作为一个简单的例子，即使有风险中性效用(U(x)=x)，考虑两个过程～xt=e(μ-σ/2)t+σwt，xt=ert+e(μ-σ/2)t+σwt，它们对应于完全股票投资，以及半股票、半债券投资（不进行再平衡），投资的安全资产获得恒定利率r和遵循几何布朗运动的股票，预期收益为μ>r和波动率为σ。那么，两个财富过程都有相同的增长速度μ，但对应的确定性当量的比率收敛到2。事实上，也有例子，在这里，上标T表示地平线T的最优财富过程，而下标Trefer表示在时间T时对它的评估。参见Fleming和McEneaney(1995)、Bielecki和Pliska(1999；2000）和其他几个例子。Pham(2003)、F"ollmer和Schachermayer(2007)长期投资中的稳健投资组合和弱激励7这种比率在等效安全利率保持相等的情况下存在差异。因此，即使两个投资策略具有相同的等价安全率，它们也可能具有非常不同的确定性等价，这意味着代理人可能对一个策略的估值比另一个高得多。然而，当（2.6）成立时，最优策略在长期内只能略微优于等弹性对应策略，因为选择上级策略的收益小于下级策略价值的任何一部分。正是这个性质使该定理与激励方案相关，下一节将详细探讨该定理在这方面的含义。激励。一个行使价格激励的弱点。如果经理人具有等弹性偏好(～u(x)=xp/p，06=p<1)，且薪酬包括现金成分c≥0和股权成分c>0,则目标函数为(2.7)e[～u(C+cXT)]，其中x贯穿于可容许财富过程类。现在假设，股东们担心经理人的高股票风险敞口可能会阻止对预期价值为正的项目的投资，并考虑授予大于0的行权价K的看涨期权，作为冒险的激励。这样的executivestock期权通常有十年的归属期，因此我们对longhorizons的关注是相关的。包括期权授予，管理器最大化目标(2.8)E[~u(c+Cxt+c(xt-k)+)]。优化器和该问题的确定性等价与(2.9)E[(u(XT)]]相同，其中u(x)=~u(c+cx+c(x-k)+)/(c+c)p。换句话说，授予期权授权相当于用effectiveUtility U替换单个实用工具U。此效用u是严格递增的，在(K，∞)上可微，且如果p<0以及(2.10)limx↑∞u(x)～u(x)=1,limx↓0u(x)～u(x)=0,则satis firectiones u(∞)=0。因此，对于任何组合补偿c≥0，有效效用u满足假设2，但u不再在锻炼价格附近凹陷，如图1所示。事实上，创建这样一个区域是选项激励的主要目的。在不同的假设集合下，Scarpenter(2000)、Cuoco和Kaniel(2011)以及Bichuch和Sturm(2012)表明，最大化预期效用U实际上等于最大化其凹包络U，即支配U:(2.11)e[U(XT)]的最小凹函数，其中U(x)=inf{g(x):g凹，g≥U}。在当前的设置中，对于超大或超小的财富水平，凹包络都与U重合，因此它保留了U的性质(2.10).由于它也是凹的，定理2.4适用于U，并得到如下结果：其中包括唯一等价鞅测度不含原子的完全市场，以及其他解决方案。8 PAOLO GUASONI,JOHANNES MUHLE-KARBE,HAO Xing图1。

对于样本参数值(γ=1/2,c=1,c=2,c=3,K=4),有效效用函数U（实值）和相应的凹包络U（虚线值）。定理2.5如果经理问题（2.8）和凹问题（2.11）被充分提出并具有相同的解，且安全资产随时域增加，有激励（2.8）和无激励（2.7）的最优策略的确定性等价是渐近等价的。特别是，随着期限的增加，带有固定行权价格的期权授予的私人价值相对来说变得可以忽略不计。事后看来，这一结果看起来很自然，实际上是从单个期权对偏好的局部影响中得出的。然而，期权定价的直觉--它塑造了许多关于激励的文献--指向了相反的结论。在BlackScholes模型中（以及在更复杂的扩展中），看涨期权的无套利价格随着波动性的增加而增加，可以得出这样的结论：经理人被鼓励通过承担更多的风险来增加其价值。更长的期限也会增加期权的价值，这表明激励效果更强，而不是更弱。然而，在这种情况下，期权定价启发式是误导性的，因为经理人既不能出售也不能对冲期权授予，他们不关注期权的假设风险中性价值，而是关注其私人价值，风险厌恶是其核心。由于单一期权只对风险厌恶产生局部影响，长期水平与财富增长相结合会使它们的影响消失。总之，定理2.5支持了一个广泛的观察，即期权授予的规模和行使价格需要根据视界仔细选择。与大量股票头寸类似，大量期权在低罢工时可能导致不鼓励冒险。大量高罢工的期权也可能是无效的，因为使期权变得可行所必需的风险可能太大，经理人无法承受。即使是在授予时选择的最优执行价格，在资产价格发生巨大变化后，也可能很快变得不足。在实践中，激励性股票期权授予包括条款，防止经理人即使有私人账户也不能抵消头寸。长期投资中的稳健投资组合和弱激励9几个执行价格的稳健性和权力激励。我们认为，包括几个（理论上，实际上是很多）行使价格的期权授予在价格大幅变化后仍能保持其激励作用，并且对长期具有稳健性。这一直觉再次来自期权理论：Carr和Madan(2001)表明，一个具有（平滑）回报f(ST)的欧洲期权可以作为一个所有罢工的看涨和看跌期权组合的以下表示:f(ST)=f(k）+f(k）(st-k)+z(kf(k)(k-st)+dk+z∞kf(k)(st-k)+dk。（2.12）在这个表示中，术语f(k)代表一个现金数额，在远期合约中f(k)(st-k)的标价，这两个积分分别对应于静态投资组合的输入和看涨。阈值k是任意的，它决定使用的是买入而不是卖出的罢工。例如，设置k=0，这个分解表明，对于某个c>0，由相同数量的买入期权组成的投资组合在所有罢工时会得到形式f(x)=cx.一般而言，幂型f(x)=xα的收益由权重为f(x)=α(α-1)xα-2的期权的aportfolio复制。我们限制在α>0，否则激励不会奖励更高的资产价值。现在考虑这种权力激励对具有等弹性效用的经理人的影响～u(x)=xp/p。为了简单起见，将规定的薪酬设置为零，包含激励的效用函数变成U(x)=xαp/p，这意味着激励用有效风险厌恶代替经理人的风险厌恶γ=1-p:(2.13)γ*=αγ+(1-α)。这个公式有几个含义。

首先，激励方案降低风险厌恶(γ*<γ)当且仅当(1-α)(1-γ)<0。特别是，如果风险厌恶最初高于对数(γ>1)，凸收益(α>1)并不会降低风险厌恶，就像它通常是这样。总的来说，凹型报酬(α<1)使管理者的关系更加接近于γ=1，而凸的回报正好相反。因此，对于一个风险厌恶度已经很低(γ<1)的经理人来说，包括几个行权价格的看涨期权的期权授予是一个激励方案，它对地平线和股价的大幅波动都保持稳健，防止未来重新定价的需要。凹激励的回报在性质上类似于覆盖看涨头寸的组合，但设计凹激励可能不实用，因为它们将意味着大量持有股票，并在所有期限的期权中持有空头头寸。这种安排的不同寻常的性质，加上由此产生的税务和会计方面的差异，可能会使这种计划难以实施。尽管存在这些差异，但请注意，上述公式表明，这种凹权激励隐含在对冲基金经理薪酬的高水位条款中。事实上，Guasoni和Obloj(2013)发现，一个风险厌恶度为γ的对冲基金经理，其绩效费为利润的1-α的零头，就像一个有效风险厌恶度相同的所有者-投资者一样投资基金资产（2.13）。这一观察表明，尽管凹激励在公式中几乎不存在，但使用微积分的基本定理两次，然后按部分积分。在这里，我们假设所得到的优化问题在假设2.3的意义上是适定的；特别是，有效风险厌恶应该是正的。10 PAOLO GUASONI、JOHANNES MUHLE-KARBE和HAO Xing公司薪酬实际上隐含在对冲基金行业中，典型的20%的绩效费对应于α=0.8.2.3的幂激励。反例。本节概述了一个反例，它表明，如果条件（2.3）没有被充分利用，即如果一般效用U在低财富水平下与参考的等弹性效用～U相比过于厌恶风险，即使在通常的Black-Scholes模型中，定理2.4也可能失败。详细的计算在下面的第6节中给出。假设安全资产的利率为常数r>0，并且存在一个遵循几何布朗运动的单一风险资产:dst/st=(μ+r)dt+σdwt，对于一个标准布朗运动wt，常数为μ，σ>0。设～U(x)=xp/p，p<0是风险厌恶为1-p>1的参考等弹性效用，并考虑对于较大的x由U(x)=xp/p给出，对于x≤1由U(x)=xput/p*,put<p-1给出，两者之间有光滑插值。那么，在富裕阶层，通用效用U具有与其等弹性对应物～U相同的风险厌恶1-p，但在低财富水平下，相应的风险厌恶更大（超过1）。特别是，一个简单的计算表明，泛型实用工具U不满足（2.3）。在此设置中，在低财富水平下，最优的等弹性投资组合对genericutility来说风险太大，在长期内，与优化器XTT相比，U的确定性当量比递减:(2.14)limT→∞u-1(E[U(～XTT)])u-1(E[U(XTT)])=0。实际上，我们在第6节中表明，当风险资产相对于安全资产足够吸引时，这个结果成立:(2.15)μσ(1-p)>2 max 1,p-p*-1rσ。为了理解这个参数限制，回想一下在这个模型中，μ/(σ(1-p))是等弹性效用下风险资产的最优投资组合权重。因此，下限（2.15）确保风险资产与安全套相比具有较高的吸引力，从而导致较高的风险投资。

特别是，当低财富水平的风险厌恶之间的差异p-p*下降到1时，等弹性风险权重上升，导致达到低财富水平的概率非常大。事实上，(2.15)中的下限趋于合理，因为风险厌恶的差异接近1(p*↑p-1)，这与我们的主要结果一致，如果这种差异小于或等于1，(2.14)中的结果可能看起来令人费解，因为它暗示了低财富下通用效用函数的性质在长期内是重要的，即使该资产有正增长率，所以任何初始安全投资都是任意增长的，从而肯定避免了低财富。然而，最优的等弹性投资组合在风险资产中保持一定比例的财富。因此，如果股票价格下跌，风险头寸下降，安全头寸也会减少，这样财富就会进一步增加。对于另一个投资者来说，这样的投资组合可能是不可接受的，他们在低财富水平下更厌恶风险。作为一个极端的例子，回想一下，如果风险厌恶足够小，最优Mertonportfolio的财富几乎肯定会收敛到零，即使它的预期回报很高。长期投资中的稳健投资组合和弱激励113。我们首先回顾Bouchard等人建立的关于当前非光滑环境的基本概念和对偶结果。（2004）.从（2.4）中回忆泛型实用工具U及其等弹性对应物~U的值函数uTand~Ut。乐视(y):=SUPX>0(U(x)-xy)和~V(y):=SUPX>0(～U(x)-xy)分别是泛型效用U和等弹性效用~U的对偶函数，将V的定义域定义为dom(V):={y>0:V(y)<∞}，并设dom(V)为其sclosure。考虑与(2.4)相关的对偶问题:(3.1)vT(y)=infY∈ye[V(yYT)]和～vT(y)=infY∈ye[～V(yYT)]，其中y表示随机折扣因子集:y:={y=y/s:定理3.1(Bouchard-Touzi-Zeghal)假定以下成立:a)U:(0，∞)→R是非常数、非递减和凹的；b)dom(V)=[0，∞)；c)V满足对偶渐近弹性条件(V):=lim supy↓0supx∈-V(y)yxV(y)<∞；d)存在y>0使得vT(y)在(3.1)中的解是n的。那么，ut的最优解xt∈X，vtext的最优解yt∈y使得XTYTisa一致可积鞅，(3.2)xtt∈-V(yTYTT)对于某些yt>0。对于等弹性效用～u，同样的陈述成立（CF。Kramkov和Schachermayer(1999))。我们分别表示了相应的最优解～Utand～Vtby～Xtand～Yt，它们都是唯一的。此外，由于～V是可微的，(3.2)对于某些～Yt>0的情况，简化为～Xtt=-～V(～Yt～Yt)。注3.2。如果泛型效用U是可微的且严格凹的，则上述对偶结果对于一个非确定性安全资产S也成立，假设该资产从上到下被两个确定性的正过程S and（CF.（Karatzas andéitkovi\'c，2003，定理3.10))。在下面的内容中，我们将在我们的环境中验证定理3.1的所有先决条件。引理3.3假定（2.2）成立，设p6=0。然后，对于较大的财富水平，一般效用U介于其等弹性对应物UUP的任意接近倍数与加性常数之间。也就是说，对于任何>0的情况，存在一些大于0的条件：i）如果p∈(0,1）,那么对于某些常数a和b,(3.3)(1-)xp/p+b≤U(x)≤(1+)xp/p+a,对于x≥m；12 PAOLO GUASONI,JOHANNES MUHLE-KARBE和HAO XINGii）如果p<0,那么(3.4)(1-)xp/p≥U(x)≥(1+)xp/p,对于x≥m。

对于任意∈(0,1）,边际效用比的收敛性（2.2）得到了一些超大的M的存在性，使得(3.5)(1-)xp-1≤U(x)≤(1+)xp-1,对于x≥m。直到更大的M,我们可以假定泛型效用U对于x≥m是可微的。当p∈(0,1）,对于x≥m,在（m,x）上积分（3.5）给出估计ini）。当p<0时，对x≥m的(x，∞)进行积分(3.5)，并在假设2.2iii)c中使用U(∞)=0得到ii）中的估计。对于U的规律性变化，i)givelim supx↑∞U(cx)U(x)≤lim supx↑∞(1+)(cx)p/p+a(1-)xp/p+b=1+1-cp,对于任意c>0,得到lim supx→∞U(cx)/U(x)≤cp。类似地得到了lim INFX→∞u(cx)/u(x)≥cp.因此，U是有规律地变化的。在p<0的情况下，用相同的直线得到了U的正则变化。由于U是可微的，并且在非常大的财富水平上是严格凹的（如假设2.2i))，当一些非常小的y>0时，y∈(0,y)时，次微分-V(y)是单值的，并且等于(U)-1(y)。SetI(y):=-V(y)=(U)-1(y)，对y∈(0，y)。引理3.4假定（2.2）成立。则:(3.6)Limy↓0I(y)Y1–P=1。证明。集合x=I(y)，它趋向于y↓0。然后，(3.6)从mi(y)yp-1=i(U(x))(U(x))p-1=x(U(x))p-1=xp-1u(x)p-1→1中得出，作为y↓0，其中收敛性由于（2.2）而保持不变。现在让我们验证定理3.1的先决条件。引理3.5让假设2.2成立。则dom(V)=[0,∞).证明。对于p<0的情形，我们证明了该陈述；对于0<p<1和p=0的证明是相似的。当U随limx↑∞U(x)=0而增大时，对于任意x,y>0,U(x)-xy≤0。因此，对于任意y>0，则V(y)≤0。为了得到V的一个下界，回想一下（3.4）中的第二个不等式，它给出了x≥m时U的一个下界。对于相同的m，(2.3)意味着存在cm<0，使得对于x<m，U(x)≥cmxp-1。因此，当y较小时，V(y)从下面被(1+)xp/p的凸对偶限定，该凸对偶为-(1+)1-pp-1pypp-1；当y较大时，V(y)从下面被cmxp-1的凸对偶限定，该凸对偶为-p-1 p-1 2((p-1）CM)-p-1 2yp-1 p-1 2。当y∈(0,∞）时，凸对偶函数大于负对偶函数。因此，当dom(V)=(0,∞)时，y∈(0,∞)的V(y)>-∞。引理3.6泛型效用U的凸对偶V证明了对偶渐近弹性条件。长期投资中的稳健投资组合和弱激励13证明。当-V(y)=I(y)对于超小y时，该语句等价于tolim supy↓0yi(y)V(y)<∞。对于任何>0，(3.6)对于非常小的y，(1-)yp-1≤I(y)≤(1+)yp-1，例如对于某些y，y≤y。对(y，y)上的不等式进行积分得到V(y)≥(1-)～V(y)+d，对于y≤y和某些d。然后，lim supy↓0yi(y)V(y)<∞从这个V(y)的下界和I(y)的上界得到。引理3.7证明了值函数uT，～UTIN(2.4)和vT，～VTIN(3.1)。如果p<0,（3.6）得到I(y)≤(1+)yp-1。对这个不等式(y，y)进行积分得到V(y)≤(1+)～V(y)+～d，y≤y，对于一些～d。当~V(y)<0且V(y)递减时，该上界意味着V(y)从(0，∞)上一致有界，使得对于任意y>0的vT(y)<∞。另一方面，由~U(x)≤0和（3.4）中的firerst不等式可知U(x)从上面一致有界，因此对于任何T>0的uT<∞。当0≤p<1时，与p<0的情况相同的参数给出V(y)≤(1+)～V(y)+～D，y≤y，对于某个～D。当V(y)递减时，对于y≥y，V(y)从上也有界。将V(y)的这个上界与假设2.3结合，给出了对于任意T>0和y>0的vT(y)<∞。因此，由于对偶关系ut≤infy>0(vT(y)+y)，uTis也是正确的。前面的三个引理验证了定理3.1中的所有假设，因此其中的陈述成立。

对于等弹性问题UT，我们回顾（Guasoni and Robertson,2012,引理5）中的对偶结果，该结果将在下文中经常使用。引理3.8设X，Y是ft可测的随机变量，使得X，Y>0且e[XY]≤1。然后，对于任意06=p<1,pe[Xp]≤pe[Yq]1-p,对于q=pp-1,等式成立当且仅当e[XY]=1,xp-1=αY对于某些α>0.最后，我们注意到假设2.1中的limT→∞st=∞对于随机贴现因子蕴涵如下的长期性质:(3.7)limT→∞supy∈ye[YT]=0.确实，完全安全投资是可容许的，因此对于任意Y∈Y,sy收益率S≥ste[YT]的上鞅性质从假设2.1.4得到断言（3.7）。p6=0主结果的证明当响应的等弹性效用是幂型(p6=0)或对数型(p=0)时，需要不同的参数来证明主结果。首先考虑p6=0的情况。从引理3.3中回想一下，泛型实用工具U在infountity处有规律地变化。结果，确定因子之比的收敛性（2.6）来自于各效用之比的收敛性：引理4.1让假设2.1-2.3成立。则（2.6）成立，条件是(4.1)limT→∞e[u(XTT)]e[u(～XTT)]=1.14 PAOLO GUASONI，JOHANNES MUHLE-KARBE和HAO Xingproof。为了简化表示法，定义aT=u-1(E[u(XTT)])和bt=u-1(E[u(～XTT)])，并注意aT，bt≥0和aT≥bt，观察limT→∞aT=limT→∞bt=∞。的确，对于p∈(0，1)，limT→∞e[u(XTT)]≥limT→∞e[u(ST)]=∞是由limx↑∞u(x)=∞（参见（3.3）中的不等式）和假设2.1得到的。鉴于(4.1)，我们还得到了velimt→∞e[u(～xtt)]=∞。当u-1(∞)=∞时，此条件为limT→∞AT=limT→∞BT=∞。当p<0时，论证是类似的，不同之处在于tu(∞)=0，从这里两个期望效用都收敛到零，因此确定性也变成了确定性。现在，用矛盾来证明（2.6）。假定对于任何>0的情形，存在一个序列{Tn}n≥0,其中limn→∞Tn=∞,使得atn/btn≥1+.对于p∈(0,1）,U在infountity中的正则变分蕴涵atlim inftn→∞U(aTn)U(bTn)≥lim inftn→∞U(1+)bTn)U(bTn)=(1+)p>1。对于p<0,不等式U(bTn)<0和U在infountity中的正则变分蕴涵atlim suptn→∞U(aTn)U(bTn)≤lim suptn→∞U((1+)bTn)U(bTn)=(1+)p<1,上述两个不等式与（4.1）相矛盾。因此，为了证明定理2.4，它仍然需要表明如下：命题4.2让假设2.1-2.3成立。然后(4.2)limT→∞e[u(XTT)]e[u(～XTT)]=1。为了比较T→∞时的效用e[u(XTT)]和e[u(～XTT)],将它们与最大等弹性效用e[(～XTT)p/p]进行比较。因此，对于0<p<1和p<0，我们分别证明了命题4.2，因为在每种情况下，低财富水平的贡献需要不同的处理。命题4.2对0<p<1的证明。我们将重点放在等弹性投资组合的长期表现~XTT上。引理4.3让假设2.1-2.3成立。则:limt→∞e[u(～xtt)]e[(～xtt)p/p]=1。证明。为了简化表示法，在整个证明中省略了~xttis中的上标T。通过(3.3)，EhU(～xt)I{～xt<m}ie[～xpt/p]+bp(～xt≥m)e[～xpt/p]+(1-)Eh(～xt)pI{～xt≥m}ie[～xpt]≤e[U(～xt)]e[～xpt/p]≤EhU(～xt)I{～xt<m}ie[～xpt/p]+ap(～xt≥m)e[～xpt/p]+(1+)Eh(～xt)pI{～xt≥m}4.3）长期投资中的稳健投资组合和弱激励15注意U(～xt)从下面是一致有界的，因为这是对一般效用U，CF的假设。假设2.2iii)-a)。根据假设2.1，当limT→∞e[~xpt/p]≥limT→∞e[(ST)p/p]=∞时，这意味着(4.3)两边的两个条件在T→∞时收敛到零。现在，关注第三项。通过(4.4)dptdp=~xpte[~xpt]定义一个辅助概率测度PTon ft，其中的期望根据引理3.7而定义。

回想一下第3节，～yt～ytt=～xp-1t，此外，1=e[～ytt～xt]≥e[～yttxt]，因此，对于任何可容许的财富过程x，(4.5)0≥eh～yt～ytt(xt-～xt)i=eh～xp-1t(xt-～xt)i=eh～xp-1t(xt-～xt)i=xt-1。对于任何N>0，这个不等式产生(4.6)limT→∞pt(～xt≥N)=1。实际上，选择xt=STin(4.5)，它遵循1≥ept[st/～xt]≥epthst/～xti{st≥L，～xt≤N}NPT(st≥L，～xt≤N),对于任何正的L和N。结合假设2.1，得到了Slim supT→∞PT(～xt≤N)≤lim supT→∞PT(st≥L,～xt≤N)+lim supT→∞PT(st<L)≤N/L，由于L是任意性的，因此符合（4.6）。现在回到(4.3)上下界的第三项Eh(～xt)pI{～xt≥m}ie[～xpt]=PT(～xt≥m)→1,作为T→∞,其中收敛性如下（4.6）。因此，上述在（4.3）两侧的估计结果为:1-≤lim infT→∞e[u(～xt)]e[～xpt]≤lim supT→∞e[u(～xt)]e[～xpt]≤1+，这证明了该断言是任意选择的。命题4.2的证明（因此是主要结果）如下：（3.3）中的下界是[u(～xtt)I{～xtt≥m}]≥(1-)e[(～xtt)p/p I{～xtt≥m}]+b(～xtt≥m)，当T→∞时收敛到∞,因为limT→∞e[(～xtt)p/p]≥limT→∞e[(ST)p/p]=∞来自假设2.1。因此，假定Uis从下有界，limT→∞e[u(～xtt)]=∞。另一方面，泛型效用U的XTT的最优性为E[U(～XTT)]≤E[U(XTT)]，因此Liminft→∞E[U(XTT)]e[U(～XTT)]≥1.16 PAOLO GUASONI，JOHANNES MUHLE-KARBE和HAO Xing因此，命题4.2表明Limsupt→∞E[U(XTT)]e[U(～XTT)]≤1。鉴于引理4.3，我们需要证明Limsupt→∞E[U(XTT)]e[(～XTT)p/p]≤1。为了建立这个不等式，我们从以下辅助结果开始：引理4.4假定假设2.1-2.3成立，且设p∈(0,1）。则:1=limT→∞e[(YTT)q]1-pe[(～YTT)q]1-p=limT→∞yt～yt。证明。为了简化表示法，我们在整个证明中省略了XT、～XT、YT和～YT中的上标T。对于（3.5）中的m,XY的鞅性质为1=e[XTYT]=yte^U(XT)XTI{XT≥m}+e[xtyti{XT<m}]≤1+ytehxp-1txti{XT≥m}i+e[xtyti{XT<m}]。（4.7）这里，当XT≥m时，第二个恒等式使用了规则序条件U(XT)=ytyt，不等式是（3.5）中第二个不等式的结果。当T→∞时，(4.7)右边的第二项由于（3.7）而消失。就术语而言，注意：对于任意y∈Y，E[xtyt]≤1，因此，引理3.8得出(4.8)pe[XpT]≤pe[yqt]1-p,对于q=pp-1。前面的不等式和p>0意味着，对于任意y∈y，lim infT→∞e[XpT]≤lim infT→∞e[XpT]≤lim infT→∞e[xqt]1-p。回到（4.7）,对于任意y∈y，(3.6),右边两项的估计结果(4.9)1+≤lim infT→∞yte[yqt]1-p。对于任意y∈y，(3.6)表明存在一个非常小的δ<y，(4.10)(1。）-)Yp-1≤I(y)≤(1+)Yp-1，对于y<δ.固定这样的δ；XY的鞅性质意味着(4.11)1=E[XTYT]=E→YTI(yTYT)I{yTYT≤δ}+E→YTXTI{yTYT>δ}，其中对于yTYT≤δ的第二恒等式是XT=I(yTYT)。继续估算右边的第二项。设V-是凸函数V的增左导数。那么，-V-(y)在y处支配该微分-V的所有其他元素，即，对于任意x∈-V(y)而言，-V-(y)≥x。此外，当-V-不增加时，存在Cδ，使得对于任意x∈-V(y)andy>δ的x≤Cδ。鉴于（3.2）,因此当ytyt>δ时，xt≤cδ。因此，(3.7)Givese\\ytxti{yTYT>δ}≤Cδe\\yti{yTYT>δ}→0,作为T→∞.长期投资中的稳健投资组合与弱激励17转向(4.11)右边的festrin项，它从(4.10)中的festrin不等式中得出如下：yti(yTYT)I{yTYT≤δ}≥(1-)e[yqti{yTYT≤δ}](yT)1/(1-p)=1-(yT)1/(1-p)e[YqT]-1-(yT)1/(1-p)e[YqT]-1-(yT)1/(1-p)e[yqti{yTYT>δ}δ}]。（4.12）这里，第二项随着视界的增长趋于零，因为(yT)1/(1-p)e[yqti{yTYT>δ}]=e[yT(yTYT)p-1i{yTYT>δ}]≤δp-1e[yT]→0，由于（3.7）。

这些估计与(4.11)和(4.12)一起意味着:1-≥lim supT→∞(yT)1/(1-p)e[YqT]。将两边提高到(1-p)的幂，并使用对二元问题～vtin(3.1)的最优性～y，我们得到1-1-p≥lim supT→∞yte[YqT]1-p≥lim supT→∞yte[YqT]1-p。与(4.9)一起，并回顾是任意选择的，下面是1=limT→∞yte[YqT]1-p=limT→∞yte[YqT]1-p。与～xpt]=～yT（参见引理3.8)，这产生了断言。我们现在准备完成命题4.2的证明，以及主要定理2.4，对于0<p<1的情形。对于0<p<1的命题4.2的证明。我们继续省略上标T。正如引理4.4前所讨论的，它可以证明(4.13)lim supT→∞E[u(XT)]E[~XpT/p]≤1。（3.3）中的第二个不等式[u(XT)]E[~XpT/p]=E[u(XT)I{XT<m}]E[~XpT/p]+E[u(XT)I{XT<m}]E[~XpT/p]≤eutu(XT)I{XT<m}u(XT)I{XT<m}E[~XpT/p]+a p(XT≥m)E[~XpT/p]+(1+)E[XpT]E[~XpT]。（4.14）正如我们在引理4.3的证明中所看到的，右边的两个项为T→∞。对于第三种，引理3.8蕴涵(1/p)E[XpT]≤(1/p)E[YqT]1-pso，lim supT→∞E[XpT]≤lim supT→∞E[YqT]1-p，对于q=p/(p-1)，因为p>0.18 PAOLO GUASONI，JOHANNES MUHLE-KARBE和HAO Xing；另一方面，E[～XpT]=E[～YqT]1-p（同样参见引理3.8）。因此，前面的估计与(4.14)implylim supT→∞e[u(XT)]e[～xpt/p]≤(1+)lim supT→∞e[YqT]1-pe[～YqT]1-p=1+，其中最后一个恒等式来自引理4.4。因此，断言（4.13）是错误的，因为它是任意选择的。4.2。命题4.2对p<0的证明。总体策略与case0<p<1相似。然而，低财富水平对总期望效用的贡献更为微妙，因为效用可能从低于零处无界，当T→∞时，价值函数uTand～Ut收敛到零，而不是完全收敛。因此，需要对U做额外的假设(2.3)，以确保低财富水平的贡献在长期内仍然可以忽略不计。我们从以下类似的卵泡4.3开始，引理4.5让假设2.1和2.2成立。则:limt→∞e[u(～xtt)]e[(～xtt)p/p]=1。证明。为了简化表示法，在整个证明中省略了~XTAND~YTIS中的上标T。鉴于(3.4)，我们有ehu(～xt)I{～xt<m}ie[～xpt/p]+(1-)eh～xpti{～xt≥m}ie[～xpt]≤e[u(～xt)]e[～xpt/p]≤ehu(～xt)I{～xt<m}ie[～xpt/p]+(1+)eh～xpti{～xt≥m}ie[～xpt]。（4.15）让我们分别估计上下界中的两个项。对于第二项，与引理4.3的证明类似，利用辅助测量，产量(4.16)limT→∞eh～xpti{～xt≥m}ie[～xpt]=1。与引理4.3的证明相比，在p<0的情况下，对该项在（4.15）的上下界的估计不同。这里，firerst-ordercondition～xp-1t=～yt～yt，以及～y～x的鞅性质意味着e[～xpt]=～yt。另一方面，由（2.3）可知，对于常数cm>0，pU(x)≤cmxp-1，这是因为0≥UT≥E[u(ST)]，limT→∞e[u(ST)]=0是由于limT→∞ST=∞和limx↑∞u(x)=0。同样的陈述也适用于等弹性效用～U的稳健投资组合和长期投资中的弱激励19，以及任意x<m。因此:E[U(～xt)I{～xt<m}]e[～xpt/p]=e[p U(～xt)I{～xt<m}]～yt≤cme[～xp-1ti{～xt<m}]～yt=cme[～ytti{～xt<m}]→0，作为T→∞。（4.17）因此，(4.15)中的上下界的有限项随着地平线而消失。与(4.15)和(4.16)一起得出:1-≤lim infT→∞e[u(～xt)]e[～xpt/p]≤lim supT→∞e[u(～xt)]e[～xpt/p]≤1+，因为ε是任意的。备注4.6。第6节的反例将使用（4.17）中相对于预期电力效用的低财富水平的贡献计算。

因此，为了将来的参考，我们在这里总结如下：对于满足(2.3)的任何M和U，limT→∞e[U(～xtt)I{～xtt<M}]e[(～xtt)p/p]=0。仔细检查（4.17）表明U不需要凹来保证上述收敛性。与0<p<1的情况类似，命题4.2的证明（因此我们的结果）现在如下进行。对于效用U，XTT的最优性是:[U(～XTT)]≤e[U(XTT)]<0，因此对于任何T>0，则[U(XTT)]e[U(～XTT)]≤1。因此，命题4.2表明lim infT→∞e[U(XTT)]e[U(～XTT)]≥1。由于引理4.5，它可以得到结论infT→∞e[U(XTT)]e[(～XTT)p/p]≥1，这将在续集中建立。下面的辅助结果是引理4.4的类似结果：引理4.7假设假设2.1和2.2对p<0成立。然后，即使假设(2.3):1=limT→∞e[(YTT)q]1-pe[(～YTT)q]1-p=limT→∞yt～yt.证明。为了简化表示法，我们在整个证明中再次省略了XT、～XT、YT和～YT中的上标T。回到（4.11）,利用20 PAOLO GUASONI,JOHANNES MUHLE-KARBE和HAO Xing方程(4.10)中的第二不等式，1≤(1+)e[Yqti{Ytyt≤δ}](yT)1/(1-p)+e[YqT](yT)1/(1-p)+e[Ytxti{Ytyt>δ}，(4.18)其中q=p/(p-1)。现在，重复（4.11）之后的论点，在右边的第二项随着T→∞而消失。那么，将（4.18）的两侧提高到(1-p)-thpower,得到(4.19)1+1-p≤lim infT→∞yte[YqT]1-p≤lim infT→∞yte[～YqT]1-p，其中第二个不等式来自对偶问题～vtin(3.1)的最优性～y。另一方面，对于任何>0的修改，由（2.2）可知(4.20)limx↑∞u(x)(x+a)p-1=1。因此，对于任何>0,存在m,a>0,使得U(x)存在并且(4.21)(1-)(x+a)p-1≤U(x)≤(1+)(x+a)p-1,对于x≥m,a.XY的鞅性质，对于largeXT,ytyt=U(XT)的序条件ytyt=U(XT),以及(4.21)中的不等式依次产生1=e[XTYT]=e^xtyti{XT<m,a}-ayte^U(XT)I{XT≥m,a}+yte^U(XT)(XT+a)I{XT≥m,a}≥e^xtyti{XT<m,a}-ae^yti{XT≥m,a}+(1-)yte^(XT+a)pI{XT≥m,a}。到（3.7）,当T→∞时，右边的两项为零。因此，1-≥lim supT→∞yte[(xt+a)pI{xt≥m,a}]≥lim supT→∞yte[(xt+a)p]-lim supT→∞yte[(xt+a)pI{xt<m,a}]。（4.22）让我们估计下面右边的第二项。为此，p<0和xt≥0意味着tyte[(xt+a)pI{xt<m,a}]≤apyte[i{xt<m,a}]≤apyteytytδmi{xt<m,a}=apδme[yti{xt<m,a}]→0，作为T→∞,(4.23)，其中最后一步再次是（3.7）的结果。这里，δ是一个正常数，ytyt≥δmon{xt<m,a}。这种附子存在的原因如下。注意xt∈-V(yTYT)，并且在长期投资中，每个因素x都会影响投资组合和弱激励21-V(y)支配-V+(y)，其中V+(y)是V在y处的右导数。当y接近零时，V(y)是严格凸的，-V+是严格递减的。与-V+(0)=∞一起，这意味着存在δm>0，使得-v+(y)≥m，afory<δm，反过来ytyt≥δmon{xt<m,a}。鉴于（4.23）,随着视界的增长，(4.22)右边的第二项消失，因此1-≥lim supT→∞yte[(xt+a)p]。现在注意，对于任意y∈y，Eh(xt+a)ytae[yt]+1i≤1，因此引理3.8表示(4.24)pe[(xt+a)p]≤pe[yqt]1-p(Ae[yt]+1)-p，对于q=pp-1。考虑到limT→∞e[yt]=0和p<0，前面的两个不等式意味着(4.25)1-≥lim supT→∞yte[(xt+a)p]≥lim supT→∞yte[(xt+a)p]≥lim supT=0。t→∞yte[yqt]1-p，对于任意y∈y，尤其对于ytand～yt成立。将这个不等式与(4.19)结合起来，并回顾任意选择的不等式，它得到1=limT→∞yte[YqT]1-p=limT→∞yte[～YqT]1-p。与E[～YqT]1-p=E[～xpt]=～yt（参见引理3.8)，这产生了断言。我们现在准备完成命题4.2的证明，以及在p<0的情况下定理2.4的证明。对于p<0的命题4.2的证明。正如引理4.7前所讨论的，它证明了(4.26)lim infT→∞e[u(XT)]e[～xpt/p]≥1。Fix a>0。

回想一下limx↑∞u(x)/(x+a)p-1=1乘（4.20）。如（3.4）所示，(4.27)(1-)(x+a)p/p≥U(x)≥(1+)(x+a)p/p，对于x≥m,a。因此，E[U(XT)]e[～xpt/p]=e[U(XT)I{XT<m,a}]e[～xpt/p]+e[U(XT)I{XT≥m,a}]e[～xpt/p]≥(1-)e[(XT+a)pI{XT≥m,a}]e[～xpt/p]=(1-)e[(XT+a)pI{XT≥m,a}a)pI{XT<m,a}]e[～xpt]，其中不等式来自（4.27）中的fiffrst不等式，乘以两边的p<0。我们已经在(4.23)中看到，Yte[(XT+a)pI{XT<m,a}]=0.22PAOLO GUASONI，JOHANNES MUHLE-KARBE和HAO XINGAs E[～xpt]=～yt，limT→∞yt/～yt=1通过引理4.7,它遵循着limT→∞e[(XT+a)pI{XT<m,a}]e[～xpt]=0,并且依次为(4.28)lim infT→∞e[u(XT)]e[～xpt/p]≥(1-)lim infT→∞e[(XT+a)p]e[～xpt]，现在取Y为(4.24)成为Y。然后，当limT→∞E[YT]=0和E[～xpt]=E[～YqT]1-p，通过引理3.8的另一个应用，从(4.28)和引理4.7得出lim infT→∞E[u(XT)]E[～xpt/p]≥(1-)lim infT→∞E[(XT+a)p]E[～xpt]≥(1-)lim infT→∞E[YqT]1-pe[～YqT]1-p=1-.由于是任意的，这证明了（4.26）和命题4.2。5.对于p=0的主要结果的证明如果p=0，则等弹性效用～u是对数的，并且--与幂casep 6=0相比--需要不同的参数来建立主要结果。在这种情况下，边际效用比率的收敛性（2.2）意味着：引理5.1假设（2.2）成立。那么，对于任何>0，存在一个最大值，使得(1-)(a-b)≤logu-1(a)u-1(b)≤(1+)(a-b)，对于a≥b≥m.证明。对于任意的∈(0,1）,引理3.3项i中相同的论证得到m的存在性，使得(5.1)(1-)log x+b≤U(x)≤(1+)log x+a，对于x≥m和常数a，b。下界为limx↑∞u(x)=∞。设y=U(x)；则x↑∞为y↑∞。结合边际效用比（2.2）的收敛性，得到(u-1)(y)u-1(y)=xu(x)→1,即y↑∞。因此，当y≥m时，1-≤(log u-1(y))≤1+，必要时将m放大后，在区间（b,a）上对a≥b≥m积分得出结论。从长期来看，对于相应的最优投资组合和它的等弹性对应组合，一般的期望效用是不同的：引理5.2让假设2.1-2.3成立。ThenlimT→∞e[u(XTT)]=limT→∞e[u(～XTT)]=∞证明。再次，在整个证明中省略了XT、～XT和～ytis的上标T。当E[U(XT)]≥E[U(～XT)]通过XT的最优性时，第二个收敛被隐含。为了证明第二个收敛性，请注意(5.1)中的下界收益率(5.2)limT→∞e[u(～xt)I{～xt≥m}]≥(1-)e[log(～xt)I{～xt≥m}]+b p(～xt≥m)=∞。长期投资中的稳健投资组合和弱激励23这里，最后一个收敛性成立，因为对数效用的最优性~xt意味着limT→∞e[log(～xt)]≥limT→∞e[log(ST)]=∞乘limT→∞ST=∞。现在，转向低财富水平{～xt<m}的贡献。为此，假设（2.3）保证对于allx<m，U(x)≥cmx-1的CMSuce的存在。然后，E[u(～xt)I{～xt<m}]≥cme[(～xt)-1I{～xt<m}]。回想一下第3节，～x-1t=～yt～ytand～yt1。鉴于(3.7)，右手边的项因此在T→∞时收敛到零，因此lim infT→∞[u(～xt)I{～xt<m}]≥0。与（5.2）相结合，这个con将实现断言中的第二个收敛（反过来也是第二个收敛）。设置at=e[u(XTT)]和bt=e[u(～XTT)]。正如我们在上面所看到的，当T→∞时，在≥bt，两个效用都趋于满足。根据引理5.1，相应确定性当量之比的收敛量EU-1(aT)/U-1(bT)→1与效用在长期内消失的At-BtoF之差是相等的。这与幂次情形P6=0相反，在幂次情形中，确定因子比的收敛性与引理4.1中AT/BTOF利用率比的收敛性是等价的。因此，在p=0的情况下需要不同的估计。

另外，主要结果的证明是建立在以下长期渐近的基础上的，其技术证明推迟到5.1节。命题5.3设p=0，假设2.1-2.3成立。那么:i)p-limt→∞～xtt=∞；ii)p-limt→∞xtt=∞；iii)p-limt→∞xtt/～xtt=1。这里，p-limt→∞表示P概率收敛。有了命题5.3，我们现在可以完成P=0情况下的主要结果的证明:P=0的定理2.4的证明。在整个证明中再次省略了XT、～XT和～ytis的上标T。如前所述，由于引理5.1和5.2,它suf festo proverimit→∞e[U(XT)-U(～XT)]=0。当e[U(XT)]≥e[U(～XT)]时，我们只需证明(5.3)lim supT→∞e[U(XT)-U(～XT)]≤0。对于任何>0的情况，边际效用比的收敛性（2.2）意味着存在一个suf festary m，使得x(x)≤1+。结果:U(x)-U(～x)=zx～xyyu(y)dy≤(1+)(log x-log～x)，对于x≥～x≥m。恒等式～yt1来自于1=e[～XT/～XT]=e[～XT～yt]=～yt，其中e[～XT～yt]=1用于获得第三个恒等式。24 PAOLO GUASONI、JOHANNES MUHLE-KARBE和HAO Xing选择x=XTand～x=extin前面的不等式导致toeh U(XT)-U(～XT)i{～XT≥m，XT≥m}i≤eh～XT)i{XT≥～XT≥m}i≤(1+)e logxt～xti{XT≥～XT≥m}，(5.4)其中不等式成立，因为当XT<～XT时U(XT)<U(～XT)。现在，观察0≤e logxt～xti{xt>～xt≥m}≤e logxt～xti{xt>～xt}=e logxt～xtü1，而且，对于所有T>0，最后一个不等式由于~xt的数值性质成立，即对于任何可容许的x（参见(4.5)p=0)来说，e[xt/～xt]≤1。结果，de Lavallee-Poussin的判别准则（Shiryaev,1996,引理3）暗示族对数xt～xtü1在T中是一致可积的。连同提议5.3iii)，该结果为(5.5)limT→∞e logxt～xti{xt>～xt≥m}=0。鉴于（5.4）,下面是Lim supT→∞eh U(XT)-U(～XT)i{～XT≥m，XT≥m}i≤0。在接下来的两段中，我们将显示lim supT→∞eHu(XT)I{XT≤m orext≤m}I≤0,(5.6)lim infT→∞eHu(～XT)I{XT≤m或～XT≤m}I≥0。（5.7）将这三个不等式结合起来，得到（5.3）,然后在p=0的情况下完成定理2.4的证明。为了成立（5.6）,注意命题5.3 ii）giveslim supT→∞eàU(XT)I{XT≤m}≤U(m)lim supT→∞p(XT≤m)=0。长期投资中的稳健投资组合与弱激励25另一方面，[U(XT)I{XT>m,～XT≤m}]≤(1+)e[log(XT)I{XT>m,～XT≤m}]+a P(～XT≤m)≤(1+)e logxt～xti{XT>～XT}+(1+)e[log(～XT)I{x≥m,～XT≤m}]+a P(～XT≤m)≤(1+)e logxt～XT>～XT}+((1+)log m+a)P(～XT≤m)=(1+)e logxt～XTü1+((1+)log m+a)P(～XT≤m)。现在，命题5.3iii）和在（5.5）的导数中建立的一致可积性表明，当T→∞时，右边的第1项收敛于零。同样，由命题5.3i)，第二项也随着视界的增长而趋于零，符合（5.6）。为了证明(5.7)，请注意命题5.3ii所示的lim infT→∞e[U(～xt)i{～xt>m,xt≤m}]≥U(m)limT→∞p(～xt>m,xt≤m)=0。因此，(5.8)lim infT→∞e[U(～xt)I{～xt≤m}]≥0。为此，(2.3)给出了cm_1的存在性，使得U(x)≥cmx-1对于x≤m来说，当x≤m时，U(x)≥cmx-1t=～yt～yt=yt=1和(3.7)时，[U(～xt)I{～xt≤m}]≥cme[(～xt)-1I{～xt≤m}]=cme[～yti{～xt≤m}]→0,作为T→∞。因此（5.8）和（5.7）在这两种情况下都被证明，完成了定理2.4的证明。5.1.命题5.3的证明。本节通过建立辅助命题5.3对定理2.4在p=0中的证明进行了总结。在以下所有证明中，省略了～XT、XT、YT和～ytis中的上标T，以方便表示。我们从引理4.4的类似式开始：引理5.4设p=0，并假定假设2.1-2.3成立。ThenlimT→∞yt～yt=1,其中yt=1如我们以前所见（参见。

脚注15）.证明。这个证明遵循引理4.4中的论点，其中许多估计在p=0时被简化。的确，一方面，与（4.7）中相同的估计结果是1≤1+yte xtxti{xt≥m}+e[xtyti{xt<m}]≤1+yt+e[xtyti{xt<m}]。这里，项e[xtyti{xt<m}]由于(3.7)而作为T→∞消失，因此(5.9)1+≤lim infT→∞yt.26 PAOLO GUASONI、JOHANNES MUHLE-KARBE和HAO Xining另一方面，导致（4.11）的相同论点也是结果1=e~yti(yTYT)I{yTYT≤δ}+e~yttx=e~yti{yTYT≤δ}Ti{yTYT>δ}，其中右侧的第二项随着T→∞消失，其原因与（4.11）后相同。关于第一项，(3.6)对于p=0表明，对于任何y<δ和一些非常小的δ，I(y)≥(1-)y-1。因此:E→yti(yTYT)I{yTYT≤δ}≥(1-)P(yTYT≤δ)YT=1-yt-1-ytp(yTYT>δ)。这里第二项也趋于零，因为eytp(yTYT>δ)=e ytytyti{yTYT>δ}≤δ-1 e[YT]→0，由于（3.7）。结合上述估计，我们得到(5.10)1-≥lim supT→∞yt。因此，由于ε是任意的，所以该断言接着结合（5.9）和（5.10）。利用前面的结果，我们现在可以验证命题5.3的两项。引理5.5设p=0，假设2.1-2.3成立。然后:p-limt→∞～xtt=∞和p-limt→∞xtt=∞。证明。回忆对数最优投资组合的数值性质(4.5)~x:E[xt/~xt]≤1对于任何T和任何可容许的回报x。断言的figurrst部分又逐字逐句地跟随在（4.6）的推导中，其中PTis取代了BYP。对于断言的第二部分，对于任意N>0，存在y≤yn的ati(y)>N。这里，yNis选择suf非常小，因此-V(y)是单值的，对于y≤yn用I(y)表示。对于选择的N,P(xt≤N)≤P(xt≤N,ytyt≤yN)+P(ytyt>yN),右边的第二项随着T→∞而消失，由于(3.7)，limT→∞yt/～yt=1,且～yt=1（参见引理5.4）。figurrst项确实是零，因为在{yTYT≤yN}上xt=I(yTYT)>N。因此，断言的第二部分如下。要完成命题5.3的证明，还需要验证第三项）。为此，建立了一些辅助结果：引理5.6假定假设2.1-2.3对p=0成立。则:p-limt→∞xttytt=1。证明。对于任何>0，边际效用比（2.2）的收敛性意味着M的存在性，使得U(x)在M之上是可微的，并且对于x≥M,xU(x)≥1-/2。对于这样的m，(5.11)P(xtyt≤1-)≤P(xtyt≤1-，xt≥m)+P(xt<m)。根据引理5.5，右边的第二项随着T→∞而消失。为了估计这一项，回想一下yt=U(XT)/yton{XT≥m}。因此，在长期投资中，forT≥t*,P(xtyt≤1-，XT≥m)=P XTU(XT)≤yT(1-)，XT≥m≤P(1-/2≤yT(1-))，稳健投资组合和弱激励27，其中不等式成立，因为在{XT≥m}上XTU(XT)≥1-/2。根据引理5.4,上述估计为limT→∞p(xtyt≤1-,xt≥m)=0。回到（5.11）,给出limT→∞p(xtyt≤1-）=0。沿着这条线，得到了limT→∞p(XTYT≥1+)=0的结果，完成了证明。推论5.7设p=0，假设假设2.1-2.3成立。则:limt→∞e[xttytt-1]=0。证明。通过在以前的引理Ande[XTTYTT]=1中建立的概率收敛，这是从Scheffe引理(Williams，1991，5.5.10)中得到的。设置rt=xtt/～xtt。下面的估计是证明命题5.3iii)的关键。引理5.8设p=0，假设假设2.1-2.3成立。那么:limt→∞e1-xttyttrt rt-1=0。证明。回想一下规则级条件～yt～yt=～x-1t。

当1=e[～yt～xt]≥e[～ytxt]时，它遵循[～x-1t(xt-～xt)]≤0。类似地，1=e[YTXT]≥e[YT～XT]产量[YT(～xt-xt)]≤0。将前面两个不等式加起来，并使用确认rT=xtt/～xtt=(5.12)0≥e[(～x-1t-yt)(xt-～XT)]=e1-xtytrt(Rt-1)。当xtyt≤rT≤1或1≤rT≤xtyt时，观察到(1-xtyt/rT)(Rt-1)≤0。因此，e“1-xtytrt(Rt-1)-#≤e1-xtytrt(1-rT)I{xtyt≤rT≤1或1≤rT≤xtyt}。当E[((1-xtyt/rT)(rt-1))+]≤E[((1-xtyt/rT)(rt-1))-]乘（5.12）时，它如下:1-xtytrt rt-1≤2e1-xtytrt(1-rT)I{xtyt≤rT≤1或1≤rT≤xtyt}。（5.13）现在，估计右侧的期望。在集合{XTYT≤rT≤1}上，我们有(1-XTYT/rT)(1-rT)≤(1-XTYT)，所以1-xtytrt(1-rT)I{XTYT≤rT≤1}≤eut(1-XTYT)I{XTYT≤1}≤e[(1-XTYT)I{XTYT≤1}]+e[(1-XTYT)I{1-<XTYT≤1}]≤P(XTYT≤1-)+，对于任何>0.28PAOLO GUASONI，JOHANNES MUHLE-KARBE，和HAO Xing引理5.6表明右边的fyrrs项消失为T→∞。正如所选择的那样，此产率为(5.14)limT→∞e1-xtytrt(1-rT)I{XTYT≤rT≤1}=0。在{1≤rT≤XTYT}时，我们有XTYT/rT+rT≥2和(1-XTYT/rT)(1-rT)≤XTYT。因此:e1-xtytrt(1-rT)I{1≤rT≤XTYT}=e1-xtytrt(1-rT)I{1≤rT≤XTYT,XTYT≤1+}+e1-xtytrt(1-rT)I{1≤rT≤XTYT,XTYT≤XTYT t>1+}≤euto(1-XTYT)I{1≤rT≤XTYT,XTYT≤1+}+euto(xtyt-1)I{XTYT>1+}≤+e[xtyt-1]。根据推论5.7,右手边的第二项收敛于0,我们得到(5.15)limT→∞e1-xtytrt(1-rT)I{1≤rT≤xtyt}=0。(5.13)、(5.14)和（5.15）一起得到断言。我们现在准备完成命题5.3iii的证明。命题5.3iii的证明）。引理5.8意味着p-limt→∞(1-xtyt/rT)(1-rT)=0。与引理5.6结合，得到断言p-limt→∞rT=1。6.反例分析在本节中，我们对2.3节中的反例进行了详细的分析。回想一下，U(x)=xp/p，p<0表示非常大的x，U(x)=xput/p，put<p-1，表示x≤1。在下文中，我们将证明，如果(2.15)是给定的，那么(6.1)limT→∞e[U(～XT)]e[～U(～XT)]=∞和lim supT→∞e[U(XT)]e[～U(～XT)]≤1，因此(6.2)limT→∞e[U(～XT)]e[U(XT)]=∞是给定的(2.14)（参见引理3.1）。实际上，设置at=u-1(E[u(～XT)])和bt=u-1(E[u(XT)])。如果lim supT→∞e[u(～xt)]远离零有界，则lim supT→∞在<∞处。而当T→∞时，U(∞)=0和limT→∞ST=∞屈服于0≥e[U(XT)]≥e[U(ST)]→0，因此limT→∞bt=∞。因此，limT→∞at/bt=0成立。当稳健投资组合和弱激励长期投资29limT→∞e[u(～xt)]=0时，则limT→∞at=∞。当存在δ>0时，即Liminft→∞aT/bT≥δ，则Limsupt→∞U(aT)U(bT)≤Limsupt→∞U(δbT)U(bT)=δp<∞,因为U≤0与（6.2）相矛盾。为了证明(6.1)中的收敛性，本文给出了(6.3)limT→∞e[～xp→ti{～xt≤1}]e[～xpt]=∞。在Black-Scholes模型中，电力效用～U(x)=xp/p的最优风险权重为～π=1-pσ.从单位初始资本开始的相关财富过程为~xt=exp r+1-2p2(1-p)∑σt+1-pσσwt。简单的计算显示(6.4)~xputte[~xpt]=exp(pè-p)rT+pè(1-2p+pè)2(1-p)+qèσt e pè1-pèσwt，其中q=p/(p-1)。求出一个新的概率测度q~viadq~dpft=e~p~1–p~σwt，则w~T=wt–p~1–p~σT是[0,T]上的q~-布朗运动。因此，EP E p:/1-pTMσwt i{～xt≤1}=q:/1-pTMσwt≤-r+1+2p2(1-p)∑σt=q:/1-p∑σσt≤-rT-1-2p+2(1-p)∑σt=q:/1-p∑σσt√t≤-r√tTM1-2p+2p:/2(1-p)∑σσt，注意到-r:/1-2p+2p:/2(1-p)∑σ>-r+2(1-p)∑σ>r+2(1-p)∑σ>0，其中不等式从p:/<p-1开始，第二个不等式成立dueto/σ>2(1-p)r in（2.15）。

因此:limT→∞ep p}1-p}σwt i～xt≤1=limT→∞q:/1-p}σw}t√t≤-r√t://1-2p+2 p}2（1-p）σσt=1.（6.5）对于（6.4）右侧的指数因子，请注意p}（1-2p+p}）2（1-p）+q>030 PAOLO GUASONI、JOHANNES MUHLE-KARBE和HAO Xing，因为当p}<p}1时，p}（1-2p+p}）在p}中严格递减，所以p}（1-2p+p}）在p}中是严格递减的。如果(2.15)是给定的，则得出(6.6)(p*-p)r+p*(1-2p+p*)2(1-p)+qμσ=(p*-p)r+p*+1-p2(1-p)μσ>0，因此(6.4)右边的指数项发散为T→∞。因此，(6.3)是在考虑（6.5）后得到的。现在考虑（6.1）中的第二个收敛性。我们来证明(6.7)limT→∞e[U(XT)I{XT≤m}]e[～xp/p]=0。当市场完全时，存在一个公共的随机折扣因子yandyt，～yt>0，使得U(XT)=ytytand～xp-1t=～ytyt。因此，xt=iyt～yt～xp-1t，其中I=(U)-1。取值u*(T,x):=uIyt～ytxp-1。忆及U(x)=XP*/P*表示小x。因此，对于小x，u*(T,x)=p*yt～ytp*p*-1xp-1p*-1p*。另一方面，对于任何T≥Tdue toLemma 4.7,存在1/2≤yt/～yt≤2。因此，当U被U*替换时，(2.3)就会被修改，即对于T>T，lim infx↓0 U*(T,x)xp-1=lim infx↓0 p*yt～yt p*p*-1xp-1p*-1=0，其中第二个收敛性保持不变，因为p*<p-1<0。然后从备注4.6得出结论:limT→∞e[U(XT)I{XT<M}]e[～xpt/p]=limT→∞ehu→(T，～XT)I{～XT≤(U(M)～yt/yt)1/(p-1)}ie[～xpt/p]=0,对于任何M>0的情况，(6.8)。另一方面，a>0。对于任何>0都存在Ma，例如，1-≤U(x)/(a+x)p-1≤1+(x≥Ma)。然后(4.27)，其中的第二个不等式得到(6.9)e[u(XT)]e[~xpt/p]≤e[u(XT)I{XT<ma,}]e[~xpt/p]+(1+)e[(a+XT)pI{XT≥ma,}e[~xpt]，其中右边的项由于(6.8)T→∞而消失。对于上述项，使用(4.22)limT→∞yt/～yt=1和～yt=e[～xpt]，得到lim supT→∞eut(a+XT)pI{XT≥m}e[～xpt]≤1-。综上所述，(6.9)收益率lim supT→∞e[u(XT)]e[～xpt/p]≤1+1-右侧的两项估计值符合（6.1）中任意选择的第二收敛性。长期投资中的稳健投资组合和弱激励31参考。V.Acharya、K.John和R.K.Sundaram。关于重置executivestock选项的最优性。J.金融c。《经济学人》,57（1）：65-101,2000.Amihud和B.Lev。降低风险作为企业合并的管理动机。《经济学人》,12（2）：605-617,1981.M.Bichuch和S.Sturm。凸激励方案下的投资组合优化。金融学报，2012。出现。T。R.Bielecki和S.R.Pliska。风险敏感的动态资产管理。阿普尔。Math.Optim,39（3）：337-360,1999.T.R.Bielecki和S.R.Pliska。具有交易成本的风险敏感资产管理。金融学，第4（1）：1-33页。博尔顿和M.德瓦特里庞。契约理论。麻省理工学院出版社，剑桥，2005年。Bouchard、N.Touzi和A.Zeghal。效用最大化问题的对偶形式：非光滑效用的情形。安。阿普尔。《概览》，14(2):678-717，2004.a.Cadenillas,J.Cvitani c,F.Zapatero。通过努力和波动性的选择来杠杆决策和经理薪酬。J.金融c。《经济学人》，73(1):71-92，2004.a.Cadenillas,J.Cvitani c,F.Zapatero。最优风险分担与努力和项目选择。J.经济。理论，133(1):403-440，2007.木匠。期权报酬是否增加了管理层的风险偏好？J.财务，55(5):2311-2331，2000年。卡尔和D.马丹。衍生证券的最优定位。定量。财务，1(1):19-37,2001.M。A.陈。经理期权重新定价，激励和保留。J.Finance,59（3）：1167-1200,2004。C.考克斯和C.F.黄。一个连续时间投资组合收费公路定理。J.Econom.Dynam。对照，16(3-4):491-507,1992。Cuoco和R.Kaniel。存在委托投资组合管理的均衡价格。J.金融c。《经济学人》，101(2):264-296，2011.Cvitani\'c和J.Zhang。连续时间模型中的契约理论。斯普林格，海德堡，2013年。A.DeFusco,R.R.Johnson和T.S.

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