这是幂律分布吗？经济收缩的例子

2022-5-5 02:08:56

这是幂律分布吗？经济紧缩的例子是萨尔瓦多·普约*加泰罗尼亚气候研究所（IC3），C/Doctor Trueta 20308005巴塞罗那，加泰罗尼亚，西班牙摘要理解和预测经济衰退的第一步是确定其频率分布，但仍不确定。这个问题在类似幂律分布的现象中很常见。幂律在复杂系统理论中起着核心作用；因此，目前在经验数据中识别这种分布的局限性是追求复杂性方法在许多领域所能提供的见解的主要障碍。本文通过介绍一种具有坚实理论基础的可靠方法，即基于泰勒级数的幂律范围识别方法来解决这个问题。当应用于39个国家的时间序列时，该方法揭示了相对人均GDP收缩的幂律，其范围从5.53%到50%，包括263个事件。然而，这一发现并不支持将衰退归因于某些特定机制，如自组织临界性。这篇论文强调了一系列需要更多研究的要点，以便区分与幂律兼容的模型，以开发管理衰退的合理工具。关键词：经济物理学；经济危机；经济萧条；帕累托分布；贝叶斯假设检验；自组织临界性。1引言均衡是主流经济模型的基本假设。当政治重点是管理本质上的非均衡现象，而经济衰退时，这样的模型并不是最佳工具。

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2022-5-5 02:08:59

因此，与复杂系统理论相关的非平衡模型越来越受到关注，尤其是属于经济物理学新领域的非平衡模型[1,2,3]。复杂系统研究最关注的一个特性是尺度不变性，通常是某个关键变量x的m表示幂律分布f（x）=（τ）- 1x-τ+1min- 十、-τ+1max）x-τ, (1)*电子邮件：spueyo@ic3.catwheref是概率密度函数（PDF），指数τ是常数，xmin，Xmax是分布的上下限（出于根本原因，幂律仅适用于某些有限范围；第2.1节）。在显示幂律或类似幂律分布的变量中，有许多不同类型的灾难性事件[4]，如地震、滑坡、风暴、森林火灾和一些流行病；有大量关于机制模型的文献试图解释这一事实[4]。尽管理论上认为类似的模型将适用于经济衰退[5,6,7,8,9]以及其他经济变量中的幂律证据[10]，但测试GDP收缩规模是否遵循幂律的尝试却出人意料地罕见，而且全盛时期也没有得出明确的答案。第一步是由Ormerod和Moun fild[11]进行的探索性分析，结果不确定，相关分析见参考文献。[12,9]不要给出明确的结果（在第5.2节中讨论）。在涉及每个领域的此类分布的文献中，难以得出强有力的结论是普遍的。关于幂律的整个研究计划最近受到了质疑[13]。

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2022-5-5 02:09:03

这对复杂系统理论和经济物理学来说是一个严峻的挑战：最近对经济物理学对经济学的贡献进行的评估[14]指出，物理学家最重要的是帮助建立了金融市场的经验事实，并强调了自相似性和幂律的一些假定实例。然而，对这一挑战也有一些回应。同样在最近，对于更合理地处理候选幂律[15,16]也没有什么贡献，这可能最终导致一种有充分依据的数据分析标准方法。目前的贡献为这一方向提供了进一步的进展。本文的第一个目标是提出一种可靠的幂律数据处理方法，该方法基于概率论：基于泰勒级数的幂律范围识别方法（TASEPOLAR）。第二种方法是使用TASEPOLAR来阐明相对G DP收缩是否呈现幂律分布。在得出积极结果后，本文最后讨论了可能的原因和影响。与裁判类似。[11,12,9]这篇论文考虑了整个过程中的收缩事件。这与参考文献不同。[17,18]，它处理了年复一年的变化，发现了一种不同于幂律的分布。Barro和Jin[19]以及Barro和Urs\'ua[20]（我使用whostata）也研究了完整事件。然而，他们并没有研究收缩尺寸x中幂律的可能性，而是在y=x/（1）中- x）。

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mingdashike22

2022-5-5 02:09:06

这相当于假设x的分布完全不同，如第3.3.3节所示，这不符合数据和幂律。2理论：基于泰勒级数的幂律范围识别方法（TASEPOLAR）2.1基本特征至少有两个问题使统计推断在处理幂律时尤其具有挑战性。首先，它的性质与高斯分布的性质截然不同，高斯分布是教科书统计学的核心。第二，事实是，出于基本原因[2 1]，幂律适用于有限的界限xmin，Xmax，而且这些通常与样本中可能的最小值和最大值不一致，即等式（1）仅适用于频率分布的一部分。例如，在我们的案例中，这是意料之中的。如果公式（1）适用于GDP的所有下降≥ 0，将有一个有限的概率密度f或一个相对大小x→ 0（除非τ<1），即不存在任何波动。因此，DF应适用于较小的值。另一方面，我们不能有xmax→ ∞ 因为一个国家损失的GDP不能超过100%。有时可以使用xmax→ ∞作为τ>2时的近似值，但根据我们的估计，该条件不完全满足。对于τ≤ 2.xmax→ ∞ 这意味着一个有限的期望[21]。因此，对于较大的值，PDF必须向下倾斜。让我们取N个数据{x}的样本，并按降序对它们进行排序，xi≥ xi+1从1到1- 1.我们将Dijto称为数据子集，这样xi≥ 十、≥ xj。TASEPOLAR测试不同子集的幂律，以选择最佳范围[xmin，xmax]。除此之外，这也是一些其他方法所允许的模式（第5.2节）。塔塞波拉之所以得名，其主要的独特之处在于，它选择了一种与幂律相比较的方法。

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kedemingshi

2022-5-5 02:09:09

连续函数和可微函数可以分解成泰勒级数。如果我们选择一个足够小的范围，任何这样的函数都可以通过一条直线来实现。因此，对于大多数频率分布，如果我们取ln（x）vs ln（f（x）），很可能在足够小的范围内得到幂律：ln（f（x））≈ ln（a）- τln（x）。如果范围e稍大，我们可能需要在泰勒级数中添加第二项：ln（f（x））≈ ln（a）- τln（x）- ψ[ln（x）]。（2）此函数相当于截断的对数正态分布[22]，其中u=-(τ -1） /2ψ和σ=1/√2ψ.TASEPOLAR选择泰勒级数展开中没有第二项证据的范围。因此，它对截尾幂律和截尾对数正态进行了一系列比较。通过似然比对这两种分布进行比较：λij=f（Dij | Hp，^τij，xmax=xi，xmin=xj）f（Dij | Hl，^τij，^ψij，xmax=xi，xmin=xj），（3）其中Hp是截断幂律的假设，Hl是截断对数正态的假设，τij，ψij是由dijassumingax=xind=xj得到的τ，ψ的最大似然估计。第2.2节讨论了似然比的解释。TASEPOLAR选择一个范围[i，j]，该范围在满足给定λm的λij>λm的情况下尽可能大。这可以自动完成。然而，为了仔细检查数据是否表现良好，我使用了一种半自动、有监督的方法，包括两个逐步序列（详见第3.2节）。在这项研究中，我选择λm=0.99。请注意，由于两个假设之间的唯一区别是截断对数正态分布允许我们在最大化可能性时调整一个额外参数（即它们是嵌套假设），λ≤ 1.对于任何实际遵循幂律的大型数据集，发现λ值在0.99和1之间的概率为≈ 0.11 [23].

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nandehutu2022

2022-5-5 02:09:12

因此，当依次增加（或减少）i（或j）时，如果幂律假设正确（即，如果ψ=0），λij跟随随机游动，以接近0.11的频率访问区域λij>λm。如果ψ6=0，则会出现一种趋势，将λ推离该区域很远。除了选择一个符合幂律的范围外，我们还希望确保该区域不只是被截断（或不受约束）的对数正态分布的一部分，因为它太小，无法检测到ψ的影响。我们将通过获取一个更大的区域，并测试它是否由一个未编码的对数正态分布组成。这涉及两个选择。首先，更大区域的规模。在本研究中，除了从Xmin到xmax的范围外，还考虑了所有小于Xmin的值（在测试lo-gnormal时，请参见第3.2.2节，排除大于xmax的值的原因）。第二，由于对数正态分布假设是根据数据在从xm到xmax的范围内显示幂律，以及在x<xmin范围内的某些给定分布的假设进行检验的，因此必须指定偏侧分布。在这项研究中，还假设x<xmin为幂律，其指数可能与PDF其他部分的指数不同。因此，我们比较了数据集x<xmax的两个假设。其中之一（Hd）是，这些数据遵循双幂律，它由幂律和幂律组成，幂律的某个指数τ介于xmin和xmax之间，幂律的某个指数τ′介于x′min和x′max之间，其中x′mini是样本中的最小值，x′max=xmin，没有不连续性（即，在较低范围内计算的f（x′max）必须等于在较高范围内计算的f（xmin））。

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2022-5-5 02:09:16

给定x′min和xmax，双幂律有三个参数，τ、τ′和xmin，寻求其最大似然估计量（因此，该测试中使用的xmin值不必与我们之前确定的值完全一致，并且通常不太保守）。另一个假设（Hl）是数据遵循从x′minto xmax范围内的截断对数正态分布。考虑到这两个极限，该分布有两个参数（等式（2）中的τ和ψ，或等效的u和σ）可通过最大似然估计来确定。该测试使用以下似然比：λij=f（Dij|Hl，^τij，^ψij，xmax=xi，x′min=xj）f（Dij|Hd，^τij，^τ′ij，^xmin，xmax=xi，x′min=xj）。（4）虽然单截断幂律和截断对数正态分布是嵌套分布，但双幂律和t r非截断对数正态分布不是嵌套分布。因此，尽管双幂律有更多的参数，但如果后者是正确描述数据的分布，则似然比通常会倾向于无限制对数正态分布。此外，由于其额外的参数（第2.2节），双幂律在我们的测试中得以实现。2.2似然比的解释使用似然比作为比较假设的工具。比INEQ更普遍。（3,4），似然比可以表示为λ=f（D | H，^p）f（D | H，^p）。（5）在这里，我们使用一组N个数据来比较假设H和p，以及它们参数的最大似然估计量。让我们把νito称为假设i下的参数数。按照惯例，我们将保留参数数最多的假设的分母，即ν≥ ν. 因此，在式（3）中，截断幂律出现在分子中，截断对数正态出现在分母中，而在式（3）中。

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2022-5-5 02:09:19

（4），r uncatedlognormal在数字中，双幂定律在分母中。似然比对于两个主要的统计学流派，即贝叶斯学派和频率学派，都是有意义的。贝叶斯统计[24]使用数学上与概率的基本概念不同的方程式，将概率分配给不同的假设，但它的使用并非微不足道，因为o符合对先验概率的依赖。原则上，当使用Bayesiantools分析某些给定数据时，起点是一组先验概率，这些概率基于除这些数据之外的所有可用信息来量化每个命题的合理性。将先验概率与数据相结合产生的概率称为后验概率。反过来，在分析新数据时，这些概率或亲子概率可以用作先验概率。然而，对于ssign来说，先验概率往往很难确定，而且对于最佳方法也没有共识[25]。常客统计是主流学派，它包括一组使用先验概率的食谱。例如，它没有贝叶斯统计的逻辑透明度，也没有为假设分配概率。相反，其结果是用重要程度和（在参数值的情况下）置信区间等概念表达的，这些概念的解释不那么清晰，并且依赖于测试。贝叶斯统计的出发点是贝叶斯定理P（x）P（y | x）=P（y）P（x | y）。如果我们用数据集D和假设H替换变量x，y，我们得到了P（H | D）∝ P（H）P（D | H），其中P（H）是先验概率，P（H | D）是后验概率，P（D | H）是似然函数。

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2022-5-5 02:09:22

当比较两个不同假设的概率时：P（H | D）P（H | D）=P（H）P（H）B，（6）其中P（H）/P（H）是先验概率的比率，B是贝叶斯因子[26,27]，即似然函数的比率：B=f（D | H）f（D | H）。（7）贝叶斯因子包含从数据中提取的所有证据，可以量化，而无需为两个假设分配先验概率。然而，我们仍然需要一些其他的先验概率：注意，等式（5）中的似然比λ和等式（7）中的贝叶斯因子B之间的差异在于后者不包括参数的最大似然估计。这是因为（在分析数据之前）没有理由先验地精确地计算这些值。所有可能的参数值都被预先考虑[26]：B=Rf（D | H，p）f（p）dpRf（D | H，p）f（p）dp，其中参数的先验概率分布显示为输入。请注意，如果一个假设有许多参数，那么所有参数的值都能很好地拟合数据的先验可能性较小，因此，不需要的参数的存在降低了假设的可能性。从式（5）中的似然比来看，这一点并不明显。如果从表面上看，似然比有利于许多参数的假设。不幸的是，如果不引入参数的先验概率分布，就无法精确计算B。然而，如果我们有足够的近似值B，并且数据N的数量很大，通常可以避免显式地考虑这些分布。Schwarz[28]表明，在广泛的条件下，ln（B）近似为s=ln（λ）-(ν- ν） ln（N）。在截断幂律和截断对数正态的情况下，νp-νl=-因此，S=ln（λ）- ln（N）/2。如果我们用等式中的exp（S）替换B。

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nandehutu2022

2022-5-5 02:09:25

（6）我们得到了这两个假设的相对概率的粗略近似值。不是说，例如，如果a和e都被认为是同等可能的先验，B等于概率比，exp（S）按数量级接近它。在最后一种情况下（等先验概率），或当数据的权重大于等式（6）中的先验概率时，选择的假设是使S最大化的假设，或等效地，使BIC最小的假设-2ln（f（D | H，^p）+νln（N），其中BIC代表贝叶斯信息准则或信息准则B，并以类似于Akaike[2 9]信息准则A（AIC）的方式表示，广泛用于比较假设。在几个相互竞争的假设中，Akaike的标准选择了一个最小的假设：-2ln（f（D | H，^p）+2ν。根据Schwarz的结果，Akaike的标准往往会高估参数的数量[2 6]。本文未使用AIC。在比较嵌套的高阶统计量（如截断幂律和截断对数正态统计量）时，频率学派也使用似然比（尽管在本例中，它只是几种可能的统计量之一）。Wilks[23]表明，如果带有较小参数的嵌套假设是正确的，并且N是la r ge，-2ln（λ）遵循带ν的卡方分布- ν自由度。例如，当比较截断幂律和截断对数正态分布时，当λ<0.147时，幂律的显著性水平为0.05，或当λ<0.036时，幂律的显著性水平为0.01。本研究同时考虑了Schwarz[28]贝叶斯准则和Wilks[23]f频数准则。3.计算。其中42个国家的人均GDP数据来自于Barro的年度经济数据集[1]。

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2022-5-5 02:09:28

这些数据从每个国家最早的可靠数据（通常在19世纪）一直延续到2009年。参考文献[20]之后，有三个国家因二战前后数据缺失而被排除在外：马来西亚、菲律宾和新加坡。对于剩下的39个国家，每691次国家级经济衰退都会得到相对的顶部到顶部的收缩规模。在这项研究中，从上到下的距离GDP的计算是针对自人均GDP开始下降，直到其恢复到原来的水平（不考虑嵌套事件）的事件，并除以初始数据，即x=-GDP/GDP（如本文所述，指人均GDP）。这类措施之所以有用，是因为其简单、透明和易处理性。尽管存在进口退税，但每当经济下滑影响到几个计数时，它都会被视为一组独立的收缩。一个相关的问题是，本文中的统计处理假设独立，但这些数据并非完全独立。然而，鉴于大量数据和情况的多样性（许多经合组织和非经合组织国家，不同的历史时期），我假设抽样空间的覆盖范围足够广泛，足以与完全随机样本进行比较，至少在确定分布类型时是如此，这可能比参数的特定值更稳健。在TASEPOLAR应用的不同阶段，整个数据集或子数据集都按气味或降序排序。然而，当整个数据集按降序排序时，作为一种识别特定数据的方法，它们总是根据其位置进行标记，即。

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kedemingshi

2022-5-5 02:09:32

最大的偏差为#1，最小的偏差为#691.3.2塔塞波尔在经济收缩中的应用3。2.1幂律范围的确定首先，我选择了一系列幂律非常适合的值作为种子。这个选择相当随意。范围应该相对较大，但它应该在两侧留下数据序列，这些数据序列也可能成为幂律的一部分。我通过对经验PDF的目测选择了它，然后我测试了它的效果。选择范围是D80197。在此范围内，截断幂律和截断对数正态分布之间的似然比为0.79。如果幂律假设是正确的，这完全在我们预期的值范围内：根据威尔克斯近似，在这个假设下，λ80197的概率为0.49≤ 0.79.其次，我进行了逐点顺序比较，以扩大上侧的选定范围。图1给出了从D80197到1197的每个嵌套子集的可能性rat io。大多数序列显示λ=1以下的微小波动，这是我们期望的幂律。结束前的第八个基准（x=0.5034）是最后一个包含λ>0.99的基准。实际上，它给出了一个几乎等于1的值：λ8197=0.99906。将剩余的7个值依次包含在一起，得出一个向下的t趋势，在λ1197=0.4790处达到顶点。该λ不是非常低，可能是由随机波动引起的（frequentistWilks标准不允许拒绝任何显著水平<0.23的幂律）。对于λ1197，Schwarz统计量为S=-1.9，给予经验(-1.9）=0.15，作为贝叶斯系数的近似值，有利于幂律。然而，贝叶斯因子将与先验概率（Eq。

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2022-5-5 02:09:35

6），我们知道幂律在某一点上必须弯曲，因为它不能继续超过系统的总大小，所以很有可能图1:F ir st幂律和截断对数正态分布之间的逐点序列比较。幂律和截断对数正态f r om i=80到i=1之间的似然比λi，197，即对于从D80197到D1197的嵌套数据集序列。由于这些分布是嵌套的，λ不能取任何大于1的值。箭头表示选择作为幂律上限的点。尽管随后的下降并不比我们从幂律的随机波动中预期的更大，但在这种情况下，它很可能表示该分布的实际偏差，因为幂律必然有一个上限。几个最大的观测值不构成幂律的一部分。因此，我们不假设x-x值包含在幂律范围内。估计的xmaxis t husx=0.5034。由于序列中的上一个值为x=0.4987，下一个值为x=0.52714，因此xmaxis与0.5没有显著差异。第三，我进行了定义的逐点顺序比较。估算完dxmax后，我取了满足x的20个最大值≤ xmax，也就是D8，27，我逐步扩大了这个子集。图2给出了从D8,27到D8691的所有嵌套子集的似然比（Recallxis是样本中最小的收缩）。由于样本量较小，在经历了一些较大的波动后，我们再次发现了一个小而稳定的波动略低于λ=1的区域。我第一次选择作为种子的范围在这个区域内，这意味着这是一个有效的选择。在某个时刻，出现了下降的趋势。当序列完成时，我们剩下λ8691=7.5×10-53

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2022-5-5 02:09:38

从常客的角度来看，这允许以4×10的显著水平拒绝幂律-54.施瓦兹的统计数据是s=-117，这给出了exp（S）≈ 2 × 10-51作为Bayes因子的近似值。这几乎可以肯定，这整个范围不能由一个单一的幂律来确定。选择λ>0.99（λ8270=0.99 31）的最后一个数据作为幂律的下限。该值为x=0.05327，即xmin≈ 0.053.因此，TASEPOLAR给出了功率定律的范围，覆盖范围从xmin=0.053到xmax=0.5，包含263个数据，或样本的39.5%，同时允许我们完全抛弃覆盖整个数据集的单一功率定律的本质。所选范围内幂律指数的最大似然估计为1.77.3.2.2幂律假设检验。我检验我们的候选幂律范围，包括数据#8-#270，是否是截断对数正态分布的一部分。如第2.1节所述，我们通过测试扩大的区域是否可以解释为单个t r未加保护的对数正态分布的两个切片来实现这一点。在本研究中，我们以一种最简单的方式扩大该区域，包括所有较小的值，即我们分析D8691。在这个区域，我们将截断对数范数l与双幂律进行比较。在继续之前，我们希望确保排除少数最重要的数据（#1-#7）不会对对数正态假设不公平。在幂律的情况下，上截断是不可避免的，因为否则，其平均值将是有限的（对于估计指数），即图2：幂律和截断对数正态之间的第二点顺序比较。幂律和截短对数正态分布之间的似然比λ8，b从j=17到j=691，即从D8,17到D8691的嵌套数据集序列。

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mingdashike22

2022-5-5 02:09:42

由于这些是嵌套分布，λ不能取任何大于1的值。箭头表示选择作为幂律下限的点。完全高于最大可能值x=1（对应于完全破坏）。对数正态分布的衰减速度比幂律快，因此在达到x=1之前，它的概率密度可能先验地变得可以忽略不计，在这种情况下，不需要显式截断。然而，对于我们案例中的已确定参数（见下文），如果没有计算，则任何一次活体收缩大于1的概率为0.025。因此，概率只有2.5×10-我们的691个数据都没有超过这个阈值，这意味着对数正态分布也需要显式截断。放大范围内截断对数正态分布参数的最大似然估计给出^τ=1.17和^ψ=1.18（相当于^u=-3.2 9, ^σ = 1.68). 通过对双幂律应用最大似然估计，两个幂律之间的边界似乎位于x=0.037。高于该值的估计指数为^τ=1.63（小于第3.2.1节中的估计值，因为包含了较小的值，这实际上不符合幂律），而低于该值的估计指数为^τ′=0.31。截断对数正态分布和双幂律（等式4）之间的似然比为2。2 × 10-6.赞成双重幂律。因为这些不是嵌套模型，所以无法使用威尔克斯标准将该数字转换为一个频度显著水平。然而，它可以给出贝叶斯解释。施瓦兹的统计数据是s=-9.76，经验=5.8×10-5近似于Bayes因子B（等式7）。

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2022-5-5 02:09:45

尽管从S到B的转换有很大的误差，但这个结果的大小几乎可以肯定，双幂律比截断对数更适合数据。截断对数正态分布只能在双幂律的先验概率高出几个数量级的情况下优于双幂律，但没有理由这样做，因为在我们的环境中，有一些看似合理的机制可以产生幂律，如第5.3节所述。因此，如果我们要决定我们的数据是否遵循未分类对数正态分布或双幂律分布，第二种选择更可能是由几个数量级决定的。这并不一定意味着双幂律给出了数据的最佳描述，因为我们只是比较两个选择的分布，部分是因为它们简单，而集合D8691可能有更复杂的形状。然而，这一结果在很大程度上支持了以下假设，即幂律是第3.2.1节所选区域的最佳函数，包括xmin≈ 0.053到xmax≈ 0.5.3.3补充分析3。3.1绘制PDF经验概率密度函数采用对数算术方法绘制。参考文献[31，第131-132页]描述了该方法（早在参考文献[32]中就已使用），并表明其适用于幂律和相关分布。为了给出幂律的清晰图像，将估计对数（xmin）和对数（xmax）之间的范围划分为七个相等的箱子。装箱也扩展到更小的（图5）和la r ger（图4和图5）值。连同经验PDF，F ig。4将拟合的幂律显示为代表概率区间的几段交叉线。经验PDF的数据点预计位于这些区间内，概率为2/3。

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可人4

2022-5-5 02:09:48

数据在各个箱子之间的分配应该遵循多项式分布，我将其近似为每个箱子的一个二项式分布。如果一个箱子从xAto xB开始运行，则收缩使该箱子达到par t的概率为F（xB）- F（xA），其中F是幂律的累积概率函数。这个概率是用于二项式的参数。通常，x的范围不会给出精确的2/3概率，因为事件数的分布是离散的。然而，我选择了x的值，给出了更小和更大的概率，我通过线性插值从中得到了间隔。3.3.2幂律指数：在频率分析法中，幂律指数τ（公式1）通过最大似然估计获得，并可通过置信区间进行补充。可以直接证明，τ的最大似然估计量是满足以下条件的值：ln（x）=（ττ）- 1)-1+x-^τ+1min（xmin）- 十、-^τ+1maxln（xmax）x-^τ+1min- 十、-^τ+1max。（8）从贝叶斯的观点来看，如果我们要从数据集D估计τ，我们必须指定先验概率分布f（τ）：f（τ| D）∝ f（τ）f（D |τ）。基于其他类型灾难性事件的大多数经验数据和试图预测它们的大多数模型都涉及τ值介于1和2之间或接近该范围[4]的事实，专家先验可能是广泛分布的，其模式介于1和2之间。由于（i）模式下的导数为零，（ii）分布应广泛，且（iii）模式的精确位置不清楚，因此对于不严重偏离范围1-2的值，均匀分布是合理的。

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2022-5-5 02:09:51

在我们的案例中，这一要求没有问题，因为我们发现的似然函数很窄，并且在这个范围内的值范围内。这简化了我们的计算，因为对于均匀先验，后验概率f（τ| D）与似然函数f（D |τ）成比例。此外，由于置信区间也是由似然函数确定的，因此在这种情况下，贝叶斯累积概率和频繁置信区间之间的差异最小。更成问题的是，dat a并不是完全独立的。然而，由于对它们之间相互关系的描述并不琐碎，我只是在独立性假设下获得了临时结果。式（8）中的Sinceln（x）是一系列变量的平均值，具有有限的均值和方差，近似为高斯分布。对于τ的每个可能值，ln（x）将遵循符合等式（8）和方差[ln（x）的均值ln（x）的高斯分布- ln（x）]/√N、式中ln（x）=（ln（xmin）+τ-1ln（xmin）+（τ）-1） ]x-τ+1min- [ln（xmax）+τ-1ln（xmax）+（τ）-1） ]x-τ+1max）/（x-τ+1min- 十、-τ+1max）。由此计算出的每个τ的高斯密度函数是该τ的似然函数。3.3.3幂律和广义帕累托分布之间的比较Barr o和Jin[19]分析了本研究中使用的数据集的IIIAn ear lier版本。这些作者试图将幂律定义为y=1/（1）-x）。由于f（x）=f（y）| dy/dx |，幂律f（y）=ay-τ对应于x的以下分布：f（x）∝ (1 -十）-γ、这是指数γ=τ的广义帕累托分布III型（gPd3）-2（幂律是广义的帕累托分布II型，与原始帕累托分布相对应）[33]。Barro和Jin[19]通过目视检查y的累积概率来测试这种分布。

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mingdashike22

2022-5-5 02:09:54

鉴于预期图和获得的图之间存在显著差异，他们将正在分析的数据集x（所有数据均满足x>0.1，这是作者事先设定的标准）分为两个范围：（1）0.1<x<0.32，和（2）x>0.32。考虑到Barro和Jin的标准以及我的上述估计，我在几个范围内比较了幂律和gPd3。在所有情况下，我都会考虑这两个发行版的截断版本。对于D1,7（即，对于x>0.5，对应于我们从幂律中排除的大值），gPd类型III和幂律之间的似然比为0.95。如果可以应用，施瓦兹的标准将给出一个与此相似的Bayes f因子，因为两个假设的参数数量相同，但由于数据数量太少，无法应用。因此，我们无法根据数据区分这两个假设。然而，第三类广义帕累托分布（gPd3）更可能是先验的，因为我们预计塔塞波尔丢弃的上限范围对应于不遵循图3：广义第三类帕累托分布（gPd3）和幂律之间的逐点顺序比较的分布的par t。gPd3和幂律之间的似然比λ31，从j=40到j=270。由于这些不是嵌套分布，λ可以取大于1的值。幂律由于接近上限（x=1），而gPd类型III是用于有界变量的精确分布。威尔克斯的频率标准不能应用，不仅因为数据很少，而且因为这些数据不是嵌套分布。对于D1,30（对应于Barro和Jin选择的x>0.32范围，并综合TASEPOLAR在幂律范围内包括和排除的数据），似然比为0.51。

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2022-5-5 02:09:57

这表明了幂律的一些优势（在有利于这种分布的关系中为2:1），但同样，数据的数量太少。Barro和Jin[19]考虑的第二个范围是x<0.32。我做了一个逐点的顺序比较，考虑到这个上界和他们按惯例选择的下界（x=0.1），但下界也越来越大，越来越小，直到幂律中包含的最小值（x=0.053）。图3显示了从D31,40到D31270的逐点比较。该图表明，在获取少量数据时，无法区分这两种分布，但更大的样本（与更广泛的范围相关）有利于幂律。对于D31270，gPd III型和t型功率定律之间的似然比为7.8×10-4，这使我们能够巧妙地拒绝gPd类型III，转而支持幂律。4结果TasePolar在收缩中发现了明确的幂律，导致人均GDP损失5.53%至50%。该范围包括263个事件，即样本中691个收缩中的38%（61%较小，1%较大）。图4显示了损失的拟合和经验PDF≥ 5.53%. 为了对图4进行上下文分析，图5给出了完整的分布。最佳指数^τ为1.77。忽略相关性，估计该值位于范围（1.61,1.94）内，概率为0.9（这是一个贝叶斯概率区间；从频率角度来看，90%的置信区间为（1.60,1.94）），但相关性可能会使该范围变大。除了应用构成TASEPOLAR主干的测试（第3.2节），参考。

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nandehutu2022

2022-5-5 02:10:00

[19] 也进行了测试，并在幂律中被明确拒绝（除了上端的少数数据，其中数据不允许区分两种分布，但幂律不太可能）。5讨论5。1.它是幂律吗？TASEPOLAR（第一部分，第3.2.1节）确定了一系列符合幂律的相对人均GDP合同值。TASEPOLAR的设计方式几乎确保了没有其他功能能够更好地处理该范围内的数据。当我们接近尺寸1时，图4上端的向下弯曲是不可避免的，对应于系统的完整破坏。如第2.1节所述，在小值下偏离幂律也是不可避免的，因为否则，概率为1时，反比的大小将为0。可能的回答是，幂律范围仅涵盖一个数量级（fr从5.53%到50%），并且在图4：GDP收缩规模分布的完整分布中，该范围似乎很小。对数标度上的概率密度函数（PD F）表示270个国家级人均GDP合同的相对大小，代表至少5.53%的损失。幂律给出了从5.53%到0.5%的最佳损耗（垂直虚线）。这些点对应于经验PDF，用对数组合表示。连续线是最佳幂律。误差条预计将包含可能性为2/3的经验观测（第3.3.1节）。然而，有几个理由认为这个幂律是有意义的：（1）尽管相对较短的范围，图4中的紧概率区间几乎没有偏离直线的余地。（2）没有明显的方法将所选范围包含在包含图中完整数据集的简单函数中。

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可人4

2022-5-5 02:10:03

5.塔斯波尔法案第二部分（第3.2.2节）中考虑的幂律替代方案被彻底否决。（3）尽管图5中的幂律范围在完全分布的情况下显得相对较小，但这是误导性的，因为幂律以下的范围包括数据分辨率所允许的接近零的值（即对数标度上的负值），这决定了它的长度；就事件数量而言，相对较大的比例（38%）属于幂律范围。（4）幂律范围在经济上很重要，因为它涵盖了几乎所有的萧条（除了上端的一些极端事件），如果我们经常使用10%的阈值来定义压力。这一阈值意味着，从定义上讲，抑郁规模的分布不能超过一个数量级；然而，我们的结果指出，幂律是描述它们的最佳函数，也可以用来描述小于这个最小值一半的较小收缩。图5：扩大的GDP收缩规模分布。采用对数分类法，对样本中691个国家的人均GDP变动的相对大小进行对数对数对数对数标度的经验PDF。垂直虚线表示TasePolari定义为幂律的分布部分（第3.2.1节），它为图4设定了下限。虚线表示由第3.2.2节中应用的标准得出的较不保守的下限。幂律以下的范围包括接近零的值（即。

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可人4

2022-5-5 02:10:07

在对数刻度上为负数）为a，由数据的分辨率允许，这决定了该范围的长度。5.2幂律的数据处理方法在这项研究中，我开发了一种识别和拟合幂律分布的方法，并将其应用于相关的GDP收缩。早期为数不多的将幂律应用于GDP收缩的尝试使用了更简单的方法。大多数情况下，通过目视检查各种类型的测井曲线图，可以识别幂律，但这有严重的局限性[15]。Ormerod和Moun fild[11]可能是第一个研究经济收缩规模幂律假设的人（测量方式与我们的略有不同），但他们的结果没有定论。这些作者对数据进行了线性组合，并通过回归和对经验值与发现值的曲线图进行目视检查，探索了幂律的充分性。观察到情况不佳，他们删除了一些最大的数据，并指出plo t有所改善。然而，线性组合幂律会在回归和目视检查中产生很大的偏差[34]。尤其难以从这些作者获得的情节中提取信息，这些情节由几个点主导，而其他点形成一团云。此外，还使用了全套收缩，将0设为下限。幂律（带τ）≥ 1）不能扩展到零（第2.1节）；一个延伸到零的图是否提醒了幂律在很大程度上取决于binning细节（如参考文献[35]在不同的上下文中所示）。尽管考虑到几年前的技术水平，这些局限性很难克服，但奥默罗德和穆恩菲尔德的分析作为初步探索和为进一步研究指明方向至关重要。类似评论适用于参考文献[12]。参考文献。

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2022-5-5 02:10:10

[9] 收缩的经验直方图也显示出与幂律的一些大致相似性，但没有进行其他测试。处理幂律的更复杂方法已在不同的上下文中发展。其中有几个，比如TASEPOLAR，测试几种可能[xmin，xmax]的幂律，以便选择一种。然而，以前的大多数方法都设计为只查找xmin，通常假设为xmax→ ∞, 如上所示，这是不现实的。TASEPOLAR基于作者之前在不同背景下开发的顺序逐点拟合优度测试和模型比较方法（见参考文献[31，第136页]）。在这项工作中，使用斯奈德科检验，对每个j，对幂律和不同分布（负指数l）的拟合优度进行了f或D1，j的检验，并将结果绘制为j的函数。该图允许确定每个假设不能被拒绝的范围，并选择覆盖更大范围的假设。在作者的帮助下，Bartumeus等人[36]还应用了一个连续的逐点模型比较，使用了Kaike的信息标准[29]（AIC）和修正，并分别进行了一个连续的良好性测试，该测试继Clauset等人[15]之后，基于Kolmogorov-Smirnov统计量。克劳斯等人[15]在假设幂律的情况下，将从D1获得的KS统计量最小化，并将其选为Xmin。此外，他们还通过比较从经验数据中获得的最小KS与从一组合成数据集中获得的最小KS，来测试其优度。这些数据集是基于具有最佳τ和xmin的幂律数据的假设生成的，而x<xmin的值是通过bootstrap生成的。Clauset等人[15]是一种常见的ist方法，与Handcock和Jones[37]贝叶斯方法有关。

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2022-5-5 02:10:15

后来的作者使用贝叶斯信息准则（BIC，见第2.2节）来比较和测试一组与不同的xmin对应的亚类，假设x为幂律≥ xMin和原始样本中每个值x<xMinound的附加参数。然而，克劳斯等人指出，这种方法高估了幂律范围的大小，因为它高估了描述分布另一部分所需的参数数量，因为BIC标准会惩罚不需要的参数。德鲁卡和科拉尔[16]注意到克劳塞特等人的方法存在一些问题，介绍了一些问题；此外，他们还将其扩展到估计xmax。因此，区分TASEPOLAR的主要特征是：（1）除了xmin之外，估计的xmaxis，出于根本原因（第2.1节；然而，参考文献[16]共享了该特征）；（2）它基于泰勒级数展开，通过选择一个包含最少可能假设的假设，解决了幂律应与之进行比较的假设问题；（3）尽管它也适应了频繁者的标准，但它有一个阿巴斯式的主干，允许分配概率，而不是依赖频繁者测试，后者要求任意选择，不分配概率；（4）它避免了固有的偏见，例如AIC中隐含的偏见（显然，这高估了参数的数量；第2.2节）或在r ef的假设选择下应用BIC时产生的偏见。[37].然而，塔斯波尔仍有改进的空间。首先，它没有给出应该假设为f或x的分布的系统性公式≤ xmin在xmin的幂律假设下≤ 十、≤ xmax（对x来说都不是≥ xmax，但这似乎不那么重要）。

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2022-5-5 02:10:21

其次，它通过似然比近似贝叶斯因子，但也可以在合理选择参数的先验概率后直接计算贝叶斯因子。5.3幂律分布灾难事件的幂律模型的解释和后果在复杂的系统环境中大量存在。由于一些共同特征，许多模型的动力学被解释为一种称为自组织临界性（SOC）的单一现象的不同实例[4]。灾难性事件中的幂律通常归因于SOC，尽管这并不总是正确的[4,38]。因此，文献[5,6,7,8,9]中的C经济模型肯定预测了本文中发现的结果，但我们不知道他们是否出于正确的原因这样做。这些模型很简单，但被认为可能有用，因为如果满足一些基本要求，SOC模型的结果几乎与它们的细节无关[4]。SO C的一个基本组成部分是以链式反应的形式从单元tounit传播明确的扰动[4]。一些经典研究将经济衰退解释为破产链以各种方式从一家公司传播到另一家公司[39]，这种链引起了新的兴趣[40,41]。然而，与直接发生在宏观经济变量层面的效应相比，我们不知道这种微观传递有多重要。此外，试图确定破产链[42]的尝试导致了经验的结果，即似乎不符合幂律，尽管这可能是因为并非所有的传播模式都能被追踪，而且该研究仅包括一年，而破产链可以持续更长的时间[4 3]。另一个基本要素是负面反馈。

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2022-5-5 02:10:24

连锁反应过后，传染应立即变得更加困难，但随后，企业应逐步恢复其脆弱性。这是有道理的，因为在稳定时期，企业可以多样化，进入多种运作方式，其中一些在动荡时期是不可行的。这些企业会因为各种原因变得脆弱，例如高度专业化、高杠杆（明斯基[44]机制）、或预算紧张（尤其是因为越来越过时的产品或生产人员，为创造性破坏的狂风奠定了基础[4 5]）。三分之一是时间尺度分离。与企业变得脆弱所需的时间相比，连锁反应应该是短暂的。特别是，一旦反应已经开始，就不应该有什么机会对诞生（或从破产中恢复）的公司产生连锁反应。对连锁反应持续数年的观察[43]意味着这不能被认为是理所当然的。只有对上述各项进行更深入的调查，才能确定图4中的幂律是否源于SOC。除公司外，产品也可能是链式反应的单位[8,9]：这种假设有经验支持[46]。无论是否为SOC，很明显，波动不仅通过内部渠道传播，也通过市场外部渠道传播。值得注意的是，数据集中一些最大的控制行动与两次世界大战和其他冲突有关[20]。经济波动的粒度理论[47]与本文的结果是一致的。这种方法表明，规模不变的波动是构成经济的各个部分（如企业或个人收入）规模不变的结果。

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2022-5-5 02:10:27

每一块都容易受到冲击的影响，冲击对整个经济的重要性在一定程度上取决于块的大小。SOC可以被视为这种机制的一个特定实例，一个特殊性是，在SOC系统中，尺度不变结构不仅是尺度不变函数的原因，也是其结果，即系统的两个方面之间存在反馈[48]。除了SOC，还有其他机制可以将规模不变性引入经济结构[49、50、51]，然后可以将其转化为该理论提出的规模不变性。裁判。[5 2,12]建议也可以被视为颗粒理论实例的特定模型。其他可能的解释不那么动态，更具统计性质。在某些情况下，混合分布会导致幂律[53]。因此，在现阶段，我们不能放弃图4中的幂律与不同国家混合的事实以及它们的时间序列的非平稳性有关。然而，混合物产生功率定律的条件并不为人所知（作者在其他地方研究了一系列广泛的案例，但其中一个案例导致τ）≈ 1).在这篇论文中，无论是什么样的非计划经济事件，它们都可以被认为是灾难性的结果。然而，从这一观察结果跳到这样一个结论，即此类事件与复杂系统的本质密切相关，无法改变其分布，这是不合理的。之前的森林研究提供了关于这一点的见解。

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