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关于某些偏序下两个分布相等的注记
可人4
734 10
2022-05-08
英文标题：
《Remarks on equality of two distributions under some partial orders》
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作者：
Chuancun Yin
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In this note we establish some appropriate conditions for stochastic equality of two random variables/vectors which are ordered with respect to convex ordering or with respect to supermodular ordering. Multivariate extensions of this result are also considered.
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中文摘要：
在本文中，我们建立了关于凸序或超模序的两个随机变量/向量的随机等式的一些适当条件。还考虑了这个结果的多元扩展。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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kedemingshi
2022-5-8 05:34:02
关于某些偏序下两个d分布相等的评论曲阜师范大学统计学院山东273 165，中国电子邮件：ccyin@mail.qfnu.edu.cnOctober18，2018摘要在这篇文章中，我们建立了两个随机变量/向量的随机等式的一些适当条件，这两个随机变量/向量是关于凸序或关于超模序排序的。还考虑了这个结果的多元扩展。关键词：共单调性；凸序；失真风险度量；畸变函数；预期效用；Sto p-损失订单；设X和Y分别是分布函数为fx和fy的两个随机变量。Letfx和Fy表示相关的生存函数。在止损顺序意义上，X被称为在Y之前，符号X≤slY，当且仅当E[（X- d） +]≤ E[（Y- d） +]，-∞ <d<∞; 在凸序意义上，X被称为在Y之前，符号X≤cxY，当且仅当X≤slY和另外的E[X]=E[Y]。等价地，X≤cxY当且仅当ifEf（X）≤ 对于每一个凸函数f，假设期望Ef（X）和Ef（Y）存在。止损顺序可以用有序TVaR来描述（参见E.g.Dhaene等人（2006））：X≤狡猾的<=> T V aRp[X]≤ T V aRp[Y]表示所有p∈ （0,1），其中t V aRp[X]=1-pRpF-1X（q）dq是p级风险的尾部值，F-1X（q）=inf{x∈R | FX（x）≥ q} 用inf = +∞, 按照惯例。具有边际分布FYi，i=1，2，···，n的随机向量Y=（Y，··，Yn）被称为公共IFID=（F）-1Y（U），F-1Y（U），·F-1Yn（U）），其中d=代表“分布相等”，U是在单位间隔（0，1）上均匀分布的随机变量。考虑一个随机向量（Y，··，Yn）及其同调对应向量（Yc，··，Ycn）。分量之和分别用S和scs表示。Kaas等人的一个很好的结果。
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可人4
2022-5-8 05:34:05
（2002）说≤cxSc，以及Cheung（2010）中定理4有效的逆定理；见毛和胡（2011）的新证据。关于共单调性、随机顺序及其应用的更多细节，我们请读者参考Joe（1997）、Shaked和Shan-nthikumar（2007）以及Denuit等人（2005）。Cheung（2010）证明了以下定理，当已知两个随机变量为随机序时，它们给出了随机相等的充分条件。定理1.1。（C heung（20-10），定理6）设Yand Ybe为两个可积随机变量，u为任意实值严格凸函数或严格凹函数，其连续可二次微分。西尼≤cxYand E[u（Y）]=E[u（Y）]=> Yd=Y。尤其是E[u（S）]=E[u（Sc）]<=> Sd=Sc.定理1.2。（C heung（20 10），定理7）设Yan和Yb是两个被积随机变量，g是一个严格凹的连续可差失真函数，g′（0）<∞. 西尼≤cxYandρg[Y]=ρg[Y]=> Yd=Y。尤其是ρg[S]=ρg[Sc]<=> Sd=Sc.Cheung等人（2015，定理7）在u上的以下较弱条件下获得了与定理1.1相同的结果：u是一个具有绝对连续导数u′的严格凹（或严格凸）函数。Cheung等人（2015，定理8）在关于畸变函数g的以下更一般的条件下获得了与定理1.2相同的结果：g连续可微且严格凹（或严格凸）。Weremark指出，在对定理7和定理8的证明中，有一个很小的差距。(2015). 本文的目的是填补这一空白，并获得两个随机变量/向量随机相等的更一般有效条件，这两个随机变量/向量相对于部分排序。这篇论文的结构如下。我们在第2节回顾了一些基本定义和符号，如凸函数和凹函数。
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大多数88
2022-5-8 05:34:08
在第3节中，我们通过失真风险度量刻画了生态单调性，在第4节中，我们通过预期效用刻画了共单调性。最后，在第5节中考虑了多元扩展。2.关于凸函数和凹函数的一些结果在本文中，我们将使用无离子I来表示实线的非退化区间。在本节中，我们将介绍几个概念和结果，这些概念和结果将贯穿本文。定义2.1函数f:I→ R称为凸iff（（1）- λ） x+λy）≤ (1 - λ） f（x）+λf（y）（2.1）对于I和所有λ中的所有点x和y∈ [0, 1]. 当x和y是不同的点和λ时，如果不等式（2.1）严格成立，则称为严格凸∈ [0, 1]. 如果-f是凸的（分别是严格凸的），那么我们说f是凹的（分别是严格凹的）。这里有几个单变量凸函数的基本例子：o整轴凸函数：x2r，r为正整数；etx，t6=0；（十）-a） ，a∈ R.o非负R上的凸函数ay:xr，R≥ 1.-xr，0≤ R≤ 1.x ln x.o正光线上的凸函数：x-r、 r>0；- 下面的引理是关于凸函数光滑性的结果，可以在Niculescu和Persson（2006，第21页）中找到。引理2.1。让f:我→ R是凸函数。f在I的内部（I）上是连续的，在int（I）的每个点上都有有限的左导数和右导数。Moreov e r，x<yin int（I）impliesf′-（十）≤ f′+（x）≤ f′-（y）≤ f′+（y）尤其是-f′+在int（I）上是不变的。定义在某个开区间I上的凸函数在I上是连续的，在任何闭子区间上是Lipschitz连续的。f允许左导数和右导数，它们是单调非递减的。因此，f是可以区分的，但在大多数情况下是可以区分的。
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可人4
2022-5-8 05:34:12
如果I是闭合的，那么f可能在I的端点处不连续。例如，域[0,1]由f（0）=f（1）=1定义的函数f是凸的，对于0<x<1，f（x）=0；它在开放区间（0，1）上是连续的，但在0和1上不是连续的。引理2.2。（第二个衍生测试）假设f:I→ R是一个二次微分函数。然后：（i）f是凸的当且仅当f′≥ 0;（ii）f是严格凸的当且仅当f′≥ 而f′消失的点集不包括正长度的区间s。这一结果的证明可以在Niculescu和Persson（2006）中找到。备注2.1。A.D.Ale xandrov的一个重要结果是，所有的协凸函数几乎都是两次可微的。见定理3.11.2。在Niculescu andPersson（2006）中。Riesz Nagy给出了[0，1]上实值函数φ的一个例子，例如φ（0）=0，φ（1）=1，φ是连续且严格递增的，φ′=0几乎无处不在。见休伊特和斯特罗姆·伯格（1965年，例18.8，第278页）。因此，函数u（x）=Rxφ（t）dt是严格凸的，尽管u′几乎处处=0；参见Niculesc u和Persson（2006年，第37页）。3凸序、预期效用和共单调定义2.1在同一空间上定义两个测度P和Q。Q是关于P的绝对连续的，写为Q<< P，如果Q（A）=0，当ERP（A）=0对于任何可测集合A。如果Q<< P和P<< Q.定理3.1。让Yand Yb是区间I上的两个可积随机变量s，andu:I→ R可以是任何凸函数。假设λ<< γ、 其中λ是R的勒贝格测量值，γ是由γ（x，y]=u′+（y）定义的正氡测量值- u′+（x）对于任何x<y，其中u′+是u的右导数≤cxYand E[u（Y）]=E[u（Y）]=> Yd=Y。尤其是E[u（S）]=E[u（Sc）]<=> Sd=Sc。通过从u切换到-u、 结果就是推论3.1。
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能者818
2022-5-8 05:34:15
让Yan和Yb是区间I上的两个可积随机变量，andu:I→ R可以是任意的连续函数。假设λ<< γ、 式中，λ是R的Lebesg ue测量值，γ是由γ（x，y]=u′+（x）定义的正氡测量值- u′+（y）对于任何x<y，其中u′+是u的右导数≤cxYand E[u（Y）]=E[u（Y）]=> Yd=Y。尤其是E[u（S）]=E[u（Sc）]<=> Sd=Sc.备注3.1。如果u是凸的且u′几乎等于0，或者如果u是凹的且u′几乎处处小于0，或者更一般地说，u是任意实值严格凸或严格凹函数，那么γ等价于λ。因此，定理3.1和推论3.1是定理1的一般化。1.备注3.2。我们注意到，如果对u没有进一步的限制（例如，u′在I上>0a.e.），则Cheung等人（2015）中定理7的证明具有agap。事实上，注释2.1中的函数u是严格凸函数的一个例子，但几乎所有地方的u′=0。定理3.1的证明需要以下引理，可以在F¨ollmerand Schied（20 04）中找到，另见Cheung（2010）。引理3.1。假设u是一个右导数为eu′+的增凸函数。Rs上有一个正的氡测量γ，比如γ（x，y]=u′+（y）- u′+（x）对于任何x<y，且u（x）=u（0）+u′（0）x+Z（0，∞)（十）- t） +γ（dt）+Z(-∞,0]（t）- x） +γ（dt），x∈ R.定理3.1的证明。我们仅在u为递增凸函数的情况下证明了该定理，其余情况的处理方式与Cheung（2010）对Orem 6的证明类似。而不是凸序关系Y≤cxy表示E[Y]=E[Y]。正如Cheung（2010）中定理6证明的第一步，条件E[u（Y）]=E[u（Y）]意味着z（0，∞){E（Y）- （t）+- E（Y）- t） +}γ（dt）+Z(-∞,0]{E（t）- Y）+- E（t）- Y） +}γ（dt）=0。自从≤cxY，我们有E（Y）-（t）+-E（Y）-（t）+≥ 0和E（t）-Y）+-E（t）-Y）+≥ 0代表全部。
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