近似相关对数正态和：一个实现

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收藏 2022-05-09

英文标题：
《Approximating the Sum of Correlated Lognormals: An Implementation》
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作者：
Christopher J. Rook, Mitchell Kerman
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
Lognormal random variables appear naturally in many engineering disciplines, including wireless communications, reliability theory, and finance. So, too, does the sum of (correlated) lognormal random variables. Unfortunately, no closed form probability distribution exists for such a sum, and it requires approximation. Some approximation methods date back over 80 years and most take one of two approaches, either: 1) an approximate probability distribution is derived mathematically, or 2) the sum is approximated by a single lognormal random variable. In this research, we take the latter approach and review a fairly recent approximation procedure proposed by Mehta, Wu, Molisch, and Zhang (2007), then implement it using C++. The result is applied to a discrete time model commonly encountered within the field of financial economics.
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中文摘要：
对数正态随机变量自然出现在许多工程学科中，包括无线通信、可靠性理论和金融。（相关）对数正态随机变量之和也是如此。不幸的是，这样一个和不存在封闭形式的概率分布，它需要近似。有些近似方法可以追溯到80多年前，大多数采用两种方法之一：1）从数学上推导近似概率分布，或2）用单个对数正态随机变量近似求和。在本研究中，我们采用后一种方法，回顾了Mehta、Wu、Molisch和Zhang（2007）提出的一个相当新的近似过程，然后使用C++实现它。这一结果应用于金融经济学领域中常见的离散时间模型。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：General Finance 一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Computer Science 计算机科学
二级分类：Mathematical Software 数学软件
分类描述：Roughly includes material in ACM Subject Class G.4.
大致包括ACM学科类G.4的材料。
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一级分类：Statistics 统计学
二级分类：Applications 应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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可人4

2022-5-9 03:17:15

2015年8月27日(c)CHRISTOPHER J.ROOKand MITCHELL C.KermanbstractLognormal随机变量自然出现在许多工程学科中，包括无线通信、可靠性理论和金融。（相关）对数正态随机变量之和也是如此。不幸的是，这种和不存在封闭形式的概率分布，需要近似。有些近似方法可以追溯到80多年前，大多数采用两种方法中的一种：1）从数学上推导近似概率分布，或2）用单个对数正态随机变量近似求和。在本研究中，我们采用后一种方法，回顾了Mehta、Wu、Molisch和Zhang（2007）提出的一个相当新的近似过程，然后使用C++实现它。该结果适用于金融经济学领域常见的离散时间模型。+本研究起源于新泽西州霍博肯史蒂文斯理工学院系统与企业学院系统工程系SYS-800课程下的一个独立研究项目，邮编07030。克里斯托弗·J·鲁克（Christopher J.Rook）是一名统计程序员顾问，目前正在史蒂文斯理工学院（Stevens Institute of Technology）攻读系统工程学位。Mitchell C.Kerman博士是系统工程研究中心（Systems EngineeringResearch Center）的项目开发和过渡主管，该中心是由史蒂文斯理工学院（StevensInstitute of Technology）领导的国防部（DoD）大学附属研究中心（UARC）。引言涉及随机变量之和（RVs）的实际问题，例如Z=X+Y，在许多学科中是不可避免的。当X和Y独立时，Z的概率密度函数（PDF）可以用卷积算子表示。

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可人4

2022-5-9 03:17:18

关于RV-sumsha的许多理论已经发展，并且对于某些X和Y存在Z的PDF的闭式表达式。通常，涉及独立RV和的卷积的解析解通常很难获得。当X和Y相关时，复杂性增加。非独立同分布（iid）RVs之和，例如Zn=X+X+…+Xn，可以通过使用中心极限定理（CLT）的正态分布近似，但仅当n≥ 30.因此，如果n<30，或如果RVs不是iid，则CLT不适用。当n<30且RVs是独立的时，我们可以通过迭代应用协进化算子来推导ZN的PDF。也就是说，我们首先确定Z=X+X的PDF，然后认识到Z=Z+Xis也是独立RVs的两项和，已知Zand Xperhaps的PDF。虽然理论上是合理的，但这种技术不太可能为每一个和产生连续的闭合形式PDF。Lognormal RVs出现在许多学科中，包括金融、光纤、库存管理、电信和可靠性理论。根据定义，当一个变量的对数是正态分布时，它被称为低于正态分布。当一种现象涉及iid RVs的产物时，对数正常RVs往往会自然出现。为了了解原因，我们可以取乘积的对数，它成为iid记录的RVs的总和，随着RVs的增加（通过CLT）趋于正态分布。求和的指数，然后得到对数正态分布。例如，设Pn=X*X*…*Xn，其中Xi是iid RVs，因此ln（Pn）=ln（X*X*…*Xn）=ln（X）+ln（X）+ln（X）+ln（Xn）~ N（μ，σ），对于N≥ 30.通过对两边求幂，Pn~ E,, 这是正常的对数。由于对数正常的房车在这种情况下会自然出现，所以sotoo会计算它们的总和。

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2022-5-9 03:17:22

不幸的是，两个独立对数正态向量之和的卷积没有闭合形式，因此PDF也没有。Mehta，Wu，Molisch和Zhang（2007）提出了一种新颖灵活的方法来近似对数正态分布的sumof（相关）RVs，在本研究中，我们回顾了它，然后使用C++实现了它。本研究的剩余部分组织如下。在第二节中，我们回顾了对数正态和近似的文献，特别是两种激发Mehta等人（2007）提出的技术的方法。在第三节中，我们将详细回顾应用该技术所需的理论概念。熟悉这些概念的读者可能会跳过本节。在第四节中，我们实现了两项总和的技术，在第五节中，我们介绍了一个金融应用程序。在第六节中，我们将讨论扩展到两个以上项的总和。第七节总结了我们的建议。附录a和B.II中提供了C++实现的完整文档源代码。文献综述Wfenton（1960）提出了一种矩匹配技术，以近似单个对数正态RV和独立对数正态RV之和的分布。通过匹配1个和2个中心矩（即均值和方差），可以使用该方法有效地近似分布中心的概率。如果对上尾概率感兴趣，则通过匹配第2和第3个中心矩得出近似值。对于尾部的进一步数值，近似值可以基于第三和第四个中心矩。这种技术不适用于头部概率（即接近零的概率），因为不知道求和负力矩的实用公式。R.I.采用了这种方法。

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可人4

2022-5-9 03:17:25

Wilkinsonat Bell实验室于20世纪30年代成立，因此常被称为Fenton-Wilkinson（F-W）程序。Schwartz和Yeh（1982）提出了一种类似的矩匹配技术，但在对数尺度上。这个过程是迭代的，一次处理两个项，它假设每个成功的和都是对数正态的，因此对数是正态分布的。为两项情况提供了分析表达式，这足以实现该程序。Schwartz和Yeh（S-Y）报告了F-W方法的改进，并展示了该程序如何应用于相关对数正态RVs。Mehta等人（2007年）指出，F-W在尾部更准确，而LES-Y在分布的头部更准确，并提出了一种可定制的方法，允许用户参数化程序以满足他们的需求。Mehta et al.（2007）建议直接匹配力矩生成函数（MGF），而不是匹配力矩，并且与F-W和S-Y类似，使用单个对数正态RV近似对数正态和。该软件是根据开放源代码MIT许可证发布的（请参阅：http://opensource.org/licenses/MIT).它取决于Egeng(c)和Boost(c)库，用户应负责代码验证。三、初步在本节中，我们为将涉及（相关）对数正态RV之和与单个对数正态RV近似分布的技术提供了一般基础。任何熟悉这些主题的读者都可以跳过本节。A.力矩生成函数连续RV的MGF，X，以及PDF，f（X），由以下t和X的函数定义（Freund[1992]）：MEEE*.换句话说，它是关于RV X，对于离散RV，我们用和替换积分。

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何人来此

2022-5-9 03:17:28

我们称之为MGF，因为它可以用来推导X的动量。X的n次矩是Xn的期望值，表示为E[Xn]。如果μ和σ是X的均值和方差，则它们与1和2的动量有关，如下所示：E十、和σE十、E十、.此处定义的n阶矩有时被称为关于原点的矩，以将其与关于均值的矩区分开来，即E[（X-μ）n]。为了用它的MGF求出x的n次矩，我们对M进行了微分n次，然后将t设为零（Freund[1992]）。也就是说，E十、M.显然，根据这个定义，两个独立变量X和X之和的MGF，即Z=X+X，是它们各自MGF的乘积。然而，在这项研究中，我们并不认为X和X是独立的。因此，这个simplifiedexpression的用途有限。（2）（1）（3）B.高斯求积的概述我们可以通过将面积划分为等宽的矩形并将其面积相加，来近似曲线下的面积（即积分），如下图1所示。代替矩形，可以使用顶部的梯形或多项式得出更精确的估计。这些方法分别称为梯形规则和辛普森规则（Anton[1988]）。图1使用矩形近似曲线下的面积如果在近似中使用了总共n个矩形，则宽度可以固定为w,对于r=1，2，…，n。使用固定宽度，矩形的中点为m*A.R1.*WA.W*R, 对于r=1，2，…，n，每个矩形的高度是在m处计算的函数*, 即f（m）*).

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kedemingshi

2022-5-9 03:17:31

因此，点a和点b之间f（x）下的面积估计为：面积在下面曲线F十、dxW*FM*,还有，林→W*FM*F十、dx.（4）（5）第（5）项是黎曼和，仅反映了一个事实，即使用无穷多个直角可以精确地得出面积，而不是近似值（Anton[1988]）。根据要集成的函数，我们可能需要数千个（或更多）矩形才能获得良好的估计。显然，如果这种集成出现在一个更大的迭代例程中，那么它将在运行时效率低下。使用数值求积可以实现更快的近似。这种技术通常只需要对少量区域求和，其中矩形的“宽度”和“中点”都是通过数学方法确定的。为了使用数值求积估计a和b之间f（x）下的面积，我们首先表示f（x）=w（x）*g（x），其中w（x）≥ 0被称为权重函数（Golub和Welsch[1969]）。注意，一般来说，g（x）=[w（x）]-1*f（x）。然后：F十、dxW十、*G十、dxW*GT,其中，j=1，2，…，n的对（wj，tj）是关于阿吉文正交多项式集，针对w（x）专门推导的。如果以下条件成立，则称j=1，2，…，n+1的一组j度多项式Pj（x）与w（x）正交（Golub and Welsch[1969]）：W十、*P十、*P十、dx0，因为HK.这个严格的条件要求多项式集Pj（x）被仔细构造以满足它。对于某些权函数，多项式已经推导出来。正交多项式序列的形式为（Golub and Welsch[1969]）：P（x）=k1*（x–t）P（x）=k2*（x–t）*（x–t）Pn（x）=kn*（x-t）*（x-t）*（x-t）*……*（x-tn）Pn+1（x）=kn+1*（x-t）*（x-t）*（x-t）*……*（x-tn+1），这揭示了一个重要的质量。

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大多数88

2022-5-9 03:17:34

也就是说，在（6）中所包含的值是Pn（x）的根，并且满足a<tj<b， j=1，2，…，n。权重wj是多项式及其求根导数的函数。一旦权重wj和根tj（6）（7）（8）已知，就可以计算（6）中的和来估计积分。这种技术被称为数值求积。在高斯求积中，计算权重的公式由（Golub和Welsch[1969]）给出：KK*PT*PT.我们不能提供关于根tj的细节，因为正交多项式将特定于权函数w（x），我们在这个阶段的唯一要求是，对于所有x，它都大于或等于零∈ （a，b）。当权函数为w（x）=e时，C.高斯-埃尔米特求积和（a，b）=(-∞, +∞), 埃尔米特多项式是正交的。也就是说，他们满足（7）（Abramowitz和Stegun[1964]）。权重和根对（wj，tj）已经计算了几个n，在这项研究中，我们使用n=12个“矩形”来近似Mehta等人（2007）建议的必要积分。表1（Abramowitz和Stegun[1964]）显示了相应的权重和根。表1 n=12根（tj）权重（Wj）（+/-）0.3142403762540.570135236262500000（+/-）0.9477883912400.2604923102642000（+/-）1.597682635153 0.051607985615880000（+/-）2.2795070708080501 0.003905390584629000（+/-）3.020633025121 0.0000857367088045（+/-）3.88047878780.00000043856D。对数正态RVs概述在本节中，我们介绍对数正态RVs的各种结果。完成后，我们将应用Mehta et al.（2007）建议的程序，用一个新的对数正态RV近似计算相关对数正态RV的总和。（9） D.1标准单变量公式X~N（μX，σX）为正态分布RV。

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大多数88

2022-5-9 03:17:39

现在，确定新的RVs YE还有YE这样X自然对数Y 还有X自然对数Y. 这个变换的雅可比矩阵是 Yand Yis的联合对数正态PDF使用（15）定义为：,2.σσ1.ρE,易在哪里≥ 0表示i=1，2。对数正态RVs和Y的平均值和方差由[Yi]=e给出和V[Yi]=EE1. 对于i=1，2。协方差公式为（Law and Kelton[2000]）：σ,E,1.*E.改变了Yand Y的联合PDF，,,通过将X和X替换为原始联合PDF中的Yan和Yin表达式，,（如（15）所示），并乘以雅可比的绝对值（Freund[1992]）。（14）（15）（16）（17）D.4替代双变量形式在单变量情况下，定义双变量对数正态RVs时不需要自然对数；任何基础都是可以接受的。在本研究中，我们将使用基数10和恒定因子。假设第III.D.3节中定义的X和X关节正常RVs。让=/=10/, 这意味着ln（）=θX→ =eln（）=θX→ =e. 但是θX~ Nθμ,θσ, θX~ Nθμ,θσ 具有协方差和相关性（Ross[2009]）：CovθX,θXθ冠状病毒十、,十、θσ,,还有，科尔θX,θXθσ,θσσσ,σσρ,和以前一样。在替代表示法下，基本正常RVs之间的相关性不会改变形式。因此，使用（16）定义和的联合对数正态PDF，其标度均值和方差如下：,θ2.σσ1.ρ*E,哪里≥ 0表示i=1，2。

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能者818

2022-5-9 03:17:42

和的均值和方差由以下公式给出：EYE,还有，VYE*E1., 对于1,2.协方差公式为（Law and Kelton[2000]）：σ,E,1.*E.（18）（19）（20）（23）（22）（21）最后，如果给定E[i]=μ和V[i]=σ, i=1，2，我们可以通过求解μ的方程（21）和（22）来推导基本的正态参数和σ, 对于i=1，2。这样做会产生（Lawand Kelton[2000]）：μθ自然对数μ自然对数1.σμ,σθ自然对数1.σμ,对于i=1，2。最后，如果Cov（，）=σ,已知基本正态分布的协方差由（Law and Kelton[2000]）：σ给出,θ自然对数1.σ,μμ.D.5对数正态分布集X~N（μX，σX）和Y=e的矩母函数是标准表格中定义的相应对数正态RV。用（1）和（11）表示Y的MGF为：MEEE*√2.σE.（27）的核有一个不确定的形式就像我一样→∞ （对于t>0），由于计数器中的功率可以表示为ty——([ln（y）]ln（y）+). 请注意，ty——[ln（y）]随着y的变化而无界增加（对于t>0），因为两次应用L\'H^opital规则→ 表明它是无限的。这意味着ty的增长速度比[ln（y）]。要找到（27）中的内核随着y的增加接近哪个值，只需考虑以下限制：\\lim→E,在一次应用L\'H^opital规则（对于t>0）后，变成：（24）（25）（26）（27）（28）lim→E*E*0∞.因为（27）的核心是≥ 0和方法∞随着y的增加（对于t>0），它下面的面积也必须接近∞ 这意味着不存在ε>0这样的定义MGFT∈(-ε, ε).

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能者818

2022-5-9 03:17:45

这意味着对数正态RV的MGF不存在。Casella和Berger（1990）将其称为“有趣的性质”，即对数正态RV的所有力矩都存在且有限，但尽管如此，MGF并不存在。D.6逼近对数正态矩生成函数let X~N（μX，σX）和=10/是第III.D.2节定义的对数正态RV的替代形式。使用（14）中的PDF，的MGF为：MEEE*E*θ√2.σE.在（30）中的RHS积分中，我们进行以下U-代换：θ自然对数μ√2σ→θ√2σ**,和E√.像→ 0，u→ -∞, 作为→ ∞, U→ ∞. 将（30）中的积分以u表示，得出以下表达式，即MGF为：M√E*√E G*WD.这里，权重函数wE是高斯-厄米特求积所要求的形式，具有适当的积分极限，因此（30）中的MGF可以使用表1中提供的权重和根（n=12）进行近似（对于t<0）。即，（29）（30）（31）（32）（33）（34）M√E√EW*√E√.回想一下，对数正态RV的MGF并不存在，这是我们在第III.D.5节中展示的，尽管（35）。这一点是用单一对数正态RV近似相关对数正态RV之和，这将通过将给定t<0（如果存在）的近似MGF相等来实现。米切尔（Mitchell，1968）提供了这方面的理由，他证明了一个对数正态RV比任何其他被检查的分布都能更好地逼近总和，这一特性被称为“永久性”D.7将SumLet S=α+β的矩母函数近似为两个相关对数正态RVs与二变量DF的加权和，,, 如（20）所示。

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可人4

2022-5-9 03:17:48

S的MGF由以下公式得出：MEEEEE,.我们将评估M分两步进行。首先，我们做以下U型替换：让θ自然对数,1,2→θ,1,2,和E.像→ 0, → -∞, 作为→ ∞, → ∞. 该变换的雅可比矩阵在非对角上有零，项θe因此，在对角线上，雅可比行列式等于θEE, （36）中的右边积分可以用（20）表示为：（35）（36）（37）（38）（39）ME2.σσ1.ρ*EE,.我们已经写信给我了作为函数相对于U的期望值~ N（μ）, σ) 安度~ N（μ）,σ) 用Corr（U）, U) = ρ. 在（41）中，,是一个联合二元正态PDF，格式如（15）所示。在矩阵表示法中，该PDF可以表示为（Guttman[1982]）：,2.|∑|/E∑,∈,哪里,μμ,,σσσσσρσσρσσσ.这里，∑被称为我们假设它是对称的，正定的。因此，它的逆矩阵∑-1是存在的。此外，∑-1将是对称且正有限的，这意味着存在矩阵L和D（其中L是下三角形，1在对角线上，D是对角线，正实轴），因此（Meyer[2000]）：1.*0*1..这是的LDU分解.

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能者818

2022-5-9 03:17:53

我们通过如下所示的相等项（使用2x2矩阵逆的标准公式）并求解, , 和:σσ1.ρσρσσρσσσ→σ1.ρ,ρσσ,,σ.因此，LDU因子分解产生：（40）（41）（46）（45）（44）（43）（42）ρσσ*σ1.ρσ*ρσσ..ρσσ*σ1.ρσ*σ1.ρ*ρσσ.方差协方差矩阵可以类似地表示为：ρσσ*σ1.ρ0σ*ρσσρσσ*σ1.ρ0σ*σ1.ρ0σ*ρσσ.U你呢源于和之间的相关性，并阻止直接将高斯-埃尔米特求积应用于S=α+β的MGF，如（40）所示。为了解决这个问题，进行了另一个转换，将U你呢（Mehta等人[2007]）使用分解如（47）所示。一种基于LDU分解的解相关变换是：让我们√.,哪里.随机向量的方差-协方差矩阵是：V.五、........由于方差-协方差矩阵，V, 对于转换后的变量Zand Zis对角线，我们基于. 这个变换的矩阵是上三角的，参见（57）。类似的解相关变换可以使用′, 也就是说，让我们√. 这个变换的矩阵，, 然后是下三角形。（48）（47）（50）（49）（54）（53）（52）（51）（即（ 1/2 ）i），Zand Zare不相关。

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可人4

2022-5-9 03:17:56

最后，为了计算这个变换的雅可比矩阵，我们首先表示依据使用（51），即：√2..→√2.ρσσ*σ1.ρ0σ*,→√2.σ1.ρρσ0σ*,因此√2.σ1.ρρσμ,和√2σμ.该变换的雅可比行列式的绝对值为：|J|德特√2σ1.ρ√2ρσ√2σ2σσ1.ρ.应用解相关变换，我们将（40）中S的MGF表示为Z安兹as:ME**√E**√,,哪里,σσ1.ρ||/Eσσ1.ρ||/EEEE,∈.因此，来自（40）的S=α+β的MGF可以用Z表示还有Zas:ME**√E**√EE(55)(56)(57)(58)(59)(60)(61)(62)(63)(64)→M,EE,哪里,E**√E**√.M的表示in（65）是高斯-厄米求积所需的形式，使用表1中的权重和根。因此，S=α+β的MGF可以在两个步骤中近似。在步骤1中，我们将求积规则应用于Z用和替换积分，然后对Z重复这个过程在第二步。步骤1：将高斯-厄米特求积规则（n=12）应用于Z→MW*T,E第2步：将高斯-厄米特求积规则（n=12）应用于Z→MW*W*T,T→MW*W*T,T功能,在（66）中给出，最后一步是等于M从（68b）到单变量对数正态RV M的近似MGF, 如（35）的右图所示，并对2个未知数进行了求解和.

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mingdashike22

2022-5-9 03:17:59

假设μ, μ, σ, σ, ρ都是已知的常数。由于需要两个方程来获得这两个未知数的解，我们使用t<0的不同实数值来生成这些方程（Mehta等人[2007]）。（65）（66）（68a）（67）（68b）IV.对数正态和与对数正态RVs的近似在本研究中，我们将对数正态RVs和与Cov（，）=σ关联起来,. 均值和方差已知，并由E[]=μ给出, E[]=μ, V[]=σ, 和V[]=σ. 和都是以非标准形式定义的，因此存在正态分布的RVs X~N（μ, σ) 和X~N（μ）, σ) 使得=10/=10/式中，Corr（X，X）=ρ。我们将不提供这些基本正常RVs的均值和方差，但它们将使用（24）、（25）和（26）中的表达式进行计算。最后，我们将得到常数α和β，并对近似S=α+β的概率分布感兴趣。基于Mitchell（1968），使用单变量对数正态RV来近似S的分布是可取的。我们将首先计算基本正常RVs的参数，然后设置M从（68b）等于M从（35）中求出μ和σ. 正态分布和正态分布的基本形式分别是。最后一步是使用（12）和（13）中的表达式计算近似单变量对数正态分布的相应均值和方差。A.一个例子，让和be（非标准形式）带μ的对数正态RVs= 1.0, μ= 2.0, σ= 3.0,σ= 4.0和σ,= 1.73以便Corr（，）=σ,σσ/= 0.5. 此外，定义常数α=1.5和β=2.5，并对近似S=α+β=（1.5）+（2.5）的概率分布感兴趣。

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kedemingshi

2022-5-9 03:18:02

使用第III.D.4节中的（24）、（25）和（26），基本正态分布的参数如下所示：→从…起方程式:θ自然对数1自然对数1.313.0103θ自然对数2自然对数1.421.5051→从…起方程式:θ自然对数1.3126.1471(69)(70)(71)θ自然对数1.4213.0736→从…起方程式:,θ自然对数1.1.73|1.0*2.0|11.7554因此，Corr（X，X）=ρ.√.*.= 0.635811和1ρ= 0.595744. 使用该函数,从（66）变成：,E.√.√....E.√..当需要求和S的CDF值时，Mehta等人（2007）使用constantst=-1.0和t=-0.2得出了良好的结果，以生成所需的方程。使用这些值，并设置从（68）等于M从（35）中，我们求解以下两个关于单个μ的非线性方程和σ, 这是方程式（75）和（76）中仅有的两个未知量。表1提供了正交权重和根、wi、wj、ti和tjare。方程#1：W*W*E.*√.√....*E.*√..√W*E.*√方程式#2：W*W*E.*√.√....*E.*√..√W*E.*√这些值适用于MGF中定义的数量t，它不同于表1中提供的用于计算高斯-埃尔米特求积根的tiand Tj值。（72）（73）（74）（75）（76）B.实施细节（75）和（76）中的公式1和2必须同时求解μ和σ但请注意，这两个方程的左边都是已知常数。每个都是12=144项总和，不涉及未知量。

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mingdashike22

2022-5-9 03:18:05

因此，可以减去左侧，并将方程表示为联立非线性方程组，其值等于零。此外，方程是用t生成的∈ {-1.0，-0.2}如Mehta等人（2007）所建议。总的来说，让t∈{τ，τ}，并让C和C分别表示（75）和（76）的LHS。因此，这些方程可以表示为：方程#1：√W*E√C0方程式#2：√W*E√C0常数Cand Cin（77）和（78）特定于正在解决的问题，{τ，τ}也可能特定于应用。如果我们用M表示（77）和（78）的LHSμ,σ安德姆μ,σ, 然后我们分别求出μ的以下非线性系统和σ:Mμ,σMμ,σ.在最优化问题中，牛顿法常被用来求解一组类似的非线性方程，即梯度向量等于零的方程。它也适用于这里，并通过近似向量进行操作通过它在给定初始点附近的1storder-Taylor展开式μ,σ, 即：Mμ,σMμ,σμM,σM,μM,σM,*μμσσ.（77）（78）（79）（80）中所示的矩阵由在初始起点计算的两个函数的相应1阶偏导数组成，因此，一旦计算了导数，就知道了。

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何人来此

2022-5-9 03:18:47

我们还提供了一个C++实现的原始源代码，该实现使用牛顿法求解所需的非线性方程组，初始值由F-WA近似值驱动。Mehta等人（2007年）利用了MATLAB内置的非线性求解器。在一个经过几十年规划期优化的大型金融应用程序中，这样的实现可能会遇到运行时效率低下的问题。较低级别的编程（119）语言可能更适合此类实现。我们使用的技术可以快速收敛，只需要少量的迭代。如表2所示，当使用任意MGF值生成两个所需方程式时，改进是适度的。Mehta等人（2007年）建议用户优化t集，并找到适合其应用的值。例如，一组SUM值的CDF概率将通过模拟感兴趣的区域或整个sumdomain生成，如表2所示。然后，对二元t-集进行优化，计算模拟值和近似值之间绝对偏差的（加权）和，并为该特定应用选择性能最佳的t-集。性能最好的tset是产生最小和值的tset。为了在对数正态和域的局部区域实现更高的精度，可以为每个绝对%偏差引入权重（见Mehta等人[2007]）。可以说，F-W方法可以使用各种均值/方差组合进行类似的优化，但有一个区别。根据Mehta et al.（2007）的框架，最优tset可能适用于各种相关和，然而，只要和发生变化，就需要重复F-W优化。我们在附录B中包含了模拟求和值和优化t集的C++源代码。

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