cl^{t}(D)$. We also compute $\Cl^v(D)$ for certain valuation domains $D$.
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PDF链接：
https://arxiv.org/pdf/0710.5018