利用对退休人员i的这些估计概率，我们说，如果j在最终不是cho sen的公司集合中为个人i提供了最高效用，即从期望现值中收回养老金，那么公司j是亚军。在本节中，我们考虑了一个具有遗赠偏好θ的退休人员从ρ、b中确定养老金P的反向问题。这种做法很重要，因为如果我们能够从预期的现值中唯一地确定养老金，那么它将允许我们在年金的价值（对供给方）与对退休人员的效用（对需求方）之间来回变动。从(c.1)我们知道w(P，b；θ)=ρ(P)+θb(P)，设th=w(P，b；θ)我们得到了to=u(P)×DR+u(2×P)×DR，dp+θv(P)×DS+v(0.6×P)×DS，gp=p-2-2dr+DR，dp+θDS+DS，gp0.36，其中第二个等式是u(c)=v(c)=c-2-2。然后我们可以求解pensionP=Vuut DR+DR、DP+θDS+DS、GP0.36-2×.(e.1)F证明Lemma1.证明。注意，给定所提出的策略s，当ε变为zer o时，获胜者是themaximumρi(Pmaxij)+θi×bi(Pmaxij)+βi×zj。我们引入一些符号，然后检验对于任意ε>0的proposedrategies是o ptima l：o给定一个历史H,让~~pibe是站在o e s的向量。o给定一个历史H,设Ebe是j=arg maxj∈Jnρi(Pmaxij)+θi×bi(Pmaxij)+βi×zjo；且设μj(H)Pr(E).o给定一个历史H，其中j玩并且玩家k赢了（可能是j=k)，设对于所有L6=j和L6=k，～～pil+ε>pmaxile事件。设～μj(H)Pr(E)and～～μj(H)Pr(EE).o给定H并以E为条件，将P*jia定义为P的期望值，使得βi×zj*i+θi×bi(P)+ρi(P)=maxk6=jnβi×zk+θi×bi(Pmaxik)+ρi(Pmaxik)o。注意P*ji≤pmaxij.o给定H并以ee为条件，definne～P*jia是P的期望值，使得βi×zj*i+θi×bi(P)+ρi(P)=maxk6=jnβi×zk+θi×bi(Pmaxik)+ρi(Pmaxik)o。假设H是j不是当前的赢家，那么j从cho osing premies中获得的预期报酬大于选择stay的报酬:μj(H)×(Si-uncj×P*ji)≥(1-～μj(H))×μj(H)×(Si-uncj×P*ji)。假设(H)是j是当前的赢家。则J的选择Stay的expe cted支付量为μJ(H)×(Si-uncj×putji)=(μJ(H)-～～μJ(H))×(Si-uncj×～putji)+～～μJ(H)×(Si-uncj×～putji)，这是大于或等于选择改善的e×PE cted支付量的gr e，因此(μJ(H)-～～μJ(H))×(Si-uncj×～putji)+～～μJ(H)×(Si-uncj×～putji+ε))。引理2的证明。为了在符号上的简单性，我们将方程（12）的LHS表示为U，RHS表示为sum～β+，并抑制了对储蓄s的条件。从观察到的选择的pensions和fθ中，我们可以得到U的分布，这也是和的最高值~β+的分布。我们用F(j-1:j)～β+d(·)表示后一种分布。序统计量的分布与F～β+(·)之和的“父”分布之间存在一定的对应关系，FU(t)=F(j-1:J)～β+(t)=J(j-1)rf～β+(t)(ζj-2×ζ）d,然后利用F～β+=F～β*F是卷积，其中*是卷积n算子的事实，利用解相关的方法确定了F～β+=F～β*F的分布。最后，我们认为，对于退休人员来说，最大养老金亚军存在一个一对一的映射（参见等值1)，我们用一个函数PMAX=m(to)=S/U N CK来表示。则得到WR(ζ）=Pr(r≤ζ）=Pr UN CkUN ci≤ζ=Pr spmax≤ζ×unci=Pr Pmax≥Sζ×UN ci=1-Pr Pmax≤Sζ×UN ci=1-Pr m-1(Pmax)≤M-1 sζ×unci=1-Pr m-1(Pmax)≤M-1 sζ×unci=1-1sζ×UN ci=1-f1 m-1sζ×UN ci=1-f1 m-1sζ×UN ci=1-f1 m-1sζ×UN ci,(Pmax=S/u N Ck）。