关于保险风险过程的耗竭问题：新的非破产

2022-5-6 09:25:18

关于保险风险过程的耗竭问题：集体风险理论中的新非破产量*Zied Ben Salah+蒙特里亚大学盖林大学雷恩大学1曼努埃尔·莫拉莱斯大学*蒙特里亚哈桑大学奥米迪·菲鲁齐大学*蒙特里亚大学初稿：2013年10月9日。本版本：2018年8月15日。风险理论领域传统上关注破产相关数量。特别是，多年来，人们对所谓的预期贴现惩罚函数[9]进行了深入研究。尽管与废墟相关的数量本身就很有趣，但它们似乎并没有捕捉到保护区的路径相关属性。在这篇文章中，我们的目的是展示提款的概率特性，以及保险服务因公司风险而耗尽的速度。这些新的质量与破产无关，但它们捕捉到了保险头寸的重要特征，我们相信它可以导致设计有意义的风险度量。研究Lévy保险风险过程的提取和消耗速度代表了保险数学中一个新颖且具有挑战性的概念。在本文中，所有这些概念都是在保险环境中正式引入的。此外，利用Lévy过程的波动理论[16]的最新结果，我们推导了与损耗问题有关的几个量的分布表达式。特别令人感兴趣的是水位下降的分布和消耗速度的拉普拉斯变换。

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2022-5-6 09:25:21

这些表达式适用于Lévy保险风险过程的一些例子，特别是经典的Cramer-Lundberg模型。1引言传统上，集体风险理论主要关注破产问题，该问题被很好地封装在[9]中引入的预期贴现惩罚函数（EDPF）的概念中。这种所谓的GerberShiu函数是破产时间（即，一家企业的储备水平第一次变为负）、破产前的盈余和破产时的损失的函数。EDPF已被广泛研究并推广到各种场景，现在有各种各样的模型可用于EDPF的表达式。所有这些模型都将不同程度的复杂性融入到画面中。特别是，在过去十年中，所谓的Lévy保险风险过程一直是人们关注的对象，主要是因为它们很好地推广了Cramer-Lundberg模型，同时通过对此类过程的完善的波动理论，为破产理论领域带来了新的见解。已经提出了几个Lévy过程家族作为风险模型，我们现在有了一个完善的模型*作者们感谢密歇根大学的Erhan Bayraktar教授最初的投入，正是这些投入促成了这项工作。作者还要感谢CNRS、其UMI 3457和CRM提供的研究基础设施。该研究部分由加拿大自然科学和工程研究委员会（NSERC）+加拿大蒙特利尔大学资助。电子邮件：bensalah@dms.umontreal.ca——埃尔马。UMR CNRS 6625。雷恩大学1。博利厄校区，35042雷恩塞德斯。法国电子邮件：海伦。guerin@univ-rennes1。fr§数学和统计系。蒙特利尔大学。第6128页成功。市中心。魁北克蒙特利尔。H3C3J7。加拿大

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2022-5-6 09:25:24

电子邮件：morales@dms.umontreal.ca^Hassan Omidi Firouzi。数学与统计系。蒙特利尔大学。第6128页成功。市中心。魁北克蒙特利尔。H3C3J7。加拿大电子邮件：omidifh@dms.umontreal.caliterature关于这个话题。为了深入讨论这些过程作为风险模型的适用性，读者请参阅[8,17]及其参考文献。事实证明，Lévy过程的首次通过问题已经得到了很好的理解，该领域的最新结果已经应用于破产问题，以获得有趣的见解（例如，参见[3,4,12]）。在本文中，我们再次关注Lévy保险风险过程，因为这类随机过程具有广泛的工具可利用性。通过最初为研究首次通过时间问题而开发的概念，我们现在可以研究超越破产问题的问题，这些问题与过程的路径属性有关，给出了一幅关于损耗如何发生的生动画面。与市场崩盘概念相关的金融方面研究了损耗和提取速度等数量[19]。事实上，在财务方面，人们会有兴趣知道一定规模的提款速度和频率。在保险业，这些问题尚未得到研究，尽管f法案认为这些概念从保险风险管理的角度来看是有意义的。清楚地知道你的保险准备金是如何受到提取的影响，以及提取的速度和频率，对于设计风险管理工具可能很有用。这些数量提供的风险度量与破产事件无关，而是与储备的耗竭特征有关。然而，由于保险模型的跳跃性，这个问题在技术上具有挑战性。本文的目的是双重的。

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2022-5-6 09:25:27

一方面，我们的目标是从风险管理的角度将耗尽问题作为一个有意义的问题引入集体风险理论。我们在经典风险理论框架内正式定义了新的非破产量，并讨论了它们相对于传统破产相关量的主要特征和优势。事实上，有趣的是，所有可用的研究都集中在与破产相关的数量上，这些数量本质上无法解释保险准备金是如何随时间耗尽的。因此，尽管破产理论为保险准备金的破产问题提供了一个很好的概率图景，但它无法解释同样代表保险准备金风险的其他特征，如其耗尽速度和提取频率。从长远来看，破产事件是一个令人担忧的问题，但风险管理者也会密切关注任何一系列特别大的提款，尤其是如果它们发生得特别快的话。因此，关注破产事件忽略了其他也会影响保险公司偿付能力和财务规划的风险事件。第二个目标是实际推导几个与耗尽相关的随机变量分布的压力离子。事实证明，单边Lévy过程的波动理论[16]的最新结果可用于推导这些消耗相关量的表达式。推导这种压力的关键是驱动保险风险模型的过程的尺度函数。正如我们所讨论的，只有在标度函数的简单形式可用的情况下，才能简化消耗问题中随机变量分布的一般表达式和非显式表达式。

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2022-5-6 09:25:30

因此，我们推导了一类Cramer-Lundberg模型的显式表达式，该模型由具有指数跳跃的复合泊松过程驱动。毫不奇怪，在风险理论文献中，这个简单的例子总是给出封闭形式解的例子。耗尽问题也不例外，在这种情况下，我们给出了几个与耗尽相关的随机变量分布的显式表达式。我们还对具有简单标度函数的保险风险模型的其他例子进行了类似的分析，即gammasubordinator和稳定的过程族。本文件组织如下。在第2节中，我们介绍了一个基于Lévy风险过程的通用模型，我们定义了损耗问题、损耗和损耗速度的概念以及相关变量。Lévy过程的波动理论给出了一些初步结果。在第四节中，我们研究了一个保险Lévy风险过程的损耗问题，并给出了损耗随机变量分布的一般表达式。最后，在第5节中，我们推导了Lévy过程的三个例子中与消耗有关的所有量f的显式表达式。2保险风险模型的耗竭问题我们考虑一个非常一般的设置，它推广了标准的Cramer-Lundberg模型。本文考虑一个保险风险过程X=（Xt）t>0，从初始盈余X>0开始，X是一个谱负Lévy过程。出于技术上的原因，我们将自己限制在具有无界变差路径或有界变差路径的过程，以及相对于勒贝格测度绝对连续的Lévy测度。为了避免平凡的反射过程，我们排除了路径单调的过程。

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2022-5-6 09:25:33

按照惯例，符号Ex和Px将表示与从x开始的过程相关的预期和概率度量，如果过程从零开始，我们将使用简单的符号E和P。请注意，这样的模型包含传统风险模型的所有元素，并包括[4,7,10,17]中研究的其他风险模型。事实上，固定利率溢价包含在X的位移中，所谓的扰动包含在X的布朗分量中，纯聚集目标包含在X的跳跃部分中，可以设置为复合泊松过程或有限活动过程。考虑到这一点，我们假设过程X具有正漂移，使得E[X]>0。请注意，在传统的破产理论中，这种假设既有技术原因，也有实践原因。从技术上讲，这是必要的，以避免X几乎肯定会变为负值的可能性，而从实际角度来看，这是有意义的，因为在保险业中，使用加载保费是常见的做法。实际上，根据安全载荷，在X范围内写入漂移分量是标准的。例如，请注意，如果Xt=ct，我们可以恢复经典的Cramer-Lundberg模型- 其中，stc:=（1+θ）E[S]和S是一个复合泊松过程，用于对总索赔进行建模。正安全负荷θ>0时的漂移c是收取的保险费率。在耗尽问题的背景下，我们不需要这个条件。

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2022-5-6 09:25:36

我们把它放在这里纯粹是出于实用的原因，因为通常的做法是保险费。考虑一般Lévy风险模型的一个优点是，我们可以使用Lévy过程的波动理论的工具和方法，允许对毁灭性问题有更深入的理解，但也允许对消耗性问题有更深入的理解，这可以证明产生关于储量风险的同样有趣的信息。关于Lévy风险模型的更广泛讨论，请参考[8]。在本文中，我们将把这一设置专门化为三个Lévy过程的例子，这三个例子已经在文献中以塞鲁因问题为背景进行了研究。破产理论的一个主要研究对象是破产时间τ，当X=X时，它代表保险风险过程的首次通过时间X小于零，即τ：=inf{t>0:Xt<0}，（1）其中我们设置τ=+∞ 如果Xt≥ 0表示所有t>0。在本文中，我们关注的主要对象是以两个不同的随机时间为主要构建单元的耗尽问题。为了彻底定义这些概念，我们需要引入一些符号。我们定义了给定Lévy进程X byXt:=inf06s6tXsandXt:=sup06s6tXs的运行内界和运行上界。现在，我们描述了X的损耗问题。我们首先定义了与给定风险过程X相关的下降过程Y=（Yt）t>0，以beYt:=Xt- Xt，t>0。（2）然后，在水位下降过程Y的a>0级上的首次通过时间定义为τa:=inf{t>0:Yt>a}。（3）众所周知，τa<∞ P-几乎肯定（见[1]，定理1）。就像（1）中的破产时间一样，（3）中的这个新随机时间包含有关储备潜在风险行为的相关信息。其分布可用于衡量可能对保护区财务健康产生负面影响的路径相关事件的可能性。

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2022-5-6 09:25:39

随机时间τ记录了服务中的水位下降大于之前商定的临界水平a的时间。可以在随机时间（3）的基础上建立一组有趣的相关故事-信号域变量。首先，我们需要定义一个有助于构建有意义的非破产数量的过程。t之前X到达其运行上限的最后一次时间，用Gt表示，定义为Gt:=sup{s≤ t:Xs或Xs-= Xs}。（4）因此，尺寸为a的临界水位下降的时间τao以及以下数量表征了X的开采问题：o储量在临界水位下降前最后一次达到最大水平的时间，Gτa；o耗尽速度τa-Gτa；o观测到临界水位降之前达到的最大储量水平，Xτa；o临界水位下降前的最低储量水平，Xτa；o在尺寸为a，Yτa的临界水位降之前观察到的最大水位降-;o a级临界降深的超调量，Yτa- a、 XtτaGτaXτaXτaYτa>aaYtYτaYτ-aτaGτaa图1:Xt=10+t+2Bt的路径- St，相应的下降过程Y，以及它们相关的消耗量，其中（Bt）t≥0是标准布朗运动，S是独立的复合泊松过程，Lévy测度ν（dx）=e-2岁。显然，这些变量包含了关于保险如何随着时间的推移而耗尽的信息。所有这些量都包含了有关临界水位下降事件的相关知识。风险管理者可能有兴趣获得关于A级临界水位下降时间分布的信息，即Px（τa6 t）。这提供了储备在给定时间间隔内面临临界水位下降的可能性的信息。在消耗速度的分布中可以找到更有价值的信息，这个随机变量表明临界下降的速度有多快。

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2022-5-6 09:25:44

Adrawdown在长时间内发生的情况并不比突然发生的情况更令人担忧。关于临界水位下降之前的最大和最小储量水平分布以及临界水位下降之前记录的最大水位下降的信息，有助于揭示耗尽事件的结构。了解临界水位下降的幅度（或非临界水位下降的幅度）也很有趣，也就是说，当临界水位下降发生时，临界水位下降超过临界水位a的程度。事实上，a级本身可以通过超调量的分布来设定。由于这种分布是一个函数，我们可以根据某些水平的可能性来决定临界下降规模。有趣的是，在临界水位下降之前，通过最低储备水平的分配，破产和耗竭之间存在联系。我们将看到，如果表达式可用，我们可以计算破产发生的概率，在规模a的临界下降之前。一般来说，就像在破产问题中一样，关于此类数量的概率特性的知识可能与风险管理应用有关。虽然关键的提款并不像破产那样意味着公司的立即毁灭，但足够大的提款可能是风险管理者需要考虑的一个警告信号。这些信息加上有关这些关键提取发生的速度的知识，可用于设计风险措施和/或管理政策，以确保储量的可解决性。一旦引入了这些非破产量，本文的目的是推导与耗尽问题相关的这些随机变量的概率测度的表达式。这将为莱维保险风险流程的三个示例提供详细信息。

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2022-5-6 09:25:47

但在我们需要介绍一些对我们的分析至关重要的初步结果之前。3.光谱负Lévy过程的提取在本小节中，我们将介绍本文其余部分所需的一些概念和结果。LetX=（Xt）t>0是定义在过滤概率空间上的谱负Lévy过程(Ohm, F、（Ft）t>0，P）。我们施加了与[1]中相同的限制，即X要么有无界变差路径，要么有界变差路径，以及相对于勒贝斯盖测度绝对连续的Lévy测度。此外，我们排除了具有单调路径的过程。因为X没有正跳跃，所以期望值EesXt存在于所有s>0，由E给出esXt=etψ（s），其中ψ（s）的形式为ψ（s）=a s+σs+Z∞（e）-x s- 1+s x1{x<1}）ν（dx），（5）其中a∈ R、 σ>0和ν是与过程相关的Lévy度量-X（有关莱维过程的详细说明，请参见[2,13]）。对于ψ的右逆，我们将Φ写在[0]上，∞). 形式上，对于每个q>0，Φ（q）：=sup{s>0:ψ（s）=q}。（6）注意，由于X是一个光谱负的Lévy过程X，我们得到Φ（q）>0表示q>0（见[13]）。众所周知，对于每个q>0，都存在一个函数W（q）：R-→ [0, ∞) 使得W（q）（y）=0对于所有y<0满意z∞E-λyW（q）（y）dy=ψ（λ）- q、 λ>Φ（q）。（7）这就是过程X的所谓q尺度函数{W（q），q>0}（见[13]），它是分析光谱负Lévy过程下降的一个关键概念。请注意，对于q=0，等式（7）定义了所谓的标度函数，我们只写W。在讨论提取之前，我们需要介绍与q尺度函数相关的附加函数。设W′（q）+为q标度的右导数函数。按照[16]中的表示法，我们用λ（a，q）：=W′（q）+（a）W（q）（a）表示q-尺度函数的右导数与a>0处的q-尺度函数的关系。

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可人4

2022-5-6 09:25:52

（8）现在我们可以定义，对于任何a>0和p，q>0，映射Fp，q，a:R+→ R+Fp，q，a（y）：=λ（a，q）e-yλ（a，p）。（9）此外，考虑q预解测度R（q）a（dy）=ERτae-qtYt∈戴特从[0，a]第一次退出时被杀死的Y的，可以用以下方式表示（见[18]，定理1），R（q）a（dy）：=hλ（a，q）-1W（q）（dy）- W（q）（y）dyi，y∈ [0，a]，（10）和函数（q）（a）=σhW′（q）（a）- λ（a，q）-1W′（q）（a）i（11）带（q）当σ=0时（a）=0。（8）、（9）、（10）和（11）中的函数经常出现在本文中。以下定理将在我们的贡献中发挥关键作用。有关详细讨论和证明，请参阅[16]。定理1。考虑一个光谱负的Lévy过程X，这样X=X∈ R.M oreover，X有无界变化路径，或者有一个Lévy测度，它相对于Lebesgue测度是绝对连续的。让Y进一步表示（2）中定义的相关提款过程。让τabe表示（3）中的停止时间，这样我们就可以定义以下事件，对于给定的a>0，a={Xτa>u，Xτa∈ dv，Yτa-∈ dy，Yτa- A.∈ dh}和Ac=Xτa>u，Xτa∈ dv，Yτa=a, （12）其中u，v，y和h表示满意≤ x、 y∈ [0，a]，v>x∨ （u+a）和h∈ （0，v）- U- a] 。然后，对于任何q，r>0，以下等式成立：Exhe-qτa-rGτaAi=W（q+r）（（x- u）∧ a） W（q+r）（a）Fq+r，q，a（v）- （十）∨ （u+a）））R（q）a（dy）ν（a）- y+dh）dv，（13）Exhe-qτa-rGτaAci=W（q+r）（（x- u）∧ a） W（q+r）（a）Fq+r，q，a（v）- （十）∨ （u+a）（q）（a）dv，（14）其中1是标准指示函数，ν是出现在（5），X中的X的Lévy度量∨ y=最大值（x，y），x∧ y=最小值（x，y），GT是（4）中定义的过程。我们注意到，上述定理适用于具有无界变分路径的谱负Lévy过程，或具有相对于Lebesgue测度绝对连续的Lévy测度的Lévy过程。这就是为什么我们把自己局限于这种过程。

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2022-5-6 09:25:55

这并不是限制性的，因为文献中的大多数风险保险流程都属于这一类，即它们是通过Lévy密度定义的。我们还注意到，在（12）中定义的事件中，临界水位下降是通过垂直过程X的跳跃来执行的，而它是在事件Ac上连续执行的。这两个事件以及定理1中的（13）和（14）中的预期包含了与耗竭问题有关的所有信息。本文的目的是在相关的保险模型下，为这些消耗相关随机变量的分布提供明确的表达式。4损耗问题的分析在本节中，我们使用第2节中描述的一般设置，其中X是一个光谱负的Lévy过程，要么是具有无界变化路径，要么是具有Lévy可测量的有界变化路径，Lévy相对于Lebes-gue测量是绝对连续的。本文的主要目的是研究由理论1中的量所指示的耗尽事件。原则上，我们可以通过（13）和（14）中的期望来研究所有相关质量的概率度量，以及消耗速度的拉普拉斯变换。这可以通过设置q=r=0和/或对（13）和（14）中的表达式进行积分来实现。这些表达式的显式程度将取决于q尺度函数的形式和模型的Lévy度量。尽管如此，在本节中，我们给出了一些一般性的结果，这些结果可以让我们深入了解这个问题。事实证明，在时间τa（由（3）给出）和破产时间τ（由（1）给出）之间存在联系。我们可以很容易地推断出τa≤ τa.s。

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2022-5-6 09:25:59

关于这件事Xτa>0, 而{τa<τ}意味着Xτa>0.此外，从这些量的定义中，我们可以看到，当初始s urplus x严格大于a时，xτ-a> 0，临界水位降的命中时间小于破产时间，即τa≤ τa.s.另一方面，当x<a时，在临界水位下降之前可能发生破产。我们现在可以陈述一个结果，它将破产事件和损耗问题联系起来。定理2。考虑一个保险风险过程（Xt）t>0，初始盈余x>0满足第2节的假设，并将a>0设为固定的临界提取规模。那么，Px（Xτa<0）=1-W（x）∧ a） W（a）+W（x）∧ a） W（a）Zy∈[0，a]Zh>01.- E-λ（a，0）hν（x）∨ A.- y+dh）R（0）a（dy），（15）其中W是标度函数，νX和R（0）的Lévy度量由（10）定义，q=0。证据我们注意到PxXτa<0= 1.- Px（Xτa>0）和Px（Xτa>0）=PxXτa>0，Yτa>a+ 二甲苯Xτa>0，Yτa=a.然后把q=r=u=0，对v积分（13）和（14）∈ [x]∨ A.∞), Y∈ [0，a]和h∈ （0，v）- a] 我们有px（Xτa>0）=W（X∧ a） W（a）“Zy”∈[0，a]Zv>x∨aF0,0，a（v- 十、∨ a） Zh∈（0，v）-a] ν（a）- y+dh）dv！R（0）a（dy）+Zv>x∨aF0,0，a（v- 十、∨ （a）（0）（a）dv.由于F0,0，ais由（9）定义，使用富比尼定理，前面的表达式给出spx（Xτa>0）=W（X∧ a） W（a）“eλ（a，0）x∨阿兹∈[0，a]Zh>0e-λ（a，0）（x）∨（h+a））ν（a- y+dh）R（0）a（dy）+（0）（a）#。（16）我们注意到→ -∞ 对v积分（13）和（14）∈ [x]∨ A.∞), H∈ （0，v）- a] 还有y∈ [0，a]r=q=0，ZaR（0）a（dy）Z∞ν（a）- y+dh+（0）（a）=1。

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可人4

2022-5-6 09:26:04

（17）利用这句话，我们推断（16）给出了x≤ aPx（Xτa>0）=W（X）W（a）“Zy∈[0，a]Zh>0e-λ（a，0）hν（a）- y+dh）R（0）a（dy）+（0）（a）#=W（x）W（a）“1-Zy∈[0，a]Zh>01.- E-λ（a，0）hν（a）- y+dh）R（0）a（dy））#，对于x>a，Px（xτa>0）=Zy∈[0，a]Zx-aν（a）- y+dh）R（0）a（dy）+Zy∈[0，a]Z∞十、-ae-λ（a，0）（h+a）-x） ν（a）- y+dh）R（0）a（dy）+（0）（a）=1-Zy∈[0，a]Z∞十、-A.1.- E-λ（a，0）（h+a）-十）ν（a）- y+dh）R（0）a（dy）=1-Zy∈[0，a]Zh>01.- E-λ（a，0）hν（x）- y+dh）R（0）a（dy）。证明了这个定理。定理2令人感兴趣，因为Px[Xτa<0]实际上是在规模a的临界水位下降之前发生破产的概率，即在区间[0，τa]内准备金降至零水平以下的概率。在第4节。1.我们首先给出了消耗相关量概率测度的一般表达式。由于从风险管理的角度来看，研究在临界水位下降时间之前未出现RUIN时的耗竭问题可能有意义，我们还计算了事件{τa<τ}上耗竭相关量的分布。这在第4节中进行。2.4.1耗尽量分布定理3。考虑一个保险风险过程（Xt）t>0，初始盈余x>0满足第2节的假设，并将a>0设为固定的临界提取规模。然后，1。临界水位降之前观测到的水位降的概率分布如下，Px（Yτa-∈ (dy)=R（0）a（dy）Z∞ν（a）- y+dh）Y∈（0，a]+（0）（a）δ（dy），（18）2。超调量超过临界降深Yτa的概率分布- a如下，Px（Yτa- A.∈ dh）=Zaν（a）- y+dh）R（0）a（dy）1h>0+（0）（a）δ（dh），（19）3。在临界水位下降之前达到的最大储量水平Xτa遵循转换指数分布，即Px（Xτa∈ dv）=λ（a，0）e-λ（a，0）（v）-x） v>xdv。证据为了证明这个结果，我们使用定理1当→ -∞ r=q=0。通过整合，1。

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2022-5-6 09:26:07

为了你∈ [0，a），我们有[I{Yτa]-∈dy}]=R（0）a（dy）Z∞xF0,0，a（v- x） dvZ∞ν（a）- y+dh），对于y=a，P（yτa-= a） =（0）aR∞xF0,0，a（v- x） dv。2.对于h>0，我们有ex[I{Yτa-A.∈dh}]=Z∞xF0,0，a（v- x） dvZaν（a）- y+dh）R（0）a（dy），对于h=0，P（yτa=a）=R∞xF0,0，a（v- x） dv（0）（a）3。最后，Px（Xτa∈ dv）=exi{Xτa∈dv}i=F0,0，a（v- x） dvZaR（0）a（dy）Z∞ν（a）- y+dh+（0）（a）.使用（17）和（9）得到结果。从定理3中，我们注意到Yτ的分布-Yτa的a和-a不依赖于初始盈余X和利维过程X的任何特征，临界水位下降前的最大储量水平xτa的分布始终是从初始盈余x偏移的指数分布。该结果是同一结果的典型扩展，我们研究了具有参数q的指数分布随机时间方程之前的最大储量水平xeqa的分布。现在我们把注意力转移到随机时间τa和gτa上。我们首先给出一个有趣的结果，与耗尽τa的速度有关-Gτa。这是[16]中未指出的从理论1到理论1的直接结果，但对表达式（13）中所有成分的实际评估至关重要。提议1。在与定理1相同的假设和定义下，随机变量Gτa和τa-Gτ是独立的。证据可以很容易地验证定理1中的陈述在较弱的条件下仍然适用于qand r。事实上，（13）中的结果适用于q>0和q+r>0，而不仅仅适用于原始陈述中指出的q，r>0。事实上，当我们想在定理1给出的表达式中考虑q和q+r尺度函数时，证明中出现了关于q和r的条件。由于标度函数sw（q）、W（q+r）正好定义为q，q+r>0。根据定义，Gτa和τa-Gτa是正的P-几乎肯定是有限的随机变量。

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2022-5-6 09:26:10

众所周知，对于r，q>0，二元拉普拉斯变换Exhe-rGτa-q（τa）-Gτa）表征了Gτa和τa的联合分布-Gτa（参见示例[6]）。很明显，Exhe-rGτa-q（τa）-Gτa）i=Exhe-qτa-（r）-q） Gτai，以及Gτa和τa的二元拉普拉斯变换的表达式-Gτ可以通过定理1中的（13）和（14）得到。由于a的乘积（ndi）和q的乘积（ndir）仅取决于a的函数，因此a的乘积（ndir）和q的乘积（ndir）仅取决于a的函数。提议2。考虑一个保险风险过程（Xt）t>0，初始盈余x>0满足第2节的假设，并将a>0设为固定的临界提取规模。当q>0，q+r>0时，τa和gτa的二元拉普拉斯变换由exhe给出-qτa-rGτai=λ（a，q）λ（a，q+r）Zy∈[0，a]Zh>0ν（a）- y+dh）R（q）a（dy）+（q）（a）！。（20）证据。现在，就像在命题1的证明中一样，我们注意到定理1的结果仍然是有效的≥ 0和r+q≥ 0.德宁大学→ -∞ 并将（13）和（14）关于v，h和y的积分，得到-qτa-rGτai=Zv>xFq+r，q，a（v- x） dvZy∈[0，a]Zh>0ν（a）- y+dh）R（q）a（dy）+（q）（a）！。根据Fq+r，q，a（.）的定义（9），我们有∞xFq+r，q，a（v- x） dv=λ（a，q）λ（a，q+r）。用最新的方程式代替雅思，Exhe-qτa-rGτai=λ（a，q）λ（a，q+r）Zy∈[0，a]Zh>0ν（a）- y+dh）R（q）a（dy）+（q）（a）！。备注1。将r=0放入（20）中，τais的拉普拉斯变换由ex给出E-qτa=Zy∈[0，a]Zh>0ν（a）- y+dh）R（q）a（dy）+（q）（a）。使用q=0的（20）和（17）由exhe给出的Gτais的拉普拉斯变换-rGτai=λ（a，0）λ（a，r）。（21）在下面，我们将提供耗尽随机变量τa的拉普拉斯变换表达式-Gτa.定理4。

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2022-5-6 09:26:14

考虑一个保险风险过程（Xt）t>0，初始盈余x>0满足第2节的假设，并假设a>0是一个固定的临界提取规模。然后，对耗尽速度τa进行拉普拉斯变换-Gτais由exhe给出-q（τa）-Gτa）i=λ（a，q）λ（a，0）Zy∈[0，a]Zh>0ν（a）- y+dh）R（q）a（dy）+（q）（a）！。证据通过命题1，我们知道Gτa和τa-对于独立变量q，则τe>exhaar-rGτaiExhe-q（τa）-Gτa）i=Exhe-rGτa-q（τa）-Gτa）i=Exhe-qτa-（r）-q） Gτai。（22）我们现在可以通过设置q来找到方程式（22）右端的表达式*= q和r*= R- q和使用（20）。换句话说，自从q*> 0和q*+ R*> 0，我们就可以写xhe了-qτa-（r）-q） Gτai=Exhe-Q*τa-R*Gτai=λ（a，q）*)λ（a，q）*+ R*)Zy∈[0，a]Zh>0ν（a）- y+dh）R（q）*)a（dy）+（q）*)（a）！。替换q*= q和r*= R- 将q转化为（24）并使用命题2中的等式（22）和等式（21）得出结果。4.2风险管理中损耗量的分布在本节中，我们研究第4.1节中讨论的给定事件的损耗量条件分布表达式Xτa>0. 这个集合保证了在临界水位下降时间之前不会发生破坏。在下一节中，我们使用符号P（；A）和E[；A]表示P（。∩ A）和E[.1A]。提议3。考虑一个保险风险过程（Xt）t>0满足第2节的假设，初始盈余x>0，并将a>0设为固定的临界提取规模。然后，1。在给定事件的临界水位下降之前观察到的水位下降的条件分布Xτa>0isPxYτa-∈ dy | Xτa>0=R（0）a（dy）eλ（a，0）x∨aRh>0e-λ（a，0）（x）∨（h+a））ν（a- y+dh+（0）（a）δ（dy）1-雷∈[0，a]Rh>01.- E-λ（a，0）hν（x）∨ A.- y+dh）R（0）a（dy），2。

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2022-5-6 09:26:19

超调量在临界降深Yτa上的条件分布- 一个给定的事件Xτa>0isPxYτa- A.∈ dh | Xτa>0=E-λ（a，0）（x）∨（h+a）-十、∨a） Raν（a）- y+dh）R（0）a（dy）1h>0+（0）（a）δ（dh）1-雷∈[0，a]Rh>01.- E-λ（a，0）hν（x）∨ A.- y+dh）R（0）a（dy），3。事件发生时，在规模严重缩减之前达到的最大储备水平的有条件分布Xτa>0isPxXτa∈ dv | Xτa>0=λ（a，0）e-λ（a，0）（v）-十、∨（a）房车-aRaν（a）- y+dh）R（0）a（dy）+（0）（a）1.-雷∈[0，a]Rh>01.- E-λ（a，0）hν（x）∨ A.- y+dh）R（0）a（dy）v>x∨副词。证据从定理2中可以清楚地看出px（Xτa>0）=W（X∧ a） W（a）1-Zy∈[0，a]Zh>01.- E-λ（a，0）hν（x）∨ A.- y+dh）R（0）a（dy）！。（23）使用u=0和r=q=0的定理1得出：1。为了你∈ [0，a），我们有px（Yτa）-∈ dy；Xτa>0）=R（0）a（dy）W（X∧ a） W（a）Z∞十、∨aF0,0，a（v- （十）∨ a））Zh∈（0，v）-a] ν（a）- y+dh）dv（24）和y=a，PYτa-= A.Xτa>0=W（x）∧a） W（a）（0）（a）R∞十、∨aF0,0，a（v- 十、∨ a） dv。利用富比尼定理和（24）中的方程（9），我们得到了pxYτa-∈ dy；Xτa>0=W（x）∧ a） W（a）R（0）a（dy）eλ（a，0）x∨aZh>0e-λ（a，0）（x）∨（h+a））ν（a- y+dh+（0）（a）δ（dy）（25）定理的第一部分通过使用（25）和（23）得到。对于h>0，我们有Ex{Yτa-A.∈dh}；Xτa>0=W（x）∧ a） W（a）Z∞十、∨（h+a）F0,0，a（v）- 十、∨ a） dvZaν（a）- y+dh）R（0）a（dy），（26）对于h=0，PYτa=a；Xτa>0=W（x）∧a） W（a）R∞十、∨aF0,0，a（v- 十、∨ a） dv（0）（a）。定理第二部分的证明是通过将最后一个等式（26）和（23）应用到条件分布的定义中来完成的。3.在最后，对于v>x∨ aPx（Xτa）∈ dv；Xτa>0）=W（X∧ a） W（a）F0,0，a（v）- 十、∨ （a）Zv-氮杂ν（a）- y+dh）R（0）a（dy）+（0）（a）dv。（27）使用（27）和（23）完成证明。提议4。考虑一个保险风险过程（Xt）t>0满足第2节的假设，初始盈余x>0，并将a>0设为固定的临界提取规模。

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2022-5-6 09:26:22

然后，对于q，r>0，我们有-qτa-rGτa；Xτa>0i=W（q+r）（X∧ a） W（q+r）（a）λ（a，q）λ（a，q+r）Zy∈[0，a]Zh>0e-λ（a，q+r）（x）∨（h+a）-十、∨a） ν（a）- y+dh）R（q）a（dy）+（q）（a）！。（28）证据。与前面命题的证明一样，在定理1的（15）和（16）中加入u=0，并将它们与v、h和y积分，以及切换积分dv和dh积分，即可得到结果。我们注意到，总的来说Xτa>0, τa-Gτa和Gτa不再是自变量（尤其是当扩散系数σ为正时）。5三个Lévy保险风险过程的例子我们在本节研究了三个风险过程X的例子，它们满足第2节所述的一般设置，从初始s urplus X开始≥ 0，没有布朗运动部分，即拉普拉斯指数σ=0（5）。因此，第4节中的结果适用于我们的问题，它们为我们提供了充分研究消耗问题的工具。由于所研究的模型中σ=0，集合Acin定理1为空，且系数为（q）（a）不会出现在续集中。在本文中，我们的目标是计算相关保险风险过程中与损耗相关的随机变量的分布表达式。事实证明，当模型的q尺度函数具有可处理形式时，理论1、2、3和4中的结果导致消耗相关随机变量分布的显式表达式。事实上，我们将看到q尺度函数的可处理形式分别由（8）、（9）和（10）中定义的函数λ、Fp、q、a和R（q）继承。这些函数是定理1、2、3和4的一般表达式中的关键成分。在本节中，我们将展示一些有趣的保险模型示例，这些模型具有可处理的q-标度函数，导致损耗随机变量分布的相对简单的表达式。

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mingdashike22

2022-5-6 09:26:27

在下文中，我们将更详细地分析三个模型，对于这三个模型，我们可以对耗竭问题有一个明确的理解：o具有指数索赔的经典Cramer-Lundberg模型，o伽马风险过程，o以及光谱负稳定风险过程。5.1指数索赔的经典Cramer-Lundberg模型[15]中介绍了所谓的经典或Cramer-Lundberg模型。风险过程X是从X>0开始的复合泊松过程，即Xt=X+ct-NtXi=1Zi，（29），其中假设索赔数量遵循强度为λ的泊松过程（Nt）t>0。这与代表索赔规模的正随机变量和iid随机变量（Zn）n>1无关。对于某些安全荷载系数θ>0，荷载溢价c的形式为c=（1+θ）λE[Z]。当索赔额以平均值1/u的指数分布时，该模型中的q-scalefunction的形式相对简单。在这种情况下，Lévy度量采用简单的f形式ν（dx）=λK（dx），其中K是与索赔规模相关联的指数概率度量。反过来，（5）中的拉普拉斯分量变成，ψ（s）=cs- λ[φK（s）- 1] ，s>0，（30），其中φK（s）=μu+s是指数分布的拉普拉斯变换（例如参见[13]）。在这种情况下，保险费率为c=λ（1+θ）u，其中θ>0是正安全负载。这样一个过程的路径是线性的，所以它相应的下降过程非常简单。tXtXτaGτaτaaYτa>aYτ-aXτatYtGτaτaYτ-aaYτA图2：复合泊松过程X的路径，相应的下降过程Y及其相关的消耗量。长期以来，该模型一直是教科书上的一个例子，可以显式计算破产相关数量的分布。这实际上是可能的，这要归功于q尺度函数的可处理形式，尽管这可能没有立即被认识到。

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2022-5-6 09:26:30

事实证明，就像破产问题一样，q尺度函数的这种易于处理的形式也允许对耗尽问题进行明确的研究。这里，我们给出了q标度函数的形式，并详细研究了这个特殊例子的耗尽问题。此外，我们还导出了定理1、2、3和4的耗尽随机变量分布的显式表达式f。在这种情况下，q尺度函数的表达式是已知的，由w（q）（x）=c（Φ（q）+u）给出- cλuc（Φ（q）+u）eΦ（q）x- λue-u-λuc（Φ（q）+u）十、（31）Φ（q）=2cq+λ- cu+p（q+λ）- cu）+4quc. 有关详细信息，请参见[11]。现在我们还需要函数λ和R（q）a的表达式。这些在下面的结果中给出。提议5。考虑Xtin（29）过程，其中Zi是相同独立的指数随机变量，平均值为1/u，且a>0是临界下降大小。那么，λ（a，q）=Φ（q）+λuhc（Φ（q）+u）- λuic（Φ（q）+u）（Φ（q）+u）ceΦ（q）+u-λu（Φ（q）+u）cA.- λu, （32）R（q）a（dy）=cλ（a，q）δ+λ（a，q）W′（q）（y）- W（q）（y）Y∈（0，a]dy，其中W（q）和W′（q）分别由（31）和d（33）给出。证据通过定义，λ（a，q）=W′（q）+（a）W（q）（a）。参考等式（31），我们可以看到W（q）是（0）上的可导函数，∞) 通过微分方程（31），我们可以直接得到，W′（q）（x）=Φ（q）W（q）（x）+λuch（Φ（q）+u）c- λuiφ（q）+u -λu（Φ（q）+u）cE-u-λu（Φ（q）+u）cx=Φ（q）W（q）（x）+λuc（Φ（q）+u）e-u-λu（Φ（q）+u）cx、（33）定义（8）中的（31）和（33）组合产生第一个结果。由于W（q）是一个递增函数，质量为x=0，回想一下，在这种情况下（见[13]），W（q）（0）=1/c，我们有W（q）（dx）=W′（q）（x）dx+cδ（dy）。

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2022-5-6 09:26:34

直接替换为定义（10）R（q）ayields的第二个结果。关于损耗相关量的主要结果以W（q）和λ（a，q）的形式给出，q=0。在本例中，这些表达式采用更简单的形式，并在下面的结果中给出。提议6。考虑Xtin（29）过程，其中Zi是相同独立的指数随机变量，平均值为1/u，且a>0是临界下降大小。那么，W（x）=μλ（1+θ）θ1 + θ - E-θ1+θx,W′（x）=μλ（1+θ）e-μθ1+θx，λ（a，0）=μθ（1+θ）（1+θ）euθ1+θa- 1.,F0,0，a（y）=μθ（1+θ）（1+θ）euθ1+θa- 1.经验-θy（1+θ）（1+θ）euθ1+θa- 1.,R（0）a（dy）=μλθeμθ1+θ（a）-y）- 1.Y∈（0，a]dy+λθ（1+θ）euθ1+θa- 1.δ（dy）。证据通过在命题中设置q=0，这是直接的？？和5，c=λ（1+θ）u，并使用定义（9）和（10）。简单地回忆一下Φ（0）=0。我们现在给出定理2、3和4中分布的显式表示，因为它们专门用于这种情况。提议7。考虑定义（29）形式的保险风险流程（Xt）t>0，初始水平X>0，并假设a>0为固定的临界提取规模。那么，Px（Xτa<0）=1-W（x）∧ a） W（a）1.-λ（a，0）u+λ（a，0）e-u（x）∨A.-（a）, （34）其中λ（a，0）和s标度函数W在命题6中给出。证据为了证明这个命题，我们使用Px的表达式Xτa<0理论2给出。但在这个模型中σ=0，所以我们有（0）（a）=0和px（Xτa<0）=1-W（x）∧ a） W（a）+W（x）∧ a） W（a）Zy∈[0，a]Zh>01.- E-λ（a，0）hν（x）∨ A.- y+dh）R（0）a（dy），（35）过程的Lévy度量Stisν（dx）=λue-uxdx。因此，通过将其替换为（35）中的内部积分，我们得到了zh>01.- E-λ（a，0）hν（x）∨ A.- y+dh）=Zh>01.- E-λ（a，0）hλue-u（x）∨A.-y+h）dh=λe-u（x）∨（a）euy-μu+λ（a，0）euy. 另一方面，我们有λ，λ。

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mingdashike22

2022-5-6 09:26:38

（37）通过将（37）和（36）应用到（35）中，我们得到px（Xτa<0）=1-W（x）∧ a） W（a）+W（x）∧ a） λ（a，0）e-u（x）∨A.-a） W（a）（u+λ（a，0））命题8。考虑定义（29）形式的保险风险流程（Xt）t>0，初始水平X>0，并假设a>0为固定的临界提取规模。然后，1。在临界水位降之前观察到的最大水位降遵循一个不同的分布on（0，a）和狄拉克测度0，Px（Yτa）的混合-∈ dy）=θE-u1+θ（a）-y）- E-u（a）-y）Y∈（0，a]dy+θ（1+θ）e-u1+θa- E-uaδ（dy），2。超过临界压降Yτa的超调量- a服从指数分布，平均值为1/u，Px（Yτa- A.∈ dh）=ue-uhh>0dh。证据我们用定理3证明了这一点。这里σ=0，自然（0）（a）=0.1。通过插拔∞ν（a）- y+dh）=λe-u（a）-y）在（18）中我们有px（yτa）-∈ dy）=λe-u（a）-y） R（0）a（dy）。（38）我们使用命题6.2中给出的R（0）a（dy）表达式来总结定理的第一部分。为了证明定理的第二部分，我们有ν（a）- y+dh）=λue-（a）-y+h）udh。（39）对于h>0，y∈ [0，a]。将（19）中的（39）替换为spx（Yτa- A.∈ dh）=ue-uhdh。我们现在提供了Gτaas和τaas的联合拉普拉斯变换以及耗尽速度的拉普拉斯变换的显式表达式。注意，gτa的拉普拉斯变换是λ（a，q）的一个简单函数，可以使用命题2和方程（32）以简单的方式进行计算。提案9。考虑定义（29）形式的保险风险流程（Xt）t>0，初始水平X>0，并假设a>0为固定的临界提取规模。然后，对于q，r>0,1。由exhe给出的τaan和gτais的二元拉普拉斯变换-qτa-rGτai=Φ（q）+uλ（a，q）- Φ（q）λ（a，q+r）eΦ（q）a，（40）与Φ（q）=（2c）-1.q+λ- cu+p（q+λ）- cu）+4quc,2.

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2022-5-6 09:26:42

耗尽速度τa的拉普拉斯变换-Gτais由Exhe给出-q（τa）-Gτa）i=Φ（q）+uλ（a，q）- Φ（q）λ（a，0）eΦ（q）a.回想一下λ（a，.）在6号提案中给出。证据σ=0时，自然如此（0）（a）=0.1。过程X的Lévy度量是ν（dx）=λue-uxdx和soR∞ν（a）- y+dh）=λe-u（a）-y）。现在使用Propos 2，因为它专门用于本案例y ields，Exhe-qτa-rGτai=λ（a，q）λe-uaλ（a，q+r）Zy∈[0，a]euyR（q）a（dy）。（41）使用now命题5，我们可以计算下列积分λe-微蓝∈[0，a]euyR（q）a（dy）=λλ（a，q）W（q）（a）- λe-uaμλ（a，q）+1ZaeuyW（q）（y）dy.（42）为了完成证明，最好找到一个表达式。通过在命题中使用等式（31）？？，我们有μyW（q）（y）dy=Φ（q）+u（Φ（q）+u）c- λue（Φ（q）+u）a- eλu（Φ（q）+u）ca. （43）现在，通过将等式（43）和（42）组合成（41），我们得到-qτa-rGτai=λ（a，q+r）W（q）（a）- （u+λ（a，q））Φ（q）+u（Φ（q）+u）c- λueΦ（q）a- E-u-λu（Φ（q）+u）cA.分别使用W（q）（a）和λ（a，q）的表达式（31）和（32），我们推断：-qτa-rGτai=λ（a，q+r）（Φ（q）+u）c- λueΦ（q）ac（Φ（q）+u）ceΦ（q）+u-λu（Φ（q）+u）cA.- λu=（Φ（q）+u）（λ（a，q）- Φ（q））eΦ（q）aμλ（a，q+r）。这就完成了证明。2.以类似的方式，使用命题中的表达式将定理4专门化到这种情况下？？结果是5。在下面的命题中，我们提供了给定事件{Xτa>0}的耗尽量的条件分布。在{Xτa>0}事件的存在下，表示τa和τain的联合拉普拉斯变换也很有趣，因此我们在下面的命题中讨论了这一点。提议10。考虑定义（29）形式的保险风险流程（Xt）t>0，初始水平X>0，并假设a>0为固定的临界提取规模。然后，1。二甲苯Yτa-∈ dy | Xτa>0= λe-u（a）-y） R（0）a（dy）1[0，a]（y），2。

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2022-5-6 09:26:46

二甲苯Yτa- A.∈ dh | Xτa>0=ue-λ（a，0）（x）∨（h+a）-十、∨（a）-uhdh1-λ（a，0）u+λ（a，0）e-u（x）∨A.-a） h>0,3。二甲苯Xτa∈ dv | Xτa>0=λ（a，0）e-λ（a，0）x∨a（e）-λ（a，0）v-E-（λ（a，0）+u）v+ua）1-λ（a，0）u+λ（a，0）e-u（x）∨A.-a） v>x∨adv，4。告密-qτa-rGτa；Xτa>0i=W（q+r）（X∧a） W（q+r）（a）（u+Φ（q））（λ（a，q）-Φ（q））μλ（a，q+r）1.-λ（a，q+r）u+λ（a，q+r）e-u（x）∨A.-（a）.证据为了证明这个命题，我们需要使用命题3和命题4.1。为了说明第一部分我们如何计算（25）中给出的表达式。事实上，通过考虑x和a之间的不同情况，我们得到了pxYτa-∈ dy；Xτa>0=W（x）∧ a） W（a）λe-u（a）-y） R（0）a（dy）1.-λ（a，0）u+λ（a，0）e-u（x）∨A.-（a）. （44）在另一边，到了（34）我们有了pxXτa>0=W（x）∧ a） W（a）1.-λ（a，0）u+λ（a，0）e-u（x）∨A.-（a）（45）将（45）和（44）应用于（25）得到定理第一部分的结果。2.为了展示这一部分，我们还计算了（26）中给出的表达式。在简化了表示离子wehavePx之后Yτa- A.∈ 卫生署；Xτa>0=W（x）∧ a） W（a）ue-λ（a，0）（x）∨（h+a）-十、∨（a）-uh卫生署。（46）再次应用（46）和（45）到（26）证明定理第二部分的结果。3.这一部分可以通过计算（27）中给出的表达式并使用（45）来证明。事实上，经过一些简化，我们得到了PxXτa∈ dv；Xτa>0=W（x）∧ a） W（a）λ（a，0）e-λ（a，0）x∨A.E-λ（a，0）v- E-（λ（a，0）+u）v+uadv。（47）为了结束证明，我们只需要将（47）和（45）替换为（27）。定理的最后一部分可以通过计算（28）中的表达式直接显示出来。从（40）中可以清楚地看出λZy∈[0，a]euyR（q）a（dy）=Φ（q）+uλ（a，q）- Φ（q）λ（a，q）e（Φ（q）+u）a.（48）因此，如果我们将（48）应用于（28）中的表达式，并简化表达式，那么证明是完整的。备注2。在定理10的假设下，可以看出。根据理论10的第一部分，事件{Yτa-∈ dy}与事件{Xτa>0}无关。事实上，通过回忆（38）我们有PxYτa-∈ dy | Xτa>0= λe-u（a）-y） R（0）a（dy）=Px（yτa-∈dy）。

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大多数88

2022-5-6 09:26:50

因此，知道Xτ并不影响临界降深Yτa之前最大降深的分布-.2.根据定理10的第二部分，如果x<a，那么随机变量Yτa- 给定的{Xτa>0}遵循h参数u+λ（a，0）的指数分布。换句话说，PxYτa- A.∈ dh | Xτa>0= （u+λ（a，0））e-（u+λ（a，0））hh>0.3。从（τa，Gτa）的联合拉普拉斯变换，我们推导出Gτa和τa-Gτaare事件上的独立变量Xτa>0. 因此，耗尽随机变量τa的拉普拉斯变换-Gτa，给定事件Xτa>0伊塞克斯-q（τa）-Gτa）| Xτa>0i=u+Φ（q）μλ（a，q）- Φ（q）λ（a，0）。5.2伽马风险过程伽马风险模型在[5]中引入，定义为xt=x+ct- St，（49），其中，假设总索赔过程（St）t>0遵循伽马从属函数，且Lévy测度ν（dx）=αx-1e-βxdx，x>0，其中α，β>0。荷载溢价c的形式为c=（1+θ）E[S]f或某个安全荷载系数θ>0。反过来，（5）中的拉普拉斯指数变成，ψ（s）=cs- αln（1+sβ）。s>0时，我们建议读者参考[8]来讨论风险理论中的从属模型。在本节中，我们将提供Xτa，Xτa，Yτa的表达式-和Yτa- 与Xt=ct给出的进程X相关的ass- 首先，为了找到这些表达式，我们需要首先为x提供W（x）。让过程x从x>0开始。基于[13]第8章给出的关于谱负Lévy过程生存概率的结果，1- φ（x）=ψ′X（0+）W（X）如果ψ′X（0+）大于00，否则，（50）其中φ（X）是破产概率，ψXis是X的拉普拉斯指数。另一方面，[5]给出了Xt=ct的生存概率的另一个表达式- 当S是伽马次心音时。也就是说，1- φ（x）=θ1+θXn>0（1+θ）nM*n（x），（51），其中M（x）=βRxR∞βtu-1e-UDT=1+βxE（βx）。

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2022-5-6 09:26:54

这里E（x）=R∞徐-1e-udu是指数积分函数，M*n（x）=RxM*（n）-1）（十）- y） M′（y）dy是n次卷积，其中M′（y）=βE（βy）。作为ψ′X（0+）=c- ψ′S（0+）=c-αβ和c=α（1+θ）β，我们有ψ′X（0+）=αθβ>0。现在，通过使（50）和（51）相等，我们可以得到W（x）的表达式。更精确地说，我们有，W（x）=β（1+θ）αXn>0（1+θ）nM*n（x）。（52）取（52）中W（x）的导数，W′（x）=β（1+θ）αXn>0（1+θ）n（M）*n） ′（x）=β（1+θ）αXn>0（1+θ）nZxM*（n）-1)x（x）- y）* M′（y）dy.（53）这就得到了λ（a，0），λ（a，0）=W′（a）W（a）=Pn>0（1+θ）n（M）的以下表达式*n） ′（a）Pn>0（1+θ）nM*n（a）。（54）使用（52）、（53）和（54）还可以提供F0,0、a（x）和R（0）a（dy）的表达式。提议11。考虑定义（49）形式的保险风险流程（Xt）t>0，初始水平X>0，并将a>0设为固定的临界提取规模。那么，Px[Xτa<0]=1-W（x）∧ a） W（a）+W（x）∧ a） e-β（x）∨a） W（a）Gβ，β（x∨ （a）- Gβ+λ（a，0），β（x∨ （a）.式中，Gγ、β（v）、λ（a，0）和W（a）由（55）、（54）和（52）给出。证据再次像我们在上一小节中所做的程序一样，为了证明这个命题，我们需要使用定理2。这里σ=0，所以很自然（0）（a）=0。我们只需要计算定理2中给出的Px[Xτa<0]表达式中的积分。过程Stisν（dx）=αx的Lévy测度-1e-βxdx。因此，通过将其替换为RV-aν（a）- y+dh）我们有zh>01.- E-λ（a，0）hν（x）∨ A.- y+dh）=αZ∞1.- E-λ（a，0）h（十）∨ A.- y+h）-1e-β（x）∨A.-y+h）dh=αE（β（x）∨ A.- y） )- eλ（a，0）（x）∨A.-y） E（（β+λ（a，0））（x∨ A.- y） ),式中，Eis是本征积分函数。现在，定义以下函数。Gγ，β（v）=Z∞E-γhZa（v+h）- y）-1eβyR（0）a（dy）dh，（55）对于γ，v>0。很明显，Gβ，β（a）=eβaα，因为αZaE（β（a- y） R（0）a（dy）=1。因此，通过应用数值方法，我们可以计算函数Gγ，β。要结束证明，只需在（15）中应用（55）。

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mingdashike22

2022-5-6 09:26:58

因此，我们有px（Xτa<0）=1-W（x）∧ a） W（a）+W（x）∧ a） e-βx∨aW（a）Gβ，β（x∨ （a）- Gβ+λ（a，0），β（x∨ （a）.现在，我们将为每个随机变量Yτa的分布提供表示-安迪·τa- a、提议12。考虑定义（49）形式的保险风险流程（Xt）t>0，初始水平X>0，并假设a>0为固定的临界提取规模。然后，1。Yτa的分布-, 在尺寸a的临界降深之前观察到的最大降深为：Ex[1{Yτa-∈dy}]=αE（β（a）- y） R（0）a（dy），2。a级临界降深的超调量为：Ex[1{Yτa-A.∈dh}]=αe-β（a+h）Za（v+h）- y）-1eβyR（0）a（dy）dh。证据因此σ=0（0）（a）=0.1。很明显，R∞ν（a）- y+dh）=αE（β（a- y））。通过将其插入（18），我们得到了ex1{Yτa-∈dy}]=αE（β（a）- y） R（0）a（dy）。为了证明定理的第二部分，我们有ν（a）- y+dh）=αe-β（a）-y+h）（a）- y+h）-1dh。（56）对于h>0，y∈ [0，a]。在（19）中用（56）代替[1{Yτa]-A.∈dh}]=αe-β（a+h）Za（v+h）- y）-1eβyR（0）a（dy）dh。5.3光谱负稳定过程在本节中，我们正在研究a级撤资过程Y中第一次通过时间的最小运行时间。事实上，我们研究了当XT是一个具有稳定参数α的谱负稳定过程时，第一段时间的运行最小值低于0的概率∈ (1, 2).此外，我们给出了每个随机过程Xτa，Yτa的分布的表示-安迪·τa- a与上面给出的主流程X关联。设Xt为稳定参数α的谱负稳定过程∈ （1,2）和拉普拉斯指数φ（s）=sα，对于s>0。此外，（5）中的Lévy度量是ν（dx）=x的βx1+αdx，β>0。可以看出（例如参见[14,16]）w（q）（x）=αxα-1E′α，1（qxα），（57）对于x，q>0，其中Eα，1（x）=Pk>0zkΓ（1+αk）是Mittag-Le-finger函数，Γ是gamma函数。提议13。

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