正如Jacobson et al(2011)[8]所表明的那样，在大型银行危机中发现了累积性债务和企业违约的实质性和稳定性影响的stron g证据。此外，当经济增长更快时，违约频率往往会显著增加。直观地说，当市场状况或宏观经济变得更加不确定时，银行或其他贷款人往往不那么谨慎，并收回对投资者的eir贷款，使投资者更容易违约。关于我们的模型的另一个有趣的事实是，在firegrms的“缺省间隙类”的分布中有一个“移动”。比较图4中的firegrst和第三个图，不难看出firegrms的缺省间隙的分布倾向于沿着抛物线向右移动，向上抬起右尾巴，向下压左尾巴。此外，违约缺口较大的类的变化明显大于违约缺口较小的类的变化。这个有趣的现象可以用非常合理的方式来解释。众所周知，企业的资本结构、治理结构等是衡量企业实力的重要指标。特别是，这些属性在启动期或未成熟期往往更易变或变化更大。贝克等人。Ivashina和Scharfstein(2004)[1]以及Ivashina和Scharfstein(2008)[7]认为，在危机期间，拥有更好的治理结构和资本结构的公司更有可能从违约中幸存下来。初创企业或开发较少的企业（低级别企业）系统上比那些较大和成熟的企业（高级别企业）有更大的违约缺口。较低阶层的优秀候选人，即那些没有成熟，但治理方式相对较好或资本结构合理的候选人，将比同阶层的同行更容易获得资金或在危机中贷款。我们期待每个班都有好的候选人。由于资本结构和治理方式的方差在下层中较大，因此下层的变动幅度较大。5.1恒定强度在这一部分，我们给出了一些模型参数的估计方法。然后，我们将Our提出的模型与从Guo，Jarrow和Lin(2008)[5]中提取的实际数据进行了比较。对于实际数据，表1报告了经济日期和记录默认日期之间的时间间隔，N=180天，摘自Guo，Jarrow和Lin(2008)[5]。从表中可以看出，经济时间与记录的缺省时间之间的时间密度函数是一个“U”形。对于我们的模型，我们假设状态过程遵循如例1所示的两状态连续时间马尔可夫链。的确，来自情商。（7）我们观察到经济时间与记录的缺省时间之间的时间间隔的密度函数总是凸的。事实上，只要满足以下条件，就可以很容易地表明引理2密度函数具有“U形”行为:(i)e-(λ+λ)N/2λ-λ≤0(i)0≤λ-λ。我们指出，如果N很大，为了估计模型参数，我们采用最大对数似然法估计了所需参数λ和λ（见附录C)，由此得到了两个参数的估计:λ=0.3631和λ=0.0238。我们还给出了经济与违约时间之间的时间密度函数，并与所提出的模型（例1）和实际数据进行了比较。我们注意到，两状态常数速率m odel不能很好地反映realdata，尽管它可以捕捉到分布的重要“U形属性”。5.2随机强度在这个例子中，我们假设firemrm(St)t≥0的状态过程遵循一个两状态连续时间马尔可夫链，其随机转移速率取决于底层过程(Xt)t≥0，如第3.2.1节所述。

通过设置μ=-0.52，μ=0，θ=1，λ=0.2,x=1，N=180，表1：经济数据和记录的违约数据之间的时间18](18，36](36，54]（54,72](72,90]公司数目24 13 6 5 3天（90,108]（108,126]（126,144](144,162]（162,18 0]公司数量1 4 4 2 110 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200000050.10.150.20.250.30.35天概率（建议的模型）频率（实际数据）图1：两种状态常数利率模型与实际数据的比较0 50 100 150 200000050.10.150.20.250.30.35时间概率κ=1κ=5κ.图2：经济违约与记录违约之间的时间间隔n与σ=5,γ=0.1和di-erentκ.和b=-0.9992-0.70710.0400-0.7071和改变参数κ、γ和σ的值，我们计算记录违约与经济违约之间时间间隔的密度函数，如图2、3和4所示。通过设置上述参数，在itial状态为轴给定byAX(0)=-0.5000 0.50000.0200-0.0200。图3表明，随着跳变大小的增加，w hich意味着公共因子从更大的跳变开始，两个违约时间的间隔趋于减少。我们在图4中证明，随着公共因子波动率的减少，违约时间的间隔增加。对于两种状态的随机转移率模型，我们在图5中再次给出了经济违约和记录违约之间的时间间隔的分布。We0 50 100 150 20000.10.20.30.40.50.60.7time概率γ=0.1γ=1γ=10图3:κ=1,σ=5和di erentγ之间的时间间隔n。假设参数由μ=-0.5120,μ=0,θ=1,λ=0.2,κ=1,σ=9,γ=3.6,x=1,n=180和b=-0.9997-0.70710.0246-0.7071给出，其中给定的轴的初始状态为byAX(0)=-0.5000 0.50000.0120-0.0120。通过对κ、σ和γ进行网格搜索获得上述参数集目标是使误差的均方最小化。0 50 100 150 200 000050.10 150.20 250.30.35时间概率σ=1σ=5σ=10图4：经济违约和记录违约之间的时间间隔关系式n,κ=1,γ=0.1和记录违约之间的时间间隔关系式σ.6结论：本文提出了一个简化模型来表征经济违约和记录违约时间。我们假设状态过程遵循连续的TimeMarkov链，具有取决于宏观经济公因式的随机转移速率。导出了τe、τr依赖于随机转移矩阵PX(s，t)的概率规律。我们也给出了PX(s，t)在某些情况下的评价。本文研究了在转换率不变的情况下，经济违约时间和有记录违约时间的概率分布，以及潜在公因子f在基本情况下的概率分布。数值实验表明，本文提出的模型能够捕捉到经验数据的特征，两态常率模型能够捕捉到“U”形的p波，但数据不能反映模型的特征。对于我们以后的研究，我们将考虑一个多态常速率模型。我们期望额外状态的引入可以帮助改进模型，从而更好地筛选真实数据。对于两态随机0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 000050.10.150.20 250.30.35天概率（提出的模型）频率（真实数据）图5：经济违约与记录违约之间的时间关系具有随机强度。我们将在今后的研究中发展模型参数的估计方法。7附录7.1附录A（命题2的证明）我们注意到EQ。（2）源于情商。（1）通过使用P(τr=Ni+1G∞)=P(τe∈(Ni,Ni+1]G∞)，公式（3）由公式（1）通过使用P(τr-τe>tG∞)=∞xi=0P(τe∈(Ni,Ni+1t]G∞)，公式（1）由byP(τe∈(Ni,Ni+t]G∞)=k-1xni=1P(Sn6=K,...）。

,SnI-16=K,SnI=ni G∞）P(τe∈(ni,ni+t]SnI=ni,G∞）=K-1xNi=1K-1xNi-1=1。..K-1xn=1p(Sn=n,..,Sni-1=Ni-1,Sni=ni G∞)×Px(ni,ni+t)ni,Kexpn-RNi+1ni+tλK(Xu)duo=K-1xNi=1K-1xNi-1=1。..k-1xn=1px(N，N)S,N。...PX(Ni-1,Ni)Ni-1,niPX(Ni,Ni+t)Ni,k×expn-rNi+1Ni+tλk(Xu)duo=i-1yj=0p**x(Nj,Nj+1)·p*x(Ni,Ni+t)s,kexpn-rNi+1Ni+tλk(Xu)duo.7.2附录B.1（命题3的证明）证明:eq.s(12)和（13）是明显的，可以显示eq。（11）。现在wehaveP(τe∈(Ni,Ni+t]g∞)=I-1YJ=0mexp“ZnJ+1 njμ(Xu)du#+mexp”ZnJ+1 njμ(Xu)du#！×nexp Zni+TniTM(Xu)du+nexp Zni+TniTM(Xu)du×exp Zni+1Ni+Tpμ(Xu)+Pμ(Xu)du=xe∈Ei M(e)exp Zni+1 nμ(e，u)du。henceP(τe∈(Ni,Ni+t])=xe∈Ei M(e)exp Zni+1 nμ(e，u)du）杜。（15）对于给定的e∈Ei,letri+1(e)=Pμ+PμRJ(e)=μEJ,j=0,1,。.，Iwi+1(e)=0wi(e)=β(n-t；Ri+1(e)，wi+1(e))wi-1(e)=β(t；Ri(e)，wi(e))wj(e)=β(N；rj+1(e)，wj+1(e))，j=0，1，..，i-2vi+1(e)=exp[α(n-t；Ri+1(e)，wi+1(e))]vi(e)=exp[α(t；Ri(e)，wi(e))]vj(e)=exp[α(N；Rj(e)，wj(e))]，j=0，1，。然后我们可以将μ(e，s)=1{s∈[Ni+t,Ni+1)}(Ri+1(e)Xs)+1{s∈[Ni,Ni+t)}(Ri(e)Xs)+I-1xj=0{s∈[Nj,Nj+1)}(Rj(e)Xs)改写为μ(e，s)=1{s∈[Nj,Nj+1)}。（10）我们Obtaine exp[rni+1 nμ(e,u)du]=e exp[rni+tnμ(e,u)du]e(exp[rni+1ni+tri+1e)Xudu]GNi+t)=vi+1e)e exp[rni+tnμ(e,u)du]e(exp[rni+tnμ(e,u)du]e(exp[rni+tnμ(e,u)du]e(exp[rni+tnμ(e,u)du]GNi)=vi+1e)vi(e)e exp[rni+xni+t]）du]exp[wi-1(e)xNi]=vi+1(e)vi(e)e exp[rni-1nμ(e,u)du]e(exp[rnini-1ri-1e)Xudu+wi-1e)xni]gni-1)=vi+1e)vi-1e)e exp[rni-1e)xni-1]=(qi+1j=0vj(e))exp[β(n；R(e)，w(e))x]（通过迭代）因此eq。（11）以下7.3附录B.2（命题4的证明）证明：我们用命题3的证明，对于i≥1,P(τe∈(Ni,Ni+t)FN)=mexprnμ(Xu)dui+mexprnμ(Xu)dui-1(XN,t)Hi(X，t)=eh mexprnμ(Xu)dui+mexprnμ(Xu)dui-1(XN,t)i(16),我们得到(X，t)=a0,1exp(b0,1X)+a0,2exp(X)b0,2X)组合方程。（16）和（10）,命题4如下。7.4附录CLetδ=18天，Ti=δi,i=0,1,。...,10。设经济数据和记录的缺省数据在区间(Ti-1,ti]内的次数为niden，则给出对数似然函数byL(λ,λ)=xi=1ni lnh(e-λti-1-e-λti)-e-(λ+λ)N(eλti-1-eλti)i-lnh1-e-(λ+λ)ni。设l(λ,λ)λ=0l(λ,λ)λ=0,得到λ和λ的两个非线性方程。数值求解这些方程得到λ=0.3631和λ=0.0238。确认：部分由GRF赠款支持的研究，香港大学物理研究基金及香港大学洪兴英物理研究基金。参考文献[1]J.Baeka,J.Kang和K.Park，公司g.政府和财务v.alue：来自韩国的证据，金融经济学杂志71（2004）265v31。[2]F.Black和M.Scholes,期权和公司负债的定价，政治E.conomy,81（3）,637-654,1973。[3]D.DuèE和N.Garleanu,抵押债务的风险和估值，金融分析师杂志，57(1)，41-59,2001。[4]D.DuèE和R.Kan,利率的收益率因子模型，数学金融，6(4),379-406,l996。[5]X.Guo,R.Jarrow和H.Lin,不良债务价格和回收率估计，衍生品研究综述。11（3）,171-204,2008。[6]X.Guo,R.Jarrow,A.de Larrard,Economic default time and the Arcsinelaw,工作文件，2011年，可查阅：http://arxiv.org/abs/1012.0843。[7]V.Ivashina和D.Scharfstein,Bank Lending in the Financial Crisis of 2008,Journal of Financial Economics,97,319-338,2010。[8]T.Jacobson,J.Linde和K.Roszbach,Federal Reserve Genergest of Federal Reserve,I-120,1998.[10]R.

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