此外，虽然年金化是一个不可逆转的决定，但选择PW的退休人员可以在晚些时候转向年金。年金还可能包括一个称为瓜尔提前期(GP)的特殊覆盖条款。例如，如果一项年金保险包括10年的保证期，那么退休人员或她符合条件的福利人员将获得10年的全额养老金。在担保期之后，合同恢复为标准年期。为了说明福利是如何随着年金类型和marita l身份的变化而变化的，请考虑一名退休人员，他是65岁的男性，美国储蓄20万美元，将于2020年退休。如果未婚且选择GP=0和DP=0的年金；养老金在死亡之前是不变的（图1-(a)中的蓝色\'th\')，在死亡之后，继承人g和什么都没有（图1-(b)中的蓝色\'th\')。然而，如果退休人员选择GP=20的年金，那么退休人员在世时得到的养老金较低（图1-(a)中的红色\'+\'与蓝色\'^\')。如果退休人员在退休后20年内死亡，那么指定的福利直到20年后才得到正数（图1-(b)中的红色“+”），在此之后，他们什么也得不到。如果退休人员已婚，那么即使gp=0和dp=0（蓝色\'\'inFigure1-(c))，在退休人员去世后，福利（在这种情况下，幸存的配偶）将获得正数（图1-(d))。2.3年3步：当工作人员向她的AFP传达她退休的决定时，这一过程开始。我们假设她与“通道”中的四个中介体之一外源匹配（图1：例：福利表，按年金类型65 70 75 80 85 90 95 100 105 110年龄(a)未婚退休养老金EGP=0,DP=0gp=20,DP=0gp=0,DP=3gp=20,DP=365 70 75 80 85 90 100 105 110年龄(b)未婚退休受益人遗产EGP=0,DP=0gp=20,DP=3gp=20,DP=365 70 75 80 85 90 100 105 110年龄(c)已婚退休养老金EGP=0,DP=0gp=20,DP=0gp=20,DP=3gp=20,DP=365 70 75 80 85 90 100 105已婚退休受益人的110岁遗产EGP=0,DP=0gp=20,DP=0gp=0,DP=3gp=20,DP=3注：该表显示退休人员的生存福利表及其福利。在这个例子中，我们以一名2020年储蓄20万美元的65岁男性为例，使用死亡死亡率表。子图(a)和(b)分别显示养老金和beque st表，如果退休人员未婚，则为年金类型。如属已婚，则在(c)及(d)分项列出退休金及福利表。GP代表一段时间（年），DP代表一段时间（年）。-法新社，与保险公司、销售代理和独立顾问的直接联系-谁能帮助她获得年金和福利。在这四个渠道中，只有两个是免费的。退休人员还必须披露所有符合条件的福利信息，即配偶和子女，AFP生成一份余额证明，其中包括她的储蓄、她的存款和她的法定福利人口特征。然后过程如下：1。一名退休人员申请多达12种年金和养老金。然后，她的平衡证书被分享给系统中的所有保险公司，他们有八个工作日来为这些产品做出决定。SCOMP收集和整理了这些O----这些O----并将其作为报价汇编提交给退休人员。证书的形式是t ables,每种类型的年金各一份，按养老金分类，并包括基金的风险评级；参见图B.1.3。退休人员有多种选择:㈠推迟退休；(ii)修改新的报价要求；(iii)秋世保；(iv)接纳一名o型病人；o r(v)通过要求第二轮o？员工与公司谈判。在后一种情况下，foungrms不能在t继承人初始值以下的e值，个人总是可以回到ny foungrst-round o值。我们将这种匹配视为外生匹配。

关于这方面的更多信息，请参见附录A.3数据我们有2007年1月至2017年12月在智利购买的所有年金的管理数据。我们观察在此期间使用SCOMP购买年金或choosePW的每个人。如前所述，我们为所有人寿保险公司在做出参与（“进入”）决定和注册前观察到的关于退休人员的一切提供服务。我们还观察每个退休人员获得的所有收入、他们的选择以及他们是否在第二轮中选择。3.1退休我们重点关注没有合格子女和在“正常退休年龄”（女性60岁，男性65岁）10年内退休的个人。我们总共观察到238,891名退休人员，在预付年金、即时年金和延期年金之间几乎平分秋色；参见表1。不到1%的退休人员选择了年金和养老金的组合，所以我们排除了他们，总共有238,548名退休人员。表1：养老金的份额。%PW 78,161 32.7即时年金87,115 36.4递延73,272 30.6年金与PW 343 0.9全样本238,891 100附注。下表列出了退休人员在不同年金产品中的分布情况。我们将自己的年金限定为每一次保障0、10、15或20年，或最多延迟3年。在表2中，我们给出了退休人员的婚姻状况、性别和退休年龄的样本分布。大约56%的人在NRA退休，79%的人在或最多在NRA后三年内退休（第2和3行）。已婚男人是所有退休人员的一半。退休人员的储蓄也不同；见表3。在我们的样本中，平均节省112,471美元，而节省的中位数为74,515美元，四分位数之间的范围为85,907美元。对于男性和那些在全国退休前退休的人来说，储蓄更高。对于每一种年金，退休人员平均在一周内获得10.6个月的养老金。而且，随着储蓄的增加，O个月的养老金的数量也在增加。例如，在我们样本的75百分位数上保存的退休人员平均得到12.4O的ER，而在25百分位数上保存的退休人员平均得到7.8O的ERs。合理的假设是，储蓄较多的退休人员利润丰厚，因此更多的公司愿意按性别和婚姻状况计算2：年龄分布：退休年龄S-F M-F S-M M-M在全国步枪1,871 1,771 4,714 22,142 30,498在全国步枪20,789 22,475 17,114 72,572 132,9 50在全国步枪14,470 16,797 4,447 1 9,086 54,800至少在全国步枪6,900 6,715 1,251 5,434 20,300全样本44,030 47,758 27,526 119,234 238,548注。下表按婚姻状况、性别和退休心态显示退休人员的分布情况。因此，\'s-f\'和\'m-f\'这两个列分别表示单雌和ma rried雌，以此类推。NRA是“正常退休年龄”，女性60岁，男性65岁。如果，然而，那些储蓄较高的人比那些储蓄较低的人活得更长，那么这意味着将她的储蓄按年计算成本更高。表3：储蓄，按退休年龄和性别分列的平均中位数P25 P75 NRA前退休年龄185,660 129,637 73,104 245,857 30,498在NRA 89,907 60,023 41,521 103,680 132,950在NRA后3年内115,666 87,126 54,353 135,562 54,800至少4年后NRA 141,673 101,594 58,815 168,202 20,300全样本112,471 74,515 46,449 132,356 238,548性别97,308 81,18051,817 121,633 91,788男性121,955 69,372 43,818 147,184 146,718 146,184 146,760 515 46,449 132,356 238,548注：按退休年龄和退休人员性别分列的储蓄汇总统计数字，以美元计算。各人寿保险公司和退休人员的养恤金各不相同；参见表4。对于IA来说，退休人员平均获得570美元的额外津贴，而对于r DA来说，平均获得446美元的额外津贴。

在Onaverag e中，女性的IA和DA分别为479美元和412美元，而男性分别为631美元和473美元。这些特征与男性比女性拥有更多的储蓄和更短的预期寿命是一致的。见表1中的估计数。为了捕捉养老金的这一变化，我们允许企业有直接的年化成本，也称为统一必要资本（以下简称UNC）。企业的UNCs可以计算每美元的年化成本，称为统一必要资本(UNC)。它捕捉到了支付生存所需的款项的过程。在《退休人员法》中，联合国军司令部是指在退休人员死亡前支付一美元和对其幸存亲属按比例承担义务所需的美元数额。例如，如果a的UNC值为200，这意味着提供100美元养老金的预期成本是20,000美元。表4：病人每月领取退休金，按年金类型和性别分类储蓄储蓄储蓄储蓄年金类型性别平均中位数Q1 Q2 Q3 Q4 Q5立即女性479 414 202 288 385 510 857男性631 435 200 269 372 585 132 9全样本570 423 201 278 378 556 115 2延期女性412 374 190 258 349 463 714男性473 356 187 241 331 529 101 9全样本446 365 189 248 339 500 882注：同一退休人员每月平均养老金（以美元计）摘要。我们假设只有退休人员知道他们的年化成本，并使用不对称信息来做出决定。在表5中，我们显示了退休人员在不同阶段的选择。大多数选择个人年金的退休人员（98.1%）在第一轮选择个人年金，大多数选择个人年金的退休人员（86.9%）在第二轮选择个人年金。正如我们所看到的，只有2,979名退休人员在第二轮选择了年金报价，但在第二轮选择了年金报价。表5：选择第一轮或第二轮的退休人员人数/选择PW 1轮2ndround总计76,690 18,001 0 94,691 ndround 1,471 2,979 139,407 143,857总计78,161 20,980 139,407 238,548注。在我们的样本中，我们观察了20家独立的人寿保险公司，它们的风险评级在整个样本期内通常是不变的。大多数公司的风险评级都很高（至少是AA级）。表6显示了风险鼠INGs的分布。在我们的经验分析中，我们将这些评级视为外生的，并将它们分为三类：最高风险评级为3级(AA+)，中等风险等级为2级（从AA到A)，其余等级为1级（低于A级）。不是所有的20号都在任何时候都活跃，也不是所有的都参加每个退休人员拍卖。平均有11人参加每一特定年金类型的拍卖。我们将潜在的e ntrant（每一个退休人员拍卖）视为在同一个月至少参加一次退休人员拍卖的活跃人群。

在我们的样本中，退休人员有13个，14，或15个潜在的参赛者。表6：风险率频率%累积%aa+155 24.64 24.64 aa 245 38.95 63.59 aa-171 27.19 90.78 a+2 0.32 91.1 a 15 2.38 93.48 bbb+1 0.16 93.64 bbb 6 0.95 94.59 bbb-15 2.38 96.98 bb+19 3.02 100tot al 629 100注：下表显示了2007-2018年季度信用评级的变化。参与率--实际投标人与潜在投标人的比例--因退休人员而异：它的范围从低至0.08到高至1，平均值和中位数分别为0.73和0.78，标准研发偏差为0.18。因此，合理的假设是，当退休人员开始这一过程时，投资者的参与决定取决于其所处的位置。为了捕捉这一选择，在我们的经验应用中，我们遵循Samuelson(1985)对投资者的进入决策进行建模，该决策假设投资者在进入前观察其退休拍卖特定的年化成本。接下来，我们实施一个简单的对角分析，以确定是否合理确定投资者具有对称的成本分布。特别是，对于每一种情况，我们都使用线性回归模型来残差养老金。然后，我们比较了各参数的残差分布。如果这些误差具有相似的分布，那么我们说firerms是对称的。否则，我们将这些数据建模为非对称数据。让养老金率养老金率（Pension-Ratei,j=pij/sibe）是由j对退休人员特征中的参与人数进行泊松回归得出的p的比率，我们发现储蓄的一个标准差增加，约为87,000美元，与多一个参与人数有关。而且，女性比男性多0.61家参与公司，而销售代理和Advisors与这两个渠道的参与者约少0.19人有关。我们通过估计Heckman选择模型来测试这种选择，将潜在投标人的数量作为排除变量，并发现了大量负面选择的证据。图2：均匀化养老金率的分布，按公司-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4均匀化每月养老金每年美元-30.10.20.30.40.50.60.70.80.9公司1公司2公司3公司4公司5公司6公司7公司8公司9公司10公司11公司12公司13公司14公司15公司16公司17公司18公司19公司20注：对方程（1）中IJ分布的核密度估计，20个退休人员i到i的储蓄各一个。然后我们用普通最小二乘法估计了以下模型：养老金率，j=常数+β×UNCi+β×AGEI+β×性别+β×婚姻状况+β×配偶AGEI+β×担保月数+β×潜在出资人+i,j,（1）除i的Unita ry Nessional Capital（Unita ry Nessional Capital,Unita ry Nessional Capital,Unita ry Nessional Capital,Unita ry Nessional Capital,Unita ry Nessional Capital,Unita ry Nessional Capital,Unita ry Nessional Capital,Unita ry因此，一个期望寿命更长的退休人员将拥有更大的UNCi，并且将更高的费用进行年化。对于同一名退休人员，联合国公务员制度委员会可以根据其对预期寿命的评估和承诺生存或有美元支付的机会成本进行评估。当我们提出模型时，我们正式地定义了UNCilater，并在附录C中详细说明了如何估计这些模型的分布，然后使用这些估计的分布来确定uncise。我们对每个模型分别估计（1）rm j=1,。...,20,并预测foungrm-reetire-speciformingresidual i,jfor r etiree i。然后在图2中，我们显示了i,j=1的核密度估计。...,20。

正如我们所看到的，所有的分布几乎是相同的，这表明假设t hat rms具有对称的成本分布是合理的，但允许t hat rms的分布随退休人员的储蓄而变化。在图B.2中，我们展示了在该阶段内所有退休人员的每月养老金的直方图和散点图。4模型在本节中，我们介绍我们的模型。我们考虑了一个退休人员所面临的决策问题，这个退休人员使用SCOMP选择一家公司来年化她的储蓄，以模拟需求。对于年金的效用，我们密切关注现有的关于年金的文献，将退休人员建模为对他们的风险偏好漠不关心的决策者。对于保险公司之间的不完全竞争模型，我们使用了具有选择性进入的多A tributeteauctions。首先，firerms决定参与，并以参与为条件，在具有独立私人价值的firerrs-price拍卖中竞争。在这一阶段，投资者在单边信息不对称的情况下进行多边讨价还价，我们将其建模为口头上升拍卖。我们隐含地假设t hat在讨价还价的同时，也了解了abo ut退休人员对遗赠和风险率的偏好。4.1需求。在这里，我们考虑了一个年金人i所面临的问题，他已经决定选择哪种年金产品（例如，一份0保证期的即时年金），并考虑了决定参加i的储蓄拍卖的JI。我们假设年金的效用由三个部分组成：（一）退休人员在世时所消费的养老金的预期当前折扣效用，（二）她留给亲属遗产所获得的效用，以及（三）她对基金风险的偏好。我们将退休人员模拟为大鼠的注意力不集中的决策者，但为了便于揭示，我们从外部开始。设(θi，βi)分别表示I的偏好f或b等值和风险评级。在储蓄S的条件下，设(θ,β)在[0,θ]×[β,β]上独立同分布于离退休人员。退休人员可能没有固定的遗产，或者可能有额外的财富超出我们的样本，他们的继承人。在这两种情况下，r etirees可能表现得“好像”他们不关心遗产。为了获得这个“零质量”，我们允许分布fθS(·S)t在θ=0处有一个质量点，并且质量可以依赖于储蓄S。设ζ(S)∈(0,1）是退休人员拥有θi=0的概率，我们将fθS(·S)=ζ(S)+(1-ζ(S))×～fθS(·S)定义为(0，θ]上的连续分布，其中，limt→0+～fθS(tS)=0。设pij表示退休人员i的养老金O。对于任何年金，有一个养老金，有一个相应的遗赠Bij，这也取决于我的预期死亡和她的恩人的死亡。只要有可能，我们就抑制遗赠Bijon养老金pij的依赖性。L et I在退休时的间接效用从选择（Pij,Bij）从firefrm j与风险rat ing Zj∈{1,2,3}beuij=U(Pij,Bij；θi）{z}预期当前贴现效用+βi×Zj{z}效用从风险评级-U0i（Si）.{z}效用从程序化提取（2）下面，我们解释（2）右边的三个函数中的每一个。PespectedPresent贴现U（Pij,bij；θi)是退休人员预期死亡率和她从养老金和遗产中获得的效用的函数。

尽管养老金是不变的，associatedbequest可以随时间变化，取决于退休人员的死亡和contr act的特征。为了确定预期的现有折扣效用，首先，在假设死亡率服从Gompertz分布的前提下，我们使用连续时间比例hazar d模型估计死亡率过程。其次，为了分别确定养老金和遗赠的效用，继Mitchell et al.(1999)和Einav、Finkelstein和Schrimpf(2010)之后，我们假设退休人员对CRRA效用有相同的偏好，即养老金的效用P是u(P)=P(1-γ)1-γ，遗赠的效用B是v(B)=B(1-γ)1-γ，两者都是γ=3。第三，我们确定每个年金的相关养老金和（随时间变化的）遗赠，并确定在退休人员消耗其所有养老金的情况下的预期当前贴现效用。贴现因子是市场回报。我们在附录C中详细解释了这些步骤，但要知道我们可以重写预期当前贴现效用U(Pij，Bij；θi)=ρi(Pij)+θi×bi(Pij)，其中ρi(Pij)和bi(Pij)是养老金Pijand遗赠的预期当前贴现效用，它与Pij成比例。用（2）中的U(Pij，bij；θi)=ρi(Pij)+θi×bi(Pij)+βi×zij-u0i(Si)代替，我们可以从年金pijasuij=ρi(Pij)+θi×bi(Pij)+βi×zij-u0i(Si)中写出i的间接效用。（3）年金是一种复杂的行为，尽管有证据表明人们对r Etirees比较年金类型的能力提出了质疑（例如，Brown et al.，2017)，但与美国不同，在智利，他们可以相对容易地比较年金选择。这是因为，正如第2节所解释的，只有几个标准化合同，r etiree以易于比较的格式接收所有报价：对于每个报价的产品，退休人员得到一个从最高到最低排序的所有每月养老金的列表（见图B.1)。比较同一产品的固定利率是直接的，比较固定利率产品（例如，有固定保证期的年金）也不是太困难。因此（3）显示了较高的养老金和较低的风险等级之间的贸易关系，但如上所述，我们假设我不知道她的βi，而只知道它的分布。我们遵循Mat-Ejka和McKay(2015)，并假设在退休过程开始之前，我相信βII.i.D:/fβ(·)有[β,β]的支持，如果我想了解她的偏好，她必须支付信息处理成本，每单位信息的价值为α>0，这可能会随着储蓄而变化，而储蓄又会与商业素养相关联，例如Brown et al.(2017)，更重要的是，还有entr y频道。例如，如果销售代理夸大了风险率的重要性，渠道可能会增加学习β的成本。所以，我必须决定花多少钱学习βi，然后做出决定。设σ:[β,β]×P→γ:=([0,1]j+1)表示一个退休人员的策略，其偏好参数为β，养老金为O（？）Pi:=(Pi1,...,PiJ)∈P。该策略是概率的avectorσ(β,Pi)(σ(β,Pi)，...,σJ(β,Pi)=PR（i选择Jβ,Pi)∈[0,1]。其中，σJ(β,Pi)=PR（i选择Jβ,Pi)∈[0,1]。为了符号的简单性，我们抑制了选择概率对O-阶(Pi)的依赖。然后，将Mat-Ejka和McKay(2015)Schoice公式应用于两个周期，给出了i choo ses j的概率为σij(Pi)=σj(βi,Pi)=exp logσj+uijαpjk=1exp logσk+uikα+exp(Euiα)，j=1。..,Jexp(Euiα)Pjk=1exp logσk+uikα+exp(Euiα),j=j+1,（4）其中σj:=rββσj(β)dfβ(β)是选择j的无条件概率，以及Euiisi从选择到第二轮的事前经验效用。

当我们集中讨论这一轮时，为了保持符号的简单性，我们没有给出EUI的确切表达式。最后，略有滥用符号，我们使用U0i(Si)来表示PWunder的效用，正如我们在导言中提到的，如果它是一种精算上公平的年金，则每年确定付款。然而，出于我们的目的，没有必要计算U0i(Si)，因为我们只关注年收益，而收益取决于i从收益收益中获得的公用事业收益，从而抵消了U0i(Si)。4.2供应接下来，我们介绍供应方，其中J为i节省的收益Si而竞争。为此，我们在讨论竞争前引入了年化成本及其分布。在这里，我们讨论了给定的进入决策，并仅描述了博弈的最后阶段，即讨价还价阶段的均衡。年化成本。公司对同一退休人员有不同的UNCs，取决于人口特征、投资者的投资组合和资产负债状况（Rocha and Thorburn，2007)。因此，如果j能以低于j\'的成本将i年化，那么j比j\'有优势，因为其他条件都相等，可以提供更高的养老金。让j的一元必要资本为退休人员筹集一美元养老金。同样，我们必须考虑与遗赠有关的费用，这可能来自两个来源：一个是保证期，在此期间，退休人员去世后，受赠人将获得全额养老金；另一个是强制性生存津贴，根据此规定，退休人员的配偶在去世后，在保证期超过后，将获得养老金的60%直到（配偶）去世。我们分别用UNCS、GPJ和UNCSJ表示提供这两种津贴的费用的现值。然后，将这些因素综合起来，得到了J的O-万Pijis的预期成本为C(Pij):=Pij×(UNCRJ+0.6×UNCSJ+UNCS，GPj)Pij×UNCJ。（5）我们用死亡率过程和退休人员的贴现率计算了养老金的一元成本，并用平均市场报酬率代理退休人员的贴现率。对于退休人员i来说，由于其(i)投资估计，(ii)投资机会和(iii)对未来利益的预期，这些因素可能会导致其UNCJ的损失。由于这些原因，只有m j可能知道其UNCJ。此外，UNCjto UNCicaptures j相对于i出售一份年金的比率，我们称这个比率为rjiuncjunci,j\'s相对成本o f年化一美元。利用r，我们可以比较所有退休人员的成本。我们假设firfrms是对称的（见3.2节中的图2)，成本rjiisprivate infor ma t ion并以wrS(·s)的形式独立相同地分布在公司之间，密度wrS(·s)在其支持[r,r]的任何地方都严格为正。我们允许成本分布依赖于o n S来捕捉这样一个事实，即那些拥有更高储蓄的人往往寿命更长（表1)，因此每年的成本更高。关于exact形式，见附录C中等式(C.2)的推导。AFP在每个IODs延迟期间支付退休人员。因此，我们从第一阶段投标中省略了它们。如果我们把第二轮和第一轮的多积性质放在一边，j的netpresent从o the ering Pij中导出到一个退休人员i，其siiseπij(Pij)=(Si-Pij×UNCj))×Pr(j是通过提供pijpi-j)=si×(1-rji×ρ*i(Pij))×σij(Pi)，(6)来选择的，其中ρ*i(Pij)Pij×unci/si，σij(Pi)是给定o thers Pi的乘数i选择j的概率。在第二轮中，J的事前预期利润为SI×(1-rji×ρ*i(Pij))×σij(Pi)+σij+1(Pi)×eπij(ρ*i(～Pij)rji，(7),其中～pijis J的第二轮O′ER和σij+1(Pi)fro m(4)是i在Eπiij给出的预期利润的第二轮中采取讨价还价选择权的概率t。两轮是相连的。

首先，在第一轮中，更慷慨的o有能力的人可能会降低退休人员进入第二轮的概率。其次，也是更重要的是，每一个条款对第二轮都有约束力：一个条款不能让任何第二轮条款低于它的第二轮条款。现在，当我们包括我可能从年金类型中要求更多条款的事实时，保险公司必须解决多产品投标问题。正如在时间假设中所提到的，一旦我接收到所有的o-f{paij:a∈Ai，j∈j}，她选择a→Ai，然后选择fiegrm。因此，只要稍稍滥用一些符号，我们就可以从一个拍卖中表示出afirrm j∈j的期望profect，其中i请求o个对年金aitype aseπij:=pa∈aieπij(a)×Pr(i选择a{Pbi}b∈ai；θi)，因此，在第1轮中，当choo sing Paij时，firerm j必须考虑对ai\\{a}中的乘积a和所有其他类型a nnuities的竞争。它还必须考虑来自于Pbij,b∈Ai,b6=a的竞争，这是一个面向多产品的同类相食的考虑。第二阶段讨价还价。其次，我们刻画了第二阶段讨价还价博弈中的均衡，假设在讨价还价开始时，退休人员知道要购买哪种类型的产品，并且退休人员通常了解退休人员的(θi，βi)。因此，获胜者是效用最高的投资者。我们假设投资者也了解退休人员的(β，θ)，因为投资者和退休人员之间存在着许多互动，所以投资者推断偏好是合理的。这一假设使我们可以保持讨价还价博弈的可控性，但由于数据的限制，我们没有观察到它们之间相互作用的确切性质，如果(θi，βi)是i的私人信息，就会导致一个双边信息不对称的bar Gaining博弈。然后，我们必须就行动的确切顺序、信息披露的规则和更新采取立场，这些都不会被我们的数据所告知。我们将第二轮模拟为一个交替的讨价还价过程。游戏的设置如下：在任意的顺序中，figurms依次选择是将他们以前的o？er提高一个figured的量ε（玩改进）还是“停留”（玩停留）。此过程在一轮后结束，在此轮中所有的firefrms都连续玩Stain。然后退休的人回荡着一个O型的急诊室。在Lemma1中，我们用附录f中的proo f对分析进行了形式化。在继续之前，我们引入了额外的符号。设Pmaxijbe为不赔钱的最大jcan o,即Pmaxij解C(Pmaxij)=Pmaxij×uncj=Si,Orequivaly1=rji×ρ*i(Pmaxij)。设J*等于在不赔钱的情况下获得最高效用toi的条件，即J*i:=arg ma xj∈Jρi(Pmaxij)+θi×bi(Pmaxij)+βi×zj。引理1。在讨价还价的博弈中，figurrm j_ii赢得了年金合同，当ε变为零时，最终支付养老金～pij_i，即βi×zj_i+θibi(～pij_i)+ρi(～pij_i)=maxk6=j*在βi×zk+θibi(Pmaxik)+ρi(Pmaxik)o中。（8）支持完美贝叶斯均衡的对称行为策略有：1。对于退休人员来说，选择任何一个fiegrm获得了最好的o e er（包括非pechuniaryattributes），即r etiree i选择fiegrm j*if j*i=arg maxj∈jρi(～pij)+θi×bi(～pij)+βi×Zj，其中～pij指fiegrm j的最后一个o e er（如果在讨价还价时没有提高，则指其第1阶段o e er）。

对于j来说，play改善ià～～pij+ε<Pmaxijandβi×zj+θiBi(～～pij)+ρi(～～pij)<maxk6=jnβi×zk+θiBi(～～pik)+ρi(～～pik)o，其中～～PIK指的是figurrm k的常量（或当我们处于讨价还价游戏的第一轮时，它的figurrst阶段）。我们可以用一个较弱的假设来代替这个假设，即在讨价还价过程中，在本节中，我们研究遗赠偏好的条件分布fθS(··)、风险偏好的分布fβS(··)、条件成本分布WrS(·S)以及渠道和储蓄-特定信息-处理成本α。我们的观察是前几节概述的N名退休人员购买年金的结果。特别是f或每个退休人员i∈N，我们观察她的社会经济特征xi=(～xi,Si)，她为之征集的年金产品集aif,活跃产品集（即潜在的进入者）～jiat t和i的退休时间集，参与产品集msji～Ji，他们的风险评级{zj:j=1,...,Ji}和每个产品的继承人养老金o和i的选择。根据我们在第4.1节中的讨论，对于每一个退休人员和每一个年薪族来说，我们使用O和Gompertz估计数来确定来自养老金ρIa:=(ρ1a,...,ρjia)的预期当前贴现公用事业，以及来自相关遗赠bia:=(b1a,...,bJia)的预期当前贴现公用事业。5.1遗赠偏好的分布在这里，我们通过比较选择的遗赠和放弃的遗赠，研究了在支持度[0,θ]下，遗赠偏好的条件分布FθS(·S)的性质。为此，CES需要对每一位退休人员进行比较，以确定在这一轮中获胜的人所获得的遗产，并与现有的产品相关联。只关注胜利者使我们有必要知道βi×zj*i。为了直观起见，让我们假设只有两种类型的年金:a∈a={1,2}，这样（必要时重新标记后）年金a=1比年金a=2更小的遗赠（更大的养老金）。为了不方便，我们可以压制退休人员和球员，并保持这两个球员。设χ∈{1,2}表示观察到的年金选择，并设Uadenote来自年金的效用a∈a.a.a r etiree选择a=1，即χ=1当且仅当U≥U，或等价θ≤ρ-ρb-b=-ρb，其中我们分别用ρρaa′和baa′表示p扩展(ρa′-ρa)和遗赠(ba′-ba)中的di。换句话说，选择低遗赠的退休人员的遗赠偏好受“价格”（即养老金）梯度的限制。则具有特征X的退休人员选择a=1的条件概率为isPr(χ=1～X,我们用logistic回归估计左侧概率Pr(χ=1x),同时也观察到养老金gradient@ρ@b，这是在右侧的fθS(··)的论点。在我们保持的排除限制假设下，非储蓄特征~xa通过养老金和遗赠的选择概率而不是分布fθS(··),随着非储蓄特征~x在退休人员中外源性变化，养老金梯度变化允许我们“跟踪”连续部分~fθS(··)到处都是。在我们的排除限制假设下，当非储蓄特征~xa通过养老金和遗赠的选择概率时，养老金梯度变化允许我们“跟踪”连续部分~fθS(··)超过(0，θ]。在~x中有丰富的变化，对于t∈(0,θ)存在一对{}ρ，b}，使得t=-ρb，则分布~fθS(··)是非参数的。为了识别质量点ζ，我们可以使用价格梯度a pproacheszero fr om t he“右侧”的子集，即，ρρρb→0+。当两个养老金ρ、ρ接近或遗赠量ρbi较大时，价格梯度接近于零，当两个养老金ρ、ρS相对于养老金ρρS较大时，价格梯度接近于零，当两个养老金ρ、ρS接近时，价格梯度接近于零时，价格梯度接近于零时，价格梯度接近于零时，价格梯度接近于零时，价格梯度接近于零时，价格梯度接近于零。

换句话说，年金a=2有相对便宜的遗赠，退休人员仍然选择低遗赠年金的唯一原因是如果她不重视遗赠，即θ≈0。因此，我们可以确定质量点lim@ρ@b→0+pr(χ=1～x,S)=lim@ρ@b→0+ζ(S)+(1-ζ(S))×～fθs-ρbs=ζ(S)，其中最后一个等式遵循from lim@ρb→0+～fθs-ρbs=0。这一策略扩展了两种以上年金类型的情况，即A≥2。对于~FθS(··)的identiof，我们可以关注“极端”情况，如选择遗赠最小的年金的概率和不选择遗赠最大的年金的概率。我们根据相关遗赠订购由中奖者m（在任一阶段）提供的年金，如有必要，在重新标记后，b≤b≤..≤ba-1≤ba，相应养恤金为ρ≥ρ≥...≥ρA-1≥ρA。设χ∈{1,...,A}为年金选择。则选择bisPr的概率(χ=1～x，S)=Zθ{u≥Ua,a∈aθ}dfθS(θS)=fθS Mina∈a^aρ1aB1As,不获取最大遗赠年金的概率，即χ6=A,isPr(χ6=a～x,S)=fθS maxa∈a-ρaabaas。那么我们可以用{Pr(χ=1～x，S)，Pr(χ6=a～x，S)}来识别~fθS(··)，其中，如上所述，变量的识别来源是，~x，跨基金的年化成本，和参与基金的数量，这反过来导致养老金和遗赠的变化。为了识别质点，我们可以依赖于与上述相同的极限论点。5.2信息处理成本J表示跨所有i∈N的Ji的唯一va lues。考虑ji=J的退休人员子集o f。然后我们可以识别J=1，.的选择概率。..,J+1,给定X=X,Z=Z和(ρ，b),由σJ(X,Z,ρ，bJ)=xi[di=J,xi=X,Z=Z,ρ，b]pi[xi=X,Z=Z,ρ，b]；σj+1(～x，z，ρ，bJ)=1-jxj=1σj(x，z，ρ，b)，(9)，其中di=j表示i选择j。将（9）应用于相关子样本，我们可以对所有J∈J进行{σJ(x，z，ρ，bJ)}J∈J的识别。我们还可以将J参与的概率确定为p(J)=#{具有J=J}/n的退休人员，并共同确定σJ(x，z，ρ，b)=pj∈JσJ(x，z，ρ，bJ)×p(J)。对fβ进行整数（4）,利用σj(x，z，ρ，b)的认识，得到σj(x，z，ρ，b)=zexp logσj+uijαpjk=1exp logσk+uijα+exp euiαdfβ(β)。（10）取（10）关于ρji的导数，得到成本α=σj(x，z，ρ，b)(1-σj(x，z，ρ，b))σj(x，z，ρ，b)ρj。因此，信息处理成本依赖于相对于ρj的概率弹性。出于直觉，考虑一个极端情况，当对j的选择对保费的变化不敏感时，即σj(x,z,ρ)ρj≈0，则意味着α≈+∞,因为退休人员对养老金的变化没有反应的唯一途径是他们的信息处理成本非常大。如果对养老金的需求是有弹性的，那么处理信息的成本就低，反之亦然。我们可以将这一策略应用于适当的子样本，以允许这一成本随渠道和储蓄而变化。5.3风险比率g偏好和年化成本对于偏好分布fβ和成本分布WrS的定义，只考虑那些在第二轮购买年金的人，其中养老金和遗赠满足（8）。设~pijéIbe t他选择O′er，则从（8）中得到ρi(~pijéi)+θiBi(~pijéi)=maxk6=j*在βi×zk+θiBi(Pmaxik)+ρi(Pmaxik)O-βi×zjéi中。（11）设k*等于退休人员i的亚军rm。我们不直接观察K*i，但我们可以使用figurrst-round o whited er来识别IDenti的亚军figurrm。特别地，如果要估计α，我们使用logit规范来建模（10）的LHS，这样导数就可以很好地定义了。第一轮的亚军是第二轮最有利的两个因素之一，那么我们可以确定K*i。

第一轮中的亚军是在排除获胜的j*i后，在第一轮中被选中的概率。如果我们能估计在第一轮被选中的概率，我们就能确定第二轮的亚军。我们在附录D中详细介绍了pro-ba bility估计步骤，对于本节的其余部分，我们将K_ias作为已知的。利用对K_i的认识，我们可以简化(11)的右侧，并将其改写为ρi(～pij_i)+θibi(～pij_i)=βi×(zk_i-zj_i)+θibi(Pmaxik_i)=βi×(zk_i-zj_i)+ρi(Pmaxik_i)=βi×(zk_i-zj_i)+U(pmaxik_i，bik_i(Pmaxik_i)+U(pmaxik_i，bik_i)+θi){z}我们将最高的总效用t和第二名的总效用t替换为退休人员i。变量dureii依赖于K*i的成本，这是不可观察的，我们可以把toas看作一个分布为f的随机变量。我们的目标是识别YFβ和F,然后识别成本分布Wrs。假设我们观察个体水平θi。然后利用（12）我们可以确定Fβs(··)如下。首先，利用赵生年金我们可以确定（12）的左手边。然后，我们可以在随机的Coe-Cient模型（12）中将TOLAS视为一个“错误”。第三，我们注意到(ZK_i-ZJ_i)、βi、duii是不相关的。此外，风险等级不变，但退休人员的风险等级(ZK_i-ZJ_i)因退休人员而异，因为两个竞争性风险等级(J_i，K_i)因退休人员而异；参见图3。在Hoderlein，Klemeléa和Mammen(2010)中，我们只知道fθS(··)，而不知道退休人员的特殊情况θi。因此，我们需要对Fβs(··)作进一步的假设。我们假定Fβs(··)是正态分布。为了使Fβs(·)参数更好地依赖于观察到的病态，我们将病态分为几组，并估计了β的均值和方差。特别是，我们创建组，我们用G表示，基于G ender（男性或女性），三个年龄组（退休的人，在正常退休年龄，或在正常退休年龄后），储蓄五分位数，和三个渠道(AFP，销售代理，或独立顾问），这给了我们90个组。设g(i)∈g表示i的群，设βI_(N)(βg(i)，σg(i))，其中(βg，σg)是g-指定均值和方差的群。我们还假定节省量A通过节省量五分位数Sq，即réWrS(·Sq)来计算年费用，其中Sq，是q-quintile。设Nq，J，表示q-quintile中具有J∈{1 3,14,15}潜在投标人的r个etirees的子集。在我们的步骤中，我们生成由i.i.D.组成的L×NG(i)矩阵。图3：获胜者和亚军的直方图注：直方图显示了获胜者（在x轴上）和亚军（在y轴上）的身份。退休人员的亚军是被退休人员选择的概率最高的，不包括被选择的。概率用Appe ndixd从fθ(·sq)中估计θ,其中L是一个大数，为了我们的目的，我们设置L=1,000,a ndNg(i)是与i属于同一组的退休人员的集合。其次，对于用{θπi,i=1,...,Ng(i)}表示的模拟matr ix的每一次抛出，我们应用从mswamy(1970)到ρj*i+θπi×bj*i=βπg(i)×(zk*i-zj*i)+thingthuk*i的方法估计{βπg:g=1,...,g}。（13）估计(13)L=10,000次给出了群特性估计{βg:=1,....,L,g∈g}。第三，我们可以对这些估计进行平均，得到βg=l-1 pl=1βg。其次，我们可以证明，在{fβS,fθS}的条件下，我们可以识别WrS(··)。为此，请注意，由（12）的左侧给出的来自获胜方的实用程序是第二大（ma ximum）实用程序fr om J。我们观察选择的养老金和遗赠，所以我们知道（12）左边的分布。

其次，利用（12）左边的分布，我们可以识别（12）右边的父分布。第三，我们可以利用这一事实，即我们在这一步骤中恢复的t他的分布是(βi×(zk_i-zj_i))和i的convolution分布。然后，我们可以使用经典测量误差文献中广泛使用的反卷积方法（例如，Schennach(2016))来识别Y的分布。最后，我们可以利用从最大养老金亚军到退休人员的一对一映射，如方程(E.1)所示。这种与最大值（或最大值）的确定的关系虽然我们没有正式确定我们的方法的consist tensity,但我们进行了几个MonteCarlo实验，发现对于L=10,000，平均估计量p成立良好。甚至）养老金，即C(pmaxik*i)=Si,identi分布为r=unck*iunci=sipmaxik*i×unci。下面我们用附录F中的证明将这四个步骤形式化。引理2。WrS(··)可以由{fβS(··),fθS(··)}非参数化。设~j是具有特征xi的对向i出售年金感兴趣的公司集合。当我为一个产品请求O？e er时，公司j∈～j观察它的costrj，所有的costrj同时决定是否参与，每个公司参与的成本（相同）κi≥0。此费用为opport统一参与费用，并可因退休人员而异。设JTH~J表示参与公司的集合。在对称完美贝叶斯-纳-什均衡下，通过一个唯一的门限r*∈[r,r]，使得只有在成本小于r*的情况下，参与方才能参与。则参与方之间的成本分配为wutrs(rS；～j):=wr(rr≤r*,s；～j)=WrS(rS)WrS(Ruts；～j)。设R*~jbe为具有~J个潜在投标人的阈值，设~J∈J:={J,....,J}，其中J是潜在投标人的最大数目，Jis是潜在投标人的最小数目。所有其他条件相等时，r*~j随~j递减，因此WrS(rS)被定义在假设t[r,r*j]上。在实际中，为了估计W*rS(·sq)，我们将重点放在具有相同风险等级的前两个退休人员的子样本上。在我们的样本中，近60,000名退休人员属于这一群体，他们的(ZK_i-ZJ_i)=0。用（13）中的这句话代替J∈{13,14,15}给出ρj_i+θiibj_i=θk_i，(14)，其中左手边是已知的获胜效用，右手边是未观察到的最大效用，亚军可以在不引起损失的情况下获得。根据(ρJ~i+θ~iibj~i)的估计分布，我们可以用核密度估计来估计RJI的父分布，即W~rs(·sq，J)。6估计的结果是6.1遗赠的偏好。在图4中，我们给出了给定保留s个五分位数{fθs(·sq),q=1,...,5}的遗赠偏好的条件分布的估计。我们的估计表明，大约40%的退休人员不重视留下在θ=0处产生正质量的遗产。然而，我们发现，质量点在储蓄五分位数之间没有变化，尽管最高储蓄五分位数的质量点是最小的。在表7中，我们展示了与这些条件分布相关的一些汇总统计信息。图4：遗产偏好的估计分布0 2 4 6 8 10 12 14 160.30.40.50.60.70.80.9五分位数1五分位数2五分位数3五分位数4五分位数5注：此数据显示了给定储蓄五分位数Sq，q=1时，对遗产偏好的估计条件分布fθ(·Sq)。当我们从左向右移动时，图4中的条件a l分布随储蓄五分位数“向右移动”表明，平均遗赠偏好随储蓄而增加。

结果，平均E(θsq)7随着储蓄五分位数的增加而增加，这与假设相一致，即随着养老金的边际效用降低，利他退休人员的遗赠边际效用随着储蓄而增加。表7：遗赠偏好的汇总统计s储蓄平均STD中位数。戴夫。IQRQ1 2.784 1.274 3.526 4.690 Q2 2.899 1.505 3.597 4.773 Q3 2.971 1.588 3.681 4.901 Q4 3.208 1.575 4.053 5.290 Q5 3.812 2.166 4.567 6.317注：beq uests偏好的平均值、中位数、标准差和四分位数间范围，按保存五分位数计算。这些统计量是用{fθs(·sq)}q=1中的模拟θ计算出来的，如图4.6.2所示的风险评级和信息处理成本。接下来，我们给出了对风险评级偏好的估计。图5显示了所有90个组的βG值，以及相应的95%的自举成本间隔。这些估计表明，处于最低两个储蓄五分位数的人是唯一对基金风险评级有价值的人。此外，在那些积极重视风险鼠的人中，男性比女性表现出更强的偏好，尽管在许多情况下，跨性别的差异在统计学上是有意义的。图5：组-特定的平均风险评级P参考Pre在Post Pre在Post Pre在Post Pre在Post Pre在Post Pre在Post Pre在Post Pre在Post Pre在Post Pre在Post Pre在Post Pre在Post Pre在Post Pre在Post Pre在Post Pre在Post Pre在Post Pre在Post Pre在Post Pre在Post Pre在Post每个面板（行）核心池塘到一个通道，每个通道被分为五分位数。在每个通道-昆蒂盒中，参数s按退休年龄排序（在NRA之前、之后或在NRA时），对于每个年龄组，两个估计值分别对应于男性和女性。这两条线代表了95%的合同间隔。从表面上看，对风险r殴打的偏好随着储蓄而减少可能违反直觉。之所以如此，至少有两个原因。首先，如果风险率是个人健康的一个代名词，那么退休人员之间就不应该存在异质性。其次，由于政府的担保，那些储蓄较高的人比储蓄较低的人更容易受到“破产风险”的影响，所以高储蓄者应该比低储蓄者更关心风险评级。一种使这种分析合理化的方法是考虑信息处理成本。如果这些群体的信息处理成本较低，那么理性不注意模型表明，信息处理能力较低的群体学习得更多。在表8中，我们得到了估计的群体信息处理成本(αG)。我们发现，成本随着储蓄而下降，绝对下降在最低五分之一的退休人员和有销售代理的人中最为显著，因为储蓄较高的人往往受教育程度更高。所以，即使先验证明风险评级很重要，信息处理成本较低的人向下调整他们的偏好，以说明破产在智利是一个罕见的事件，大多数鱼类有良好的比率。表8：信息处理成本储蓄AFP销售代理顾问全样本Q1 0.009 0.027 0.006 0.021 Q2 0.006 0.019 0.004 0.016 Q3 0.005 0.013 0.003 0.013 Q4 0.005 0.012 0.003 0.005 Q5 0.005 0.012 0.003 0.006整体0.005 0.012 0.003 0.006注：按储蓄五分位数和中介渠道估计的信息处理成本中位数。6.3年化成本。图6给出了给定储蓄条件下成本的条件分布估计。回想一下，rji=uncjuncii是j的UNC与退休人员i的UNC的比率，因此是免费的。所以，rji>1意味着j将i的储蓄进行年化的成本高于平均收益率。正如我们从m F igure6i中可以看到的，因为分布随储蓄而“转移”，这表明年化成本也随储蓄而增加。

在表9中，我们给出了按储蓄五分位数计算的r的统计数据，我们可以看到，平均年费用似乎并没有随着储蓄五分位数的增加而增加。当r<1时的分布形状（见图6II)可以解释这种模式。当退休人员属于这两个储蓄五分位数时，公司拥有r<1的可能性是不属于这两个储蓄五分位数时的两倍（14%对6%）。因此，这种条件分布函数的“CRO Ssing”降低了高救助者的总体平均成本。回想一下，我们使用RJI，而不是UNCJ，因为每个退休人员都是独特的，都有不同的死亡时间，并且没有将UNCjby不均匀化费用。然后，我们可以“汇集”图6中的数据：年化成本的条件分布0 1 2 3 4 5 6r0.10.20.30.40.50.60.70.80.9quintile1quintile2quintile3quintile3quintile5(i)超过全额支持-0.2 0.0.0.60.811.2 1.40.020.040.060.080.10.120.140.160.18quintile1quintile2quintile3quintile5(ii)侧重于r<1。注：该子图显示了相对年化成本的估计条件分布，按储蓄五分位数计算。第二个规则只关注r<1的支持。表9：rSavings的汇总统计s平均STD中位数。戴夫。IQRQ1 2.74 3.1 1.47 2.7 Q2 2.75 3.11 1.47 2.7 Q3 2.73 3.07 1.46 2.69 Q4 2.77 3.12 1.47 2.69 Q5 2.76 3.12 1.48 2.72注：表中显示了年化成本r的平均值、中位数、标准偏差和四分位数间范围。这些统计量是使用来自{wrs(·sq)}q=1的模拟r计算出来的，如图6i所示。在均衡状态下，成本的最低两阶统计量决定养老金，而这又取决于分布的左尾（图6ii)。因此，在最高的两个五分位数中，r<1的可能性是其他三个五分位数的两倍，这就意味着在两个五分位数和它们的盈亏平衡之间的差距。说明这一点的最佳方法是使用估计的成本分布，并确定在不亏损的情况下可以支付的最高养老金，即盈亏平衡养老金。为此，我们进行以下模拟练习：(i)对于每个储蓄五分位数，我们确定收入中位数的退休人员（在这个子样本中）；(ii)从相关分布WRS(··)中模拟{r(8):^=1,...,1000}；(ii)使用步骤(i)中计算出的退休人员的储蓄和估计收入，对于每一次提取r(^)确定UNCJ，并根据零条件下的最大养恤金，即PIJ=SiUNCJ。图7显示了这些养恤金的分布情况。我们可以看到，这些数据将把退休人员拍卖放在一起，并进行退休人员之间的比较。储蓄较高的退休人员比储蓄较低的退休人员（每美元）更多。图7：最高养老金的分布Pmax0 200 400 600 800 1000 120 140 160 180养老金0.20.40.60.8五分位数1五分位数2五分位数3五分位数4五分位数5注：退休人员最高养老金的条件分布在每五分位数内。对于每个s avings q uintile 1≤q≤5，我们从图6i所示的WRs(·sq)中模拟几个rs，并确定该组的储蓄中位数。利用这些信息和储蓄中位数，我们确定了在不造成损失的情况下最大的养老金PMAX，并估计了PMAX的分布。7.实际结果在这一部分中，我们评价了不对称信息对均衡养老金和退休人员福利的影响。然后，我们考虑通过简化现金流系统来改善市场的方法，用标准的英国拍卖来取代它，从上层移除风险评级以增加竞争（通过选择支付最高养老金的机构），并使系统自动化，这样退休人员就不会使用风险评级来选择机构。

7.1完全信息我们首先考虑养老金和福利的不对称信息，以及它们在储蓄五分位数之间的变化，以及竞争的强度（即潜在投标人的数量）。为了确定完全信息下的养老金，我们根据退休人员的储蓄五分位数和潜在投标人的继承人数量将退休人员分为1-5组。然后，对于一组中的每个退休人员，我们使用a properate WRS(·sq)来确定潜在费用r，并确定这些费用中的最低费用。获胜者将是成本最低的竞标者。然后，我们确定胜利者的盈亏平衡养老金。我们对每个退休人员重复这个步骤10,000次，并确定平均养老金。图8：养恤金估计分配数（以1000美国元计）0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.40.5q1，Pb130.15 0.2 0.25 0.3 0.350.5q1,Pb140.15 0.2 0.25 0.30.5q1,PB15 EnglishDataFull Info.0.2 0.3 0.4 0.5 0.60.5Q2,PB130.2 0.3 0.4 0.50.5Q2,PB140.2 0.3 0.4 0.50.5Q2,PB150.3 0.4 0.0.7 0.80.5Q3,PB130.3 0.4 0.5 0.6 0.0.70.5Q3,PB150.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40.5Q4,PB130.5 1 1.50.5Q4,PB140.4 0.6 0.8 1 1.2 1.1.40.5Q4,PB152 4 6 80.5Q5,PB142 4 60.5 Q5,PB142 4 6 8 10 120.5 Q5,PB142 4 6 8 10 120.5 Q5,PB142 4 6 8 10 120.5 Q5,PB15注curre nt系统（实心蓝色）、英文拍卖下（虚线蓝色）和完整信息下（虚线红色），由储蓄五分位数（行）和潜在投标人的数目（列）组成。在图8中，我们给出了选择的养老金和在完全成本信息下的养老金的分布。不出所料，养老金分布信息不完全，序列随机支配着养老金的分布。有趣的是，对于储蓄较高的人来说，这两个分布之间的差距是巨大的。在表10中，我们给出了每一组当前养老金的平均值和中位数占总信息养老金的百分比。我们发现，对于最低的三个储蓄五分之一，这个数字至少是85%，而对于前两个储蓄五分之一，这个数字明显更低。这些结果与Infigure8的成本分布形状是一致的。其次，我们还考虑了各组的货币价值比。与年金合同有关的贴现付款流的货币价值比率to 10：当前和英国拍卖下的养老金，相对t o完整信息。节省\\潜在投标人13 14 15q1(87%,87%）（88%,88%）（91%,91%）（89%,89%）（93%,93%）（89%,89%）Q2（89%,90%）（90%,90%）（94%,93%）（91%,91%）（97%,97%）（91%,91%）Q3（88%,90%）（87%,87%）（92%,93%）（88%,88%）（95%,96%）（88%,88%）Q4（54%,55%）（60%,60%）（60%,56%）（60%,56%）（60%,60%）（60%,60%）（56%,57%）（57%,57%）（59%,59%）注意：各e n TRY对应于现行制度下养老金的均值和媒体n以及英文以下的auc，表示为完全信息下养老金的百分比，用savingsquintile（行）和p势竞标者的数量（列）隔开。每个五分位数有两行：foungrst rowcorres用于当前系统，第二行对应于英国拍卖。因此，它是衡量年金合同“慷慨程度”的一个指标。如果这个比率大于/小于1，我们说一个退休人员期望挣得比她每年挣得多/少。在目前的制度下，i的货币价值比率是i选择的养老金领取时间与SI的r atio。在表11中，我们给出了群体特定的货币价值比率，它等于比率(PIPI×UNCi)/PISI，其中总和是各个群体中所有退休人员的总和。

正如我们从第1栏中看到的那样，在当前系统下，那些拥有AFP（每五分位数中的第1行）的频道比其他两个频道获得更高的货币价值比率。我们还看到，那些高储蓄的人比低储蓄的人获得的收入略好。比较表11中的数据和最后几列，我们可以看到，与前面一样，对于高储户来说，现行制度与完整信息之间的差距最大，这与图E8.7.2中的英国拍卖成本一致。增加养老金的一个方法是使制度更具竞争力。为此，wecan用标准的英国拍卖取代了目前的系统，并通过选择获胜者来“关闭”供应方的风险评级。简化过程应该会改善对那些选择的人来说。同样，关闭风险评级应该有助于更积极地投标；低储户的收益应该比高储户更可观。前者对r isk评级有更强的偏好，这意味着没有风险评级，如果退休人员储蓄较低，这应该会让ggressiver感到困惑。然而，因为这11：货币价值比率，由储蓄五分之一和渠道储蓄五分之一渠道当前英语完整信息。Q1 AFP 0.99018 0.93229 1.04419销售代理0.95663 0.93128 1.04327顾问0.95969 0.93019 1.04237 Q2 AFP 1.02480 0.95833 1.04920销售代理0.99588 0.95728 1.04828 1.04748 Q3 AFP 1.04418 0.96340 1.08998销售代理1.02315 0.96216 1.08906顾问1.01623 0.96067 1.08796 Q4 AFP 1.06109 1.13492 1.86 677销售代理1.04144 1.13166 1.86129顾问1.03278 1.12759 1.85429 Q5 AFP 1.09793 1.12368 1.87748销售代理1.07350 1.12027 1.87109顾问1.06609 1.11688 1.86514注：每一行表示一个独立组，每一分录为货币价值比率(PIPI×UNCi)/PISI，其中的总和包括该组中的所有退休人员。基于5个储蓄五分位数和3个渠道有15个组。每一栏都对应于一个独立的定价机制，其中英语是英语拍卖。选择养老金和全额信息养老金对那些储蓄较高的人来说是最大的，他们可能会在新机制中获得最大的收益。我们通过将潜在投标人视为实际投标人来实施标准的英语拍卖。我们的结果是英国养老金拍卖的一个上界。我们遵循与完全infor m t ion反事实相同的步骤，不同的是，在英国拍卖下，赢得养老金是最大的养老金和第二低的成本，在零利润下。我们给出了在英国拍卖下赢得养老金分布的核密度估计，如图8所示。尽管英国拍卖导致了更高的养老金，但大多数福利都是由前两个储蓄五分之一的人获得的。我们也可以在表10的第二行中看到这一点，每五分之一，我们在英国养老金的平均数和中位数表示为完整信息下养老金的百分比。如果考虑货币价值比，也会有类似的结果；参见表11中的两栏。我们也有兴趣确定在r Etirees的事后实用程序上使用英语拍卖的e-ect。我们不知道外部期权的效用，但我们可以确定事后总期望贴现效用，它等于βi×zj+ρij+θibij。对于每个退休人员和每个使用“获胜”养老金的机制，我们确定遗赠（如果有），然后计算事后期望贴现效用。为了说明退休人员公用事业风险等级的关闭问题，我们通过设置βi=0，计算了每种机制的两个属性：一个有βi×zj，一个没有zj，一个有βi=0。

为了从风险评级中计算效用，我们使用模拟数据，假设βii是一个正态随机变量，具有估计的组间均值和方差。我们在表12和表13中给出了不同组间的平均效用。在表12中，我们按退休人员的储蓄五分位数和潜在投标人的数量进行分组，在表13中，我们按退休人员的储蓄五分位数和他们的渠道进行分组。在每个表和foreach机制中，我们分别有两列，一列有β和一列没有（星号）β。注意表12中的每个五分位数，通过比较行，我们可以看到公用事业随着投标人数量的增加而增加，因为当有更多的资金时，养老金会增加。然而，尽管现行制度下的养老金或英国拍卖下的养老金与完全信息下的养老金之间存在很大差距（图8)，但我们的估计表明，公用事业方面的差距几乎可以忽略不计。在表13中，我们可以看到，即使我们将退休人员按储蓄五分位数和渠道分组，也可以得到类似的结果。尽管如此，这里的新情况是，那些有销售a gents（每个储蓄五分位数的第二行）的人比其他渠道的效用更高，差距随着储蓄而缩小。表12：按储蓄五分位数和潜在投标人分列的平均总效用。当前*英语*完整信息*13 8.8176 8.8180 8.8191-0.0054-0.0049-0.00396.9852 6.9851 6.9866-0.0073-0.0073-0.005811.920 4 11.9 200 11.9215-0.0073-0.0073-0.006113 3.5616 3.5618 3.5622-0.0027-0.0026-0.0026-0.002 114 3.5055 3.5054 3.5061-0.0038-0.0040-0.003 315 4.2757 4.2753 4.2760-0.0042-0.0046-0.0040-0.003 913 2.5903 2.5903 2.5907-0.0015-0.0014-0.0014-0.001 114 2.6788 2.6787 2.6791-0.0018-0.0020-0.001 515 2.8087 2.8084 2.8084-0.0081-0.0021-0.0024-0.001 813 2.4089 2.4091 2.4095-0.0007-0.0005-0.000 214 2.4462 2.4464 2.4468-0.0009-0.0007-0.000 315 2.4724 2.4726 2.4731-0.0010-0.0008-0.000 313 2.3357 2.3358 2.3359-0.0003-0.0002-0.000 114 2.2684 2.2684 2.2684-2.2686-0.0004-0.0003-0.000 115 2.3018 2.3019 2.3021-0.0004-0.0004-0.000 1注：该表显示了在curr ent、English auction和完全信息定价机制下，按储蓄五分位数和潜在投标人划分的组的平均值的总效用（3）。五分位数由水平线分隔，在每个五分位数中，行是潜在投标人的数量{13,14,15}。第4列使用估计β（图5）表示公用事业，后4列（带星号）在（3）中设置β=0。添加最佳保留价格在支出上有一个标记。表13：平均总公用事业，按储蓄五分位数和ChannelChannel当前英文完整信息。当前*英语*完整信息*AFP 9.2078 9.2073 9.2087-0.0066-0.00 71-0.0057销售代理11.7779 11.7778 11.7794-0.00 75-0.0075-0.006顾问9.239 9.2388 9.2402-0.0068-0.0069-0.0055 AFP 3.7995 3.799 3.799 3.799-0.0038-0.0043-0.0036销售代理4.4095 4.4092 4.4099-0.0041-0.0043-0.0036顾问3.585 3.5848 3.5854-0.0038-0.004-0.0033 AFP 2.6741 2.6738 2.6743-0.0019-0.00 22-0.0017销售代理2.9609 2.960 7 2.9611-0.002-0.0022-0.0017顾问2.5351 2.535 2.5354-0.0019-0.0021-0.00 16AFP 2.4637 2.4639 2.4644-0.0009-0.0008-0.0003销售代理2.5845 2.5847 2.5852-0.001-0.0008-0.0003顾问2.2824 2.2826 2.283-0.0009-0.0007-0.0003 AFP 2.3075 2.3076 2.3078-0.0004-0.0003-0.0001销售代理2.3537 2.3537 2.354-0.0004-0.0004-0.0001顾问2.2215 2.2216 2.2218-0.0004-0.0003-0.0001注：表中显示了按储蓄五分位数和渠道(AFP、销售代理和顾问）划分的群体的平均总效用（3）。第4栏使用估计的β（图5）和第4栏（带星号）在（3）中设置β=0。8结论在本文中，我们建立了一个研究不完全竞争年金市场的经验框架。

我们使用了来自智利年金市场的丰富的管理数据集来估计我们的模型。在市场上，风险规避者采用两阶段多属性拍卖的方法对年金合约和年金进行选择。人寿保险公司有关于他们的年度费用的私人信息，对于每次退休拍卖，他们决定是否参加和竞争，向更多的人提供养老金。这些数据给了我们一个独特的机会来检验关于成本、退休人员偏好和市场结构的私人信息对年金市场结果的作用。我们的主要贡献是通过估计年金的需求和供给，并评估一种可能改善该系统的更简单的机制来研究当前的市场体系。虽然在当前制度下观察到的养老金和在完全信息下的养老金之间存在差距，但对于那些储蓄较高的人来说，差距明显更大。我们还确定了用一个更简单的单因素系统取代当前系统的方法，在这个方法中，获胜的人在养老金中获得了最高的养老金，并获得了折扣公用事业。我们发现，虽然新机制增加了几乎每个退休人员的养老金，但在前两个储蓄项目中养老金增加最多，尽管效用增加最小。未来研究的一个可能途径是包括PW和Annuities之间的选择，并考虑一个双边信息不对称的不完全竞争市场。在需求方面，退休人员可能有关于他们的死亡力量和他们的遗赠偏好的私人信息。在供应方面，就像我们的情况一样，firemrs拥有关于其年化成本的私人信息。这样一个模型将揭示竞争和逆向选择的相互作用，从而比我们目前的框架对年金市场提供更丰富的洞察力。2008年。评分拍卖的性质〉，《兰德经济学杂志》39(1):69-85.伯纳，塔拉·西格尔。2 016。“连数学老师都不懂年金”，《纽约时报》。布朗，杰克瑞·R，阿里·卡普滕，埃尔佐·F·P·卢特默，奥利维亚·S·米切尔。2017年。年金估值的认知限制〉，《欧洲经济协会学报》15(2):429-462。布朗，杰克瑞·R，奥利维亚·S·米切尔，贾梅斯·波特·埃尔巴，沃肖斯基。2001年。年金市场在为退休筹资方面的作用。麻省理工学院出版社，布洛，杰里米和保罗·克伦佩雷尔。1996年。拍卖与内阁制〉，《美国经济评论》第86（1）：180-194页。2005年。年金与个人福利〉，《美国经济评论》第95（5）页：1573-1590页。2010年。最优授权与非对称信息的福利成本：来自英国的证据市场〉《经济计量学》78(3):1031-1092.2018年。“非财政捐助计划下的防贫计划：智利新团结支柱的案例”，载于《非财政捐助计划：经济和社会中边缘化和两极分化的挑战》。Fajnzylber,Eduardo和Manuel Willington。2019年。智利年金市场中的逆向选择〉，Mimeo，Feldstein,Martin。2005年。重新思考社会保险〉，《美国经济评论》第95（1）：1-24页。2002年。英国个人年金市场的选择E规则〉，《经济杂志》11 2（476）：28-50.GAO。2016年。CMS的第二轮耐用医疗设备和全国邮购DiabetesTesting供应竞争性招标计划。Jacob K.a.nd Theo O.The And Erman,美国高.Goeree代表。2002年。“私权拍卖和共同价值拍卖中的电子交易：一项实验研究”，《美国经济评论》第92（3）：625-643页。黑斯廷斯，贾斯汀，阿里·霍尔·塔·阿·基社盟，查德·西弗森。2 017。

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此外，我们使用多项式logit回归模型来验证退休人员之间的差异是否能解释他们之间的差异；更多的形式是，我们用多项式logit回归模型来验证退休人员之间的差异是否能解释他们之间的差异；见表1。我们看到s ome特征和信道是相关的。例如，那些储蓄较低的人、退休的人、男性或未婚的人比AFF更愿意使用销售代理。如果mwr=1，那么退休人员期望每一年获得1美元（以目前的贴现价值计算）。表A.1:中间渠道-多项式逻辑回归子的估计\\渠道保险公司销售-代理顾问储蓄（百万美元）0.629***-0.857***-0.130***(0.128)(0.0436)(0.0447)年龄0.0131-0.0408***-0.0816***(0.00857)(0.00189)(0.00218)女性546）（0.01 20）（0.0140）已婚0.0245 0.0620***0.0874***(0.0491)(0.007)(0.0127)常数-5.029***2.333***4.3 26***(0.560)(0.123)(0.142)n238，548 238，548 238，548 238，548注。信道的多项式logit回归估计，其中基线选择是AFP。Sta在括号内，***、**、*分别表示p值小于0.01、0.05和0.1。本文将中间通道视为外生通道。至少有三个原因让我们相信，在我们的背景下，这不是一个像它可能出现的那样强有力的假设。首先，一些间接的证据表明，当谈到一个渠道时，大多数人依赖于口头交流，这表明观察到的渠道与退休人员的“匹配”在某种程度上是外生的。第三，由于一个渠道，特别是一个代理，应该帮助退休人员“处理信息”，以捕捉这种依赖性，在实证应用中，我们允许信息成本和r isk评级的优先级依赖于渠道，方法是对每一组分别估计这些参数，其中agroup是年龄、性别、储蓄和渠道的组合。特别地，我们假定通道a能在a c中查询有关风险等级的imp值的信息。对于INTATH，我们允许那些销售代理的退休人员表现得“好像”他们在获取风险评级和养老金之间的贸易信息方面有更高的成本。我们假设在第一阶段，退休人员在理性上不注意他们对风险的偏好，但在第二阶段，他们知道他们的偏好。b附加图B.1:退休人员证书的例子注：这是一个即时年金证书的例子--如果即时年金是退休人员申请的年金合同类型之一，这是一份由公司发给退休人员的文件。该文档以ta ble的形式呈现，这里的figurrst列是o-he er代码；第二列是按O----规定的人寿保险公司的名称，第三列显示每月的p----以智利会计单位Unidad de Fomento(UF)表示，第二列表示智利比索(CLP$)；最后一栏显示了退休人员如果选择该公司，一年内不会收到的养老金与最高养老金相比的金额。例如，如果退休人员选择第三个（4个生命赛格），她每年将因第三个（Bice Vida）而损失7032美元。对于不同类型的年金，有类似但独立的表。见https://www.dropbox.com/s/vrfch6pcd91u604/longercertofquotes.pdf？dl=0以获得包括几种具有GP和DP的产品的O型ERS证书的翻译示例。

请注意，在上面的表格中，一个逗号分开的dec小数和一个期间sepa率千。图B.2:养老金率和UNCi，通过坚定的说明：这些是每月养老金ra tes的直方图和散点图，即每月养老金与储蓄的比率，以及退休人员的联合国公民身份。有2个0号，所以每个有20套四个子号。顺时针方向，foungrst子图是U NCi的直方图，a ndse cond子图是养老金率（在x-ax is上）和U N Ci（在y轴上）的散点图。第三个子图是养老金率的直方图，最后一个子图是在x轴上的sca曲线和养老金率。因此，seco nd和第四个子项显示了完全相同的信息，但其坐标轴是vuriipp Ed.c当前预期Utili It.在本文中，我们解释了在假定退休人员每月消耗全部养老金的情况下，如何从带有养老金和beques t(Pij，Bij)的年金合同中确定当前预期效用（或净当前期望值NPEV)，即U(Pij，Bij；θi）。这个公关活动需要三个步骤。首先，确定退休人员的生存概率。其次，根据契约，我们确定（时变）beque ST。我们用平均收益率作为贴现因子，计算了期望的当前磁盘收益效用。C.1基本理想intuitio n,只考虑退休后的第1个月，设Qi∈[0,1]为退休后1个月我还活着的概率。然后，所导出的当前贴现效用将是beU(Pij，Bij；θi)=u(Pij)×qi+θi×v(Bij)×(1-qi)，其中u(Pij)是来自Pij的布诺效用，v(Bij)是来自离开be quest Bij=Bij(Pij)的效用。现在，让我们考虑退休后的两个月。我们必须调整退休人员在退休时活着的生存期的概率，并考虑到死亡时留下的遗产也会改变，这反过来取决于所考虑的年金产品是否包括一个保证期。一旦我们有了生存概率，预期的贴现公用事业就变成了u(Pij)和贴现的生存月数的乘积，即xpects。当有遗赠时，U(Pij，Bij(Pij)；θi)具有直观结构。它是两个期限的总和，一个期限是u（Pij）和我预计活的不合格月数的乘积，另一个期限是v（Bij）乘以我的福利金预计收到Bij的折扣月数的乘积。在法律上，我的配偶有权在有保证的养老金期间获得我的60%养老金和100%养老金；数额可能会随着时间的推移而变化。因此，我们可以写出U(Pij，Bij(Pij)；θi)a sU(Pij，Bij(Pij)；θi):=U(Pij)×dri+θi v(0.6×Pij)×dsi+v(Pij)×DS，Gpiρi(Pij)+θi×bi(Pij)，(c.1)其中Dris是退休人员的预期寿命折现（以月为单位，从年工资开始算起），DS，GPiis是配偶（或其他福利）因保证期而将获得全额养老金的折现月数。此外，DSII是配偶将获得退休人员养老金60%的贴现月数。然而，如果年金有一个递延期，在实践中，我们不观察我的寿命。因此，为了确定退休时的预期寿命，我们估计了一个连续时间的Gompertz生存函数（如果他已婚）作为她的人口和社会经济特征的函数。我们将在下一小节中解释估计方法。我们将在本节后面讨论估计。这些“折扣预期寿命”也可以用年化成本来解释。

假设ms使用与我们相同的死亡过程，并以等于贴现率的利率投资退休人员的储蓄，那么在退休人员死亡之前，将向其提供一美元养老金所需的资本DRiis。在退休人员退休后，直到保证期限届满之前，筹集一美元钢笔用于福利的必要资本。最后，DSiis是为退休人员死亡或瓜尔人死亡前的养老金结束（在年金支付要求INS之前，退休人员获得两倍于他的养老金）之间的福利筹集养老金的必要资本。所以ρi(Pij)=u(Pij)×dri+u(2Pij)×DR，dpi，其中DR，dpi是在延迟d期内的预期寿命。现在假设年金包括保证期，我们考虑超过两个月。当年金包括一个保证期（G个月），并且年金人在G之前去世，比如在G′<G个月，她的配偶将在接下来的G′′)个月继续获得同样的笔，在那之后，他将获得原来养老金的60%。如果死亡时没有幸存配偶，无论是因为单身还是丧偶，指定的福利金领取100%的养恤金。我们假设ThereTire以同样的方式评价她的配偶或其他福利，使用效用v（位）。使用这些规则(c.1)成为su(Pij，Bij(Pij)；θi)=u(P)×DRI+θi×Gxt=0(1-qit)(1+δt)t×v(0.6×P)！=u(P)×DRI+θi×v(P)Gxt=0(1-qit)(1+δt)t+v(0.6×P)Txt=G+1(1-qit)×Qut(1+δt)T！=u(P)×DRI+θi×v(P)×DSI+v(0.6×P)×DS,GPI,(c.2)在t.c.2计算目前的预期使用额时，如果q*是配偶活着的概率，那么接下来，我们将解释如何确定由等式(c.1)给出的年金的NPEV。为了提供直觉，同时保持符号的可管理性，我们只解释一个简单的情况，即死亡原因是已知的，在所有个体中都是常见的。一旦我们理解了这个更简单的情况，允许个人特定的长寿前景是很简单的，但不是混乱的，为了简洁起见，我们在这里不描述这种情况。终止方程(c.1)的主要原因是，与固定的养老金不同，遗赠（她遗产的剩余财富）随着时间和时间的推移而变化。特别是，它取决于是否有合法福利、年金类型（在pa rticular中，年金是否有一个瓜尔提前期）和死亡时间（在保证期之前或之后）。智利法律规定，在退休人员死亡时，特定的个人可以获得生存保障。如第3节所述，我们重点关注没有合格子女（但有配偶或无配偶）的退休人员，这是我们样本中最常见的情况。配偶有资格获得相当于退休人员原养老金60%的无退休年金。死亡概率。首先，我们将死亡力模型化为一个连续的随机变量分布，即Gompertz分布。设Fm（tX）为特征为X的退休人员死亡时间的条件分布函数，设Fm（tX）为相应的条件密度。为了不简单起见，我们不考虑对x的依赖关系。在t时刻活着的概率，即在t之后死亡的概率，由幸存者函数Fm(t):=1-Fm(t)给出。我们假定FMM服从Gompertz，所以条件生存函数asFm(t t>t；λ,g)=e-λg(egt-egt)。由于分析是从退休人员的角度进行的，因此，所有相关的函数都是有条件的，直到配偶去世。退休人员和保险公司之间的贸易收益来自退休人员和人寿保险公司之间的风险态度的差异，以及退休人员的贴现率和保险公司的投资机会之间的潜在差异。为了简单起见，我们不考虑延迟期间的生存收益。

在充足的时间内，递延期至多为十年。因此，死亡的概率很低。为了使demog Raphics特征X对一个给定的ECT死亡率，我们用极大似然估计使λ=expxτ，andestimate参数（g,τ)；见第C.3.节即时年金。设t表示退休年龄，以月为单位，设δ∈(0,1）表示折扣系数。年金从退休人员去世前支付固定的福利P，因此NPEV在T时计算。我们从考虑没有配偶的即时年金开始。这种年金在死亡时不向福利金支付任何东西；因此，Bij=0。则立即年金的NPEV为ρ=z∞tu(P)Fm(tt>t)e-δ(t-t)dt。(C.3)如第C.3节所介绍的，我们假定Fmis为Gompertz分布，因此条件生存函数asFm(t t>t；λ,g)=e-λg(Egt-EGT)。在(c.3)中代入FM(t t>t；λ,g)=e-λg(egt-egt)给出ρ=u(P)×eδteλgegtz∞te-λgegte-δtdt=u(P)×DR,(c.4),其中用风险厌恶参数γ=3和贴现因子δ=ln(1+～rt)回忆u(P)=P(1-γ)1-γ,用～rtis表示在t.递延年金时的年市场收益率。如果年金合同包括d个月的延迟红色期条款，那么养老金从t+d开始。与此同时，退休人员获得一笔“临时支付”，几乎总是养老金的两倍。(c.4)中NPEV表达式的年金分量仍然是sa me,exce pt，下限是t+d和一个附加项来描述在此期间将收到的时间支付:ρ=u(2P)×(Eδteλgegtzt+dte-λgegte-δtdt)+u(P)×Eδteλgegtz∞t+de-λgegte-δtdt。(C.5)有保证期间的年金。除了延期，年金合同还可以有一个保证期条款，这意味着如果退休人员在支付开始（tor t=t+d)的一定期间内（表示为g个月）死亡，养老金总额(P)将支付给退休人员的配偶或合同中规定的其他福利，直到保证期结束。如果d=0，退休人员将获得的NPEVof福利与(c.4)和(c.5)相同，如果d>0。由于退休人员的福利金现在可以在保证期限内获得福利金，我们允许这些福利金收到的福利金，即遗赠的NPEV。假定有一个延迟期至t+d，保证期为g，则遗赠B与(c.3)相似，不同之处在于积分上限由保证期给出，瞬时概率函数对应于Fm（t t>t）,而B=B(1-γ)1-γ,其中风险厌恶参数γ=3；λ,g):B=v(P)×ZT+GTFM(tt>T；λ,g）E-δ(t-t)dt=v(P)×(ZT+D+GT+D(1-E-λg(Egt-EGT))E-δ(t-t)dt)。(C.6)容许有合资格配偶。当配偶在退休时结婚时，如果他或她超过退休人员的寿命，他或她有资格获得生存福利。这种福利直到死亡，如果没有符合条件的子女，相当于最初养恤金福利的60%。再一次，与退休人员将获得的福利(ρ)相联系的NPEV a公式并不因配偶的存在而得到（除了考虑到额外的合同权利，所获得的福利将较低）。因此，遗赠NPEV的公式必须包括一个额外的期限，以考虑在保证期限过去后配偶超过剩余期限时将支付的额外福利。假定这两个死亡过程是独立的，且遵循相同的Gompertz分布（sa meg参数，但配偶则为λspparameter）。

在这种情况下，Bequests的NPEV表达式为:B=ZT+D+GT+dV(P)×Fm(tt>T；λ,g)×e-δ(t-t)dt+z∞t+d+gv(0.6×P)×Fm(tt>t；λ,g)×FM(t-t->t-)；λsp,g)×e-δ(t-t)dt=v(P)zt+d+gt+d(1-e-λg(egt-egt))×e-δ(t-t)dt+v(0.6×P)×z∞t+d+g(1-e-λg(egt-egt))×(E-λsg(eg(t-))-eg(t-))×e-δ(t-t)dt，(c.7)其中，θ是退休人员和退休人员的配偶之间的年龄差。c.3年金供求的决定因素是退休人员的预期寿命或寿命。对于我们样本中的一名退休人员，我们观察她的退休年龄和如果她在2017年12月前去世的死亡年龄。为了预测退休时的预期死亡年龄，我们估计了一个比例风险模型，设hitbe为具有社会经济特征的re Ti在时间t∈R+的风险率，它包括i的ag e、性别、婚姻状况、储蓄和出生年份，即Hit=Limdt→0d Pr(Mi∈[t,dt)Xi,Mi≥t)dt=h(Xi)×ψ(t)，其中miis i的实现死亡日期，ψ(t)是Gompertz分布给出的基线风险率，使得i在时间t时死亡的概率为Fm（t）；λi，g)=1-exp(-λig(exp(gt)-1))，其中λi=exp(xiτ)。这种模型的定义在liter（Van Den B e rg,2001）中得到了很好的证实。对Gompertz的最大似然估计表明，较小的危险风险与年轻群体、较晚疲劳的个人、女性、已婚者和储蓄较高的人有关。ge nder和储蓄五分位数的隐含预期寿命中位数及其标准误差见表1。总体而言，50%的男性和女性预期活到86岁和95岁，相对来说，预期寿命随着储蓄而增加。D确定亚军我们将第一轮的亚军视为在第一轮中被选中的概率最高的选手。此外，在考虑roundFor的鲁棒性的情况下，我们考虑了一个包含befo re SCOMP(2004)中死亡率信息的新数据集。估计数在质量上是相同的。例如，男性和女性的死亡寿命预测中位数分别为85和96。表C.1:按储蓄计算的平均预期寿命（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄计算）（按储蓄Gompertz死亡率分布的估计。标准错误在括号中报告。一个是第二轮最有竞争力的两个项目之一，我们可以确定第二轮的亚军。为了构造在第一轮中被选中的概率，我们估计了一个系列的条件logit模型。为了进行最一般的估计，我们根据退休年龄（以下，在和ab ove NRA）,ge nder,channel（回想一下，我们将ins Anurance companies和sales ag合并为一个渠道，因此有三个渠道）和Balance五分位数，将样本分为90个独立组。对于每一组，我们估计的模型中，个人的选择取决于投资者的特征：例如，储备与资产的比率，每个投资者雇用的卖方的比例，每个投资者的投诉和保费的比例，风险评级和最低工资率。下面的表达式给出了随机效用ass与j\'s O′er对应为iηij t=γj+γ×zjt+γ×mwrij+εij t,(d.1),其中γj是公司指定变量，γ是公司指定变量的coe-cient向量。然后，观察某一特定选择的概率由Pr(di=j)=exp(ηijt)pjj=1exp(ηij)给出。