一般有界渐近成熟

2022-5-7 03:13:17

（1.1）其结果，仅限于极端打击κ的特殊机制→ ±∞ 当执行自然度t>0时，基于规则变化的关键概念，这在没有人考虑单个随机变量Xt时是合适的（因为t是固定的）。这就排除了许多有趣的机制，尤其是大量研究的小成熟度t→ 0，具有固定的走向κ。在本文中，我们提供了[BF09]的一个实质性扩展：我们对Ft（κ），Ft（κ）上的规则变化假设进行了适当的推广，结合适当的矩条件，得出了σimp（κ，t）在基本上任何小成熟度和/或极端走向（有界成熟度）情况下的渐近行为。因此，我们提供了一种统一的方法，其中包括极端打击κ政权作为特例→ ±∞ 固定到期日t>0，小到期日t→ 0，具有固定的走向κ。κ和t同时变化的混合状态也是允许的。这种灵活性产生了平面开放区域内波动表面σimp（κ，t）的渐近公式。日期：2022.2010年4月18日数学科目分类。小学：91G20；中学：91B25，60G44。关键词和短语。隐含波动率，渐近性，波动率微笑，尾部概率。2 FRANCESCO CARAVENNA和JACOPO CORBETTAIn第3节我们通过对流行模型的应用来说明我们的结果，如Carr-Wu有限矩对数稳定模型和Merton跳跃扩散模型。我们还讨论了赫斯顿的模型，参见§3.3。在另一篇论文[CC15]中，我们考虑了[ACDP12]中介绍的随机波动率模型，该模型展示了多尺度矩。我们分析的关键点是明确地将尾部概率Ft（κ）、Ft（κ）的渐近行为与看涨期权和看跌期权价格c（κ，t）、p（κ，t）联系起来（参见定理2.3、2.4和2.7）。

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2022-5-7 03:13:20

事实上，一旦c（κ，t），p（κ，t）的渐近性已知，隐含的波动率σimp（κ，t）的行为就可以用一种独立于模型的方式来推导，正如最近所展示的那样[GL14]。我们在§2.4（见定理2.9）中总结了他们的结果，其中我们还对一个特殊制度进行了扩展，该制度在他们的分析中被忽略了（参见[MT12]）。论文结构如下：在第2节中，我们设置了一些符号，并陈述了我们的主要结果在第3节中，我们将我们的结果应用于一些流行的模型在第4节中，我们证明了定理2.9，将期权价格与隐含波动率联系起来在第5节中，我们证明了我们的主要结果（定理2.3、定理2.4和定理2.7）最后，附录a.2给出了一些技术要点。主要结果2。1.环境。我们考虑一般随机过程（Xt）t≥0表示资产的对数价格，标准化为X:=0。我们在风险中性度量下工作，即（假设零利率）价格过程（St:=eXt）t≥0是一个鞅。欧式看涨期权和看跌期权，到期日t>0，对数走向κ∈ R、价格分别为C（κ，t）=E[（eXt- eκ）+]，p（κ，t）=e[（eκ）- eXt）+]，（2.1）和通过调用-输出奇偶关系连接：c（κ，t）- p（κ，t）=1-eκ。（2.2）如[GL14]中所述，在我们的结果中，我们沿着（κ，t）值的任意族（或“路径”）取极限。这包括两个序列（（κn，tn））n∈Nand曲线（（κs，ts））s∈[0,∞), 因此我们省略了下标。在不丧失普遍性的情况下，我们假设所有的κ都有相同的符号（只需分别考虑具有正κ和负κ的亚家族）。为了简化符号，我们只考虑正族κ≥ 0，并给出κ和-κ.我们主要关注的是（κ，t）的值族，即→ ∞ 有界的，有界的→ 0与任意κ≥ 0 . （2.3）只要这一点成立，就有（见§A.1）c（κ，t）→ 0，p(-κ、（t）→ 0 .

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2022-5-7 03:13:24

（2.4）我们强调，（2.3）收集了许多有趣的机制，即：（a）κ→ ∞ 和t→\'t∈ (0, ∞) （特别是固定t=`t>0的情况）；（b） κ→ ∞ 和t→ 0;（c） t→ 0和κ→ κ ∈ (0, ∞) （尤其是固定κ=’κ>0的情况）；（d） t→ 0和κ→ 值得注意的是，虽然制度（d）需要单独处理，但制度（a）-（b）-（c）将立即进行分析，作为“κ有界远离零”的特殊情况。有界成熟度的一般微笑渐近3备注2.1。我们在（2.3）中强调了有界成熟度t的要求。我们的一些论据可以被改编来处理→ ∞, 但还需要额外的工作（例如，我们假设一些指数矩E[E（1+η）Xt]的有界性，参见下面的（2.9）-（2.10），如果t有界，大多数模型都能满足这一点，但如果t有界，则不能满足这一点→ ∞). 我们参考[T09，JKM13]了解t区的结果→ ∞.给定一个模型（Xt）t∈[0,∞), 隐含波动率σimp（κ，t）定义为波动率参数σ的值∈ [0, ∞) Black&Scholes公式中插入的参数使给定的看涨期权有效，并将价格c（κ，t）和p（κ，t）放入（2.1）中（见下文§4.2-§4.3）。为了避免琐事，我们关注（κ，t）的族，使得c（κ，t）>0和p(-κ、 t）>0（事实上，如果c（κ，t）=0，注意σimp（κ，t）=0，同样，σimp(-κ、 p=0如果t=0(-κ、 t=0）。符号在整篇论文中，我们写f（κ，t）~ g（κ，t）表示f（κ，t）/g（κ，t）→ 1.让我们回顾一个有用的标准装置（子序列参数）：证明一个渐近关系，例如f（κ，t）~ g（κ，t），它必须表明，从每个子序列中，一个人可以提取一个子序列，沿着该子序列，给定的关系成立。因此，在屋顶中，我们可能总是假设所有感兴趣的量都有一个（可能是有限的）极限，例如κ→ κ ∈ [0, ∞] 和t→\'t∈ [0, ∞), 因为这在合适的子序列上是正确的。2.2. 主要结果：非典型偏差。

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2022-5-7 03:13:27

我们首先关注的是（κ，t）家族，比如FT（κ）→ 分别为0。英尺(-κ) → 0，（2.5）我们称之为非典型偏差的制度。这是文献中研究最多的最有趣的案例，因为它包括第2页描述的（a）、（b）和（c）机制，以及κ提供的（d）机制→ 0非常慢。当κ→ ∞ 在固定t>0的情况下，Benaim和Friz[BF09]需要尾部概率的规则变化，即存在α>0和缓慢变化的函数+Lt（·），如对数Ft（κ）~ -Lt（κ）κα，分别为。对数英尺(-κ) ~ -Lt（κ）κα。（2.6）当t允许变化时，如何推广（2.6）是不明显的，即在Lt（κ）上引入哪些条件。然而，只要limκ的存在，就可以重新表述（2.6）中的第一个关系→∞根据[BGT89，定理1.4.1]，对于任何固定%>0的情况，以及（2.6）中的第二个关系，log Ft（%k）/log Ft（k）。这一重新表述（其中未提及Lt（κ）！）事实证明，在我们考虑的一般情况下，当t允许变化时，这是一个正确的条件。因此，我们得出以下结论：假设2.2（尾部概率的规则衰减）。κ>0，t>0满足度（2.5）的（κ，t）值族，以及每%∈ [1, ∞) [0]中存在以下限制：+∞]:I+（%）：=limlog-Ft（%κ）log-Ft（κ），分别为。我-（%）：=limlog Ft(-%κ）对数英尺(-κ），（2.7），其中限值沿（κ，t）的给定值族取值。Moreollim%↓1I+（%）分别为1。林%↓1I-(%) = 1 . （2.8）根据κ的状态，我们还需要下列力矩条件之一给定η∈ (0, ∞), 第一时刻的条件为：im sup E[E（1+η）Xt]<∞, （2.9）+如果limx→∞L（%x）/L（x）=1表示所有%>0.4的FRANCESCO CARAVENNA和JACOPO CORBETTAalong（κ，t）的给定值族。

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2022-5-7 03:13:30

当t≤ T，要求e[e（1+η）XT]<∞, （2.10）因为（e（1+η）Xt）t≥0是一个子鞅，因此E[E（1+η）Xt]≤ E[E（1+η）XT]。o给定η∈ (0, ∞), 第二个时刻的条件是提取- 1κ1+η< ∞, （2.11）沿着给定的（κ，t）值族。注意，对于η=1，这将简化为C∈ (0, ∞) : E[e2Xt]≤ 1+Cκ。（2.12）我们已经准备好陈述我们的主要结果，这些结果用尾部概率明确地表达了期权价格和隐含波动率的渐近行为。由于不同的假设，我们首先考虑右尾渐近性。定理2.3（右尾非典型偏差）。考虑κt>0的概率（κt>0，κt>0）。（i） [κ远离零，t远离单位（lim-infκ>0，lim-sup t<∞)]让力矩条件（2.9）在每η>0时保持不变，或者仅在某些η>0时保持不变，但另外假设i+（）≥ % , % ≥ 1.（2.13）然后记录c（κ，t）~ 对数Ft（κ）+κ，（2.14）σimp（κ，t）~s-对数Ft（κ）κ-s-对数Ft（κ）κ- 1.r2κt.（2.15）特例：如果-对数Ft（κ）/κ→ ∞, 假设（2.13）可放宽至100%→∞I+（%）=∞, （2.16）和关系（2.14）-（2.15）简化tolog c（κ，t）~ 对数Ft（κ），（2.17）σimp（κ，t）~κq2t(-log-Ft（κ））。（2.18）（ii）[κ和t消失（κ→ 0，t→ （0）]让力矩条件（2.11）在每η>0时保持不变，或者只在某些η>0时保持不变，但另外假设（2.16）。然后记录c（κ，t）/κ~ 对数Ft（κ），（2.19）σimp（κ，t）~κq2t(-log-Ft（κ））。（2.20）接下来我们转向左尾渐近。这种情况下的假设比右尾假设更敏感。

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2022-5-7 03:13:33

例如，左尾条件E[E-ηXT]<∞ requiredin[BF09，定理1.2]是不需要的，它允许处理多项式解左尾的情况，如第3节中描述的Carr-Wu模型。有界成熟度的一般微笑渐近定理5定理2.4（左尾非典型偏差）。考虑一组κ>0，t>0的（κ，t）值，假设2.2满足左尾概率Ft(-κ).o [κ远离零，t远离单位（lim-infκ>0，lim-sup t<∞)]没有力矩条件，也没有额外的假设-（·），一个搭扣(-κ、（t）~ 对数英尺(-κ) - κ，（2.21）σimp(-κ、（t）~R-对数英尺(-κ)κ+ 1 -R-对数英尺(-κ)κ!r2κt.（2.22）特例：如果-对数英尺(-κ)/κ → ∞, 关系式（2.21）-（2.22）简化了tolog p(-κ、（t）~ 对数英尺(-κ），（2.23）σimp(-κ、（t）~κp2t(-对数英尺(-κ)). （2.24）o[κ和t消失（κ→ 0，t→ 0）]让力矩条件（2.11）在每η>0时保持不变，或者只在某些η>0时保持不变，但另外假设lim%↑∞我-(%) = ∞. （2.25）然后记录p(-κ、 t）/κ~ 对数英尺(-κ），（2.26）σimp(-κ、（t）~κp2t(-对数英尺(-κ)). （2.27）我们证明了下面§5.1中的定理2.3和2.4。关键的一步是将期权价格sc（κ，t），p（κ，t）与尾部概率Ft（κ，t）联系起来(-κ），利用假设2.2。一旦完成，隐含波动率σimp（κ，t）的渐近行为可以使用[GL14]的独立于模型的结果来推导，我们在§2.4中进行了总结。备注2.5。“特殊情况”条件-对数Ft（κ）κ→ ∞, 响应。-对数英尺(-κ)κ→ ∞, （2.28）在小到期制度下自动填充→ 0，固定走向κ=°κ>0。在这种情况下，可以使用简化公式（2.17）-（2.18）和（2.23）-（2.24）。主要结果：典型偏差。接下来我们关注的是当t→ 0和κ→ 0足够快，因此尾部概率Ft（κ），分别为。

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2022-5-7 03:13:36

英尺(-κ）具有严格的正极限，并且违反了条件（2.5）。我们称这种制度为典型的偏差。这包括固定κ=0和t的基本机制↓ 0.当κ→ 0和t→ 同时，0也很有趣，例如，在有钱（κ=0）和没钱（κ6=0）的情况下进行插值，这两种情况可能会有显著的不同，因为→ 0（见[MT12]）。我们做出以下自然假设。假设2.6（小时间尺度）。有一个正函数（γt）t>0，具有limt↓0γt=0，使得Xt/γt在定律中收敛为t↓ 0到某个随机变量Y:Xtγtd--→T↓0Y。（2.29）6 FRANCESCO CARAVENNA和JACOPO CORBETTAWe参考下面的备注2.8，了解验证假设2.6的具体方法。让我们强调（2.29）是尾部概率的一个条件，因为它可以被重新表示为ft（aγt）→ P（Y>a）和Ft(-aγ（t）→ P（Y）≤ -a）（2.30）对于所有a≥ P（|Y |=a）=0时为0。如果Y定律的支持从上到下都是无界的（通常是这样），那么（2.30）中的极限对于每个a都是严格正的≥ 0.在这种情况下，合适的力矩条件是（2.11），κ=γt，即。η>0:lim supt→0E提取- 1γt1+η< ∞. （2.31）最后，我们介绍一些符号。分别用φ（·）和Φ（·）表示标准高斯分布的密度和分布函数（见下文（4.1），并定义函数d（z）：=φ（z）z- Φ(-z） ,，z>0。（2.32）正如我们在下面的§4.1中所示，D是一个平滑且严格递减的双射，∞) 到（0，∞). 它的反比是D-1: (0, ∞) → (0, ∞) 也很平稳，严格来说是下降的，令人满意-1（y）~p2(-log y）as y↓ 0，D-1（y）~√2πyas y↑ ∞. （2.33）我们最终可以陈述以下结果，将期权价格和隐含波动率与典型偏差制度下的所有概率联系起来。定理2.7（典型偏差）。

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2022-5-7 03:13:39

假设假设假设2.6已满足，且力矩条件（2.31）更为成立。然后（2.29）中的随机变量满足E[Y]=0。修理∈ [0, ∞) P（Y>a）>0时，分别为。P（Y<-a） >0。对于任何（κ，t）家族→ 0和κt→ A.∈ [0, ∞) ,期权价格的渐近行为由C（κ，t）给出~ γtE[（Y- a） +]，分别为。p(-κ、（t）~ γtE[（Y+a）-] , （2.34）相应地，隐含波动率由σimp（±κ，t）给出~ C±（a）γt√t、带C±（a）=公元-1.E[（Ya） ±]a如果a>0，√2πE[Y±]如果a=0。（2.35）备注2.8。假设2.6在已知Xt的特征函数时很容易检验，因为根据Lévy连续性定理，分布中的收敛（2.29）等价于点态收敛E[eiuXt/γt]→ E[eiuY]对于每一个u∈ R.我们将在第3.1小节（卡尔-吴模型）和第3.2小节（默顿模型）中看到具体的例子。另一个有趣的例子是差异。假设Xt=log St，其中（St）t≥0根据随机微分方程（dSt）演变=√VtStdWtS=1，（2.36），其中W=（Wt）t≥0是布朗运动，V=（Vt）t≥0是一个正适应过程，代表波动性，可能与W相关。在温和的假设下→0Vt=σa.s.，其中σ∈ (0, ∞) 是一个常数，可以证明假设2.6适用于γt=√t和Y~ N（0，σ），见附录A.2。有界成熟度的一般微笑渐近性~ N（0，σ）转化为（2.35）得到C±（a）≡ σ（见附录A.2）。因此，如果力矩条件（2.31）成立，我们可以应用定理2.7，得到σimp（±κ，t）~ 沿任意抛物线κ的σ~ A.√t、这一结果与Pagliarani和Pascucci[PP15]的最新研究结果一致，他们超越了一阶渐近性。定理2.7的证明见下文§5.2。

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mingdashike22

2022-5-7 03:13:42

期权价格的渐近行为（2.34）很容易从分布的收敛性（2.29）中得出，因为矩条件（2.31）确保了所需的均匀可积性。隐含波动率的渐近行为（2.35）同样可以通过我们现在描述的amodel独立方式从期权价格的渐近性中推导出来。2.4. 从期权价格到隐含波动率。当期权价格为c（κ，t）或(-κ、 t）消失时，它们通过PLICIT通用公式确定隐含波动率的渐近行为。下面的定理（我们在第4节中给出了一个独立的证明）总结了这些定理，该定理收集了最近文献中的结果。定理2.9（从期权价格到隐含波动率）。考虑（κ，t）和κ的任意值族≥ 0和t>0，使得c（κ，t）→ 分别为0。p(-κ、（t）→ 0.oκ远离零的情况（即lim infκ>0）。σimp（κ，t）~R-log c（κ，t）κ+1-R-对数c（κ，t）κr2κt，分别为。σimp(-κ、（t）~R-对数p(-κ、 t）κ-R-对数p(-κ、 t）κ- 1.r2κt（2.37）oκ→ 0，κ>0。σimp（κ，t）~D-1.c（κ，t）κκ√t、响应。σimp(-κ、（t）~D-1.p(-κ、 t）κκ√t、（2.38）其中函数D:（0，∞) → (0, ∞) 定义在（2.32）-（2.33）中κ=0的情况。σimp（0，t）~√2πc（0，t）√t=√2πp（0，t）√t、（2.39）我们强调，定理2.9允许立即从期权价格c（κ，t）和p的对应关系推导出定理2.3、2.4和2.7中出现的隐含波动率σimp（±κ，t）的所有渐近关系(-κ、 t）。定理2.9的主要部分是方程（2.37），Gao andLee[GL14]最近证明了这一点，推广了Lee[L04]、Roper and Rutkowski[RR09]、Benaimand Friz[BF09]和Gulisashvili[G10]之前的结果。

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2022-5-7 03:13:47

事实上，Gao和Lee证明了比（2.37）多得多的误差，为误差提供了超出一阶渐近的明确估计。方程（2.38）是本文的一个新贡献。事实上，[GL14]假设-logκ=o(-log c（κ，t））（参见其中的方程式（4.2），其中排除了带有κ的区域→ 0“足够快”。最近[MT12]中显示了这种机制的相关性，其中特殊情况κ∝考虑了pt对数（1/t）（见[MT12，定理3.1]）。8 FRANCESCO CARAVENNA和JACOPO CORBETTARemark 2.10。关系式（2.38）提供了（2.39）和（2.37）中描述的在货币和货币外制度之间的插值。让我们更明确一点。使用（2.33），公式（2.38）可以改写如下：σimp（κ，t）~κp2t(-log（c（κ，t）/κ）ifc（κ，t）κ→ 0 ;κD-1（a）√tifc（κ，t）κ→ A.∈ (0, ∞) ;√2πc（κ，t）√κc，κt→ ∞, 或者如果κ=0，（2.40）和类似的σimp(-κ、 t），只是用p取代c（κ，t）(-κ、 t）。请注意（2.40）中的最后一行与货币制度（2.39）中的匹配。为了了解（2.40）如何与脱离货币制度（2.37）相匹配，需要注意的是-对数c（κ，t）κ→ ∞, 响应。-对数p(-κ、 t）κ→ ∞, 公式（2.37）可以改写为σimp（κ，t）~κp2t(-log c（κ，t）），分别为。σimp(-κ、（t）~κp2t(-对数p(-κ、这与κ→ 0足够慢，即- logκ=o- 对数c（κ，t）. (2.42)2.5. 讨论定理2.3、2.4和2.7是有用的，因为它们的假设涉及尾概率Ft（κ）和Ft的同态(-κ），可直接针对许多混凝土模型进行验证（一些示例见第3节）。典型偏差和非典型偏差制度之间的差异可以描述如下：o对于典型偏差，关键假设是假设2.6，该假设涉及Xt、cf的弱收敛性。

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2022-5-7 03:13:50

(2.29)-(2.30);o 对于非典型偏差，关键假设是假设2.2，它涉及Xt的大偏差属性，参见（2.7）-（2.8）。特别是，值得强调的是，假设2.2只要求尾部概率log Ft（κ）和log Ft的对数具有尖锐的渐近性(-κ），而不是概率本身，这将是一项相当困难的任务（对于许多模型来说是无法实现的）。因此，假设2.2通常可以通过Celeratedg"artner-Ellis定理[DZ98，定理2.3.6]进行检验，该定理在对数Ft（κ）和对数Ft上产生尖锐的渐近性(-κ）在适当的条件下，研究了Xt的矩母函数。3.应用在本节中，我们展示了我们主要理论结果的相关性，推导了卡尔-吴有限矩对数稳定模型（§3.1）和默顿跳跃扩散模型（§3.2）的隐含波动率的渐近展开式。第3.3节简要讨论了赫斯顿模型的情况。我们的结果也可以应用于最近在[ACDP12]中介绍的随机波动率模型，该模型展示了多尺度矩。尽管对数价格的矩母函数没有封闭表达式可用，但尾部概率可以明确估计，正如我们在另一篇论文[CC15]中所示。由于定理2.3、2.4和2.7，这导致隐含波动率的精确渐近性。有界成熟度的一般微笑渐近93.1。Carr-Wu有限矩对数稳定模型。Carr和Wu[CW04]考虑了一个模型，其中原木走向具有特征函数埃克斯特= et[iuu-|u |α∑α（1+i符号（u）tan（πα）），（3.1），其中σ∈ (0, ∞), α ∈ （1,2）并且我们将xu：=σα/cos（πα）用于风险中性测量，参见[CW04，命题1]。

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2022-5-7 03:13:53

XtisE的矩母函数eλXt=e[λu-（λσ）αcos（πα）]tifλ≥ 0 ,+∞ 如果λ<0。（3.2）注意作为α→ 2具有波动性的one-recovers Black&Scholes模型√2σ，参见下文§4.2。应用定理2.3、2.4和2.7，我们给出了具有有界成熟度的波动率微笑渐近的完整刻画。这尤其包括极端打击（κ→ ±∞ 固定t>0）和小到期日（t→ 0和固定κ）。定理3.1（Carr-Wu模型的微笑渐近性）。以下渐近式成立非典型偏差。考虑任何带有κ的（κ，t）家族≥ 0，t>0，因此→ 0和κ t1/α，或t→\'t∈ (0, ∞) 和κ→ ∞. （3.3）（这包括第2页的制度（a）、（b）、（c）和制度（d）的一部分。）然后有右尾渐近性σimp（κ，t）~ Bακt-2.-α2(α-1）式中Bα：=（ασ）α/2α-1p2（α）- 1） | cos（πα）| 1/2α-1.（3.4）相应的左尾渐近由σimp给出(-κ、（t）~slogκαtκ+1-slogκαtκr2κt（3.5），可以更明确地区分不同的区域：σimp(-κ、（t）~κq2t logκαtif t→ 0和κlogt→ 0 ,√1+a- 1.√A.r2κt→ 0和κlogt→ A.∈ (0, ∞) ,r2κt如果没有→ 0和κlogt→ ∞,如果没有→\'t∈ (0, ∞) 和κ→ ∞..（3.6）o典型偏差。对于任何（κ，t）家族→ 0，κt1/α→ A.∈ [0, ∞) , （3.7）有σimp（±κ，t）~ C±（a）t2-α2α，带C±（a）：=公元-1.E[（σY）a） ±]a如果a>0，√2πσE[Y±]如果a=0。（3.8）10 FRANCESCO CARAVENNA和JACOPO CORBETTARemark 3.2（Carr-Wu模型的表面渐近性）。对于（κ，t）满足（3.3）的任何家族，关系（3.4）和（3.5）都成立，这一事实产生了有趣的结果。我们声称，无论如何∈ (0, ∞) ε>0时，存在M=M（ε，T）∈ (0, ∞) 使得以下不等式适用于区域AT，M:={0<t中的所有（κ，t）≤ T、 κ>Mt1/α}：1.- εBακt-2.-α2(α-1)≤ σimp（κ，t）≤1 + εBακt-2.-α2(α-1).

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2022-5-7 03:13:56

（3.9）类似的不等式可以从（3.5）-（3.6）和（3.8）中推导出来。关系式（3.9）给出了平面（κ，t）开放区域中挥发性表面σimp（κ，t）的统一近似。（3.9）的证明很简单：通过矛盾假设存在T，ε∈ (0, ∞) 每一天∈ (0, ∞) 关系式（3.9）在某些情况下失败（κM，tM）∈ 在，M.提取A序列时，该家族（κM，tM）满足（3.3），但不满足（3.4），与定理3.1相矛盾。定理3.1的证明。设Y表示特征函数e[eiuY]=e的随机变量-|u |α（1+i符号（u）tan（πα）），（3.10）即Y具有指数α和偏度参数β=-1，并且E[Y]=0。如果我们设置为：=Xt- utσt1/α，（3.11）由（3.1）得出，Y的分布与Y相同，因为ee[eiuYt]=E[eiuY]=E-|u |α（1+i符号（u）tan（πα））。（3.12）之后是（3.11）xtt1/αd--→T↓因此，假设2.6满足γt:=t1/α。注意P（Y>a）>0和P（Y<-a）所有a组均>0∈ R、因为Y的密度在任何地方都是严格正的。Y的右尾有一个超指数衰减：asκ→ ∞对数P（Y>k）~ -eBακα/（α）-1）式中ebα：=α- 1α|cos（πα）|α1/(α-1），（3.14）参考[CW04，财产1和其中的参考文献]。另一方面，左尾是多项式的：存在c=cα∈ (0, ∞) 这样的≤ -κ) ~cκα，因此log P（Y≤ -κ) ~ -αlogκ。（3.15）回顾Ft（κ）：=P（Xt>κ）和Ft(-κ）：=P（Xt）≤ κ），通过（3.11）我们可以写eft（κ）=PY>κ- utσt1/α, 英尺(-κ） =PY≤-κ - utσt1/α, （3.16）因此，我们可以将估算值（3.14）和（3.15）转移到Xt。此后，我们分别考虑非典型偏差（3.3）和典型偏差（3.7）的情况。注意，很容易检查（3.5）是否等同于（3.6）。有界偏差的一般微笑渐近性。让我们定义（κ，t）满足（3.3）的任意值族。

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2022-5-7 03:13:59

然后κ/t→ ∞ （因为α>1），因此κ- utσt1/α~κσt1/α→ ∞,-κ - utσt1/α~-κσt1/α→ -∞.通过（3.14），（3.15）和（3.16）我们得到log Ft（κ）~ -eBακσt1/αα/(α-1），对数英尺(-κ) ~ -logκαt.（3.17）现在让我们检查定理2.3的假设（3.17）中的第一个关系表明，假设2.2符合右尾F（κ），I+（%）=%α/（α）-1). 请注意，I+（）≥ % 总共%≥ 1，由于α>1，hencealso条件（2.13）满足。o条件（2.9）满足，因为（2.10）适用于所有T>0和η>0，由（3.2）确定。o仍需检查状态（2.11）。正如我们在下面证明的，对于所有η∈ (0, α - 1） t>0有常数A，B，C∈ (0, ∞), 取决于η，T和参数α，σ，因此对于所有0<T≤ T和κ≥ 0以下不等式成立：E提取- 1κ1+η≤ A.t1/ακB+C. （3.18）特别是，由于κ/t1/α→ ∞ 根据假设（3.3），条件（2.11）满足。应用定理2.3，因为-对数Ft（κ）/κ→ ∞ 根据（3.17）中的第一个关系式，σimp（κ，t）的渐近行为由（2.18）给出，其中（3.17）与（3.4）一致。接下来我们要应用定理2.4。根据（3.17）中的第二个关系式，假设2.2被左尾Ft满足(-κ）和我-(%) ≡ 1.如果κ的界远离零，则σimp（κ，t）的共融行为由（2.22）给出，由（3.17）精确得出（3.5）。如果κ→ 0我们不能直接应用定理2.4，因为力矩条件（2.11）只满足某些η>0，条件（2.25）不满足，因为-(%) ≡ 1.然而，我们可以通过直接估计证明（2.26）仍然成立。按（2.1）p(-κ、 t）=E[（E-κ- eXt）1{Xt<-κ}] ≥ E[（E-κ- eXt）1{Xt<-2κ}] ≥ （e）-κ- E-2κ）Ft(-2κ）和自（e-κ-E-2κ=e-2κ（eκ-1) ≥ E-2κ，我们可以用（3.17）来写（回想一下κ→ 0）日志p(-κ、 t）/κ≥ -2κ - log（2κ）αt~ -logκαt.（3.19）接下来我们给出p上的匹配上键(-κ、 t）。

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2022-5-7 03:14:02

自从ut≤ κ最终（回想一下κ/t1/α→ ∞, 因此κ/t→ ∞), 通过（3.16）和（3.15），我们得到≥ 1Ft(-κy）≤ PY≤ -2κyσt1/α≤ ctκαyα，对于某些c=cα，σ，u∈ (0, ∞). 然后根据富比尼的理论(-κ、 t）=E[（E-κ- eXt）1{Xt<-κ} ]=EZ∞κe-x{x<-Xt}dx=Z∞κe-xFt(-x） dx=κZ∞E-κyFt(-κy）dy≤ cκtκαZ∞yαdy=：cκtκα，12 FRANCESCO CARAVENNA和JACOPO CORBETTAhencelogp(-κ、 t）/κ≤ 日志c- 对数κt~ -logκαt.这个关系，加上（3.19），yieldslogp(-κ、 t）/κ~ -tα/κt1→ ∞, 这表明当κ→ 0和p(-κ、 t）/κ→ 0.因此，我们可以应用定理2.9中的方程式（2.38），该方程式将备注2.10简化为（2.40）中的第一行（带p(-κ、 t）而不是c（κ，t）），产生σimp(-κ、（t）~κp2t(-对数（p(-κ、（t）/κ）~κq2t logκαt，因此当κ→ 0（参见（3.6））。典型的偏差。让我们定义（κ，t）满足（3.7）的任意值族。κ=γt=t1/α的关系式（3.18）表明条件（2.31）是满足的，假设2.6由（3.13）决定。然后我们可以应用定理2.7，关系式（2.35）精确地给出（3.8）。证明（3.18）。自|前-1x|≤ 1如果x<0且| ex-1x|≤ 进出口银行≥ 0，我们有|前-1x|≤ 1+Ex代表所有x∈ R.如果p，q>1，那么p+q=1，杨氏不等式ab≤pap+QBQ产量提取- 1κ=Xtκ提取- 1Xt≤P|Xt |κp+q1+分机q、注意到（a+b）r≤ 2r-1（ar+br）代表r≥ 1，通过H"older不等式，用c=cp，η表示一个合适的常数，仅依赖于p，η，我们可以写提取- 1κ1+η≤ C|Xt | p（1+η）κp（1+η）+1+eq（1+η）Xt.给定0<η<α- 1，我们假设p=pη，α>1，使得B:=p（1+η）<α。（请注意，BDE仅依赖于η，α。）此外，它由（3.11）得出e[|Xt | B]=（σt1/α）BE[|Y | B]1+O（tB（1-1/α)),请注意，E[|Y|B]<∞, 因为Y具有严格小于α的所有阶的有限矩，参见[CW04，属性1]。

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2022-5-7 03:14:05

因为t≤ T有E[eq（1+η）Xt]≤ E[eq（1+η）XT]<∞, 通过（3.2）证明了关系式（3.18）。3.2. 默顿的跳跃扩散模型。考虑一个模型[M76]，其中log returnXt具有完全可除分布，其矩母函数由[exp（zXt）]=exp给出Tzu+zσ+λezα+zδ- 1., Z∈ C，（3.20），其中u，α∈ R和σ，λ，δ∈ (0, ∞) 是固定的参数。σimp（κ，t）的渐近行为已经被许多作者研究过。固定t>0和κ的情况→ ∞ 由Benaim和Friz[BF09]使用鞍点方法得出（详细计算见[FGY14]，[GMZ14]）。固定κ>0和t的情况→ 0之后是[FF12]，而t的混合状态→ 0, κ → 带κ的0∝[MT12]中考虑了pt对数（1/t）。应用我们的结果，我们可以完成这幅图，提供在所有这些区域之间插值的一般公式，参见定理3.4。有界成熟度的一般微笑渐近13图1。默顿模型的隐含波动率σimp（κ，t）（参数λ=0.01，δ=0.3，σ=0.2，α=0.1）在κ=κ（t）状态下∈ (0, 0.3).渐近波动率由我们的公式（3.26）给出，而模拟波动率由标准计算软件包获得。让我们定义两个函数κ（t）→ 0和κ（t）→ ∞ 作为t→ 0如下所示：κ（t）：=qt-logt，κ（t）：=qlogt，（3.21），它将不同的行为分离为t→ 0.我们强调，κ（t）正是[MT12]中考虑的标度。让我们也定义f:[0，∞) → (0, ∞) byf（a）：=minn∈Nn+a2nδ. （3.22）注意f是连续的和分段二次的：更精确地说，通过显式计算，f（a）=n+a2nδ对于所有a∈ [p2（n- 1） n，n+p21∈ N.如下式f（0）=1，f（a）~A.→∞√δa。（3.23）函数f的作用由附录A.3中证明的下列引理解释。引理3.3。对于每一个固定的∈ (0, ∞), 作为t→ 0一个搭扣P（Xt>aκ（t））~ -f（a）logt。

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2022-5-7 03:14:08

（3.24）此外，如果→ 0和κ κ（t），或者如果t→\'t∈ (0, ∞) 和κ→ ∞, 一个搭扣P（Xt>κ）~ -κδr2 logκt.（3.25）我们现在准备陈述我们对默顿模型的主要结果（见图1）。定理3.4（默顿模型的微笑渐近性）。考虑（κ，t）和κ的一系列值≥ 0和t>0。（1）如果没有→ 0和κ=O（κ（t）），然后σimp（κ，t）~ 最大值σ，κq2tfκ（t）对数κt, （3.26）14 FRANCESCO CARAVENNA和JACOPO CORBETTAwhich可以更明确地重写如下：σimp（κ，t）~σ如果0≤ κ ≤ σκ（t）κp2t logκtifσκ（t）≤ κ κ（t）κp2tf（a）logκtifκ~ aκ（t）与a∈ (0, ∞). （3.27）（2）如果t→ 0和κ κ（t），或者如果t→\'t∈ (0, ∞) 和κ→ ∞, 然后σimp（κ，t）~sδκ2tp2 logκt.（3.28）证明。我们必须通过提取子序列来证明关系（3.27）（相当于（3.26））和关系（3.28）。我们区分不同的子类别。首先假设→ 带κ=O的0(√t）。通过提取子序列，假设κ/√T→ A.∈ [0, ∞). 注意，Xt/√td-→ N（0，σ），因为E[eUxT√[t]→ E-u2σ代表everyu∈ R、正如（3.20）所述。然后我们将定理2.7应用于γt=√t、因为η=1的动量条件（2.31）后面跟着（3.20）（另见（2.12））。关系式（2.35）得出σ（κ，t）~ C+（a）√T√t=σ，因为C+（a）≡ σ（见附录A.2中的（A.4））。这与第1行（3.27）相匹配。接下来我们假设→ 0与√T κ 1.应用[MT12，命题2.3]，我们可以写出（κ，t）~ E[（EσWt）-σt- eκ）+]+ct，0<C:=R∞（例如- 1） ν（dx）<∞, 式中，ν表示X的Lévy度量。

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2022-5-7 03:14:12

Firsterm是带κ的看涨期权的通常Black&Scholes价格√t：在v=σ的情况下应用（4.12）√t和d=-κv+v~ -κσ√t、与（4.1）和（4.3）一起，我们得到c（κ，t）κ~vκφ（d）（d）+Ctκ=e-D√2π（κσt）3/2+Ctκ~E-D√2πd+Ctκ。书写-Z√2πz=e-Z-日志(√2πz=e-z（1+o（1））作为z→ ∞, 我们得到c（κ，t）κ~ E-κ2σt（1+o（1））+Ctκ=a+b（比如说）。不等式max{a，b}≤ a+b≤ 2最大{a，b}产量对数（a+b）~ max{loga，logb}（由于a，b→ 0）因此-logc（κ，t）κ~ -最大值-κ2σt（1+o（1）），对数Ctκ~ 闵κ2σt，logκt.很容易检查渐近等式κ2σt~ 当κ~ σκ（t）。因此：o在κ的情况下≤ σκ（t）我们有- logc（κ，t）κ~κ2σt；（3.29）有界成熟度的一般微笑渐近15o在κ情况下≥ σκ（t）我们有- logc（κ，t）κ~ logκt.（3.30）（注意~ σκ（t）这两个关系（3.29）和（3.30）都成立。）我们可以应用关系式（2.38）推导出σimp（κ，t）的渐近行为（注意c（κ，t）/κ→ 0，自从κ√t）通过备注2.10，其减少到（2.40）的第一行，即σimp（κ，t）~κp2t(-log（c（κ，t）/κ）。（3.31）将（3.29）-（3.30）插入该关系中，得到（3.27）的第一行和第二行。接下来我们假设→ 0和η≤ κ κ（t），对于某些固定η>0。我们声称- logc（κ，t）κ~ 插入（3.31）的logt（3.32）证明了（3.27）的第二行（自logt以来）~ logκtin（这个机制）。当κ>0固定时，Figueroa–Lópezand Forde在[FF12]中证明了（3.32）关系的更强版本。对于一般情况，我们∈ (0, ∞) 我们应用关系式（3.24），得到了下边界c（κ，t）=E[（eXt- eκ）+]≥ （eaκ（t）- eκ）P（Xt>aκ（t））~ eaκ（t）-f（a）logt（1+o（1））~ E-f（a）logt（1+o（1）），（3.33），因为κ（t）=qlogt 洛格特。对于上限，我们回忆一下κ≥ η和[FH09]对数P（Xt>η）~ -洛塔斯t酒店→ 0 .

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2022-5-7 03:14:15

（3.34）那么，对于每个固定的b∈ (0, ∞), 使用（3.34），（3.24）和Caucy-Schwarz我们可以写出（κ，t）≤ ebκ（t）P（η<Xt≤ bκ（t））+E[eXt{Xt>bκ（t）}]≤ ebκ（t）-logt（1+o（1））+E[e2Xt]P（Xt>bκ（t））~ E-logt（1+o（1））+Ce-f（b）logt（1+o（1）），在最后一步中，我们使用了E[e2Xt]≤ 对于某些常数C，自E[e2Xt]→ 1 ast→ 0比（3.20）。通过（3.23），我们可以将b放大到f（b）>2，从而得到c（κ，t）≤E-logt（1+o（1）），对于每一个ε>0，我们可以选择一个足够小的>0，使得f（a）<1+ε，因此c（κ，t）≥ E-（1+ε）logt（1+o（1））乘以（3.33）。总之，证明了关系式（3.32）。让我们继续讨论t政权→ 0和κ~ aκ（t）对于某些a∈ (0, ∞). 关系式（3.24）表明，这样一个（κ，t）家族满足假设2.2，I+（%）=f（%a）/f（a）（我们强调∈ (0, ∞) 在整个论证过程中都是固定的，因此I+可以依赖于a）。由于力矩条件（2.9）明显满足（3.20），我们可以应用定理2.3：关系式（2.18）和（3.24）证明（3.27）的第三行。最后，还有待证明（3.28），因此我们假设→ 0和κ κ（t），ort→\'t∈ (0, ∞) 和κ→ ∞. 关系式（3.25）表明假设2.2适用于I+（%）=%。根据定理2.3，关系式（2.18）得出（3.28），完成了定理3.4的证明。16弗朗西斯科·卡拉文纳和雅格布·科尔贝特3。3.赫斯顿模型。给定参数λ，θ，η，σ∈ (0, ∞) 和%∈ [-1,1]，theHeston模型[H93]是一个随机波动率模型（St）t≥0由以下SDE定义dSt=St√VtdWt，dVt=-λ（Vt）- θ）dt+η√VtdWt，X=0，V=σ，其中（Wt）t≥0和（Wt）t≥0是标准布朗运动，具有hdWt，dWti=%dt。请注意，STT显示瞬间爆炸，即e[SpT]=∞ 对于足够大的p>1。

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何人来此

2022-5-7 03:14:18

总的来说，对于任何固定的≥ 0可以定义爆炸时刻p*（t） asp*（t）：=sup{p>0:E[Spt]<∞},所以E[Spt]<∞ 对于p<p*（t）而E[Spt]=∞ 对于p>p*（t）（在赫斯顿的模型中，有一个E[Spt]=∞ 也适用于p=p*（t））。爆炸力矩p的行为*（t）在下面的引理中描述，证明如下。引理3.5。如果%=-1，然后是p*（t） =+∞ 每一个t≥ 0.如果%>-1，然后是p*（t）∈ (1, +∞) 每t>0。而且↓ 0p*（t）~Ct，其中C=C（%，η）：=ηp1- %arctanp1- %%+ π1%<0!如果%<1η如果%=1。（3.35）隐含波动率σimp（κ，t）的渐近行为在大走向（固定期限）和小走向（固定期限）的情况下是已知的在[BF08]中，Benaim和Friz表明，对于固定的t>0，当κ→ +∞σimp（κ，t）~κ↑∞√2κ√T聚丙烯*（t）-聚丙烯*（t）- 1., （3.36）基于估算（参见[AP07]）- 对数P（Xt>κ）~κ↑∞P*（t） κ。（3.37）o在[FJ09]中，Forde和Jacquier已经证明，对于任何固定的κ>0，作为↓ 0σimp（κ，t）~T↓0κp2∧*（κ），（3.38）式中∧*（·）是函数∧：R的勒让德变换+→ R+∪ {∞} 由∧（p）给出：=σpηp1- %婴儿床ηpp1- %- %如果p<C，∞ 如果p≥ C，（3.39），其中C是（3.35）中的常数。他们的分析基于这一估计- 对数P（Xt≥ κ) ~T↓0t∧*（κ），（3.40）有界成熟度的一般微笑渐近17，通过显示对数价格（Xt）t≥0在赫斯顿模型中，满足了大偏差原则↓ 0，速率为1/t，良好速率函数∧*(κ).我们首先注意到，渐近性（3.36）和（3.38）很容易遵循定理2.3，将估计（3.37）和（3.40）分别插入关系（2.15）和（2.18）中。我们还观察到，估计值（3.36）和（3.38）在以下意义上是匹配的：如果我们接受极限t→ （3.36）右侧的0（即我们首先让κ↑ +∞ 然后是t↓ 在σimp（κ，t））中，我们得到（3.36）~T↓0√2κ√tpp*（t）~√2κ√tqCt=√κ√2 C。

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2022-5-7 03:14:22

（3.41）另一方面，如果我们取极限κ↑ ∞ （3.38）的右侧（即we Firstlet↓ 然后是κ↑ +∞ 在σimp（κ，t））中，自∧*(κ) ~ Cκ，+我们得到（3.38）~κ↑+∞κ√2Cκ=√κ√2 C，（3.42）与（3.41）一致。类似地，估计值（3.37）和（3.40）也相匹配。然后很自然地推测，对于（κ，t）的任何值族，κ↑ +∞和t↓ 0，一个人应该有log P（Xt≥ κ) ~ -Cκt（3.43），其中C是（3.35）中的常数。如果成立，应用定理2.3，关系式（2.18）得出σimp（κ，t）~√κ√2c，（3.44）提供（3.36）和（3.38）之间的平滑插值。备注3.6（赫斯顿模型的表面渐近性）。如果（3.44）适用于（κ，t）和κ的任何家族→ ∞ 和t→ 因此，对于每一个ε>0，就存在sm=M（ε）∈ (0, ∞) 使以下不平等现象成立：1.- ε√κ√2 C≤ σimp（κ，t）≤1 + ε√κ√2c，对于AT，M:={0<t区域中的所有（κ，t）≤M、 κ>M}，因为它很容易被矛盾所跟随（类似的论点参见备注3.2）。引理3.5的证明。给定任意数p>1，我们定义爆炸时间T*（p）阿斯特*（p）：=sup{t>0:E[Spt]<∞}.注意，如果*（p） =t∈ (0, +∞) 然后p*（t） =p。

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2022-5-7 03:14:25

根据[AP07]（另见[FK09]）T*（p）=+∞ 如果（p）≥ 0，χ（p）<0，√（p）日志χ（p）+√（p） χ（p）-√（p）如果（p）≥ 0，χ（p）>0，√-（p）阿尔克坦√-（p） χ（p）+π1χ（p）<0如果（p） <0，（3.45），其中χ（p）：=%ηp- λ , （p）：=χ（p）- η（p- p）这是因为∧（p）↑ +∞ 作为p↑ C、因此∧的斜率*（κ）收敛到C作为κ→ ∞.18 FRANCESCO CARAVENNA和JACOPO Corbettao观察到如果%=-1，那么χ（p）=-ηp-λ<0和（p） =λ+p2ηλ + η≥ 0，whit*（p） =+∞ 对于每一个p>1，或相当于p*（t） =+∞ 每t>0。另一方面，自从（p） =%ηp+λ- 2η%λp- ηp+ηp=ηp（%）- 1） +p（η）- 2η%λ）+λ，我们观察到如果%6=1，那么p<0为p→ +∞, 哪一个最简单*（p）~P↑∞p（ηp1）- %)arctanηpp1- %%ηp+π1%<0=pηp1- %arctanp1- %%+ π1%<0!.（3.46）特别是，这会得出结论，如果|%| 6=1，那么*（t）~T↓0CTW在（3.35）中定义了C。还有待研究%=1的情况，其中每一个p的χ（p）>0。我们有两种可能性：如果η>2λ，那么（p） p时>0→ +∞, 因此以（3.45）T*（p）~P↑∞pp（η+2ηλ）log1+2pp（η+2ηλ）ηp-pp（η+2ηλ）！~ηp.另一方面，如果η<2λ，那么（p） p时<0→ ∞ 索特*（p）~P↑∞pp（2ηλ）- η） arctanpp（2ηλ）- η） pη！~ηp.最后，如果η=2λ，（p） =λ，和soT*（p） =λlog1+2ληp- 2λ~P↑∞ηp。在所有情况下，我们都得到p*（t）~T↓0ηt，符合（3.35）。4.从期权价格到隐含波动率在这一节我们证明了定理2.9。我们从Black&Scholes模型和相关数量的背景开始。设Z为标准高斯随机变量，用φ和Φ表示其密度和分布函数：φ（Z）：=P（Z）∈ dz）dz=e-Z√2π，Φ（z）：=P（z≤ z） =Zz-∞φ（t）dt。(4.1)4.1. 米尔斯比率。米尔斯比率U:R→ (0, ∞) 定义为u（z）：=1- Φ（z）φ（z）=Φ(-z） φ（z），Z∈ R（4.2）下一个引理总结了将在续集中使用的U的主要性质。引理4.1。

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2022-5-7 03:14:28

函数U是光滑的、严格递减的、严格凸的且满足（z）~ -扎斯↑ ∞. （4.3）成熟度有界的一般微笑渐近性。因为Φ（z）=φ（z）和φ是解析函数，所以U也是解析函数。自φ（z）=-zφ（z），一个得到su（z）=zU（z）- 1，U（z）=U（z）+zU（z）=（1+z）U（z）- Z（4.4）回顾U（z）>0，这些关系已经表明，对于allz，U（z）<0和U（z）>0≤ 0.对于z>0，以下边界保持[S54，等式（19）]，[P01，Th.1.5]：zz+1=z+z<U（z）<z+z+z=z+2z+3z，z>0。（4.5）施用（4.4）产生U（z）>0和-1+z<U（z）<-3+z表示所有z>0，因此为（4.3）。我们记得光滑函数D:（0，∞) → (0, ∞) 在（2.32）中引入。正弦（z）=-zφ（z）<0，（4.6）D（·）是严格递减的双射（注意limz↓0D（z）=∞ 还有林茨→∞D（z）=0）。它的反比是D-1: (0, ∞) → (0, ∞) 然后是平滑的，严格来说也是递减的。写入d（z）=φ（z）（z）- U（z）），然后是（4.5）thatz- U（z）~扎斯↑ ∞, 亨塞德（z）~zφ（z）~E-Z√2πzas z↑ ∞, D（z）~zφ（0）=√2πzas z↓ 0 .很容易得出结论，D-1.（·）满意度（2.33）。4.2。布莱克和斯科尔斯。让（Bt）t≥0是标准的布朗运动。Black&Scholes模型由风险中性原木价格（Xt:=σBt）确定-σt）t≥0，其中参数σ∈ (0, ∞) 代表波动性。Black&Scholes公式计算正常化欧洲看涨期权的价格为CBS（κ，σ）√t）式中，κ是对数走向，t是成熟度，我们定义b（κ，v）：=E[（evZ-五、- eκ）+]=（（1）- eκ）+如果v=0，Φ（d）- eκΦ（d）如果v>0，（4.7），其中Φ在（4.1）中定义，我们设置（d=d（κ，v）：=-κv+v，d=d（κ，v）：=-κv-v、所以（d=d- v，d=d+2κ。（4.8）注意CBS（κ，v）是（κ，v）的连续函数。由于eκφ（d）=φ（d），对于所有v>0的情况，很容易计算CBS（κ，v）v=φ（d）>0，CBS（κ，v）κ= -eκΦ（d）<0，因此CBS（κ，v）在v中严格增加，在κ中严格减少（见图2）。

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2022-5-7 03:14:31

它还直接检查了所有κ∈ R和v≥ 0一个hasbs（κ，v）=1- eκ+eκCBS(-κ、 v）。（4.9）在附录A.4中证明的以下关键命题中，我们表明当κ≥ 0 Black&Scholes call price CBS（κ，v）在v→ 0或d→ -∞ （或者，更一般地说，在这两种状态的组合中，当min{d，log v}→ -∞). Wealso还提供了每个区域的CBS（κ，v）的精确估计（对数CBS（κ，v）的较弱估计可以从定理2.3和2.4中推导出来）。20 FRANCESCO Caravena和JACOPO CORBETTAFigure 2。（κ，v）7的绘图→ CBS（κ，v），代表κ∈ [-10,10]和v∈ [0, 4].提议4.2。对于（κ，v）和κ的任何值族≥ 0，v>0，一个hasCBS（κ，v）→ 0当且仅当min{d，log v}→ -∞, （4.10）也就是CBS（κ，v）→ 0当且仅当从（κ，v）的任何子序列中可以提取asub子序列→ -∞ 或v→ 0.此外：o如果d=-κv+v→ -∞, 然后是cbs（κ，v）~ φ（d）v-d(-d+v）；（4.11）o如果v→ 0，然后是cbs（κ，v）~ -U(-d） φ（d）v；其中φ（·）和U（·）在（4.1）和（4.2）中定义。定理2.9的证明。因为函数v7→ CBS（κ，v）是[0]的双射，∞)至[（1）- eκ+，1），它允许一个反函数C7→ 由CBS（κ，VBS（κ，c））定义的VBS（κ，c））=c。（4.13）通过构造，VBS（κ，·）是从[（1）严格增加的双射-eκ+，1）到[0，∞). 我们将主要关注κ一案≥ 其中VBS（κ，·）：[0,1）→ [0, ∞).考虑一个风险中性对数价格（Xt）为t的任意模型≥设c（κ，t）为标准化欧式看涨期权的对应价格，参见（2.1）。从z 7开始→ （z）- eκ）+isa凸函数，一个有c（κ，t）≥ （E[eXt]-eκ）+=（1-eκ）+由詹森不等式；自（z）-eκ）+<z+，其中c（κ，t）<e[eXt]=1。因此，根据（4.13），我们在隐含波动率σimp（κ，t）（定义见§2.1）和VBS（κ，c（κ，t））之间有以下关系：σimp（κ，t）：=VBS（κ，c（κ，t））√T

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2022-5-7 03:14:34

（4.14）关系（4.14）允许用函数VBS更透明地重新表述定理2.9。受（2.2）的启发，我们将p=p（κ，c）定义为p:=c- (1 - eκ）。（4.15）有界成熟度的一般微笑渐近解考虑（κ，c）的任意值族，使得≥ 0，c∈ （0,1）和c→ 0或κ≤ 0，p∈ （0,1）和p→ 0（与（4.15）中的p相同）。然后，根据（4.14），我们可以写出以下内容：o如果κ的界远离零（lim-inf |κ|>0），关系式（2.37）相当于Vbs（κ，c）~p2(-对数c+κ）-p2(-log c）如果κ>0，p2(-日志（p）-p2(-如果κ<0，则记录p+κ）。（4.16）o如果κ的边界远离整体（lim sup|κ<∞), 关系式（2.38）和（2.39）相当于Vbs（κ，c）~κD-1（cκ）如果κ>0，√2πc=√2πp如果κ=0，-κD-1（p-κ）如果κ<0，（4.17），其中D-1（·）是（2.32）和（2.33）中定义的函数D（·）的反比。定理2.9的证明现在简化为证明关系式（4.16）和（4.17）。我们假设κ≥ 0，通过对称参数。演绎案例κ≤ 案例κ中的0≥ 0.回顾（4.9）和（4.13），对于所有κ∈ R与C∈ [(1 - 我们有VBS（κ，c）=VBS(-κ, 1 - E-κ+e-κc）=VBS(-κ、 e-κp），其中p在（4.15）中定义。因此，在κ的情况下≤ 0，将κ替换为-κ与cby-e-κp在（4.16）的第一行，我们得到（4.16）的第二行。在（4.17）yieldsVBS（κ，c）的第一行执行相同的替换~-κD-1（e）-κp-κ），这与第三行（4.17）略有不同。然而，这种差异只是显而易见的，因为我们认为-1（e）-κp-κ) ~ D-1（p-κ). 检查如下：如果κ→ 0，然后是e-κp-κ~P-κ; 如果κ→ κ ∈ (-∞, 0），因为p→ 假设为0，则（2.33）中的拟合结果为D-1（e）-κp-κ) ~问题2(-对数（p-κ) + κ) ~问题2(-对数（p-κ)) ~ D-1（p-κ），视需要而定。

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2022-5-7 03:14:37

（有关更多详细信息，请参见以下（4.26）行。）κ的（4.16）证明≥ 0.我们将（κ，c）的一系列值与c结合起来→ 0和κ以零为界，比如说κ≥ 对于某些固定的δ>0。我们的目标是证明这个关系（4.16）成立。如果我们设置v:=VBS（κ，c），通过定义（4.13），我们得到CBS（κ，v）=c→ 0.让我们首先展示d:=-κv+v→ -∞. 根据命题4.2，CBS（κ，v）→ 0表示最小值{d，log v}→ -∞, 这意味着（κ，c）的每个值的子序列都允许d→ ∞ 或v→ 关键是v→ 0d→ -∞, 因为d≤ -δv+v（回想一下κ≥ δ). 因此d→ -∞ 沿着每个子序列，这意味着→ -∞ 沿着（κ，c）的整个家族。自从d→ -∞, 我们可以应用关系式（4.11）。记录这一关系的两面，回顾φ的定义（4.1）和CBS（κ，v）=c的事实，我们可以写出c~ -D- 日志√2π+logv-d(-d+v）。（4.18）22 FRANCESCO CARAVENNA和JACOPO CORBETTAWe现在表明，右边的最后一个任期是o（d），因此可以受益。注意-D≥ 1最终，因为d→ -∞, 亨塞洛夫-d(-d+v）≤ logv1+v≤ 0 .从第7节开始→-d+Vv正在下降-d> 0，在案例v中≥ -完成了logv-d(-d+v）= 日志-d(-d+v）v≤ 日志(-2d）=o（d）。另一方面，回顾d≤ -δv+v，在v<-完成了≤ -δv-d、可以重写为v≥2δ-3和v一起-迪耶兹logv-d(-d+v）= 日志-d(-d+v）v≤ 日志-d(-D- d） 2δ-3d=原木3(-d） 2δ= o（d）。总之，（4.18）得出对数c~ -d、即存在γ=γ（κ，c）→ 0，使得（1+γ）log c=-d、从日志c开始≤ 我们可以写出（1+γ）| log c |=d=κv+v- κ.这是v中的二次方程，其解（均为正）为v=2κ“1+2（1+γ）| log c |κ±2s（1+γ）|对数c |κ+（1+γ）| log c |κ#。

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