一般提款时的广义预期贴现惩罚函数

2022-6-24 02:18:14

L'evy风险过程的广义期望折现惩罚函数王文元、陈平*, 厦门大学数学科学学院，厦门3 61005。b墨尔本大学经济系，维多利亚州帕克维尔301 0，澳大利亚。摘要本文考虑一个由谱负L'evy过程建模的保险盈余过程。在本文中，我们采用下降时间作为风险指标，而不是传统情况下的破产时间。我们研究了d提取时间、提取时的运行最大值、提取前的最后一个最小值、提取前的盈余和提取时的盈余的联合分布（在这种情况下可能没有缺陷），这推广了Gerber和Shiu（1998）中经典的预期贴现惩罚函数的k-nown结果。结果在q尺度函数和与L'evy过程相关的L'evy测度的项中有半显式表达式。作为应用，所获得的结果应用于恢复文献中的结果，并获得嵌入大量结转税收系统或障碍红利策略的风险过程破产时Gerber-Shiu函数的新结果。此外，还提供了数值例子来说明结果。关键词：光谱负L'evy过程；总水位下降时间；广义期望离散罚函数；缩放功能；漂移理论。1、引言在风险理论的经典模型中，保险人的风险过程行为是通过预期贴现惩罚函数来分析的，在瑞恩文献中通常被称为Gerber-Shiuffunction，参见Gerber和Shiu（1998）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 02:18:17

基于盈余过程的克莱姆-伦德伯格模型，他们研究了三个关键利息量的利息分布：破产概率、破产前的盈余分布和破产时的损失。此后，文献中对Gerber-Shiu函数进行了广泛的研究。2010年，研究这一函数的技术和视角的多样性引发了一期保险专刊：Gerber-Shiu函数主题c上的数学和经济学。这项工作得到了国家自然科学基金（编号11661074和11701436）、福建省大学新世纪优秀人才计划（编号Z0210103）和中央大学基础研究基金（编号20720170096和2018IB019）的部分资助。*通信作者。电话：+61 90358053电子邮件地址：wwywang@xmu.edu.cn（王文元），pche@unimelb.edu.au（陈萍），shli@unimelb.edu.au（Shuanming LIb）提交给Elsevier的预印本20191年6月5日简介受风险度量最新发展的推动，本文研究了经典Gerber-Shiu函数的扩展定义。其主要思想是用一个更通用的风险指标来代替破产时间：提取时间，这在工业中被广泛使用。通常，提取时间是指在投资、基金或商品证券的特定记录期内，盈余过程从峰值下降到随后的某个时刻。我们采用了一个一般的提取定义，其中不仅包括作为特例的破产时间，还包括许多其他形式（线性或非线性），参见Avram et al.（2017）示例中的备注1和备注2及其解释。就保险人的盈余过程而言，提款时间越早，保险人承担的风险就越大。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 02:18:20

因此，提取前盈余和提取时的su RPLU在确定保险公司的财务风险方面也起着重要作用。这些盈余的水平可以帮助管理保险公司的财务决策。例如，在提高保险费率之前，保险人可能会尽量减少20%或更高的提款概率，以避免发生更糟糕的情况。泰勒（1975）首先介绍了数学公式，他研究了漂移布朗运动的最大下降。该结果后来扩展到其他情况，见Avram et al.（2004）、Landriault et al.（2015）、Landriault et al.（2017）、Li et al.（20 17）、Wang和Zhou（2018）以及其中的参考文献。在金融和精算研究的背景下，近年来，提款风险的应用越来越多。Shepp和Shiryaev（1993）提出了一种新的看跌期权，其中期权买方获得了自购买时间和行使时间以来期权交易的最高价格。Av ram等人（2004）和Carr（2014）提供了期权优先权的最新应用。在投资组合选择方面，Grossman和Zhou（1993）率先提出了这一研究课题，对最优投资策略采用了严格的提取约束。这条路线上的扩展工作非常丰富，仅举几个例子，但不限于，多资产框架见Cvitanic和Karatzas（1995），semimartin gale一般框架见Cherny和Obloj（2013），最优消费投资问题见Roche（2006），效用函数一般类别优化见Elie和Touzi（2008）。在投资组合选择的另一条路线上，缩减的可能性被最小化，而不是对缩减施加限制。考虑了各种情况，参见Chen et al.（2015）关于纯投资形式的计算，Angoshtari et al。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 02:18:23

（2016）针对具有恒定消费约束的情况，Han et al.（2018）针对最优再保险情况。关于d-ividend优化问题，Wang和Zhou（2018）考虑了de Finetti最优股息问题的一般版本，其中破产时间被替换为一般提款时间。本文的另一个特点是，保险人的盈余过程由一个谱负L'evy过程建模，该过程是一个具有平稳独立增量且无正ju mps的样本路径的随机过程。在风险理论中，这通常是一个盈余过程，向下跳跃描述了债权的向外支付。Yang和Zhang（2001）、Garrido和Morales（2006）、Bi-ffes和Morales（2010）、Avarm et al.（2017）和Lo-effen et al.（2018）可以看到光谱负性过程在风险理论中的应用。基于提取时间，本文研究了预期贴现惩罚函数的扩展定义，即q尺度函数和与L'evy过程相关的L'evy测度。推导了水位下降时间、水位下降时的运行最大值、水位下降前的最后一个最小值、水位下降前的盈余和水位下降时的盈余的联合分布。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 02:18:27

与破产时间不同，盈余过程在提取时可能不会低于零，因此，我们在Gerber-Shiuffunction的扩展定义中使用提取时的盈余，而不是破产时的赤字。从技术角度来看，经典破产理论主要基于更新方程技术，以获得一些微妙的结果，见Gerber和Shiu（1998），或一些特定风险模型的特定方法，如Gamma过程，见Dufresne和Gerber（1993）。当风险过程扩展到频谱负L'evy过程时，破产概率的结果来自L'evy过程的波动理论，见Kyprianou（2006）。在破产的情况下，特定的模型公式使用了不同于波动理论的数学精妙之处，如当经典风险过程和伽马过程受到扩散干扰时的拉普拉斯指数，见Yang和Zhang（2001）；当总索赔过程是一个从属过程时，破产时间的空间变换，见Garrido和M orales（2006）；s ee Loeffen et al.（2018）研究巴黎破产问题时，会出现超调。破产概率通常表示为一些分布函数的多重卷积，或与L'evy过程相关的q尺度函数。本文（水位下降的情况）的结果是基于漂移理论方法得出的，该方法也是基于列维过程的波动理论，并已证明其在解决相关边界交叉问题方面的有效性。使用这种方法，Kyprianou和Pistorius（2003）导出了交叉时间的拉普拉斯变换，这是俄罗斯期权评估的关键数量；Avram等人。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

mingdashike22

2022-6-24 02:18:30

（2004）从一个区间中确定了退出时间和退出位置的j点L面变换，该区间包含反映在其上确界的过程原点，然后将其应用于与俄罗斯期权及其加拿大化版本定价相关的最优停止问题；Pistorius（2004）推导了L'evy过程的q预解核，该过程反映了在离开时的剩余时间[0，a]；Pistorius（2007）解决了Lehoczky的问题和L'evy过程的Skorokhod嵌入问题，该过程反映在其最高点；Baurdoux（2007）研究了在其最大值处反映的终止L’evyprocess预解测度的密度；Kyprianou和Zhou（2009）获得了含税L’evy ris k过程的Gerber-Shiu函数的广义版本，其中嵌入了亏损结转税收系统。现有文献已经见证了电力漂移理论方法在金融数学和随机过程理论领域的应用。然而，据作者所知，这种方法很少用于精算风险理论领域。本文试图应用该方法研究水位下降情况下扩展Gerber-Shiu函数的表达。应用偏移理论方法的一个优点是，我们不需要使用基础L'evy过程的特定特征，除了从运行最大值偏移的通用路径分解，这属于泊松点过程的框架。因此，我们可以在目标问题的整体操作中使用泊松点过程理论，如补偿公式。我们提到，本文中的所有结果都用标度函数和与L'evy过程相关的L'evy度量优雅地表达出来。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 02:18:33

我们还提到，当非恒定总降深边界上的第一个通道减少到恒定边界的情况下，我们能够恢复现有文献中的相应结果。我们指出，Li et al.（2017）还应用偏移方法研究了与s谱负L'evy过程的总体下降时间有关的退出问题。然而，他们对光谱负L'EVY过程的初步研究集中在下降时间过程的联合拉普拉斯变换上，而本文旨在研究涉及一般下降时间的联合分布。的确，随机量的连接t分布是由相应的拉普拉斯变换唯一确定的，并且可以通过用Bromwich积分或数值方法对拉普拉斯变换进行逆变换来获得。不幸的是，许多数学兴趣或物理兴趣的问题导致了具有这些逆的空间变换不容易用列表函数表示。此外，据我们所知，目前所有的数值反演方法都是不稳定的，因为小的“输入”误差，例如由计算机舍入效应或算法hm中的参数选择引起的误差，可能会在反演过程中严重放大，在一些实际问题中，如在有限容量环境中或在肿瘤生长模型中，人口的生存概率，应避免这些问题，参见Albano和Giorno（2006）。即使随着现代技术的发展，也很难找到一种适用于所有情况的通用算法。Davies（2002）对这些方法进行了详细的回顾。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 02:18:37

因此，即使拉普拉斯变换已经可用，仍然值得研究联合分布。此外，在计算联合分布时，我们在盈余水平上增加了一个约束，这是我们的论文和Li等人（2017）的另一个不同之处。这种约束的动机来自Bi ffes和Morales（20-10），他们认为破产前的最后最低盈余可以更好地反映公司的财务状况。在本文中，我们将此术语扩展到提取前盈余的最后一个最小值，这是对公司财务活动的警告。我们参考备注3.1了解更详细的解释。本文的组织结构如下。第2节介绍了光谱负L'evy过程的一些初步事实。第3节提供了主要结果、证明和讨论。第4节，主要结果用于研究具有税收和红利的L'evy风险过程破产时的Gerber-Shiu函数。第5节提供了一些数值例子来说明我们的结果。第6节总结了本文。2、谱负L'evy过程的预备知识写入X={X（t）；t≥ 0}，定义在概率定律为{Px；x的概率空间上∈ R} 和自然过滤{Ft；t≥ 0}，对于光谱负的L'evy过程。我们将其运行上确界和运行中确界分别表示为{X（t）=sup0≤s≤tX（s）；t型≥ 0}和{X（t）=inf0≤s≤tX（s）；t型≥ 0} .定义于（0，∞) 如果它是连续的且ξ（x）=x，则称为一般下降函数- ξ（x）>0表示x>0。关于总水位下降函数ξ（·）的总水位下降时间，简称ξ-d水位下降时间，定义为τξ=inf{t≥ 0; X（t）<ξ（X（t））}。备注2.1。注意，当ξ（·）时≡ 0，τξ减少到类破产时间。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 02:18:40

另一个例子是running supreme的线性函数，比如ξ（X（t））=0.8X（t）- 0.5. 那么X（t）<ξ（X（t））等于0.8X（t）-X（t）>0.5。因此，τξ是指s urplus工艺rops0.5装置首次低于其迄今为止最大值的80%。在实践中，风险管理者可以将其作为转变2频谱负L'EVY处理点的准备工作，采取一些行动，例如提高保费率或由公司与资本提供商协商以避免更糟糕的情况。对于ξ（·）的非线性形式，我们参考Avram et al.（2017）中的备注2了解示例及其解释。我们还分别定义了a层的首次向下穿越时间和b层的向上穿越时间，如下τ-a： =inf{t≥ 0; X（t）<a}和τ+b：=inf{t≥ 0; X（t）>b}。设X的拉普拉斯指数由ψ（θ）=ln Ex给出eθ（X（1）-x）= γθ +σθ-Z（0，∞)1.- e-θx- θx1（0,1）（x）ν（dx），其中ν是L'evy测量满足度（0，∞)1.∧ x个ν（dx）<∞. 众所周知，ψ（θ）对于θ是有限的∈ [0, ∞) 在这种情况下，它是严格凸的，并且是完全可区分的。如Bertoin（1996）所述，q标度函数{Wq；q≥ X的0}定义如下。对于每个q≥ 0，Wq：[0，∞) → [0, ∞) Laplace变换的唯一严格递增连续函数∞e-θxWq（x）dx=ψ（θ）- q、对于θ>Φq，其中ΦQi是方程的最大解，离子ψ（θ）=q。对于x<0，进一步定义Wq（x）=0，并将W写为0标度函数W的缩写。备注2.2。尺度函数出现在绝大多数已知的关于边界交叉问题和相关路径分解的恒等式中。这反过来又是它们在大量依赖于此类恒等式的经典应用概率模型中使用的后果。我们参考toKuznetsov等人（2012）的直观示例和解释。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 02:18:44

我们必须指出，对于全谱负L'evy过程，所有q都存在q尺度函数≥ 然而，由于比例函数是通过其拉普拉斯变换定义的，并且在大多数情况下，不可能找到拉普拉斯变换逆的表达式，因此根据q-比例函数的表达式可以称为半显式表达式。对于那些无法找到显式表达式的人，我们求助于数值方法，使人们能够轻松高效地计算比例函数，另见Kuznetsov等人（2012）。我们还简要回顾了偏移理论中反映过程{X（t）的概念- X（t）；t型≥ 0}，我们参考t o Bertoin（1996）了解更多详细信息。进程{L（t）：=X（t）- x、 t型≥ 0}用作马尔可夫过程{X（t）的0处的局部时间- X（t）；t型≥ Px下的0}。将相应的反演时间定义为-1（t）：=inf{s≥ 0 | L（s）>t}=sup{s≥ 0 | L（s）≤ t} 。让我进一步-1（t-) = lims公司↑tL公司-1（s）。用{（t，εt）；t表示该本地时间所表示的偏移的泊松点过程≥ 0}，其中εt（s）：=X（L-1（t））- X（L-1（t-) + s），s∈ （0，L-1（t）- L-1（t-)],3主要结果每当L-1（t）- L-1（t-) > 0、对于L-1（t）- L-1（t-) = 0，定义εt=Υ，其中Υ是一个额外的隔离点。因此，我们将属于正则漂移空间E的一般漂移表示为ε（·）（或，εforshort）。过程的强度测度{（t，εt）；t≥ 0}由dt×dn给出，其中“n”是偏移空间的度量。标准漂移的寿命ε用ζ表示，其漂移高度用ε=supt表示∈[0，ζ]ε（t）。正则漂移的首次通过时间ε将由ρ+b定义：=inf{t∈ [0, ζ]; ε（t）>b}，（1）具有约定inf = ζ. 此外，定义αb：=支持∈[0，ρ+b）ε（t），（2）是ρ+b之前的偏移高度。备注2.3。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 02:18:47

偏移是路径的一段，h仅在其两个端点处为零值。它引用最大打开时间间隔，以便路径远离0。自然，一个L'evy过程可以分解为一系列的偏移。由于随机性，例如，从零开始的布朗运动（唯一的连续L'evy过程）可以在任何时间间隔内以十个为单位达到零，然后偏移以当地时间标记，而不是以特定偏移的开始时间标记。考虑到只有数不清的远足，因此只有数不清的当地时间与远足有关。这激发了将这组远足视为当地时间上的泊松点过程的想法。因此，可以使用一个度量来描述偏移点过程的泊松强度，这是我们设置中度量“n”的间接含义。有关更多详细解释，请参阅Kyprianou（2006）。3、主要结果本节介绍了L'evy风险过程在一般提取时间的扩展预期贴现惩罚函数，然后将其表示为与L'evy过程相关的q标度函数和L'evy度量。当我们推导出主要结果时，以下三个技术引理证明是有用的。引理3.1描述了原子在穿过正则漂移ε时相对于漂移测度的超调的贴现分布定律的0处的特性。我们在这里提出了一个自我完善的建议。引理3.1。对于q>0和s>x≥ 0，我们有e-qρ+s；ε>s，ε（ρ+s）=s=σW′q（s）Wq（s）- W′q（s）. （3） 3主要结果证明：从Pistoriu s（2007）的（14）中，我们阅读了OFF hatExe-qτ-; X（τ-) = 0= Ee-qτ--x；X（τ--x） =-x个=σW′q（x）- ΦqWq（x）.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-6-24 02:18:50

（4）通过对破产的定义，我们知道一定存在一个正寿命的旅行，例如τ-位于该偏移的左右端p点之间。用θ表示εθ的偏移≥ 0，则εθ是左端点小于τ的最后一次偏移-, 我们有εθ>x+θ和εt≤ 所有偏移的x+tεtwith t<θ。也就是说，破产不会发生在t<θ的εtwi的寿命期内，而会发生在εθ的寿命期内。此外，我们可以通过hτ的漂移εθ分别转换破产时间和破产时刻的盈余-= L-1(θ-) + ρ+x+θ（θ），x（τ-) = x+θ- εθρ+x+θ（θ）,其中ρ+x+θ（θ）通过（1）定义，ε替换为εθ，b替换为x+θ。因此，（4）的左侧可以转换为Xe-qτ-; X（τ-) = 0= 前任Xθ≥0e-qL系列-1(θ-){L-1(θ-)<τ-}e-q（τ--L-1(θ-)){S（L-1(θ-))=X（τ-)=x+θ}{x（τ-)=0}= 前任Xθ≥0e-qL系列-1(θ-)Yt<θ{εt<x+t}e-qρ+x+θ（θ）{εθ>x+θ}{εθ（ρ+x+θ（θ））=x+θ}, （5）式中，εθ表示τ之前的最后一次偏移-, ρ+x+θ（θ）由（1）定义，ε替换为εθ，b替换为x+θ。通过补偿公式（比照Bertoin（1996））和（5）一起得出e-qτ-; X（τ-) = 0=Z∞前任e-qL系列-1(θ-)Yt<θ{εt<x+t}ne-qρ+x+θ（θ）{εθ>x+θ，εθ（ρ+x+θ（θ））=x+θ}dθ=Z∞前任e-qτ+x+θ{τ+x+θ<τ-}ne-qρ+x+θ{ε>x+θ，ε（ρ+x+θ）=x+θ}dθ=Z∞xW（q）（x）W（q）（s）ne-qρ+s{ε>s，ε（ρ+s）=s}ds。（6）等于（4）和（6），然后根据xyields（3）对所得等式的两侧进行微分。我们从（1）和（2）中回忆起，ρ+x和αxrefer分别表示x上激发ε的首次通过时间和ρ+x之前的偏移高度。下面的结果给出了在偏移度量下涉及ρ+x和αxu的折扣调整分布。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 02:18:53

它推广了Kyprianou和Zhou（2009）的引理2.2，通过对漂移h ei ghtαx施加约束≤ x个- v、其中v∈ （0，x）可作为破产前最后一个最小盈余的最低资本要求。3主要结果引理3.2。对于x，y，z∈ (0, +∞) 和v∈ （0，x），我们没有e-qρ+x；x个- ερ+x-∈ dy，ερ+x- x个∈ dz，αx≤ x个- v=W′q（x- y）- Wq（x- y） W′q（x- v） Wq（x- v）哦！ν（dz+y）1{y<x}dy+Wq（0）ν（dz+x）δx（dy），（7）其中δx（dy）是狄拉克度量，它将单位质量分配给点x。证明：Recal x（t）=inf0≤s≤t的tX（s）≥ 0，然后X（τ--) 指破产前的最后一分钟，见Bi ffes and Morales（2010）。根据Bi ffis和Kyprianou（2010）中的定理1，one hasExe-qτ-; X（τ--) ∈ dy，-X（τ-) ∈ dz，X（τ--) ∈ dv= e-Φq（y-五）W′q（x- 五）- ΦqWq（x- 五）ν（dz+y）dv d y，x，y，z∈ (0, +∞), v∈ （0，x∧ y] ，哪个yieldsExe-qτ-; X（τ--) ∈ dy，-X（τ-) ∈ dz，X（τ--) ≥ v=Zw公司∈[v，x∧y] eΦqwW′q（x- w）- ΦqWq（x- w）数据仓库e-ΦqyД（dz+y）dy=e-Φqyν（dz+y）dy{y<x}Zw∈[v，y]d-eΦqwWq（x- w）+ 1{y≥x} Zw公司∈[v，x）d-eΦqwWq（x- w）+Zw公司∈{x} d-eΦqwWq（x- w）!!= e-ΦqyД（dz+y）dy{y<x}eΦqvWq（x- 五）- eΦqyWq（x- y）+1{y≥x}eΦqxWq（0）+eΦqvWq（x- 五）- eΦqxWq（0）, x、 y，z∈ (0, ∞), v∈ （0，x∧ y] 。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-6-24 02:18:56

（8）用与（5）中相同的远足语言，我们重写了（8）asExe-qτ-; X（τ--) ∈ dy，-X（τ-) ∈ dz，X（τ--) ≥ v= 前任Xθ≥0e-qL系列-1(θ-)Yt<θ{εt<x+t-v} e类-qρ+x+θ（θ）{εθ>x+θ}×1{x+θ-εθ（ρ+x+θ（θ）-)∈dy，-（x+θ-εθ（ρ+x+θ（θ）））∈dz，αx+θ（θ）≤x+θ-v}, x、 y，z∈ (0, ∞), v∈ （0，x∧ y] ，（9）式中，εθ表示τ之前的最后一次偏移-, ρ+x+θ（θ）和αx+θ（θ）由（1）和（2）定义，其中ε替换为εθ，b替换为x+θ，以及x（τ--) = inf0≤t<θ（x+t-εt）∧（x+θ-αx+θ（θ））。根据（9），众所周知的双边出口身份（见Kyprianou（2006）），前e-qτ+s{τ+s<τ-v}=Wq（x- v） Wq（s）- v），0<v<x<s<∞,3主要结果和补偿公式（参见Bertoin（1996））在漂移理论中，可以得到e-qτ-; X（τ--) ∈ dy，-X（τ-) ∈ dz，X（τ--) ≥ v=Z∞前任e-qL系列-1(θ-)Yt<θ{εt<x+t-v}×ne-qρ+x+θ（θ）{εθ>x+θ}×1{x+θ-εθ（ρ+x+θ（θ））-)∈dy，-（x+θ-εθ（ρ+x+θ（θ）））∈dz，αx+θ（θ）≤x+θ-v}dθ=Z∞前任e-qτ+x+θ{τ+x+θ<τ-v}ne-qρ+x+θ{ε>x+θ}{x+θ-ε（ρ+x+θ-)∈dy，ε（ρ+x+θ）-（x+θ）∈dz，αx+θ≤x+θ-v}dθ=Z∞xEx公司e-qτ+s{τ+s<τ-v}ne-qρ+s；ε>s，s- ερ+s-∈ dy，ερ+s- s∈ dz，αs≤ s- vds=Z∞xWq（x- v） Wq（s）- v） n个e-qρ+s；s- ερ+s-∈ dy，ερ+s- s∈ dz，αs≤ s- vds，与（8）yieldsWq（x）相结合- v） n个e-qρ+x；x个- ερ+x-∈ dy，ερ+x- x个∈ dz，αx≤ x个- v=W′q（x- y） Wq（x- 五）- Wq（x- y） W′q（x- 五）Wq（x- 五）{x>y}ν（dz+y）dy+Wq（0）Wq（x- v） ν（dz+x）δx（dy），x，y，z∈ (0, ∞), v∈ （0，x∧ y] ，即（7）。证明是完整的。下面的引理3。3解决了基于一般下降的双边退出问题，可在Li等人（20 17）的命题3.1和引理3中找到。Wang和Zhou（2018）的第2页。引理3.3。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 02:18:59

对于q>0和s>x以及一般下降函数ξ，我们有e-qτ+s{τ+s<τξ}= 经验值-ZsxW′q（ξ（z））Wq（ξ（z））dz,式中ξ（z）=z- ξ（z）。受Bi fifs和Morales（20-10）提出的破产前最后一个最小盈余的启发，本文对提款前最后一个最小盈余进行了限制，以更好地反映公司的财务状况。Letθ：[x，∞) → [0, ∞) 是满足0的可测量函数≤ θ（z）<ξ（z）。在下面的主要结果中，我们使用θ（X（t））来描述d提取水平以上盈余的最低资本要求。注意，当θ（X（t））等于toa常数v和ξ（z）≡ 0我们退化到Lemm a 3.2采用的破产情形。放置（z）=θ（z）+ξ（z）和（z）=z-（θ（z）+ξ（z））=ξ（z）- θ（z），因此也是一个一般的下降函数。3主要结果定理3.1导出了L'evy风险过程在一般提取停机时间下的扩展预期贴现能力函数，其中采用了类似于Pistorius（2007）、Kyprianouand Zhou（2009）和Li et al（2017）中的偏移方法。定理3.1。用L'evy度量表示-十、根据l := L-1（L（τξ）-) 在一般提款时间之前，每个进程X第一次达到运行最大值的时间。（a）对于s∈ （十）∨ y∞), y∈ [ξ（s），∞), z∈ (-ξ（s），∞) 和q，λ≥ 0，我们有EXE-ql-λ(τξ-l);X（τξ）∈ ds，X（τξ-) ∈ dy，-X（τξ）∈ dz，inft∈[ 0,τξ)X（t）- （X（t））≥ 0!= 经验值-ZsxW′q（（w））Wq（（w））dw！Wλ（0+）ν（s+dz）δs（dy）+W′λ（s- y）-W′λ（（s））Wλ（（s））Wλ（s- y）哦！ν（y+dz）{y<s}dy！ds。（10）（b）对于s∈ （十），∞) 和q，λ≥ 0，我们有e-ql-λ(τξ-l);X（τξ）∈ ds，X（τξ）=ξ（s）=σexp-ZsxW′q（ξ（w））Wq（ξ（w））dwW′λξ（s）Wλξ（s）- W′λξ（s）ds，（11），其中，如果σ=0，则表达式被理解为b e等于0。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 02:19:02

当且仅当L'evy过程的高斯部分为负时，盈余以正概率保持在总体下降水平。备注3.1。注意，在方程式（10）的左侧，我们包括常数raintinft∈[ 0,τξ)X（t）- （X（t））≥ 0<=> X（t）- ξ（X（t））≥ θ（X（t）），0≤ t<τξ，实际上是X（t）上的约束- ξ（X（t）），即高于水位下降ξ（X（t））的盈余水平。我们要求该级别至少为θ（X（t））≥ 0，这可能与公司的信任水平有关，因此取决于历史运行最大值x（t）。θ（X（t））越低，需要与公司资本提供者协商的财务状况越差，公司审查其财务活动的紧迫性也越高。θ（X（t））的水平为公司的明智决策提供了警告，例如低保费率，也为未来的注资提供了阻碍。3主要结果定理3.1的证明：与引理3.1中的想法类似，一般提款的定义导致存在正寿命的偏移，使得τξ位于该偏移的左端点和右端点之间。用εθ和θ表示该偏移≥ 0，则εθ是左端点小于τξ的最后偏移，我们有εθ>ξ（x+θ）和εt≤ ξ（x+t），对于t<θ的所有激励εtwi。也就是说，在εtwitht<θ的寿命期内不会出现总降深，而在εθ的寿命期内会出现总降深。此外，我们可以通过εθ到hx（τξ）的偏移，立即转换一般d拉延时间之前和时的盈余-) = x+θ- εθρ+ξ（x+θ）（θ）-, X（τξ）=X+θ- εθρ+ξ（x+θ）（θ）,其中ρ+ξ（x+θ）（θ）通过（1）定义，ε替换为εθ，b替换为ξ（x+θ）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-6-24 02:19:05

同时，总水位下降时间可以改写为τξ=L-1(θ-) + ρ+ξ（x+θ）（θ）。所以我们有，对于y，z∈ (-∞, +∞), q、 λ≥ 0和任何op en间隔B （十），∞),Exe文件-ql-λ(τξ-l);X（τξ）∈ B、 X（τξ-) ∈ dy，-X（τξ）∈ dz，inft∈[0,τξ)X（t）- （X（t））≥ 0!= 前任Xθ∈B-xe公司-qL系列-1(θ-)Yt<θ{εt<（x+t）}e-λρ+ξ（x+θ）（θ）{εθ>ξ（x+θ）}×1{x+θ-εθρ+ξ（x+θ）（θ）-∈dy，-x+θ-εθρ+ξ（x+θ）（θ）∈dz，αξ（x+θ）≤（x+θ）}！，（12）式中，εθ表示τξ之前的最后一次偏移，ρ+ξ（x+θ）（θ）由（1）给出，ε替换为εθ，b替换为ξ（x+θ），b- x：={y- x | y∈ B} 。在（12）的表达式中使用补偿公式（见Bertoin（1996）第IV.4章的推论11），我们得到了-ql-λ(τξ-l);X（τξ）∈ B、 X（τξ-) ∈ dy，-X（τξ）∈ dz，inft∈[0,τξ)X（t）- （X（t））≥ 0!=ZB公司-xEx公司e-qL系列-1(θ-)Yt<θ{εt<（x+t）}×ne-λρ+ξ（x+θ）（θ）{εθ>ξ（x+θ）}×1{x+θ-εθρ+ξ（x+θ）（θ）-∈dy，-x+θ-εθρ+ξ（x+θ）（θ）∈dz，αξ（x+θ）≤（x+θ）}！dθ=ZB-xEx公司e-qτ+x+θ{τ+x+θ<τ}×ne-λρ+ξ（x+θ）{ε>ξ（x+θ）}×1{x+θ-ερ+ξ（x+θ）-∈dy，ερ+ξ（x+θ）-（x+θ）∈dz，αξ（x+θ）≤（x+θ）}！dθ=ZBExe-qτ+s{τ+s<τ}ne-λρ+ξ（s）；ε>ξ（s），s- ερ+ξ（s）-∈ d y，ερ+ξ（s）- s∈ dz，αξ（s）≤（s）ds3主要结果=ZBexp-ZsxW′q（（w））Wq（（w））dw！{y≥ξ（s）}{z>-ξ（s）}×ne-λρ+ξ（s）；ξ（s）- ερ+ξ（s）-∈ -ξ（s）+dy，ερ+ξ（s）-ξ（s）∈ ξ（s）+dz，αξ（s）≤（s）ds=ZBexp-ZsxW′q（（w））Wq（（w））dw！{y≥ξ（s），z>-ξ（s）}Wλ（0+）Д（s+dz）δs（dy）+W′λ（s- y）-W′λ（（s））Wλ（（s））Wλ（s- y）哦！ν（y+dz）{y<s}dy！ds，（13）在上一个等式中，我们使用了Lemm a 3.2，在最后一个等式中，我们使用了Lemm a 3.3。开放区间B与（13）yi-elds（10）的任意性。还有待于证明情况（b）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 02:19:08

事实上，根据补偿公式（见Bertoin（1996）第四章推论11），我们有e-ql-λ(τξ-l);X（τξ）∈ B、 X（τξ）=ξX（τξ）= 前任Xθ∈B-xe公司-qL系列-1(θ-)Yt<θ{εt<ξ（x+t）}e-λρ+ξ（x+θ）（θ）{εθ>ξ（x+θ）}{εθ（ρ+ξ（x+θ）（θ））=ξ（x+θ）}=ZB公司-xEx公司e-qL系列-1(θ-)Yt<θ{εt<ξ（x+t）}×ne-λρ+ξ（x+θ）（θ）{εθ>ξ（x+θ）}{εθ（ρ+ξ（x+θ）（θ））=ξ（x+θ）}dθ=ZB-xEx公司e-qτ+x+θ{τ+x+θ<τξ}ne-λρ+ξ（x+θ）{ε>ξ（x+θ）}{ε（ρ+ξ（x+θ））=ξ（x+θ）}dθ=ZBexp-ZsxW′q（ξ（w））Wq（ξ（w））dwne-λρ+ξ（s）；ε>ξ（s），ερ+ξ（s）=ξ（s）ds=ZBexp-ZsxW′q（ξ（w））Wq（ξ（w））dwσW′λξ（s）Wλξ（s）- W′λξ（s）ds，（14）在上一个等式中，我们使用了Lemm a 3.1，在最后一个等式中，我们使用了Lemm a 3.3。间期B中的开的任意性与h（14）一起产生s（11）。这完成了定理3.1中情形（b）的证明。备注3.2。应该指出的是，本文采用的研究总水位下降的偏移方法是基于列维过程，因此不能轻易应用于其他基础模型，例如，扩散过程或扩散过程。在Landriault等。（2017年），提出了一种称为“短时路径分析”的方法，用于研究一般时间齐次马尔可夫过程中涉及的经典下降函数问题。他们的方法在某种意义上更为通用，可以适用于研究涉及总水位下降时间的洪水问题，但在我们的情况下，在τξ达到运行最大值的时间和τξ之前的盈余水平似乎仍有限制。3主要结果注意，在定理3.1的（a）部分，y∈ [ξ（s），∞) 等于y- ξ（s）∈ [0, ∞), andz公司∈ (-ξ（s），∞) 等于z+ξ（s）∈ (0, ∞), 我们很容易得出以下结果。推论3.1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-6-24 02:19:11

对于z>0，y≥ 0，s≥ y∨ x、和q，λ≥ 0，我们有EXE-ql-λ(τξ-l);X（τξ）∈ ds，X（τξ-) - ξ（s）∈ dy，ξ（s）- X（τξ）∈ dz，inft∈[ 0,τξ)X（t）- （X（t））≥ 0!= 经验值-ZsxW′q（（w））Wq（（w））dw！Wλ（0）+ν（ξ（s）+dz）Δξ（s）（dy）+W′λ（ξ（s）- y）-W′λ（（s））Wλ（（s））Wλ（ξ（s）- y）哦！ν（y+dz）{y<ξ（s）}dy！ds。此外，当q=λ，ξ≡ 0和θ≡ v∈ [0，x）我们有e-qτ-;X（τ-) ∈ ds，X（τ--) ∈ dy，-X（τ-) ∈ dz，X（τ-) ≥ v=Wq（x- v） Wq（s）- v） Wq（0+）ν（s+dz）δs（dy）+W′q（s- y）-W′q（s）- v） Wq（s）- v） Wq（s）- y）哦！ν（y+dz）{y<s}dy！ds，对s除以[x]进行积分，∞) 并在limx回顾th→∞Wq（s）-y） Wq（s）-v） =e-Φq（y-v），一个可以恢复（8）。因此，作为特例，定理3.1的结果与Bi ffis和Kypriano u（20-10）中定理1的结果一致。当θ≡ ξ ≡ 0，则一般下降时间减少到经典破产时间τξ=τ-,l = L-1（L（τ-)-), 定理3.1的结果专门化为以下推论3.2，这与Kyprianou和Zhou（2009）的定理1.3与γ很好地吻合≡ 0。推论3.2。经典破产时间下的广义期望折现惩罚函数可以刻画如下。（a′）用于s∈ （十）∨ y∞), y∈ [0, ∞), z∈ (0, ∞) 和q，λ≥ 0，我们有e-ql-λ(τ--l);X（τ-) ∈ ds，X（τ--) ∈ dy，-X（τ-) ∈ dz公司=Wq（x）Wq（s）Wλ（0+）ν（s+dz）δs（dy）+W′λ（s- y）-W′λ（s）Wλ（s）Wλ（s- y）哦！ν（y+dz）{y<s}dy！ds。（b′）用于s∈ （十）∨ y∞) 和q，λ≥ 0，我们有e-ql-λ(τ--l);X（τ-) ∈ ds，X（τ-) = 0=σWq（x）Wq（s）W′λ（s）Wλ（s）- W′λ（s）ds，其中表达式必须等于0 i fσ=0.3主要结果备注3.3。此外，如果X（i。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 02:19:15

e、，σ=0），然后通过（a′）可以发现，对于b>x，y∈ [0, ∞), z∈ (0, ∞) 和q≥ 0Exe-qτ-; X（τ--) ∈ dy，-X（τ-) ∈ dz，τ-< τ+b=Zs公司∈（x，b）Wq（x）Wq（s）Wq（0+）Д（s+dz）δs（dy）+W′q（s- y）-W′q（s）Wq（s）Wq（s）- y）哦！ν（y+dz）{y<s}dy！ds=Wq（x）Wq（y）Wq（0+）Д（y+dz）1{x<y}dy+Zs∈（x，b）Wq（x）Wq（s）W′q（s）- y）-W′q（s）Wq（s）Wq（s）- y）哦！Д（y+dz）{y≤x} +1{x<y<s}dyds=Wq（x）Wq（y）Wq（0+）Д（y+dz）1{x<y}dy+Zs∈（x，b）Wq（x）Wq（s）W′q（s）- y）-W′q（s）Wq（s）Wq（s）- y）哦！dsν（y+dz）{y≤x} dy+Zs∈（y，b）Wq（x）Wq（s）W′q（s）- y）-W′q（s）Wq（s）Wq（s）- y）哦！dsν（y+dz）{x<y}dy=Wq（x）Wq（y）Wq（0+）ν（y+dz）1{x<y}dy+Wq（x）ν（y+dz）Wq（s）- y） Wq（s）bs=x{y≤x} dy公司+Wq（s）- y） Wq（s）bs=y{x<y}dy= Wq（x）Д（y+dz）Wq（b- y） Wq（b）-Wq（x- y） Wq（x）！dy.（15）我们在哪里了解到以下事实：-y） Wq（s）-W′q（s）[Wq（s）]Wq（s-y） =ddsWq（s）-y） Wq（s）在第四个方程中，Wq（x- y） =0表示最后一个等式中的y>x i。我们可以发现（15）与Kypri a nou（2013）第41页的定理5.5吻合得很好，注意到在索赔分布为F的经典Cram'er-Lundberg风险过程中，我们有ν（y+dz）=λF（y+dz）。备注3.4。我们说定理3.1中的结果是一般下降时间下经典预期罚函数的推广版本。事实上，总水位下降ti m e处的经典预期惩罚函数可以写成φ（x）：=Exe-qτξωX（τξ-), X（τξ）{τξ<∞},对于某些有界可测二元函数ω（·，·）：(-∞, +∞)→ (0, ∞). 在《变化科学》中，ω被称为惩罚函数（参见Gerber和Shiu（1998））。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-6-24 02:19:18

利用定理3.1，一个应用程序可以在φ（x）=Zs的一般压降下求解经典期望惩罚函数∈（十），∞)Zy公司∈[ξ（s），s]Zz∈(-ξ（s），∞)ω（y，-z）经验值-ZsxW′q（ξ（w））Wq（ξ（w））dwWq（0+）Д（s+dz）δs（dy）+W′q（s）- y）-W′q（ξ（s））Wq（ξ（s））Wq（s- y）ν（y+dz）{y<s}dyds+σZs∈（十），∞)ω（ξ（s），ξ（s））exp-ZsxW′q（ξ（w））Wq（ξ（w））dwW′qξ（s）Wq公司ξ（s） - W′qξ（s）ds。（16）在Gerber和Shiu（1998）中可以找到以下有趣的惩罚函数示例，ω（x，y）=maxK- ea公司-y、 0个.在这种情况下，φ（x）是以K作为行权价格的永久性美国看跌期权的支付，并且是期权行权边界的值。4、应用本节主要讨论定理3.1的应用。通过指定一般的下降函数，本文的方法可以自然地进行调整，以恢复文献中的结果，并获得嵌入大量结转税制或障碍红利策略的风险过程的破产Gerber-Shiu函数的新结果。事实上，Landri ault et al.（2017）和Li（2015）首次指出，Loss结转t axat ion（resp，De Finetti’s divident）模型中的破产问题可以转化为无税经典模型（resp，divident）的一般提款问题。然而，他们提出了这个想法，但没有实现一个特定的破产问题。此外，Landriault et al.（2017）和Li（201 5）研究的下降函数是ξ（x）=x形式的经典下降函数- d>0时的d（不是一般下降函数），尽管可以预见，他们的方法允许扩展到一般下降函数。4.1.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-6-24 02:19:21

在Kyprianou和Zhou（2009）中，具有一般损失结转系统的列维风险过程的应用，首先考虑了具有一般损失结转税结构的列维风险模型：dUγ（t）：=X（t）-Ztγ（X（s））dX（s）=X（t）-ZX（t）xγ（w）dw，（17），其中γ：[0+∞) → [0，1）是可测量的andR∞(1 - γ（w））dw=∞. 在此公式中，只要公司处于可盈利状态，即被定义为处于盈余过程的最大运行状态，就应支付税款。4应用我们声称，通过在定理3.1中指定一个特殊的下降函数ξ，可以恢复Kyprianou和Zho u（2009）中获得的破产时Gerber-Shiu函数的版本。为此，对于x∈ (0, ∞), 设ξγ（z）：=Zzxγ（w）dw，z∈ [x，∞), （18）这确实是一个缩编函数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝