交互项模型中，一次项系数的方向与显著性重要吗？

一、缘起

在跑回归的时候，我们常常出于各式各样的目的，构造交互项。但是，也常常面临着许多疑惑。po 主在日常生活中，被问到最多的一个问题就是：“我的一次项不显著了 or 我的一次项系数方向变了，这可怎么办呀？”

在多数情况下，这并不是一个问题。因为基准回归中的一次项系数与交互项中的一次项系数，在经济意义上完全不一样。两者本就不具有可比性，下面做具体解释。

二、公式推理

我们先引入一个最简单的 OLS 模型：

$Y=\beta_0 + \beta_1 D + \varepsilon$
此时 $\beta_1 = \frac{\partial E(Y|D)}{\partial D}$ ，其经济含义是 $D$ 的变动平均会带来 $Y$ 的变动。

我们在前者的基础上引入一个交互项模型：

$Y=\beta_0 + \beta_1 D + \beta_2 X + \beta_3 D \times X + \varepsilon$
对 $D$ 求导：
$\frac{\partial E(Y|D, X)}{\partial D} = \beta_1 + \beta_3 X$
在这种情况下，$\beta_1$ 的经济含义为：当 $X=0$ 时，$D$ 的变动平均会带来 $Y$ 的变动。

在基准回归中，$\beta_1$ 可以理解为：对样本中一个典型个体而言，$D$ 对 $Y$ 的影响；而在交互项模型中，$\beta_1$ 则可以理解为：对样本中一个 $X=0$ 的个体而言，$D$ 对 $Y$ 的影响。两者的经济意义是完全不一样的。

三、论文实例

下面举两个论文中的实例进行说明。

1. 一次项不显著

下图是贾瑞雪老师 2015 年发表在 JEEA 上的论文，探讨了人脉和经济绩效在官员晋升中的作用。Connection 和 Growth 分别表示官员的人脉和经济绩效，Y 为官员晋升。

第一、二、三列回归结果显示，人脉对官员晋升具有显著促进作用，经济绩效的影响则不显著。第四列中，作者引入了两者的交互项。交互项系数显著，但人脉的影响不显著了。

这一点很好解释。当官员没有任何经济绩效时 ($Growth = 0$)，人脉对其晋升不具有显著影响。

这一结果非但不矛盾，反而相当符合逻辑。如果光靠关系，而没有任何工作能力，是难以升迁的。同样地，如果埋头工作，不经营好自己的人脉 ($Connection = 0$)，一样难以晋升。只有两手都抓的官员才更可能得到晋升。

2. 一次项系数为负

下面我们看一次项系数为负的情况。

以沈煜、孙文凯两位作者 2020 年发表在《世界经济》的文章为例，该文分析了污染信息公开对居民健康消费决策的影响。下图中，$Public$ 是污染信息公开，$P$ 是 $PM_{2.5}$ 浓度。

可以发现，在一、二列中，$Public$ 的系数显著为负。如果我们直接解释为污染信息公开降低了家庭保健支出，这无疑是错误的 (也不符合现实逻辑)。

其准确经济意义是：当污染物浓度为零时，污染信息公开会显著降低家庭保健支出。这也符合现实逻辑。当我们不知道污染是高是低时，可能会花钱保护健康，以防万一；但是当我们知道原来空气污染不存在时，没必要进行个人防护，自然就会把钱花到其他地方，挤出保健支出。

总结

简而言之，当我们在模型中引入交互项，并发现一次项系数发生改变时，不需要太过慌张。因为一次项系数在基准模型和交互模型中的经济意义完全是两码事。

如果没人点出这个问题，我们也不需要浪费篇幅。如果有人对此存疑，我们具体问题具体分析就好了。在大部分情况下，我们是可以得到合理解释的。

参考文献：

Jia, Ruixue, Masayuki Kudamatsu, and David Seim. “Political selection in China: The complementary roles of connections and performance.” Journal of the European Economic Association 13.4 (2015): 631-668.

沈煜,孙文凯.污染信息公开如何影响健康消费决策[J].世界经济,2020,43(07):98-121.