摘要翻译：
我们证明了对于K[x，y，z]$中的多项式$f\$等价是:(1)$f$是$k[z][x，y]$的$k[z]$-坐标，(2)$k[x，y，z]/(f)\cong k^{[2]}$和$f(x，y，a)$是$k[x，y]$中的坐标。这解决了Abhyankar-Sathaye猜想的一个特例。因此，我们看到在k[x，y，z]$中的坐标$F\，也是$k(z)$-坐标，是$k[z]$-坐标。我们讨论了一种构造$k[x，y，z]$自同构的方法，并观察到Nagata自同构自然地出现为通过这种方法得到的第一个非平凡自同构--本质上是将Nagata与$r[x]$的非驯服的$r$-自同构联系起来，其中$r=k[z]/(z^2)$。
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英文标题：
《A note on k[z]-automorphisms in two variables》
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作者：
Eric Edo, Arno van den Essen, Stefan Maubach
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最新提交年份：
2008
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Commutative Algebra        交换代数
分类描述：Commutative rings, modules, ideals, homological algebra, computational aspects, invariant theory, connections to algebraic geometry and combinatorics
交换环，模，理想，同调代数，计算方面，不变理论，与代数几何和组合学的联系
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Algebraic Geometry        代数几何
分类描述：Algebraic varieties, stacks, sheaves, schemes, moduli spaces, complex geometry, quantum cohomology
代数簇，叠，束，格式，模空间，复几何，量子上同调
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英文摘要：
  We prove that for a polynomial $f\in k[x,y,z]$ equivalent are: (1)$f$ is a $k[z]$-coordinate of $k[z][x,y]$, and (2) $k[x,y,z]/(f)\cong k^{[2]}$ and $f(x,y,a)$ is a coordinate in $k[x,y]$ for some $a\in k$. This solves a special case of the Abhyankar-Sathaye conjecture. As a consequence we see that a coordinate $f\in k[x,y,z]$ which is also a $k(z)$-coordinate, is a $k[z]$-coordinate. We discuss a method for constructing automorphisms of $k[x,y,z]$, and observe that the Nagata automorphism occurs naturally as the first non-trivial automorphism obtained by this method - essentially linking Nagata with a non-tame $R$-automorphism of $R[x]$, where $R=k[z]/(z^2)$.
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PDF链接：
https://arxiv.org/pdf/0809.0767