连续复利问题和连续折现问题在经济学研究中经常遇到。最近在阅读文献的过程中，再次注意到这个问题，例如，Mincer, 1958。文献中大多直接给出连续情况下的结论，而省略了推到的过程。对于大多数熟悉效用理论和金融理论的朋友来说，很多时候这个连续问题是不言自明的，结论也早已谙熟于心。但对于像笔者这样的经济学初学者而言，一时半会不能够理解连续折现的公式，十分影响阅读体验。因此，我希望能够花一点时间彻底把这两种简单的连续问题研究清楚，作为学习笔记分享在平台之上。一方面有利于自己对连续问题的理解，且便于回忆查看，另一方面也供读者们指正和交流。
引理：\[\lim_{ n\to +\infty}(1+\frac{k}{n})^n = e^{k}\]
证明：设
\[I_n = (1+\frac{k}{n})^n\]
\[ln(I_n) = \frac{ln(1+\frac{k}{n})}{1/n}\]
\[\lim_{ n\to +\infty}ln(I_n) = \lim_{ n\to +\infty}\frac{ln(1+\frac{k}{n})}{1/n}\]
由于上式右边分式上下均趋向于0，故使用洛必达法则可得：
\[\lim_{ n\to +\infty}ln(I_n) = \lim_{ n\to +\infty}\frac{\frac{n}{n+k}(-\frac{k}{n^2})}{-1/n^2}=k\]
所以有：
\[\lim_{ n\to +\infty}I_n = e^k\]

1. 连续复利问题
简易模型：现有本金P0，年化利率r，请问连续复利的情况下，经过时期t年，该本金所对应的终值Pn为多少？

可以这样来思考这个问题，所谓连续复利，实际上可以想象为：存款所有者十分勤快，他不停地把自己的存款所产生的利息继续存入银行从而形成利滚利所能获得的最大价值。因而只需要先想清楚非连续的情形，再通过求极限来得到答案。首先将t时期等分为k个小的时间区间。设每经过其中一个小区间的利率为rk，又由于年化利率为r，因而rk和r之间存在着下述的等量关系：
\[\frac{k}{t}r_k=r\]
因此，
\[r_k=\frac{t}{k}r\]
所以经过k期的利滚利后，P0的本金所对应的终值Pn如下式所示：
\[P_n = P_0(1+r_k)^k = P_0(1+\frac{t}{k}r)^k\]再计算上式在k趋向于正无穷时的极限：
\[\lim_{ k\to +\infty}P_0(1+\frac{tr}{k})^k\]由引理可知连续复利的终值为：
\[P_n^c = \lim_{ k\to +\infty}P_0(1+\frac{tr}{k})^k = P_0e^{tr}\]
2. 连续折现问题
简易模型：现有等额年金A（从1期开始），年化折现率r，请问连续折现的情况下，t年的年金所对应的现值V0为多少？

连续折现可以考虑为连续复利问题的逆问题。因此我可以用同样的思路来解决这个问题。首先还是将t年等分为k个时期，每过一个k等分的小时期所能获得的平均年金为Ak，于是有：
\[A_k = \frac{t}{k}A\]
再设k期的折现率为rk，所以我将着k期的所有年金折现到现在，所得到的现值V0如下式所示：
\[V_0 = \sum_{n=1}^{k}\frac{t}{k}A(\frac{1}{1+r_k})^n\]再计算上式在k趋向于正无穷时的极限：
\[\lim_{ k\to +\infty}\sum_{n=1}^{k}\frac{t}{k}A(\frac{1}{1+r_k})^n\]年化折现率和k期折现率之间的关系如下式所示：
\[r_k=\frac{t}{k}r\]实际上，该关系与连续复利类似。所以上述极限式所代表的现值就等于：
\[V_0^c = \lim_{ k\to +\infty}\sum_{n=1}^{k}\frac{t}{k}A(\frac{1}{1+\frac{t}{k}r})^n\]\[V_0^c = A\lim_{ k\to +\infty}\frac{t}{k}(\frac{1}{1+\frac{t}{k}r}+(\frac{1}{1+\frac{t}{k}r})^2+\dots+(\frac{1}{1+\frac{t}{k}r})^k)\]由等比数列计算公式得：
\[V_0^c = A\lim_{ k\to +\infty}\frac{t}{k}\frac{1}{1+\frac{t}{k}r}\frac{1-(\frac{1}{1+\frac{t}{k}r})^k}{1-\frac{1}{1+\frac{t}{k}r}} = A\lim_{ k\to +\infty}\frac{1-(\frac{1}{1+\frac{t}{k}r})^k}{r}\]再由引理得：
\[V_0^c = A\frac{1-e^{-tr}}{r}\]
3. 在经济学模型中的运用
以Mincer, 1958为例，这篇文章的模型讨论了劳动者对自己工作时间和训练时间抉择的问题。模型中假设训练时间和工作时间的总时长为l，每多训练一年，劳动者的工作时长便会减少一年。在这种情况下，劳动者时间折现率为r，且工作的收入是与训练时长相关的一个函数。由上述条件计算在t0时刻（先训练后工作，t0代表决定训练时长之前，训练开始前的最初时刻）的劳动者收入连续折现现值。
假设劳动者选择训练n年，于是工作收入为每年an，于是其工作收入现值可以用假设劳动者工作时长l年的总收入连续现值，减去劳动者在训练时期的连续收入现值（训练时期实际上是没有收入的，但我们在前一部分假设这期间也有同样的收入，这样做的原因只是为了方便计算），计算结果如下
假设工作l年的总收入现值：\[V_l^c = a_n\frac{1-e^{-lr}}{r}\]
训练时间应当减去的收入现值：\[V_n^c = a_n\frac{1-e^{-nr}}{r}\]
于是实际总收入的连续现值为：\[V_0^c = V_l^c - V_n^c = a_n\frac{e^{-nr} - e^{-lr}}{r}\]