特别地，给定W时(U，V)的条件分布对δ值不变。在现状政策制度下，普罗彭斯的得分为P(W):=Pr(D=1W=W)。在（2）中，我们可以表示为asP(w)=Pr(V≤μ(w)w=w)=FVW(μ(w)w)。如果Z m的诱导变化导致其他变量的变化，则需要一个模型来描述这种机制。如果有一个模型，我们的框架原则上可以适应这种情况。如果条件CDF FVW(·w)是对所有w∈w的严格增函数，我们得到=1{V≤μ(w)}=1 FVW(VW)≤FVW(μ(w)w)=1{ud≤P(w)}，其中ud:=FVW(VW)度量个体对治疗的相对抵抗。可以认为UDis在[0,1]上一致且与W无关，在反事实政策机制下，W=(Z,X)变为Wδ:=(Zδ,X),我们得到了δ=1{V≤μ(Wδ)}=1 FVW(VW)≤FVW(μ(Wδ)W)=1{UD≤pδ(W)}，(5),其中δ(W):=FVW(μ(Wδ)W)=FVW(μ(G(W,δ)，X)W)是W和δ的函数。注意，UDin(5)在被定义为FVW（VW）之前是s，因此它在反事实政策制度下不会改变。也就是说，相对于OTHERS，个体对治疗的抵抗在两个政策体系中保持不变。特别是，UDis在[0,1]上仍然一致，与w无关。N-EW政策制度的倾向得分等于topδ(w)=Pr(dδ=1w=w)=Pr[ud≤pδ(w)w=w]=Pr[ud≤pδ(w)]=pδ(w)。为了保持政策变化的一般性，我们暂时不指定政策函数G(·，δ)，但我们假设该政策将使参与率（在一定范围内）增加δ。当干涉G(·,δ),Pδ(·)满足[Pδ(W)]=e[P(W)]+δ,且对于所有W∈W,对于δ=0,P(W)=P(W),则W的支持性设F*是Y R上的符号me的空间，对于Y∈Y,我们赋予F*通常的上确界n orm：对于两个与Y上相应符号测度的分布函数f,f,v,v相关的分布函数，我们得到ekf'A-f'Ak∞:=supy∈yf'A(Y)-f'A(Y).由于符号的滥用，将FYas表示为Y:FY(Y)=vy(-∞,Y]的分布，其中vyy是由Y的分布引起的测度。同样地，将FYδ定义为。显然，Fy、Fyδ都属于F*。我们考虑了一般泛函ρ:F*→R，并研究了一般无条件po licy e效应。一般无条件策略效应：当存在此极限时，泛函ρ的一般uncon条件策略效应被定义为πρ:=limδ→0ρ(FYδ)-ρ(FY)δ，上述结论与Rothe(2012)的边际部分分布策略效应的结论相同。ρ的E x分量是Carneiro、Heckman和Vytlacil(2010，2011)的边际政策相关处理效应的平均值，以及ofFirpo、Fo r tin和Lemieux(2009)的无条件分位数。为了保证πρ的存在性，我们首先考虑了ρ的光滑性和fyδ对fy的贴近性，然后考虑了一个Hadamard可微泛函ρ.对于完全ss，我们在下面给出了Hadamard可微性的定义。定义2。如果存在线性连续泛函ρρF:Fut→R,使得对于任意G∈F*和Gδ∈F*,当limδ→0kgδ-gk∞=0时，我们给出了δ→0ρ(F+δGδ)-ρ(F)δ=ρF(G),我们给出了ρ(FYδ)-ρ(F)δ=ρ(FY+δGδ)-ρ(FY)δ,forgδ=FYδ-FYδ的Hadamard可微性。（6）只要我们能证明Limδ→0kgδ-gk∞=0,那么我们就得到了πρ=ρfy(G),然后给出了Limδ→0kgδ-gk∞=0的具体条件。我们将作出一个支持假设。假设1。对于d=0,1,给定的（UD,W）,Y(d)的支持度Y(d)不依赖于（UD,W）,对于ε>0,d为nε:={δ:δ≤ε}。

对于每δ∈Nε和y∈y，我们有fYδ(y)=(p+δ)Pr(y()≤ydδ=1)+(1-p-δ)Pr(y(0)≤ydδ=0)=y(){～y≤y}(p+δ)fY(1)dδ(～y1)d～y+y(){～y≤y}(1-p-δ)fY(d)dδ(～y0)d～y，(7)，其中我们使用了支持度假设，使得给定dδ=d的y(d)的支持度仍然是y(d)，目标是在δ=0附近线性化(p+δ)fY(1)dδ(～y1)和(1-p-δ)fY(dδ(～y0)。为此，我们做了一些技术假设。假设2。正则性条件(a)d=0,1,随机变量(Y(d)，UD，W)是绝对连续的，联合密度由fY(d)，udwfw给出。(b)(i)对于d=0,1,u7→fY(d)UD,W(yu，W)对于所有Y∈Y(d)和所有W∈W是连续的。(ii)Ford=0,1,supy∈Y(d)supw∈wsupδ∈nεfY(d)UD,W(ypδ(W),W)<∞。(c)(i)p=e[p(W)]∈(0,1）。(ii)对于所有w∈w，映射δ7→Pδ(w)在Nε上连续可微。(iii)SUPW∈WSUPδ∈NεPδ(w)δ<∞。假设3。d=0,1,y(d)supδ∈nεfY(d)dδ(yd)dy<∞和y(d)supδ∈nεfY(d)dδ(yd)dy<∞的控制条件。在假设2中，“对于所有w∈w”可以替换为“对于几乎所有w∈w”，而上界元w∈w可以替换为w∈w上的本质上界。引理1。假设1和假设2成立。对于All～Y∈Y(1),映射δ7→(p+δ)fY(1)dδ(～y1)在Nε上连续可微,对于All～Y∈Y(0),映射δ7→(1-p-δ)fY(0)dδ(～y0)在Nε上连续可微。Le mma1的结果可以通过在δ=0附近展开来近似fYδ(Y)。引理2。假设1-3成立。thenfyδ(y)=FY(y)+δehnfy(1)UD,W(yP(W),W)-FY(0)UD,W(yP(W),W)Oπp(W)i+RF(δ；y）,其中RF(δ；y)→0一致上y∈y:=y(0)y(1)为δ→0,且p(W):=pδ(W)δδ=0。注1。Lemma2提供了FYδ的线性近似，即在Dδ下结果变量的CDF。本质上，它说在新的政策制度下结果低于y的个体比例，即FYδ(y)，将等于在现有的政策制度下结果低于y的个体比例，即FY(y)，加上边际收益的调整。以δ>0和Pδ(w)>P(w)为例。在这种情况下，由于政策干预，处于边际的个人，即UD=P(w)的个人，将把他们的待遇状态从0切换到1。这样一个开关对FYδ(y)的贡献是在某一子种群的W分布上的平均值t FY(1)UD,W(P(W),W)-FY(0)UD,W(P(W),W）。我们稍后会指出，在现行政策制度下，亚人口正是处于边缘的那一群人。对于fyδ的线性近似在Y上是一致的，当δ→0时。我们需要一致近似，因为我们考虑一般的Hadamard可微ρ.在ρ不依赖于整个分布的特殊情况下，在整个支座Y上近似的均匀性可能是必要的。在分位数情况下，由于我们考虑了（0,1）中的所有分位数，所以我们保持了均匀性，引理2保证了如果我们假定g(y)=EhnFY(1)UD,W(yP(W),W)-FY(0)UD,W(yP(W),W)oπp(W)i,(8)，那么对于（6）中的gδ我们有limδ→0kgδ-gk∞=0。因此，在Hadamard可微性o fρ下，我们o bt ainπρ=ρFY(G)=yρ(y,ρ，FY)dG(y)，(9)，其中，ρ(y,ρ，FY)是ρs在FY的对应函数。我们将其定义为φ(y,ρ，FY):=limπ→0+ρ(1-th)FY+y-ρ(FY)，其中，y是赋予单点{y}质量为1的概率测度t h。把（8）插入到（9）中就得到了下面的定理。定理1。假设1-3成立。进一步假定ρ:F*→R是Hadamard可微的。然后πρ=yψ（y,ρ，FY)EhnfY(1)UD,W(yP(W),W)-FY(0)UD,W(yP(W),W)oàp(W)yy。ρ(u，w):=E[ρ(Y(),ρ，FY)-ρ(Y(),ρ，FY)Ud=u,w=w]的无条件边际处理效应。

（10）基于上述认识，我们可以把πρ=wmteρ(P(w),w)^P(w)fW(w)d.一般uncon条件政策效应πρ，可以表示为mteρ(u,w）在边际子种群上的加权平均值：对于w=w的个体，只有Ud=P(w)的个体才会产生无条件效应。在W=W所定义的群体中，有一个个体亚群在参与和不参与之间是无关紧要的：whomud=P(W)的个体，即whomv satisofvw(vw)=P(W)的个体。一个小的激励只会引起这一亚群个体治疗状态的改变。这是由于它们的处理状态的变化，从而引起了所观察到的结果中Y(1)和Y(0)组合的变化，t h at改变了它的无条件特征，如数量。2.2p(w)定理1的作用表明dep的无条件效应也结束于p(w)。在假设2(c)下，对于任意δ∈Nε，w pδ(w)δfW(w)dw=δwpδ(w)fW(w)dw=δ(p+δ)=1,因此wπp(w)fW(w)dw=1。因此，πρ中的积分可以看作是p(w)所赋予的权重的平均值，需要注意的是，p(w)依赖于政策函数G(·,δ)的形式，它决定了我们如何改变倾向得分以及谁是边际进入者。对于t h的直觉，考虑whereδ>0和Pδ(w)≥P(w)的情形，则我们有P(w)=limδ→0Pr(Ud≤Pδ(w))-Pr(Ud≤P(w))δ=limδ→0Pr(P(w)<ud≤Pδ(w)w=w)δ。因此，P(w)度量了w=w的个体对参与率（即δ)整体提高的相对贡献。对于每一个W值，只有边缘个体（“边缘个体”）才会改变他们的治疗状态，并有助于参与率的整体提高。边缘的相对“厚度”依赖于w，并用p（w）来度量d。我们可以用图1来表达p（w）后面的直觉。该图说明了在现有和新的政策制度下的边缘个人。在现有的政策制度下，这些个人位于（P（w）,uD）平面的45度线上。F或易参考，我们定义了边缘曲线，它是o F点的集合{(P(w),uD):uD=P(w)}。在新的政策体制下，边际曲线为{(P(w),uD):uD=Pδ(w)}。我们不能把ud=Pδ(w)改写为ud=P(w)+[Pδ(w)-P(w)]。将原边际曲线上的每个点向上移动Pδ(w)-P(w)即可得到新的边际曲线。上移的幅度约为πp(w)δ，一般情况下，w的n t值不同，上移的幅度也不同。用W的边际密度fW(·)加权的两条边缘曲线之差（即灰度区面积）的积分为e q ua toδ。为了理解定理1中出现的权重fW(W)πp(W),设为一个小正数。然后，fW(w)_n度量了w在[wàl/2,w+l/2]中的个体的倾向，注意，对于w∈[wàl/2,w+l/2],在D和Dδ下的倾向得分近似于p(w)和pδ(w)。对W∈[W∑/2,W+1/2]和从0 t O1转换治疗状态的个体的比例为n等于fW(W)·[Pδ(W)-P(W)]·.。将t h乘以δ,即转换治疗状态的个体的总体推进力，我们得到fW(W)·[Pδ(W)-P(W)]/δ·.因此，在政策干预范围内，从0到1的治疗状态切换者的w密度函数为fW(w)·[Pδ(w)-P(w)]/δ。注意，两条边缘曲线在极限范围内重合为δ→0,在极限范围内，我们可以将边缘个体定义为UD=P(w)的个体。

在我们的讨论中，“边际indi vi二元论”可以指具有ud=P(W)的个体群或具有ud=Pδ(W)的个体群。我们指的是哪一组，从本文中可以清楚地看到。P(W)UDD=Dδ=1D=Dδ=0Dδ=1D=0Dδ=0Dδ=0Dδ=1下的边缘个体D=1下的边缘个体D=1下的{ud≤Pδ(W)}图1：不同政策下的边缘个人。数学上，我们havePr(W∈[w-π/2,w+π/2]d=0,Dδ=1)^=pr(W∈[Wàl/2,W+l/2],D=0,Dδ=1)^·pr(D=0,Dδ=1)=pr(W∈[Wàl/2,W+l/2],ud∈[P(W),Pδ(W)])^·δ。取下限为π→0,我们得到lim^→0 pr(W∈[Wàl/2,W+l/2]D=0,Dδ=1)^=fW(W)Pδ(W)-P(W)δ.因此fW(W)[Pδ(W))-P(W)]/δ是那些积极赞成政策干预的人中W的密度，即那些人的W密度。D=0,Dδ=1。在图形上，fW(w)[Pδ(w)-P(w)]/δ是w的条件密度，条件是(P(w)，UD)在图1中的灰度区。设δ→0，我们得到limδ→0 fW(w)Pδ(w)-P(w)δ=fW(w)πP(w)，即fW(w)πP(w)是w在D=0,Dδ=1中的密度的极限。因此，我们可以把fW(w)\\p(w)称为w在由所有边缘个体组成的边缘子p种群上分布的密度。鉴于以上对fW(w)\\p(w)的解释，定理1表明，对于边缘个体，无条件效应等于in函数的变化，我们用W分布在这些边缘个体上的密度来衡量。注意到fW(W)是W分布在整个种群上的密度，我们可以把p(W)看作子种群分布相对于种群分布的Radon-Nikodym（以下简称RN）导数。即使对所有的w∈w来说，πP(w)不是正的，RN解释仍然有效。在th的情况下，关于Lebesgue测度的de n sity fW(w)^p(w)是一个有符号测度。2.3 p(w)和mprte定理1虽然覆盖了一般泛函，但它不覆盖平均泛函ρ(FY)=yydfy(y)，除非y是一个有界集。如果n Y是无界的，则平均泛函在(F*,K·K∞)上不连续，因此不是Hadamard可微的（例如，参见第20章Invan de r Vaart(2000)中的练习7）。在这种情况下，我们选择了一种直接的方法，证明了从Lemma2中得到的结论:δ→0δyydrf(δ；y)=0,（11）和利用平均泛函的线性得到πρ=yyehnfy(1)UD,W(yP(W),W)-fY(0)UD,W(yP(W),W)O^p(W)ydy。如果假设3的下面更强的版本成立，则（11）中的结果成立：假设4。d=0,1,y(d)supδ∈nεy·fY(d)dδ(yd)dy<∞,y(d)supδ∈nεy·fY(d)dδ(yd)δdy<∞的强控制条件。推论1。假设1、2和4成立。然后，对于平均泛函，我们有πρ=e e[y(1)-y()ud=P(W),W]πP(W)。(12)Heckman和Vytlacil(2001b，2005)反对与政策相关的治疗效果为Asprteδ=E(Yδ)-E(Y)E(Dδ)-E(D)=E(Yδ)-E(Y)δ。（13）取极限δ→0得到Carneiro,Heckman和Vytlacil(2010)的m边缘政策相关治疗效应(MPRTE):MPRTE=Limδ→0 PRTEδ。Carneiro、Heckman和Vytlacil(2010，2011)表明MPRTE的t h可以根据边际治疗效果曲线来表示。实际上，如果为了简单起见，wedrop X并假设Z与UD条件下的U无关，那么通常的MTEcurve是MTE(U):=e[y(1)-y(0)UD=U]。T h enMPRTE=-mte(u)fpδ(u)δδ=0du,（14）其中fpδ是随机变量pδ:=pδ(Z)的CDF。在附录中，我们证明方程（12）和（14）是等价的。文（12）中的表达式具有显式地刻画p(w)w h ich的优点，可以解释为w分布在边缘个体上的密度，这表明我们的结果包括了已有的关于MPRTE的结果作为特例。与平均泛函是线性的不同，分位数泛函不是线性的。

在后一种情况下，对于更一般的非线性泛函，我们不能像在线性情况下那样使用迭代期望律来将一个条件效应作为相应条件效应的期望。由于这一根本区别，我们的结果不是文献中已有结果的直接扩展。2.4理解无条件MTE为了进一步理解无条件MTE，我们在这里提供了另一个例子。本小节仅用于启发式；如果ρfi是ρf在FY处的连续导数，我们可以预期limδ→0ρ(FYδ)-ρ(FY)δ=ρFY limδ→0FYδ-FYδ/δ。to表示(FYδ-FY)/δ的一种方法是用E[1{Yδ≤Y}]和E[1{Y≤Y}]分别代替（13）中的E(Yδ)和E(Y)。因此，对于给定n，y，y，FYδ(y)-FY(y)δ=e[1{yδ≤y}-e[1{y≤y}]δ。（15）根据Heckman和Vytlacil(2001b，2005)的精神，我们可以将(FYδ(y)-FY(y))/δ视为与疾病相关的治疗效果：它是政策对y小于y的个体百分比的影响。该效应与特定值y相关，如果y在y上变化，我们得到了一个以y∈y为索引的政策相关效应连续体。极限δ→0FYδ(y)-FY(y)δ可以被看作是以y∈y为索引的边际政策相关治疗效应连续体。根据Carneiro和Lee(2009)的结果，对于每个y∈y，边际政策相关治疗效应可以表示为政策相关“分布”MT e：mted(u,w）；y)=E[{y(1)≤y}-1{y(0)≤y}UD=u,W=W]=FY()UD,W(yu,W)-FY()UD,W(yu,W）.合成ρf=MTEd，定义为y'A(y,ρ，FY)MTEd(u,W；dy）,则为(ρf=mted)(u,w)=y'A(y,ρ，FY)hFY()UD,w(dyu,w)-FY()UD,w(dyu,w)i=y'A(y,ρ，FY)-FY()UD,w(yu,w)-FY()UD,w(yu,w)idy=e[ρ(y),ρ，FY)-ρ(y),ρ，FY)UD=u，w=w]。这表明ρf^mtedis正好是（10）中的无条件MTE。3内生性条件下的无条件分位数回归本文的其余部分主要讨论分位数泛函:ρτ[FY]=f-1y(τ)，并应用我们的结果对ofFirpo,Fortin和Lemieux(2009)的无条件分位数回归进行了详细的研究。3.1二元回归UQR首先，我们回顾了Firpo、Fortin和Le mieux(2009)提出的UQR方法，并说明了Identi策略是如何分解内源性的。设Yτ是Y的τ-分位数，设Yτ，δ是Yδ的τ-分位数。即Pr(Y≤Yτ)=Pr(Yδ≤Yτ,δ)=τ。我们研究了yτ,δ作为δ→0的行为。无条件分位点效应当此极限存在时，无条件分位点效应(UQE)定义为πτ:=limδ→0yτ，δ-yτδ。通过认识，我们有Epr(yδ≤y)=Pr(dδ=1)Pr(yδ≤yDδ=1)+Pr(dδ=0)Pr(yδ≤yDδ=0)。当W不存在时，Firpo,Fortin and Lemieux(2007)中的推论3在d=0和1的情况下得到了以下假设:Pr(yδ≤yDδ=d)=Pr(y≤yD=d)。（16）我们称之为分布不变性，它很容易证明反事实分布:Pr(yδ≤y)=Pr(dδ=1)Pr(y≤yD=1)+Pr(dδ=0)Pr(y≤yD=0)。在一些温和的条件下，Firpo，Fortin和Lemieux(2007)得到了πτ=fy(yτ)[Pr(y>yτd=1)-Pr(y>yτd=0)]。（17）在（16）中给出的分布不变性假设是得到上述结果的关键。它要求在两个政策制度中，影响待遇状况的o utcome变量的条件分布保持不变。如果治疗在两种政策制度下都是随机分配的（例如，dδ=1{UD≤pδ(W)}且(UD，W)与(U，U))无关，那么(U，U)显然与dδ无关。

在这种情况下，Pr(Yδ≤yDδ=d)和Pr(Y≤yD=d)均等于Pr(Y(d)≤Y)，并给出了分布不变性假设。然而，当我们允许dδ与U相关时，分布不变性在gen Eral中并不存在。例如，当d=1时，Pr(Yδ≤yDδ=1)=Pr(Y()≤yDδ=1)=Pr(r(X,U)≤yud≤Pδ(W))和Pr(Y≤yD=1)=Pr(r(X,U)≤yud≤P(W))。3.2 UQR估计的渐近偏差为了得到当分布不变性不成立时UQR估计的渐近偏差的表达式，我们使用了与方程（1）-（3）相同的势结果和交叉模型。下面的推论直接从定理1中得出，将ρ选为分泛函ρτ[FY]=f-1y(τ),其中函数ρ(y,ρτ，FY)=1{τ-1{y≤ρτ[FY]}}/FY(yτ)。推论2。假设1-3成立。进一步假定fY(yτ)>0。则πτ=limδ→0Yτ,δ-Yτδ=fy(Yτ)we[{Y(0)≤Yτ}ud=P(w),w=w]πP(w)fW(w)dw-fy(Yτ)we[{Y(1)≤Yτ}ud=P(w),w=w]πP(w)fW(w)dw。（18）下一个推论将无条件分位数效应分解为忽略p(w)调整的表观分量和偏置分量。推论3。让推论2中的假设成立。则πτ=Aτ-Bτ,其中Aτ=fy(Yτ)we[{Y≤Yτ}D=0,W=W]fw(W)dw-fy(Yτ)we[{Y≤Yτ}D=1,W=W]fw(W)dw,（19）用“a”表示表观分量，用“b”表示偏置分量，并用bτ=b1τ+b2τ,FORB1τ=fy(yτ)W(fyd),W(yτ1,w)-FYD,w(Yτ0,w)πp(w)fW(w)dw-fy(yτ)w(fyd，w(yτ1,w)-FYD,w(Yτ0,w)fW(w)dwandb2τ=FY(Yτ)whfy()D,w(Yτ0,w)-FY()udd,w(Yτ0,w)-FY()udd,w(YτP(w),w)IπP(w)fW(w)dw-fy(Y)whfy()dd,w(Yτ1,w)-FY(w)udd,w(YτP(w),w)IπP(w)fW(w)dw.为了便于理解推论3,我们可以在一个表中求出函数(AIF)的平均值：AIF for Y（）-AIF for Y（）φτ(Y())UD=P(w)]dew[φτ(Y())D=1]-ew[φτ(Y())D=0]其中，φτ(·)是分位数泛函的in函数φ(·,ρτ,FY）的缩写。在上面，EW[·]表示给定W=W的条件平均算子。例如，EW[ρτ(Y())D=0]代表E[ρτ(Y())D=0，W=W]。设Φ，UD(w):=EW[ρτ(Y())-ρτ(Y())UD=P(w)],Φ，D(w):=Ew[ρτ(Y())D=1]-Ew[ρτ(Y())D=0]。平均表观效应Aτ是关于整个总体分布上w的分布的差分σi、D(w)的平均值。它也达到了UQR估计量ofFirpo,Fortin和Lemieux(2009)的极限，其中忽略了处理选择的内生性。注意，如果我们的模型不包含协变量w,则τ=fy(Yτ)e[{Y≤Yτ}D=0]-fy(Yτ)e[{Y≤Yτ}D=1]=fy(Yτ)[pr(Y>YτD=1)-pr(Y>YτD=0)]。（20）这与（17）中给出的无条件分位数效应是相同的。为了理解为什么会这样，我们注意到，在其最简单的形式中，UQR涉及s遗憾地在Diand Wiby OLS上唱“in furence函数”fy(yτ)-1(1-1{yi≤yτ}）并使用Dias上的估计系数作为无条件分位数效应的估计量。这里fY(yτ)是fY(yτ)的相合估计，yτ是yτ的相合估计。如果（19）中的条件期望是线性的，UQR估计在概率上收敛于aτ，那么πτ与aτ之间的差异引起了UQR估计的渐近偏差bτ:bτ=aτ-πτ=ehψ,D(W)i-ehψ,UD(W)πp(W)i=enψ,D(W)1'Ap(W)o{z}b1τ+enhψ,D(W)-ψ,UD(W)iàp(W)o{z}b2τ。（21）很容易看出，上面给出的B1τ和B2τ与推论3中给出的相同。方程（21）中的分解将渐近偏差追溯到两个源。b1τ描述了两个不同亚种群的平均表观效应的异质性。

对于每一个w，θ，D(w)是对于w=w的个体，D对[τ-1{Y≤Yτ}]/fY(Yτ)的平均影响。这些效应在两种不同的W分布上得到了平均：t h e边缘亚种群的W分布（即：p(W)fW(W))和who le种群的W分布（即：fW(W))。B1τ等于两个平均效应之差。如果效应σi，D(w)不依赖于w，则b1τ=0。若p(w)=1，则w在整个总体上的分布与在子总体上的分布相同，因此b1τ=0。对于B1τ6=0,需要存在效应异质性（即，σi，D(w)依赖于w）和分布异质性（即，πp(w)6=1,使得w在边缘亚种群上的分布与在整个种群上的分布不同）。为了突出B1τ为非零的必要条件，我们将r到B1τ作为边缘异质性偏项，第二偏项组合n t,B2τ体现了偏项的第二个来源，并有不同的解释。σi、D(·)和σi、UD(·)的每一个都是与反事实结果Y（）和Y（）相关的平均函数之差。然而，σi、D(·)是与实际选择D=1和D=0的t wo亚群体的差值，而σi、UD(·)是与边缘亚群体的差值。所以，σi、D(·)-ρi、UD(·)是差中的差，B2τ简单地说就是这个差中的差相对于W在边际次平方上分布的平均数。这个术语的出现是因为当D=1和D=0时，Y分布的变化不同于那些UDis刚刚高于P(w)和那些UDis刚刚低于P(w)的情况。我们可以把b2τ标为一个边缘选择项，如果对几乎所有的w∈w都是σi，D(w)=σi，UD(w),则b2τ=0。在差分分析中，该条件是相同的，即EW[ρτ(Y())-ρτ(Y())UD=P(w)]=EW[ρτ(Y())D=1]-EW[ρτ(Y())UD=1]=EW[ρτ(Y())UD=P(w)]-EW[ρτ(Y))D=0]，该条件类似于平行路径假设或常偏置假设。如果UDis与(U，U)无关，则此条件成立，且b2τ=0。一般而言，如果n不与(U，U)无关，且W e n是选择方程，则b1τ6=0和b2τ6=0，因此πτ6=aτ。Ifπp(w)不是给定的，则B1τ是给定的。在gener al中，B2τ在没有附加假设的情况下是不存在的。因此，在没有附加假设的情况下，渐近偏差是不能消除的，πτ是不存在的。在存在内生性的情况下，Ofirpo,Fortin and Lemieux(2009)的UQR估计量是渐近偏差也就不足为奇了。推论3的优点在于它给出了渐近偏差的一个封闭形式的刻划和清晰的表示。据我们所知，这个偏差公式在文献中是新的。如果不能实现点识别，则可以在定界分析或灵敏度分析中使用该比差公式。从广义的角度看，渐近偏差bτ是线性回归框架中OLSESTIMATION的内生偏差的无条件对应物。注3。考虑一个完全独立的设置:V→U→U→W（即这些变量的每个子集独立于其余部分）。在这种情况下，B2τ=0,通过方程（18）,UQE是πτ=fy(Yτ)we[{Y(0)≤Yτ}W=W=W]πp(W)fW(W)dw-fy(Yτ)we[{Y(1)≤Yτ}W=W]fW(W)dw=fy(Yτ)we[{Y(1)≤Yτ}W=W=W]fW(W)dw.在（19）之后，表观效应是aτ=fy(Yτ)we[{Y(1)≤Yτ}W=W=W=fW(W)dw.因此，除非p(W)=1或W=W]fW(W)dw.一般情况下，我们仍有一个由b1τ差分e[{Y(0)≤Yτ}W=W]-e[{Y(1)≤Yτ}W=W]不依赖于W。一般来说，如果W中的某个协变量（即X）非平凡地进入结果方程和选择方程，则两个条件都失败。

在这种情况下，Ofirpo,Fortin and Lemieux(2009)收敛于aτ的无条件分位数回归估计量即使不存在内生性，也是渐近有偏的，在存在内生性的情况下，估计渐近偏差甚至签名都是不容易的。一般而言，在协变量W下需要(U，UD)的联合分布。这不是不典型的。对于非线性估计，如无条件分位数估计，其渐近性质往往以一种非平凡的方式依赖于整个数据生成过程。这与线性回归模型中的OLS等线性估计形成了鲜明的对比，其特性只依赖于很少的数据，偏差分解筛不是唯一的。Corollary3只给出了一种可能性。我们也可以写出bτ=enψ,UD(W)[1]-πp(W)o{z}～b1τ+ehψ,D(W)-ψ,UD(W)i{z}～b2τ。对b1τ和b2τ的解释与b1τ和b2τ的解释是相似的，但有明显的变化。在这种情况下，将～B1τ称为m边缘异质性偏差就更有启发性了，因为非零～B1τ的必要条件是边缘子种群之间存在效应异质性。图2显示了t h e渐近偏差的非均匀性，计算方式为Bτ:=aτ-πτ。它是从一个模型中推导出来的（详情见附录B节），而内生性是由一个单一的相关参数ρ控制的。ρ=0的情况与非外源性治疗的情况相关，并说明了边缘异质性偏差0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9量化-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.60.250.50.750.9图2：工具干预下UQR估计量对ρ.4无条件分位数效应不同值的渐近偏差在前一节中，我们已经证明了Ofirpo,Fortin和Lemieux(2009)的UQR估计量在内生性或边缘异质性下是渐近偏差的，并且UQE是本质上唯一的。在本节中，为了达到UQE的点识别，我们对Z施加了额外的假设。我们提出了解决内生性问题的方法，因为分位数泛函可以很容易地转化为处理一般泛函。为了节省篇幅，我们不打算进行这种直截了当的概括。4.1工具干预我们对Z施加了以下附加假设，这些假设取自Mheckman和Vyt lacil(1999，2001a，2005)假设5。相关性和外源性(a)μ(Z,X）是一个以X为条件的非退化随机变量。(b)(U,U,V）与Z无关，以X为条件。假设5(a)是一个相关性假设：对于X的任一给定变量l，变量Z可以引起D的变异。假设5(b)被称为外源性假设。两个假设本质上是有效工具变量的条件，因此，我们将把Z称为工具变量，把干预称为instr umental干预。假设5(b)允许我们写UD=FVZ，X(VZ，X)=FVX(VX)。假设5(b)则意味着(U，U，UD)是Z的独立于X的条件。如果对进入结构函数r(·，U)和r(·，U)的协变量X的条件不足以确保(U，U，UD)与Z的独立性，我们可以增加条件集，以包括额外的控制变量，例如xc。xcd中的控制变量不输入r，r，o r。但是，我们可以认为XCenters r,因此，只要滥用一些符号，我们就可以写出(0)=r(XS，XC，U)，Y(1)=r(XS，XC，U)，D=1{V≤μ(Z，XS，XC)}，其中XSis是非日常意义上的结构变量，而xcs是日常意义上的控制变量（即，r，randμ是XC给定其他变量的常数函数）。设X=(XS，XC)和W=(Z，XS，XC)，则上述模型与（1）和（2）中的模型具有相同的形式。

通过这种概念上的改变，我们的结果对于有加法控制的情况仍然有效。利用屈反泛函的In privence函数，我们对t h eτ-分位数定义了一个uncon条件边际处理效应，这将是无条件分位数效应的基本构造块。τ-分位数的无条件边缘处理效应被定义为mteτ(u,x):=eτ-1{Y(1)≤Yτ}fY(Yτ)-τ-1{Y(0)≤Yτ}fY(Yτ)UD=u,x=x=x)e[{Y(0)≤Yτ}UD=u,x=x]，Mteτ不同于Carneiroand Lee(2009)和Yu(2014)的边缘处理效应的分位数模拟，被定义为f-1y(1)UD,x(τu,x)-f-1y(0)UD,x(τu,x)。无条件q-uantile效应不能表示为后者的积分形式，文献5中给出的MTEτ是文献（10）中一般无条件MTE的一个特例，其中φ(y,ρ，FY)=[τ-1{y≤yτ}]/FY(yτ)。这里，由于假设5(b)，对Z的条件是不必要的，因此被取消了。defire@(Yτ):=({Y(0)≤Yτ}-1{Y(1)≤Yτ}）/fY(Yτ)，其下是上述mteτ(u,x）的条件。T h e rand om变量Δ(Yτ)可以取三个值：如果Y(0)≤Yτ且Y(1)>Yτ，Y(0)>Yτ且Y(1)>Yτ或Y(0)≤Yτ且Y(1)≤Yτ，Y(1)≤Yτ-fY(Yτ)-1，如果Y(0)>Yτ且Y(1)≤Yτ,当处理诱导个体从下面“穿越”Y的τ-分位数Yτ时，Δ(Yτ)=1/fY(Yτ)；当th T诱导个体“穿越”时，Δ(Yτ)=-1/fY(Yτ)。当th T诱导个体“穿越”时，Δ(Yτ)=-1/fY(Yτ)。从上面看Y的τ-分位数Yτ。在第一种情况下，个人受益于治疗，而在第二种情况下，治疗伤害了她。当处理没有引起任何类型的分位点交叉时，出现中间情况，Δ(yτ)=0。因此，无条件的expected valuefY(yτ)×e[(yτ)]等于从治疗中恢复的个体比例与受到治疗伤害的个体比例之间的差值。对于UQE来说，这种治疗是有益的还是有害的，是根据分位数交叉来衡量的。在具有特征Ud=u和X=X的个体中，MTEτ(u,X）等于从治疗中受益的个体比例与受治疗伤害的个体比例之间的重新标号（1/fY(yτ))差。因此，如果更多的个体在Yτ以上增加其结果，则MTEτ(u,x）为正；如果更多的个体在Yτ以下减少其结果，则MTEτ(u,x）为负。为了使我们的设置更接近于Firpo,Fortin and Lemieux(2009)研究中的连续协变量移位的情况，我们考虑了区间(W，δ)=(Z+g(W)s(δ),Z,···,ZdZ)(22)，其中g(·)是一个可测函数，s(δ)是满足s()=0的光滑函数。也就是说，我们干预改变z的firegrst分量。注意，虽然s(δ)对所有个体都是相同的，但g(W)依赖于W的值，因此它是个体特定的。在经验应用中，Z可能由几个变量组成，而ZI是我们认为要改变的变量。无条件的政策效应取决于我们为了提高治疗采纳率而选择干预的不同程度。引理3。假定(i)(V，X)是绝对连续的随机变量，联合密度为fV，X(V，X)由fVX(vx)fX(X)给定；(ii)对于几乎所有x∈x，fVX(vx)在v中是连续的；(iii)对于几乎所有w∈w,μ(z,x）在z中连续可微；(iv)设μ\'z(z,x）是μ(z,x）关于z的偏导数，我们得到了δ∈nεfvx(μ(G(W,δ),x)x)μ\'z(G(W,δ),x)G(W)<∞；通过设置G(·)1得到了一个简单的齐次干涉，在这种情况下，我们在z中有一个加法移位。用G(W)=z给出了一个异次干涉的例子，在这种情况下，我们得到了一个乘法移位，序为r1+s(δ)。

这两种情况都由Carneiro,Heckman和Vytlacil(2010)研究，(v)对于每个δε，EhfVX(μ(G(W,δ),X)X)μ\'z(G(W,δ),X)G(W)i6=0；(vi)s(δ)是零附近的微分函数，s()=0,则s(δ)δδ=0=EhfVW(μ(W)W)μ\'z(W)G(W)i,pδ(z,X)δδ=0=fvw(μ(W)W)μ\'z(W)G(W)i,pδ(z,X)δδ=0=fvw(μ(W)W)μ\'z(W)G(W)）G(W)一。推论4。设假设1-3和5以及引理3的假设成立。假定further fy(yτ)>0。然后，(22)中Z位移的无条件分位数效应是πτ=wmteτ(P(w),x)πP(w)fW(w)dw,其中πP(w)=Pδ(w)δδ=0=fvx(μ(w)x)μ\'Z(w)g(w)EhfVX(μ(w)x)μ\'Z(w)g(w)I.4.2为考察πτ的可识别性，我们分别研究了无条件mteτ和权函数或RN导数Pδ(w)δδ=0的可识别性。下面的命题表明，对于某些w∈w，对于每个u=P(w),atmteτ(u,x）是等价的。命题1。假设2(a)、2(b)和5(b)成立。然后，对于每一个u=P(w),w∈w,我们得到τ(u,x)=-fy(Yτ)e[{Y≤Yτ}P(w)=u,x=x]u。命题1可以用Carneiro和L ee(2009)中的定理1得到证明。在本文中，我们给出了一个与移动倾向记分的思想直接相关的独立的证明。对于一个更广义的泛函ρ，我们可以证明对于某些W∈W，对于每个u等于P(W)，我们可以证明mteρ(u,x)=e[ρ(Y,ρ，FY)P(W)=u,x=x]u，现在我们转到推论4中给出的RN der ivativeπP(W)的证明。在假设5(b)下，倾向分数为p(w)=Pr(V≤μ(w)w=w)=FVZ,X(μ(z，X)z,X)=FVX(μ(z，X)X).因此，p(w)z=FVX(μ(z，X)X)μ\'z(z，X)=FVX(μ(w)X)μ\'z(w).现在可以清楚地用p(w)zand g(w)来表示p(w)。我们在下面的命题中对此进行形式化。命题2。假设5和引理3中的假设成立。则p(w)=pδ(w)δδ=0=p(w)zg(w)eh p(w)zg(w)i。（23）由于g(w)是已知的，而P(w)是已知的，所以P(w)也是已知的。与MTEτ的情况一样，假设5(b)在识别p(w)中起着关键作用。如果不假定th在V与Z无关，则我们只能得到πP(w)=fvw(μ(w)w)μ\'Z(w)g(w)EhfVW(μ(w)w)μ\'Z(w)g(w)i，且P(w)Z=fVZ,X(μ(w)w)μ\'Z(w)+fVZ,X(μ(w)～Z,X)～Z=Z=Z=Z(23)。利用propos1和2,我们可以得到πτ=-fy(Yτ)w e[{Y≤Yτ}P(w)=P(w),X=X]P(w)P(w)zg(w)eh P(w)zg(w)ifW(w)dw。（24）以上所有的对象都是点IDENTI，因此πτ是点IDENTIY。5无条件工具分位数估计本节主要讨论在（22）的instr umental干预下UQE的估计和推断。我们假定倾向性得分函数是参数的，我们把具有非参数的prope n sity得分的情况留给t h e附录的第D节。为了简化表示法，我们将g(·)1设为余文。设m(Yτ,P(w),x):=e[{Y≤Yτ}P(w)=P(w),x=x],利用（24）,我们得到g(·)的存在相当于一个测度的变化：从密度为fW(w)的测度到密度为g(w)fW(w)的测度。当g(·)不等于一个常函数时，我们只需将包含W的分布的总体期望算子E[H(W)]转化为E[H(W)g(W)]，将经验平均算子PN[H(W)]转化为PN[H(W)g(W)]。πτ=-fy(yτ)e P(W)z-1e m(yτ,P(W),X)z。πτ由两个平均导数和一个在一点上求值的de n组成，其中一些wh ich依赖于无条件τ-分位数yτ。总之，πτ取决于四个未知量。无条件工具分位点估计的方法是将这四个量分别估计，然后将这些估计插入到πτ中，得到估计量πτ。πτ的公式见(32)，我们在接下来的几小节中考虑估计这四个量。

F或给定样本{oi=(Yi,Zi,Xi,Di）}ni=1,我们将用Pn表示经验测度。5.1估计给定τ的分位数和密度，我们用经验分布函数y:yτ=inf{y:Fn(y)≥τ},wh ereFn(y):=nn∑i=1{yi≤y}的（广义）逆估计yτ。下面的渐近结果可以是foun d Inser Bing(1980)的结果。引理4。如果Y的密度fY(·)在Yτ处为正且连续，则Yτ-Yτ=pnψq(Yτ)+op(n-1/2),其中φq(Yτ):=τ-1{Y≤Yτ}fY(Yτ)。我们用核密度估计量来估计fY(Y)。我们对核函数和带宽保持以下假设。假设6。核假设核函数K(·)满足(i)∞-∞K(u)du=1,(ii)∞-∞UK(u)du<∞,(ii)K(u)=K(-u),且K(u)=K(-u)两次可微，且Lipschitz连续二阶导数K\'\'(u)满足(i)∞-∞K\'\'(u)udu<∞,(ii)K\'\'(u)≤cu-uforu-u≥c。速率假设n↑∞和h↓0使得nh↑∞但nh=O(1).非S tandard条件nh↑∞是由于yτ的估计。因为我们需要展开fy(yτ)-fy(yτ)，这涉及fy(y)的导数，所以我们必须对h施加一个较慢的衰变速率来控制余数。这些细节可以在Lemma5的证明中找到。然而，我们注意到nh↑∞包含t h e u sual速率条件nh↑∞。然后由fY(y)=nn∑i=1kh(yi-y)给出fY(y)的估计量，见2.5.1节。实际上，Ser Beting(1980)提供了一个更好的剩余率，其中Kh(u):=K(u/h)/h。引理5。假设6和假设7成立。然后fY(y)-fY(y)=PnψfY(y)+BfY(y)+op(h),其中φfY(y):=Kh(Y-Y)-E[Kh(Y-Y)]=op(N-1/2H-1/2)和BfY(y)=HF′2y(y)∞-∞uk(u)du。此外，对于yτ的分位点估计量yτ，我们有fY(yτ)-fY(yτ)=fY(yτ)-fY(yτ)+RfY=F′y(yτ)PNψQ(yτ)+RfY，其中fY=op(N-1/2H-1/2)为了分离f和yτ，我们可以用Lemma5写出fY(yτ)-fY(yτ)=fY(yτ)-fY(yτ)+fY(yτ)-fY(yτ)+RfY。(25)(25)右边的一对项表示主导项，并确定Fy估计中的不确定性。第二对项重述了估计yτ的误差。为了保证rfy=op(n-1/2h-1/2)，我们需要nh↑∞,如假设7.5.2估计平均导数为了估计两个平均导数，我们对倾向得分做了一个参数假设，将非参数说明留在附录中。假设8。在假定8下，P参数ττ可以写成πτ=-fy(yτ)·T·T，(26),其中=e P(Z,X,α)Z和T=e m(yτ,P（Z,X,α),X)Z。首先，我们估计T,T的导数的平均值，按t1n(α):=nn∑i=1P(Z,X,α)Z(Z,X)=(Zi,Xi)，其中α是α的估计量。为了节省篇幅，我们略微滥用记号法，写成p(Z,X,α)Z=p(Z,X,α)Z(Z,X)=(Z,X）。假定(a)α允许表示α-α=Pnψα+op(N-1/2),其中，φα(Wi)是一个均值零的dα×1随机向量，且ekφα(Wi)k<∞,且k·k表示Eu clidean范数；(b)p(Z,X,α)Z:=p(Z,X,α)Z(Z,X)=(Z,X)=(Z,X)的方差是有限的；(c)dα×1导数向量p(Z,X,α)αZ对于所有Z和X以及对于α在α周围的开邻域中存在；(d)对于α∈A,在α附近的一个邻域，映射α7→eh p(Z,X,α)αZi连续，u niform大数定律成立:supα∈a pn p(Zi,Xi,α)αz-eh p(Z,X,α)αzip→0。则T1n(α)-存在以下随机近似T1n(α)-t=e p(Z,X,α)Zα′pn'Aα+pn'Ap+op(n-1/2),其中，θp:=p(Z,X,α)z-e p(Z,X,α)z-e p(Z,X,α)z-e p(Z,X,α)z-e p(Z,X,α)z-e p(Z,X,α)Z 6 asT1n(α)-t=T1n(α)-t+T1n(α)-T1n(α)=T1n(α)-t+e p(Z,X,α)z-e p(Z,X,α)Z+op(n-1/2)。

（27）方程（27）具有与方程（25）相同的解释。它由一对不考虑α中的估计不确定但考虑样本均值的变异性的前导术语和另一对考虑α中的t h e不确定性但考虑样本均值的变异性的前导术语组成。我们估计了二阶平均导数TbyT2n(yτ,m,α):=nn∑i=1m(yτ,P(Zi,Xi,α),Xi)z；（28）关于exp合法构造，请参见（29）。我们可以把T2n(yτ,m,α)看作一个四步估计量。第一步估计yτ，第二步估计α，第三步e用ge n个回归子P(Z，X，α)来表示条件期望m(y，P(Z，X，α)，X)，第四步h平均X上的导数(Z，X，α)产生的回归子P(Z，X，α)，我们用级数方法估计m。为了简化表示法，定义向量~w(α):=(P(z，x，α)，x)\'和~wi(α):=(P(Zi，Xi，α)，Xi)\'。我们写～w=～w(α)和～wi=～wi(α)来抑制它们对真参数值α的依赖。～w(α)和～wi(α)都在rdx+1中。设φJ(～w(α))=(φ1J(～w(α)),...,φjj(～w(α)))\'是具有n个第二动量的J个基函数的向量。这里，每个φjj(·)是一个可微基函数。则m(yτ，～w(α))的估计量为m(yτ，～w(α))=φj(～w(α))\'b(α，yτ),其中b(α，yτ)为:b(α，yτ)=n∑i=1φj(～wi(α)))φj(～wi(α))\'！-1n∑i=1φj(～wi(α))1{yi≤yτ}。平均导数的估计量为2n(yτ，m，α)=nn∑i=1φj(～wi(α))=1φj(～wi(α))=1φj(～wi(α))=2n∑i=1φj(～wi(α))z\'b(α,Yτ)。（29）我们使用Newey(1994)的路径导数方法对T2n(yτ,m,α)-t进行分解，这与Hahn和Ridder(2013)在2.1节中的方法相似。为了描述这一思想，设{fθ}是一个以θ∈R为索引的分布的路径，使得fθ是O:=(Y,Z,X,D）的真分布，该路径不需要附加关于倾向得分的参数假设，参数子模l的得分为S(O)=log dfθ(O)θθ=θ。对于任一θ,我们得到Net2，θ=eθmθ(yτ,θ,～w(αθ))z,其中，mθ，yτ，θ和αθ分别是m,yτ和α的概率极限，当O的d值为fθ时。注：当θ=θ时，我们有T2,θ=t。假定全参数子模型{fθ}的分数集{S(O)}可以逼近任意一个零均值，方差函数，如果e函数θ→T2,θ在θ处可微，并且我们可以为某个零均值和二阶矩函数γ(·)和任意路径写出T2,θθθ=θ=e['A(O)S(O)](30)，那么，根据Newey(1994)的定理2.1,T2n(Yτ,m,α)的渐近方差是e['A(O)]。在下一引理中，我们将证明θ→T2的渐近方差是e['A(O)]。2，θ在θ处可微。假设，就目前而言，情况是这样的。然后，通过链式规则，我们可以写出t2,θθθ=θ=θeθm(yτ,～w(α))zθ=θ+θe m(yτ,θ,～w(α))zθ=θ+θe m(yτ,θ,～w(α))zθ=θ+θe m(yτ,～w(α))zθ=θ。正如我们后面所示，估计倾向得分的误差并不影响2n(yτ,m,α)的渐近方差。这是该方法的“通用性”要求。为了使用Newey(1994)的定理2.1，我们需要把所有这些项写成外积形式，即（30）的右端形式o f t h e。对于所要求的函数γ(·)，我们通过处理kn所拥有的剩余项，一次跟随Newey(1994)和e x amine的一个分量。下一个引理给出了在渐近分析中可以忽略估计倾向得分的条件。使用以下符号:Z-1=(Z,..,ZdZ)，W-1=(W,..,WdW)=(Z-1,X)表示DW=DX+dZ，W-1是W-1的支持。引理7。

假定(a)(Z)，X）是绝对连续的，密度为fZX(z，x）和(i)fZX(z，x）关于zin Z×x连续可微，(ii)对于每个w-1∈w-1，对于Z(w-1)边界上的任一zon,Zconditional在W-1=W-1上的支持为fzw-1(Zw-1)=0。(b)m(yτ，～W)对于所有阶都是关于Z连续可微的，对于θ的邻域θ,以下成立:(i)E“supθ∈θαθm(yτ,～W(αθ))Z#<∞,(ii)E supθ∈θαθE log fW(W)Z～W(αθ)<∞,(iii)E supθ∈θαθm(yτ,～W(αθ))E(W)Z～W(αθ)<∞,(iii)E supθ∈θαθm(yτ,～W(αθ))E log fW(W)Z～W(αθ)<∞。则θE m(yτ,～W(αθ))Zθ=θ=0。下一个引理建立了T2n(yτ,m,α)-t的随机逼近，并给出了相应的函数。引理的假设离子是从Mnewey(1994)改编而来的。eassumptions不一定是最弱的。引理8。设(a)(i)W的支座W为[w1l,w1u]×··×[wdWl,wdWu]；(ii)对于w=(w,...,wdW)，当C>0,κ>0时，fW(w)下界为C×πdwj=1(Wj-Wjl)κ(Wju-Wj)κ;(iii)wsupθ∈θθfw(w；θ)dw<∞；(iv)E{[Zlog fW（W；θ)]}<∞对于θ∈θ；(b)存在一个常数C，使得对于所有的π∈n存在一个常数C:0m(yτ,～w)/z^≤C^；(C)级数项的个数，J,对于一些>0的动物，J(n)=O(n)，，和J7+2κ=O(n)；(d)对于每个w-1∈w-1，地图(y，z)7→m(y，～W)是可微的，ANDE“SUPY∈y m(y,～W)y Z#<∞；(e)以下随机等度连续条件成立:e Z^m(yτ,～W)-m(yτ,～W)-m(yτ,～W)-m(yτ,～W)+op(N-1/2),e Z^m(yτ,～W)-m(yτ,～W)=PN Z[m(yτ,～W)-m(yτ,～W)]+op(N-1/2)；(f)Lemma7的假设成立。那么，我们有分解T2n(Yτ,m,α)-t=T2n(Yτ,m,α)-t+T2n(Yτ,m,α)-T2n(Yτ,m,α)+T2n(Yτ,m,α)-T2n(Yτ,m,α)+op(n-1/2)(31)=pnψm+pnψm+pn～q(Yτ)+op(n-1/2),其中，θm:=m(Yτ,～W)z-t,θm:=-θ{Y≤Yτ}-m(Yτ,～W×e log fW(W)z～W,和～θq(Yτ):=e“fY～W(Yτ～W)z#τ-1{Y≤Yτ}fY(Yτ).引理8刻画了每个阶段对T2n(Yτ,m,α)函数的贡献，由pnφm给出的估计m的贡献与Newey(1994)(p。5.3用前人给出的yτ,fy,m,α估计UQE，我们用πτ(yτ,fy,m,α)=-fy(yτ)T2n(yτ,m,α)T1n(α)估计UQE。（32）这是我们的无条件工具分位数估计量(UNIQUE)。利用三个分量fy(yτ)、T1n(α)和T2n(yτ,m,α)的渐近线性表示，我们可以得到πτ(yτ,fy,m,α)的渐近线性表示。下一个定理是由列式5、6、7和8组合而成的。定理2。在引理5、6、7和8的假设下，我们得到了πτ-πτ=TFY(Yτ)THPNρfY(Yτ)+BfY(Yτ)I+TFY(Yτ)TF′Y(Yτ)PNρq(Yτ)+TFY(Yτ)TPNρ+TFY(Yτ)TPNρm-FY(Yτ)TPNρm-FY(Yτ)TPN~q(Yτ)+Rπ，其中π=op fY(Yτ)-fY(Yτ)+op N-1+op N-1/2fY(Yτ)+TFY(Yτ)TPN=op fY(Yτ)+op N-1/此外，在假设7下，方程（33）由六个函数和一个偏置项组成。偏项BfY(yτ)是由密度估计引起的，是o f阶o(h)。这六个显着性函数对Feach估计的影响有影响。πτ的收敛速度通过pnψfy(yτ)而减慢，为Op(n-1/2h-1/2)级。我们可以在一个方程中总结出定理的结果:πτ-πτ=Pnρπτ+～bfy(yτ)+op(n-1/2h-1/2),其中，ρπτ收集（33）中除偏置外的所有函数，且～bfy(yτ):=tfy(yτ)TBfY(yτ)。如果nh→0，则偏置项为o(n-1/2h-1/2)。下面的推论给出了πτ的渐近分布。推论5。在定理M2的假设下，假定nh→0,τnhπτ-πτ=√npn√hρπτ+op(1)yenN(0,vτ)，其中vτ=limh↓0 ehhρπτi。（34）从渐近ic理论y的角度出发，下列所有项均为Op(h)=Op()级，因此在大样本中可以忽略:√nhpnψq(yτ)，√nhpnψp，√nhpnψα，√nhpnψm和√nhpnψm。

渐近方差由vτ=tfy(yτ)tlimh↓0 ehhψf(yτ,h)i=tfy(yτ)t∞-∞k(u)du给出。然而，除fy(yτ)外，vτ忽略了所有的时间不确定性，我们不期望它能很好地影响εnh(πτ-πτ)的样本变化。为了改进样本估计方法，我们保留了es时间误差各源中的主导项，并用EHφττ的一个样本分量估计Vτ。详细情况见附录C节。5.4我们可以用推论5对πτ进行假设检验。由于πτ以非参数速率收敛于πτ，一般而言，该检验只对非参数速率的局部偏离具有幂，然而，如果我们想检验零效应的零值，即h:πτ=0对h:πτ6=0，我们可以检测偏离零值的参数速率。re ason是，(26),πτ=0,仅当t=0时，t=0可以用通常的参数率估计。因此，我们可以不检验h:πτ=0 vs.h:πτ6=0，而检验h:t=0 vs.h:t6=0。我们的tes t是基于t的估计量T2n(yτ,m,α)。鉴于T2n(yτ,m,α)的给定函数，我们可以用v=nn∑i=1ψm,i+ψm,i+e“fy～w(α)(yτ～w(α))z#ψq,i(yτ)来估计T2n(yτ,m,α)的渐近方差。然后我们可以形成检验统计量:to2n:=√nt2n(yτ,m,α)！τ,m,α)p v。（35）通过Lemma8并使用标准参数，我们可以将其显示为2N^aN(0,1）。为了节省空间，在这里给出细节。6模拟证据对于我们的模拟，我们考虑以下模式L：Y(0)=U，Y(1)=β+U，且D={V≤Z},其中Z∈R。推论4,假设fUV=fUV，我们有πτ=fy(yτ)z″yτyτ-βfuv(uz)du#～fz(z)dz,（36）式中~fZ(z)=fv(z)fZ(z)zfv(éz)fZ(éz)déz。为了用数值方法计算πτ，我们假定z是标准正态，并与（U,U,V）无关，后者与me是一个联合正态，方差-协方差矩阵∑=1ρ01ρρρ1。详细情况可在附录B节中找到。这里，ρ是U和V之间的相关性，U和V之间的相关性。它也是控制d内生性的参数。对πτ的估计需要估计yτ、fY、T和T。分位数通常是估计的。我们使用一个高斯核，其带宽h=1.06×σy×n-1/5,wh ereσy是y的样本标准差，这是Silverman规则。为了估计T，我们使用aprobit模型。为了估计T，我们进行了一个三次级数回归。6.1我们设β=0为零假设，(36)设πτ=0，因此零效应的零假设成立。检验统计符合方程（35）。由于检验统计量不涉及es对密度（以及T）进行定时，因此检验从零开始又具有1/√n-de partures（即，对于某些c6=0，β=c/√n)的非平凡幂。为了模拟n ominal 5%检验的幂函数，我们在-1和1之间设置了25个β值的范围。由参数ρ控制的内生性取适当值:0、0.25、0.5、0.75和0.9。我们每个rm有1000个观测的1000个模拟。对于不同的τ值，其幂函数如下F igure3所示。除了极端分位数τ=0.1外，该测试具有所需的水平，在高endog环境下，拒绝概率增加不够快。省略了中位数的幂函数τ=0.5，它与τ=0.4基本没有区别。此外，本文未报道的模拟结果表明，幂函数fo rτ=0.6，0.7，0.8，0.9分别与τ=0.4，0.3，0.2，0.1非常相似。6.2经验复盖本节我们利用文献(A.34)中给出的evariance估计量vτ建立了经验复盖区间。由于πnhπτ-πτ≈N(0,vτ)，所以可以用πτ±1.96×pvτ√nh构造出一个95%的区间，我们使用取值为-1、-0.5、-0.25、0、0.25、0.5和1的β网格。

对于内生性参数ρ，我们取0,0.25,0.5,0.75和0.9。最后，τ取0.1到0.9之间的值，增量为0.1。对于β6=0的值，当效应不为0时，我们用数值计算πτ的值。我们用1000个观测值进行了1000次模拟，结果在τ=0.1和τ=0.5的情况下是低的。很明显，在几乎所有的情况下，CondenceIntervals都具有一定的覆盖精度。7实证应用我们估计了高校扩招对（对数）工资的无条件分位数影响。结果变量Y为对数工资，二元处理为高校招生状况。Thusp=Pr(D=1)是曾经上过大学的人的比例。可以说，学费(Z)的费用为了改变入学人数的比例，我们考虑了一定数额的学费补贴政策。UQE是当补贴很少时，这种政策对无条件分配工资的不同分位数的影响。这一政策将学费Z转移到某些s(δ)的z1δ=Z+s(δ)，这对所有人都是一样的，并导致大学入学人数从p增加到p+δ。注意，我们不需要t o spe cify s(δ)，因为我们将限制版本视为δ→0。在实践中，我们可以将s(δ)设置为总学费的一个小百分比，如1%。我们使用的数据与inCarneiro,He ck man and Vytlacil(2010)和Carneiro,Heckmanand Vytlacil(2011)相同：1979年全国青年教育调查(NLSY1979)中的白人男性样本。网络附录toCarneiro,Heckman and Vytlacil(2011)包含了对变量的详细描述。结果变量Y是1991年的对数工资。如t h e个体在1991年以前入学，治疗指标等于1，否则等于0。ot和er的协变量为AFQT评分，母亲的教育，兄弟姐妹的数量，1979-2000年的平均日志收入，ave r年龄u n就业人员t 1979-2000年居住国年龄β\\ρ0 0.25 0.5 0.75 0.9-1 0.978 0.982 0.974 0.973 0.948-0.5 0.955 0.958 0.969 0.977 0.977 0.947-0.25 0.962 0.961 0.969 0.957 0.9690 0.952 0.961 0.949 0.949 0.949 0.9640.25 0.958 0.962 0.962 0.962 0.962 0.962 0.962 0.962 0.962 0.962 0.962 0.962 0.962 0.962 0.962 0.962 0.969 0.969 0.969 0.969 0.969 0.969 0.969 0.969 0.969 0.969 0.969 0.969 0.969 0.969 0.969 0.969τ=0.1.β\\ρ0 0.25 0.5 0.75 0.9-1 0.94 0.911 0.916 0.91 0.692-0.5 0.939 0.942 0.944 0.944 0.921-0.25 0.955 0.941 0.943 0.946 0.959 0.945 0.945 0.950 0.949 0.942 0.942 0.942 0.959 0.945 0.9530.25 0.949 0.942 0.942 0.942 0.967 0.9540.5 0.949 0.942 0.942 0.942 0.942 0.957 0.957 0.957 0.957 0.957 0.967 0.952 0.940.5 0.946 0.942 0.942 0.942 0.942 0.957 0.957 0.957 0.957 0.957 0.957 0.957 0.957 0.957 1991年本地平均收入和1991年本地失业率。我们将这些变量收集到一个向量中，并用x表示它。我们假设以下四个变量（用Z，Z，Z，Z)进入选择方程，但不进入结果方程：17岁时当地公立四年制大学的学费，14岁时四年制大学的毕业率，17岁时当地收入，17岁时当地失业。总样本量为1747人，其中882人到1991年从未在acollege注册(D=0),865人到1991年在大学注册(D=1)。我们计算了当地公立四年制大学在17岁时学费边际变动的UQE。为了模拟p ropensity得分，我们使用了参数逻辑分析。

为了估计条件期望函数m，我们使用一个级数回归，同时使用估计的propensityscore和协变量X作为回归子。由于涉及的变量较多，λ=10-4的非泛化被强加于系数的L-范数上，不包括岭回归中的常项。我们计算了分位数lτ=0.1,0.15,的UQE。...,0.9。在τ，我们还构造了95%（逐点）约束间隔。图4给出了结果。在分位数中，UQE的范围在0.22到0.47之间，withan平均值为0.37。当我们对无条件均值效应进行研究时，我们得到了一个0.21的估计，这与分位数的情况是一致的。我们用以下方式解释这些估计：在分位数范围内，在0.22×δ和0.47×δ之间，大学入学人数的δ（小）增加由对数工资的加法变化引起的影响。例如，对于δ=0.01，我们得到工资分配的分位数在0.22%和0.47%之间的增长。-0.2 0.00.2 0.4 0.6 0.8分位数UQE0.1 0.25 0.5 0.75 0.9图4：实线：UQE；虚线：95%的间隔。8结论：本文采用内生二元处理方法研究无条件政策效应。将选择方程作为一个阈值交叉模型，我们可以引入一类新的条件边际处理效应，并将无条件效应表示为这些无条件边际处理效应的加权平均值。当用于改变参与率的策略变量是一个条件外生条件时，使用所提出的唯一方法可以恢复无条件的策略效应。为了说明无条件MTEs的有效性，我们重点讨论了无条件的量化效应。我们发现，忽略内生性的无条件分位数回归估计量可能存在严重的偏差。在分位数上，偏差可能不是均匀的。任何试图将偏见作为优先级的尝试都需要对数据生成过程进行非常严格的假设。更有趣的是，如果治疗状态是外源性的，无条件分位数回归估计量可能不一致。当治疗选择部分由某些协变量决定时，这种情况就会发生。我们发现无条件分位数效应和边际政策相关治疗效应可以被视为同一个po licy效应家族的一部分。可以把后者看作前者的一个稳健的离子。这两个m都是基因r al uncon条件策略效应的例子。据我们所知，这种联系在两种文献中都没有建立。1987年。自我选择中的工资收益与福利收益的估计〉，《经济学与统计学评论》，69(1):42-49.卡内罗，佩德罗，李索柏。2009年。“利用局部工具变量估计总体结果的分布，并应用于大学入学人数和Wage不等式的变化”，《计量经济学杂志》，149(2):191-208.卡内罗，佩德罗，詹姆斯·J·赫克曼和爱德华·维特拉西尔。2010年。评估边际政策变化和边际个体治疗的平均效果〉，《经济计量学》，78(1):377-394.卡内罗，佩德罗，詹姆斯·J·赫克曼，爱德华·维特拉西尔。2011年。估计教育的边际收益〉，《美国经济评论》，101(6):2754-2781。2007年。无条件分位数回归〉，NBER技术工作文件339。Firpo,Sergio,Nicole M.Fortin,Thomas Lemieux。2009年。无条件分位数回归〉，《经济计量学》，77(3):953-973。2013年。带有生成回归子的半参数估计的渐近方差〉，《经济学计量学》，81(1):315-340.Heckman,James J.和Edward Vytlacil。1999年。

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其t h如下:fy(1)dδ(～y1)=p+δw“pδ(w)-∞fy(1)，UDW(～y，uw)d u#fw(w)dw=p+δw”pδ(w)-∞fy(1)UD，w(～yu，w)du#fw(w)dw。(a.1)So,(p+δ)fY(1)dδ(～y1)=w“pδ(w)-∞fY(1)UD,w(～yu,w)du#fw(w)dw。(A.2)在假设2(b)和2(c)下，我们可以对(A.2)的两边进行积分符号下关于δ的微分，得到H(p+δ)fY(1)dδ(～y1)iδ=wfy(1)UD,W(～ypδ(W),W)pδ(W)δfw(W)dw。(A.3)根据假设2(b.i)和2(c.II)，fY(1)UD，W(～ypδ(W)，w)pδ(w)/δ对于每一个~Y∈Y()和w∈w在δ中是连续的。鉴于假设2(b.II)和2(c.III)，我们可以调用支配收敛理论m来证明映射δ7→[(p+δ)fY(1)dδ(～y1)]δ对于每个～Y∈Y()是连续的。对于(1-p-δ)fY(0)dδ(～y0)的情况，我们有fY(0)dδ(～y0)δ=δfY(0)dδ(～y0)～y。使用选择方程，我们可以写FY(0)dδ(～y0)asFY(0)dδ(～y0)=Pr(Y(0)≤～ydδ=0)=Pr(Y(0)≤～yd>pδ(W))=Pr[ud>pδ(W)]Pr(Y(0)≤～Y,ud>pδ(W))=1-p-δ[pr(Y(0)≤～Y)-pr(Y(0)≤～Y，ud≤pδ(W))]=1-p-δfy(0)(～Y)-wfy(0)，UDW(～Y，pδ(W)W)fW(W)dw=1-p-δ“fy(0)(～Y)-W～y-∞fy(0)，UDW(Y，uw)fW(W)dw=1-p-δ”fy(0)(～Y)-y-∞fy(0)，UDW(Y，uw)fW(W)dydw#=1-p-δ“fy(0)(～Y)-y-∞W fW(W)dudwdy#，其中积分的阶可以切换d，因为被积函数是非负的。在此之前，(1-p-δ)fY(0)dδ(～y0)=fY(0)(～y)-w pδ(w)-∞fY(0)，UDW(～y，uw)fW(w)dudw。(A.4)以2(b)和2(c)为例，我们有h(1-p-δ)fY(0)dδ(～y0)iδ=-wfy(0)，UDW(～y，pδ(w))w)pδ(w)δfw(w)dw=-wfy(0)UD，w(～ypδ(w)，w)pδ(w)δfw(w)dw。(a.5)δ7→[(1-p-δ)fY(0)dδ(～y0)]δ的连续性与δ7→[(p+δ)fY(1)dδ(～y1)]δ的连续性相同。引理2的证明。对于nε中的任意δ,我们有fYδ(y)=y(1){～y≤y}(p+δ)fY(1)dδ(～y1)d～y+y(0){～y≤y}(1-p-δ)fY(0)dδ(～y0)d～y。我们在δ=0附近进行了δ7→(p+δ)fY(1)dδ和δ7→(1-p-δ)fY(0)dδ的有序展开，引理1是可能的。我们有(p+δ)fY(1)Dδ(～y1)=pfy(1)D(～y1)+δ·wfy(1)UD,W(～yp(W),W)^p(W)fW(W)dw+R(δ；～y，1),(a.6),其中(δ；～y，1):=δ·h(p+δ)fY(1)Dδ(～y1)iδδ=～δ-h(p+δ)fY(1)Dδ(～y1)iδδ=0(a.7)和0≤～δ≤δ。中间点～δ依赖于δ。对于o f d=0的情况，我们有一个类似的表达式:(1-p-δ)fY(0)dδ(～y0)(a.8)-δ·wfy(0)UD，W(～yp(W)，W)πp(W)fW(W)dw+R(δ；～y，0)，其中(δ；～δ≤δ。中间点～δ取决于δ。现在FYδ(y)=FY(y)+δy(1)W{～y≤y}FY(1)UD,W(～yp(W),W)^p(W)fW(W)dwd～y-δy(0)W{～y≤y}FY(0)UD,W(～yp(W),W)^p(W)fW(W)dwd～y+RF(δ；y)(a.10)其中剩余的RF(δ；y)isRF(δ；y):=y(1){～y≤y}R(δ；～y,1)d～y+y(0){～y≤y}R(δ；～y,1)d～y+y(0){～y≤y}）d～y。(a.11)下一步是证明(a.11)中的余项在y∈y=y(0)TMy(1)上一致为o(δ)，即:limδ→0supy∈y rf(δ；y)δ=0。利用(A.7)和(A.9)，我们得到了SUPY∈y RF(δ；y)δ≤y(1)H(p+δ)fY(1)Dδ(～Y1)Iδδ=～δ-H(p+δ)fY(1)Dδ(～Y1)Iδδ=0d～y假设3允许u s在积分符号下取极限δ→0。同样，通过引理1，[(p+δ)fY(1)dδ(～y1)]δ和[(1-p-δ)fY(0)dδ(～y0)]δ在δ中都是连续的。我们通过记号Limδ→0supy∈YrF(δ；y)δ=0得到了所需的Result。So,一致上y∈y为δ→0FYδ(y)=FY(y)+δy(1)W{～y≤y}FY(1)UD,W(～yp(W),W)πp(W)fW(W)dwd～y-δy(0)W{～y≤y}FY(0)UD,W(～yp(W),W)πp(W)fW(W)dwd～y+o(δ).定理1的证明。大部分的证明都在正文中，紧接在定理的陈述之前。我们只需证明atg(y)=EhnFY(1)UD,W(yP(W),W)-FY(0)UD,W(yP(W),W)oπp(W)ii是可微的。

为此，我们同意r的极限Limh→0h[G(y+h)-G(y)]=Limh→0e“(FY(1)UD,W(y+hp(W),W)-FY(1)UD，W(yP(W)，W)h)πP(W)#-limh→0e“（FY(0)UD,W(y+h P(W),W)-FY(0)UD,W(yP(W),W)h)^P(W)#.butsuph FY(d)UD,W(y+h P(W),W)-FY(d)UD,W(yP(W),W)h≤sup～y∈y(d)FY(d)UD,W(～yP(W),W).这和假设2(b.ii)和2(c.iii)允许我们使用支配conve rgen ce定理得到limh→0h[G(y+h)-G(y)]=EhnfY(1)UD,W(yP(W),W)-FY(0)UD,W(yP(W),W)OπP(W)i，因此G(y)是可微的，具有上面给出的导数。因此，y'A(y,ρ，FY)dG(y)=y'A(y,ρ，FY)×EhnfY(1)UD,W(yP(W),W)-FY(0)UD,W(yP(W),W)oàp(W)ydy。证明C推论1。我们可以看到yyehnfy(1)UD,W(yP(W),W)-fY(0)UD,W(yP(W),W)OπP(W)idy=e e[y(1)-y()UD=P(W),W]πP(W),因此可以证明limδ→0δ-1′yydrf(δ；y)=0。在假设4下，我们有δyydrf(δ；y)≤py(1)～y·fY(1)Dδ(～y1)δδ=～δ-fY(1)Dδ(～y1)δδ=0D～y+(1-p)y(0)～y·fY(0)Dδ(～y0)δδ=～δ-fY(0)Dδ(～y0)δδ=0D～y+y(1)～y·fY(1)D(～y1)-fY(1）Dδ(～y1)D～y+y(0)～y·fY(0)D(～y0)-fY(0)Dδ(～y0)D～y。正如在Lemma2的证明中，上述上界中的每个项都收敛到零为δ→0。因此，Limδ→0δyydrf(δ；y)=0，如愿。E quation的推导（14）。注意(yδ)=e(yδpδ=t)fpδ(t)dt。(A.12)现在，条件为E(yδpδ=t)。在Pδ相对于指标UD的值悬而未决的情况下，我们观察潜在的结果Y（）或Y（）。根据UD对pδ的依赖和迭代期望定律，我们得到(Yδpδ=t)=E(Yδpδ=t,ud=u)du=te(Y(1)ud=u)du+te(Y(0)ud=u)du={0≤u≤t}E(Y(1)ud=u)+1{t≤u≤1}E(Y(0)ud=u)du。(A.13)将(A.13)塞回(A.12)中，我们得到(Yδ)={0≤u≤t}E(Y(1)ud=u)+1{t≤u≤1}E(Y(0)ud=u)du fpδ(t)dt={u≤t≤1}E(Y(1)ud=u)+1{0≤t≤u}E(Y(0)ud=u)fpδ(t)dt=(1-fpδ(u))E(Y(1)ud=u)+fpδ(u)E(Y(0)ud=u)du。(A.14)利用(A.14)回到(13)，我们得到prte=δ(1-FPδ(u))E(Y(1)ud=u)+FPδ(u)E(Y(0)ud=u)du-δ(1-FP(u))E(Y(1)ud=u)-FP(u)E(Y(0)ud=u)du=δmte(u)(FP(u)-FPδ(u))du。(a.15)取(a.15)中的极限为δ→0产率smprte=limδ→0-δmte(u)(FPδ(u)-FP(u))du=-mte(u)FPδ(u)δδ=0du。从定理1出发，考虑了φ(y,ρ，FY)=τ-1{y≤yτ}FY(yτ)。C推论3的证明。对于d=0和1，我们有fy(Yτ)we[{Y(d)≤Yτ}ud=P(w),W=W]πp(W)fW(W)dw=fy(Yτ)we[{Y(d)≤Yτ}d=d,W=W]πP(W)fW(W)dw+fy(Yτ)we[{Y(d)≤Yτ}ud=P(W),W=W]àp(W)fW(W)dw-fy(Yτ)we[{Y(d)≤Yτ}d=d,W=W]πp(W)fW(W)dw=fy(Yτ)we[{Y(d)≤Yτ}d=d,W=W]fw(W)dw-fy(Yτ)we[{Y(d)≤Yτ}d=d,W=W]fw(W)[1]p(W)[1]dw[1]f(W)]dw[1]fy(y)d]wfy(d)d,w)-FY(d)UD，w(yτp(w)，w)Ióp(w)fW(w)dw:=aτ(d)-b1τ(d)-b2τ(d)，其中aτ(d)=fy(Yτ)we[{Y(d)≤Yτ}d=d,W=W]fw(W)dw,b1τ(d)=fy(Yτ)we[{Y(d)≤Yτ}d=d,W=W]fw(W)[1]p(W)dw,b2τ(d)=fy(yτ)whfy(d)d,W(yτd),w)-FY(d)UD，w(yτp(w)，w)Ióp(w)fW(w)dw.soπτ=aτ()-b1τ()-b2τ()-[aτ()-b1τ()-b2τ()]=aτ-b1τ-b2τ，其中aτ=aτ()-aτ()=fy(Y)we[{Y≤Yτ}D=0,W=W]fW(W)dw-fy(Yτ)we[{Y≤Yτ}D=1,W=W]fW(W)dw,b1τ=b1τ()-b1τ()=FY(Yτ)whfy()D,W(Yτ0，W)-FYD，W(Yτ1，W)I[1-πp(W)fW(W)dw=FY(Y)FYD，W(Yτ1，W)[1τ=b2τ()-b2τ()=FY(Yτ)whfy(D)D,W(Yτ1，W)=FY(Y)FYD，W(Yτ1，W)dw(Yτ0,W)-FY()UD,W(Yτp(W),W)iàp(W)fW(W)dw+FY(Yτ)whfy()UD,W(Yτp(W),W)-FY()D,W(Yτ1,W)iàp(W)fW(W)D.引理3的证明。对于给定的δ，s(δ)满足Pr(dδ=1)=p+δ。但是pr(dδ=1)=e[pδ(W)]=wfvw(μ(gπ(W,s(δ)),x)W)fW(W)dw,其中gπ(W,s)=(Z+g(W)s,Z,···,ZdZ)。请注意，G*(W，s)与G(W，δ)具有相同的形式，但它们的第二个自变量是不同的。Sop+δ=WFVW(μ(G*(w,s(δ)),x)w)fW(w)dW。(A.16)注意s(0)=0。我们将隐函数s(δ)的导数与ct对应为δ.definnet(δ，s)=p+δ-wfvw(μ(G*(w,s）,x)w)fW(w)dw。

（a.17）由Theore M9.28 inRudin(1976)证明了t(δ，s)在(0，0)的邻域内对(δ，s)连续可微。我们证明了(A.17)关于δ和s的偏导数是存在的并且是连续的（s ee定理9.21 inRudin(1976))，对于ct对δ的偏导数，我们有t(δ,s)/δ=1，它在(δ,s）中明显是连续的。对于关于s的偏导数，我们在引理中假定(iii)得到t(δ，s)s=-wfvw(μ(Gut(w，s),x)w)μ\'z(Gut(w，s),x)g(w)fW(w)d，该函数在δ中基本连续。鉴于fVW（vw）在v中几乎全部连续，支配收敛定理表明t(δ，s)/s在s中也是连续的。因此，我们可以应用隐函数定理在δ=0的邻域内求出S′(δ)。取(a.16)w ith对δ的导数，我们得到S(δ)δ=WFVW(μ(G(w)，δ)，x）w）μ\'z（G（w,δ)，x)g(w)fW(w)dw=ehfvw(μ(g(w),δ)，X）W）μ\'z（G（W,δ)，X)g(W)I.接下来，我们有pδ(z，x)=Pr(dδ=1z=z,X=X)=FVW(μ(G(w),δ)，x)w)。所以pδ(z,x)δ=fVW(μ(G(w,δ)，x)w)μ\'z(z+G(w)s(δ)，x)G(w)s(δ)δ=fVW(μ(G(w,δ)，x)w)μ\'z(G(w,δ)，x)G(w)i.那么s(δ)δδ=0=EhfVW(μ(w)w)μ\'z(w)G(w)G(w)i，pδ(z,x)δ=0=EhfVW(μ(w)w)μ\'z(w)G(w)iδ=0=fVW(μ(w)w)μ\'z(w)G(w)EhfVW(μ(w)w)μ\'z(w)G(w)i.证明C推论4。它是引理3到推论3的一个应用。命题1的证明。注意，对于任意Boun ded函数L(·)，我们有[L(Y)P(W)=P(W),X=X]=E[L(Y(1))D=1，P(W)=P(W)，X=X]×PR(D=1P(W)=P(W),X=X)+E[L(Y(0))D=0,P(W)=P(W)，X=X]×PR(D=0P(W)=P(W),X=X)。但是，利用D=1{ud≤P(W)},我们havePr(D=1P(W)=P(W),X=X)=Pr(Ud≤P(W)P(W)=P(W),X=X)=Pr(Ud≤P(w)P(w)=P(w),X=X)=P(w),因为UDis是w.So,E[L(Y)P(w)=P(w),X=X]=E[L(Y(1))D=1，P(W)=P(W)，X=X]p(w)+e[l(Y(0))D=0,P(W)=P(W)，X=X](1-P(w)).=e[l(Y(1)))ud≤P(w),P(W)=P(W)，X=X]P(w)+E[L(Y(0))UD>P(w),P(W)=P(W)，X=X](1-P(w))=E[L(Y(1)))Ud≤P(w),X=X]P(w)+E[L(Y(0))UD>P(w),X=X](1-P(w))，其中最后一行在后面，因为U=(U，给定X和UD，U)与Z无关。nowe[l(Y(1))UD≤P(w),X=X]=E{E[l(Y(1))UD,X=X]UD≤P(w),X=X}=E{E[l(Y(1))UD,X=X]UD≤P(w)}=P(w)E[l(Y(1))UD=U,X=X]dup(w),其中第一个等式使用迭代d期望律，第二个等式U与X无关，最后一个等式在[0,1]上使用UD。类似地，E[L(Y(0))UD>P(w),X=X]=P(w)E[L(Y(1))UD=u，X=X]du1-p(w)。所以我们有[L(Y)P(w)=P(w)，X=X]=P(w)E[L(Y(1))UD=u,X=X]du+P(w)e[L(Y(0))ud=u,X=X]du。通过取L(·)=1{·≤Yτ}，我们得到[{Y≤Yτ}P(w)=P(w),X=X]=P(w)e[{Y()≤Yτ}ud=u,X=X]du+P(w)e[{Y()≤Yτ}ud=u,X=X]du。在假设2(a)和2(b)下，我们可以调用微积分的基本定理得到e[{Y≤Yτ}P(w)=P(w),X=X]P(w)=e[{Y()≤Yτ}ud=u,X=X]du,X=X]-e[{Y()≤Yτ}ud=P(w),X=X]=mteτ(P(w),X）。(a.18)即对于任意u,mteτ(u,x)=e[{Y≤Yτ}P(W)=u,x=x]u，使得存在一个满足P(W)=u的W∈W。引理5的证明。我们有fY(y)-fY(y)=nhn∑i=1 k yi-yh-fy(y)=nn∑i=1 hk yi-yh-e fY(y)+e fY(y)-fY(y)=nn∑i=1 hk yi-yh-e fY(y)+BfY(y)+op(h)，其中BfY(y)=hf\'\'2y(y)∞-∞uk(u)du。我们简明地将其写成fY(y)-fY(y)=nn∑i=1ψfY,i(y，h)+BfY(y)+op(h)，其中，ψfY,i(y，h):=hk YH=op(n-1/2h-1/2)。这就完成了本文结果的证明。我们现在证明引理的第二个结果。由于K(u)是两次连续可微的，我们对yτ和yτ之间的某个yτ作了泰勒展开式o bt ain fy(yτ)-fy(yτ)=f′y(yτ)(yτ-yτ)+f′(～yτ)(yτ-yτ)(a.19)。T h和二阶导数是f′y(y)=-nhn∑i=1k′yi-yh,f′y(y)=nhn∑i=1k′yi-yh。为了了解f′y(y)的阶数，我们计算了它的均值和方差。

我们有h f\'\'y(y)i=nhn∑i=1k\'\'yi-yh=o h,varh f\'\'y(y)i≤n(nh)ek\'\'yi-yh=o nh。因此，当nh→∞时，f\'\'y(y)=op h-2,对于任意y。也就是说，对于任何一个θ>0，当n足够大时，存在一个M>0，使得pr h f\'\'y(yτ)>M<l。假设我们选择M如此大，当n足够大时，我们也有pr√n～yτ-yτ>M<l。然后，当n足够大时，Pr h f\'\'y(～yτ)>m≤pr h f\'\'y(～yτ)-f\'\'y(yτ)>m+pr h f\'\'y(～yτ)-f\'\'y(yτ)i>m+≤pr hh f\'\'y(～yτ)-f\'\'y(yτ)i>m,√n～yτ-yτ<m+.(A.20)我们将τn～yτ-yτ<M分为两种情况。当τn～yτ-yτ<√h时，我们得到了H f′y(～yτ)-f′y(yτ)≤nhn∑i=1k′yi-yτh-k′yi-yτh≤nh·n·lkhyτ-yτ≤lk·h≤hτhτn=lk·n=nh·n=nh·nh，其Lipschitz常数lk为k′(·)的Lipschitz连续性。当≤h≤√n～yτ-yτ<M时，我们有yi-yτh-yi-yτ～yτh=√n～yτ-yτh>√h→∞。使用k′(·)上的第二个条件，对于≤h≤≤n～yτ-yτ<M，k′yi-yτhτ-k′yi-yτh≤C(～yτ-yτ)h≤CMnh，以及hf′y(～yτ)-f′y(yτ)≤nhn∑i=1k′yi-yττh-k′yi-yτh≤CMnh因此，在这两种情况下，h f\'\'y(～yτ)-f\'\'y(yτ)=op n-1/2h-3/2。A s A结果，Pr HH f\'\'y(～yτ)-f\'\'y(yτ)i>m,√n～yτ-yτ<m→0。将th与(A.20)合并，我们得到H f′y(～yτ)=Op()和F′y(～yτ)(yτ-yτ)=OPn-1H-2。鉴于(A.19)，我们有fy(yτ)-fy(yτ)=f′y(yτ)(yτ-yτ)+Op(n-1h-2)。现在，使用乐mma4，我们可以写出fy(yτ)-fy(yτ)=f′y(yτ)(yτ-yτ)+hf′y(yτ)-f′y(yτ)i(yτ-yτ)+Op(nτ)=f′y(yτ)-f′y(yτ)i[yτ-yτ]+Op(n-1/2)+Op(n-1h-2)和th e Op(n-1/2)项是yτ-yτ线性渐近表示的误差。为了得到RfY的阶数，我们使用t h e得到如下结果:F′y(y)=F′y(y)+op√nh+h,yτ=yτ+op√nh+h op√n+op(N-1H-2)。因此，RFY=op(N-1/2)+OPN-1H-3/2+OPN-1/2h+op(N-1H-2)=op(N-1/2)+OPN-1H-3/2+op(N-1H-2)tion7,h↓0,所以op n-1/2 h=op(n-1/2)。我们需要证明√nHRFY=op(1)。我们一项一项地做。首先，因为h↓0，所以√NH×op(n-1/2)=op(H1/2)=op(1)。S econd,只要nh↑∞,则√nh×op n^a1 h^a3/2=op n↑1/2 h^a1=op（1）,这是假设7所保证的，因为它是由nh↑∞隐含的。最后，由于假定为7 nh↑∞,所以，√nh×Op(n-1h-2)=Op(n-1/2h-3/2)=Op(1).因此，√nHRFY=op(1).引理6的证明。我们有如下解译:nn∑i=1p(Zi,Xi,α)z-e p(Z,X,α)Z=nn∑i=1p(Zi,Xi,α)z-nn∑i=1p(Zi,Xi,α)z-e p(Z,X,α)Z=nn∑i=1p(Zi,Xi,α)Z=1ψp,i=Op(n-1/2),其中α)z-e p(Z,X,α)Z。对于这一项，我们通过应用平均值m坐标-wisenn∑i=1p(Zi,Xi,α)z-nn∑i=1p(Zi,Xi,α)Z=nn∑i=1p(Zi,Xi,~α)αZ！\'(α-α)，其中～α是在α和α之间具有（不是ne ce ssally相等）坐标的向量。引理的条件（c）和(d),我们得到n∑i=1p(Zi，Xi，～α)αzp→e p(Z，X，α)αZ。(a.21)利用(a.21)和条件(a)中α的线性表达式，我们得到nn∑i=1p(Zi,Xi,α)z-nn∑i=1p(Zi,Xi,α)Z=(e p(Z,X,α)αzz′+op(n))npn∑i=1p(Zi,Xi,α)np∑i=1p(Zi,Xi,α)Z=(e p(Z,X,α)αZ′+op(n-1/2)o=ep(Z,X,α)αZ′pnθα+op(n-1/2),我们可以写出1n(α)-t=nn∑i=1p(Zi,Xi,α)z-e p(Z,X,αZ′pnψα+pnψp+op(n-1/2)引理7的证明。回想一下m(Yτ,～w(αθ)):=m(Yτ,P(w,αθ),x)=e[{Y≤Yτ}P(w,αθ)=P(w,αθ),x=x]。为了强调αθ的双重作用，我们将m(Yτ,u,x；P(·,αθ))=e[{Y≤Yτ}P(w,αθ)=u,x=x]。由于Yτ是d,所以我们把~mas看作依赖于函数P(·,αθ)的（u,x）函数。

T h en～m(yτ,P（w,αθ),x；P(·,αθ))θ=θ=θ=e[{Y≤Yτ}P(W,αθ)=P(W,αθ),X=X]=m(Yτ,P(W,αθ),X)。与inHahn和Ridder(2013)一样，我们采用~m(Yτ,u,X；P(·,αθ))仅作为一个e x位置装置，本文研究了[m]=:h[m(yτ,P(·,αθ),·)]=w m(yτ,P(w,αθ),x)zfw(w)dw=w～m(yτ,P(w,αθ),x；在引理的条件（B.I）下，我们可以将αθ与ainαθh[m]θ=θ=wz～m(yτ,P(w,αθ),x交换；P(·,αθ))αθθ=θ=θfw(w)dw+wz～m(yτ,P(w,αθ),x；P(·,αθ))αθθ=θ=θfw(w)dw=wz~m\'0,α(yτ,P(w,αθ),x；P(·,αθ))fw(w)dw,其中～m\'0,α(yτ,P(w,αθ),x；P(·,αθ))=～m(yτ,P(w,αθ),x；P(·,αθ))αθθ=θ+～m(yτ,P(w,αθ),x；P(·,αθ))αθθ=θ。在引理的条件(a)下，我们可以用分项积分。..,zdZ）和[Z1L(w-1),z1u(w-1)]是Z的支座，给定w-1=w-1，我们有wz~~m\'0,α(yτ,P(w,αθ),x；P(·,αθ))fw(w)dw=xz1u(w-1)z1l(w-1)z~~m′0,α(yτ,P(w,αθ),x；P(·,αθ))fzw-1(zw-1)dzfw-1(w-1)dw-1=x～m\'0,α(yτ,P(w,αθ),x；P(·,αθ))fzw-1(Zw-1)z1u(w-1)z1l(w-1)fw-1(w-1)dw-1-w～m\'0，α(yτ，P(w，αθ)，x；P(·,αθ))log fzw-1(zw-1)zfw(w)dw=-w～m\'0,α(yτ,P(w,αθ),x；P(·,αθ))对数fW(w)zfw(w)dw.definneü(u,x）；P(·,αθ))=e log fW(W)z P(W,αθ)=u,X=X。根据迭代期望定律，我们有W～m(yτ,P(W,αθ),X；P(·,αθ))'A(P(w,αθ),x；P(·,αθ))fW(w)dw=e[{Y≤Yτ}(P(w,αθ),x；P(·,αθ))]。(a.22)这是因为~m(Yτ,P(w,αθ)，x；P(·,αθ))=e[{Y≤Yτ}iθ]其中iθ是由(P(W,αθ),X）和v(P(W,αθ),X构成的子σ代数gen；P(·,αθ))是(P(W,αθ),X）的泛函，因此是iθ-可测的。对αθ微分(a.22)并求出所得方程在θ=θ处，我们得到“~m(yτ,P(W,αθ),X；P(·,αθ))αθ=θ(P(W,αθ),X；P(·,αθ))#+e”~m(yτ,P(W,αθ),X；P(·,αθ))αθθ=θ(P(W,αθ),x；P(·,αθ))#=E([{Y≤Yτ}-m(Yτ,P(W,αθ),X)]'A(P(W,αθ),X；P(·,αθ))αθ=θ),(a.23)其中我们使用引理的条件(b.ii)和(b.iii)将微分与期望交换。利用(a.23)和迭代期望定律，我们得到wz~m′0,α(Yτ,P(W,αθ),X；P(·,αθ))fw(w)dw=-w～m\'0,α(yτ,P(w,αθ),x；P(·,αθ))log fW(w)zfw(w)dw=w～m′0,α(yτ,P(w,αθ),x；P(·,αθ))'A(P(w,αθ),x；P(·,αθ))fW(w)dw=E([{Y≤Yτ}-m(Yτ,P(w,αθ),X)]'A(P(w,αθ),X；P(·,αθ))αθ=θ)。请注意v(P(W,αθ),X；P(·,αθ))αθ=θ是P(W,αθ)，X和P(W,αθ)/αθ的可测函数。另外，E{{Y≤Yτ}P(W,αθ),P(W,αθ)/αθ,X}=E{{Y≤Yτ}P(W,αθ),X}=m(Yτ,P(W,αθ),X}=m(Yτ,P(W,αθ)/αθ,因为P(W,αθ)/αθ包含了关于Z和Z的信息，与UD,U,U）Givenx无关。引理8的证明：w Z~~m′0,α(yτ,P(w,αθ),X；P(·,αθ))fw(w)dw=0。因此，θe m(yτ,P(Z,X,αθ),X)Zθ=θ=0。首先，我们证明了（31）中的分解是有效的。我们首先证明，θ=eθmθ(yτ,θ,～w(αθ))z在θ处是可微的。为此，我们可以证明下面四个导数中的每一个都存在于θ=θ:θeθm(yτ,～w(α))z；θe mθ(yτ,θ,～w(α))z；θe m(yτ,θ,～w(α))z；θe m(yτ,～w(α))z。(A.24)由Lemma7,最后一个导数存在并且在θ=θ处等于零。我们在(a.24)中一次处理REST3个导数。考虑一下情况。在引理的条件(A.III)和条件(b)中，当引理的=0=0时，我们有w″m(yτ,～w(α))zsupθ∈θfW(w；θ)θdw#<∞。所以eθhm(yτ,～w(α))zi在θ和θeθm(yτ,～w(α))zθ=θ=em(yτ,～w(α))zs(O)中是可微的。因此，与导数相关的t h e贡献是t2n(yτ,m,α)-t的函数。现在，对于(a.24)中的二阶导数，Newey(1994)中的定理7.2表明引理的假设意味着th e如下：1。存在一个函数γm(o)和一个测度Fm，使得e[γm(o)]=0,e[γm(o)]<∞,并且对于所有的m使得k m-mk∞足够小，e m(yτ,P(Z,X,α),X)z-m(yτ,P(Z,X,α),X)Z=γm(o)d fm(o)。

下面的近似成立了γm(o)d fm(o)=nn∑i=1γm(o)+op(n-1/2)。可以证明γm(·)在引理（C.F.,Newey(1994)的命题5）中等于ψm(·)。对于一个参数子模型fθ,当θ足够接近θ时，我们有:θ-θe mθ(yτ,P(Z,X,α),X)z-m(yτ,P(Z,X,α),X)Z=θ-θγm(o)d[fθ(o)-fθ(o)]，其中我们使用了）dfθ(o)=0。在条件(A.IV)下，对于θ∈θ,γm(o)dfθ(o)<∞。然后，利用引理7.2inIbragimov和Hasminskii(1981)给出了(A.24)e×ist和s阿季斯函数θe mθ(yτ,P(Z,x,α),x)Zθ=θ=θγm(o)dfθ(o)θ=θ=e[γm(o)s(o)]中的二阶导数，表明γm(o)是eh m(yτ,P(Z,x,α),x)zi的函数。即E m(yτ),P（Z,X,α)，X)z-e m(yτ,P(Z,X,α),X)Z=nn∑i=1γm(Oi)+op(n-1/2),这与s tochastic等度连续性结合，意味着2n(yτ,m,α)-T2n(yτ,m,α)=nn∑i=1γm(Oi)+op(n-1/2)。现在，Cond的支配条件(d)保证了(a.24)中的三阶导数存在，即θe m(yτ,θ,～w(α))Zθ=θ=e m(yτ,～w(α))yτZ存在给定近似Yτ-Yτ=Pn'Aq(Yτ)+op(n-1/2),从Lemma4中，我们有Yτ，θθθ=θ=eh'Aq(yτ)s(O)I.因此，θe m(yτ,θ,～w(α))Zθ=θ=em(yτ,～w(α))yτZ eh'Aq(yτ)s(O)I.这给出了yτ估计的贡献。或者，本文给出了e m(yτ,～w(α))z-e m(yτ,～w(α))z-e m(yτ,～w(α))z-e m(yτ,～w(α))z=e m(yτ,～w(α))yτz(yτ-yτ)+op(n-1/2)的函数，我们得到了2n(yτ,m,α)-T2n(yτ,m,α)=e m(yτ,～w(α))yτz(yτ-yτ)+op(n-1/2)=e“fy～w(α)(yτ～w(α))z#pn∑q(yτ)+op(n-1/2)=pn～ρq(yτ)+op(n-1/2)。综上所述，我们拥有2n(yτ,m,α)-T=[T2n(yτ,m,α)-T]+[T2n(yτ,m,α)-T2n(yτ,m,α)-T2n(yτ,m,α)-T2n(yτ,m,）]+[T2n(yτ,m,α)-T2n(yτ,m,α)]+op(n-1/2)=Pn∑m+Pn∑m+Pn～ρq(yτ)+op(n-1/2)。考虑以下差分πτ，z-πτ，z=fY(yτ)T2n(yτ,m,α)T1n(yτ,m,α)fY(yτ)t-fy(yτ)T1n(α)T fY(yτ)T1n(α)fY(yτ)T1n(α)fY(yτ)T1n(α)fY(yτ)T1n(α)fY(yτ)T1n(α)fY(yτ)T[T2n(yτ,m,(yτ)T=fY(yτ)T fY(yτ)T1n(α)fY(yτ)T[T2n(yτ,m,α)-T]-T1n(α)T fY(yτ)T1n(α)fY(yτ)T1n(α)fY(yτ)i-tfy(yτ)fY(yτ)T1n(α)fY(yτ)T[T1n(α)-T]。(A.25)我们可以将(A.25)重新排列为πτ,Z-πτ,Z=T fY(Yτ)fY(Yτ)TH fY(Yτ)-fY(Yτ)I+T fY(Yτ)T1n(α)T[T1n(α)-T]-fY(Yτ)T1n(α)[T2N(Yτ,M,α)-T]。(A.26)通过适当地修改余项，我们可以将(A.26)表示为πτ,Z-πτ,Z=tfy(yτ)th fY(yτ)-fY(yτ)i+tfy(yτ)T[t1n(α)-T]-fY(yτ)T[t2n(yτ,m,α)-T]+R+R+R(a.27)。现在我们准备好分离est模拟的e ach阶段的贡献。我们将使用方程(25)，(27)和(31)。πτ，z-πτ，Z=TFY(Yτ)th fY(Yτ)-fY(Yτ)i+TFY(Yτ)T[fY(Yτ)-fY(Yτ)]+TFY(Yτ)T[T1n(α)-T]+TFY(Yτ)T[T2n(Yτ,m,α)-T2n(Yτ,m,α)-T2n(Yτ,m,α)-T2n(Yτ,m,α)]-fY(Yτ)T[T2n(Yτ,m,α)-T2n(Yτ,m,α)]-fY(Yτ)T[T2n(Yτ,m n(yτ,m,α)]+r+r+r+tfy(yτ)trfy+op(n-1/2)。(A.28)最后，我们建立了余数R，Rand Rin(A.27)的速率。我们分别处理馀数的每个分量。T h e余数ISR=T fY(yτ)fY(yτ)TH fY(yτ)-fY(yτ)I-TFY(yτ)TH fY(yτ)-fY(yτ)I=TFY(y)TH fY(yτ)-fY(yτ)I“fY(yτ)-fY(yτ)#=-TFY(y)T fY(yτ)-fY(yτ)I=OP fY(yτ)-fY(yτ)I=OP fY(yτ)-fY(yτ)。(A.29)第二余项ISR=T fY(Yτ)T1n(α)T[T1n(α)-T]-TFY(Yτ)T[T1n(α)-T]=TT[T1n(α)-T]“fY(yτ)-fY(yτ))fY(yτ)T1n(α)fY(yτ)T#=opt1n(α)-T[+opt1n(α)-T fY(yτ)-fY(yτ)=opn-1+opn-1/2fY(yτ)-fY(yτ)。

(A.30)第三个余数是R=fY(yτ)T[T2n(yτ,m,α)-T]-fY(yτ)T1n(α)[T2n(yτ,m,α)-TT1n(α)-T)+Op T2n(yτ,m,α)-T fY(yτ)-fY(yτ)=Op n-1+Op n-1/2fY(yτ)-fY(yτ)(a.31)，因为它具有与Rin(a.30)相同的分母。最后，我们计算了fy(yτ)-fy(yτ)的速率。为此，我们使用LEMMA5中的结果。Equ(25)告诉我们fY(Yτ)-fY(Yτ)=fY(Yτ)-fY(Yτ)+fY(Yτ)-fY(Yτ)+fY(Yτ)-fY(Yτ)+RfY=Op(N-1/2H-1/2)+Op(h)+Op(N-1/2H-1/2)+Op(RfY)=Op(N-1/2H-1/2)+Op(h)。(A.32)余项Rπ=R+R+R+TFY(Yτ)TrFY+op(N-1/2)+op(h)。因此，Rπ=op fY(Yτ)-fY(Yτ)+op N-1+op N-1/2 fY(Yτ)-fY(Yτ)+op RFY[+op(N-1/2)+op N-1H-1+N-1H-1/2+op N-1/2H-1/2+h=op N-1/2H-1/2，(A.33)，其中我们使用了在A sumption7.b渐近中保持的速率条件具有外生处理的UQR估计的TIC偏差考虑模(0)=q(X)+U,Y(1)=q(X)+β+U,D=1{V≤μ(Z,X）},其中(Z,X)∈Ris与(U,U,V）无关。为了简单起见，我们假定μ(Z,X)=Z+X，并考虑Zδ=Z+s(δ)。新的或反事实的政策制度下的选择方程为dδ=1{V≤Z+s(δ)+X}，其中s(δ)满足e[dδ]=p+δ。设W=(Z,X）和W=(Z,X）。我们遵循推论4到o bt ainπτ。由于V与bo th Z和X无关，在新条件下的倾向得分为pδ(W)=Pr(Dδ=1W)=FVW(Z+s(δ)+X)=FV(Z+s(δ)+X)。N ow,p(W)=pδ(W)δ=0=FV(Z+X)s(δ)δ=0。由于E[Dδ]=p+δ，我们有E[Dδ]δ=0=s(δ)δ=0E[FV(Z+X)]=1，这意味着s(δ)δδ=0=1/E[FV(Z+X)]=1。Z+X)]。因此，πp(W)=fV(Z+X)/e[fV(Z+X)]。其次，E[{Y(0)≤Yτ}V=μ(w),W=W]=e[{q(x)+u≤yτ}V=μ(W),W=W]=e[{q(x)+u≤Yτ}V=μ(W)]=FUV(Yτ-q(x)μ(W))。类似地，e[{Y(1)≤Yτ}V=μ(W),W=W]=FUV(Yτ-Q(x)-βμ(W))。利用推论4和ass得出FUV=FUV,我们有πτ=fy(Yτ)w“Yτ-q(x)Yτ-q(x)-βfuv(uμ(w))du#^p(w)fW(w)D，从推论3得出表观效应为aτ=fy(Yτ)∞-∞e[{Y≤Yτ}D=0,W=W]fw(W)dw-fy(Yτ)∞-∞e[{Y≤Yτ}D=1,使用有效的ial结果的显式形式，我们得到[{Y≤Yτ}D=0,W=W]=e[{Y(0)≤Yτ}D=0,W=W]=e[{q(X)+u≤yτ}D=0,W=W]=e[{q(X)+u≤yτ}V>μ(W),W=W]=pr(u≤Yτ-q(x)V>μ(W))=∞μ(W)h′Yτ-q(x)-∞fuv(uv)duifV(V)dv1-fv(μ(W))ande[{Y≤Yτ}D=1,W=W]=e[{Y(1)≤Yτ}D=1,W=W]=e[{q(X)+β+u≤yτ}D=1,W=W]=e[{q(X)+β+u≤yτ}V≤μ(W),W=W]=pr(u≤yττ-q(x)-βv≤μ(W))=μ(W)-∞H′yττ-∞μ(W)H′yττ-∞FUV(uv)duifV(v)dv1–FV(μ(W))fW(W)dw-FY(τ)W′μ(x)W′μ(W)-∞H′yτ=FV(uv)duifV(v)dw-fy(yτ)W′μ(x)-β-∞FUV(uv)duifV(v)dw=fy(x)-duifV(v)dw=fy(x)-duifV(v)dw，现在，对于标度因子fY(·),我们得到了一个混合系数fY(yτ)=fY(1)D(yτ1)Pr(D=1)+fY(0)D(yτ0)Pr(D=0),混合权重分别为Pr(D=1)=Pr(V≤μ(W))和Pr(D=0)=Pr(V>μ(W))。为了获得密度，我们注意到fy(0)D(Yτ0)=Pr(Y(0)≤YτD=0)=Pr(Y(0)≤Yτ,D=0)Pr(D=0)=Pr(D=0)Pr(q(X)+u≤yτ,V>μ(W))=pr(D=0)wpr(q(x)+u≤yτ,V>μ(w))fW(w)DW=PR(D=0)w[FU(Yτ-Q(x))-FU,V(Yτ-Q(x),μ(w))]fw(w)dw因此，密度fY(0)D(yτ0)为fY(0)D(yτ0)=pr(D=0)w“fu(yτ-q(x))-μ(w)-∞fu,V(yτ-q(x),我们有fy(1)D(Yτ1)=Pr(Y(1)≤YτD=1)=Pr(Y(1)≤Yτ,D=1)Pr(D=1)=Pr(D=1)Pr(q(X)+β+u≤yτ,V≤μ(W))=pr(D=1)wpr(q(x)+β+u≤yτ,V≤μ(w))fW(w)dw=pr(D=1)wfu,V(yτ-q(x)-β,μ(w))fW(w)dw,和s o密度fY(1)D(yτ1)isfY(1)D(yτ1)=pr(D=1)w“μ(w)-∞fu,V(yτ-q(x)-β,éw)Déw#fW(w)dw.密度fY(yτ)为fY(yτ)=w”fu(yτ-q(x))-μ(w)-∞fu,V(yτ-q(x))-μ(w)-∞fu,V(yτ-q(x))-∑(w)-∞fu,V(yτ-q(x),éw)Déw#fW(w)+w“μ(w)-∞fu,τ和aτ，设β=1,q(X)=X,μ(Z,X)=Z+X,证明X和Z是独立的标准法线，(U,U,V)是均值为0的法线，方差∑=1ρ01ρρρ1,其中ρ是U和V之间的相关性，U和V之间的相关性。