HARA前向效用及其最优解的显式描述投资组合

2022-4-16 14:43:59

S的连续局部鞅部分用SC表示。这就导致了f ollowing分解，称为“规范表示”（见定理2.34，Jacod和Shiryaev(2003)的II.2节），即(2.2)S=S+SC+x(μ-'A)+B，其中随机测度yen是随机测度的补偿器。C的条目是cij:=hSc，i，Sc，ji，三重（B,C,v)称为s的可预测特征。进一步，我们可以得到满足(2.3)B=B·a,C=C·a和v(ω，dt，dx)=dAt(ω)Ft(ω，dx)的特征三重的一个版本，这里a是一个递增的可预测过程，B和C是可预测过程，Ft(ω，dx)是一个可预测核，bt(ω)是一个向量，ct(ω)是一个对称的d×d-矩阵，对于所有(ω，t)∈Ω×[0,t]。在本文的续篇中，我们常把ω、t和wr删去，例如，F(ω，dx)简称为Ft(ω，dx)的特征B、C和v，满足Ft(ω，{0}）=0,Z(x1)Ft(ω，dx)≤1,而在{a6=0}上，bt=zx({t}，dx)，C=0。我们设vt(dx):=({t}，dx)，at:=t(IRd)=atft(IRd)≤1。我们通过Pa（分别为Pe）得到关于（分别等价于）P的绝对连续的所有概率测度的set。概率Q下的局部鞅集用Mloc(Q)表示，而S的等价鞅测度集由(2.4)Meloc(S):=nq∈PE给出：S是Qo下的局部鞅，通常a+表示递增的、右连续的、自适应的、可积的过程集。如果C是一类过程，我们用C_1表示过程集X=0,用C_1表示过程集X,使得存在一个停止时间序列(Tn)n≥1,平稳地增加到T（即P(Tn=T)→1为n→∞）,停止过程Xtn属于C。我们把C_0,loc=Cócloc.在本文中，我们将用局部鞅密度代替用martin gale测度。为此，我们将得到以下密度集(2.5)Zeloc(S):=nz=E(N)>0N和ZS是局部鞅，和/或(2.6)Zeq,loc(S):=nz=E(N)∈Zeloc(S)xfq(N)∈A+loco，其中对于任意r∈IR,由(2.7)fr(x)给出的函数fris:=(1+x)r-1-rxr(R-1),如果r6∈{0,1}且x>-1,x-log(1+x),如果r=0且x>-1,(1+x)log(1+x)-x,如果r=1且x≥-1,+∞。对于等价于P的概率测度r，函数fris+函数Φrr和集合d+将在我们的分析中起重要作用。在整个论文中，xtry将描述RD中x和y的内部过程。函数Φrr-也表示为Φrr=Φrwhenr=p-取值于(-∞,+∞],由(2.8)Φrr(λ):=λtrbrr-1+λtrcλ+zfr(λtrx)FR(dx),±λ∈Rd,±r6=1给出，而set D由(2.9)D+:=nθ∈ird:1+θtrx>0,F(dx)-几乎全部x∈irdo表示。下一个技术问题对于我们主要结果的显式形式至关重要。对于somep∈(-∞,1）和正局部鞅M=E(N),N=0,设(β,f,g,N′)为N的Jacod参数（详见定理a.1）,并设测度FMt(dx):=(1+Ft(x))Ft(dx),则依赖于（p,M）的主要假设为假设2.1。对于任一可预测过程λ使得λ∈D+,P A-A.E.和所有可预测过程序列，(λn)n≥1,使得λn∈int(D+),和λn→λP A-A.E.,我们有(2.10)limn→+∞zkp(λtrnx)FM(dx)=+∞,在γ上；zkp(λtrx)FM(dx)=+∞,在γC上。其中Kp(y):=y[1](1+y)P-1和γ:={FM(Rd)>0和λ/∈int(D+)}。假设2.1是一个技术条件，本质f或随机最优化的解属于该函数的E-射域的内部。下面，我们列举了一些满足假设2.1.1的模型）假设2.1在S连续时是自动的，因为在这种情况下，F0和γ='A.2)假设2.1适用于任何模型，例如:ft(dx)=ntxi=1δxi(t)(dx)，P a-a.e.其中xi(t)是一个值在rd中的过程，而ntis是一个值在n中的过程。

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2022-4-16 14:44:06

在风险理论中可以找到ke rnels F为原子的模型的例子，如xt=ntxj=1yj，这里(Yi)i≥1是iid且与泊松过程N无关，且nxk=1p(y=yk)=1。Hereyk∈Rdand n∈n，并给出了直到时间T的集合要求。在集合Ω×[0,T]上，我们得到了分别由自适应过程和RCLL过程以及自适应过程和连续过程生成的以O和P表示的两个σ-函数。在设置Ω×[0]时，T]×Rd,我们考虑σ-fieldep=pB(Rd)(rep.eo=oB(Rd)),其中B(Rd)是Rr的borelσ-field。对于anyeo-可测泛函g，(h eer eo表示后）,当mpμ(GEP)存在时，我们将mpμ(GEP)定义为惟一ep-可测泛函，使得对于任意有界W∈eP，mpμ(W g):=e ztzrdw(s,x)g(s,x)μ(ds,dx)=mpμW mpμ(GEP)。在本文中，我们将经常使用以下顺序来比较两个随机过程。设X和Y是两个X=Y的过程。如果y-x是一个非递减过程，我们就写出Y，这个顺序在最近的文献中被用来定义最小Hellinger m artin gale测度（或密度），例如见Choulli an d Stricker(2005，2006)和Chou lli et al.（2007）。下面，我们对包含局部变化概率的Hellinger过程进行了稍微的扩展。(i)设Q为概率测度，Y为Q-局部鞅，使得1+@Y≥0。然后，如果RCLL非减过程(2.11)V(q)(Y)=hyci+xfq(Y)是q-局部可积的（即V(q)(Y)∈a+loc(q))，则它的q-补偿器称为局部鞅Y（或E(Y))关于q的q阶Hellinger过程，并用h(q)(Y，q)（分别为h(q)(E(Y)，q))表示。(ii)设N∈M0，loc(P)使得1+N>0，且Y是半鞅使得Y E(N)是P-局部鞅且1+Y≥0。然后，如果过程(2.12)hYci+x(1+N)fq(Y)是P-局部可积的，则它的P-补偿器称为关于E(N)的q阶Hellinger过程E(Y),并用h(q)(E(Y),E(N))表示。设q为实数。我们把最小Hellinger鞅密度称为oforder q,它属于Zeq,loc（S,Z）和Satis(2.13)h(q)(bZ,P)h(q)(Z,P）,πZ∈Zeq,loc(S)。下面的引理证明了最小Hellinger鞅密度的概念在局部化下是稳定的，从而足以局部地描述这个最小鞅密度。这个引理是Choulli等人建立的。（2011）对于exp的最小熵-Hellinger鞅密度(q=1，最小熵-Hellinger鞅密度）的情形，引理2.6。设(Tn)n≥0(t=0)是一个平稳地增加toT的停止时间序列，并设q∈R。假定对于每个n,stnade最小的q级Hellinger鞅密度（以下简称q级MHM密度）,表示为byeZ(n),则S表示q级MHM密度，表示为byeZ,并给出byeZ:=E(eN)和den:=xn≥1i]]tn-1,Tn]]ez(n)-·ez(n)。这个引理的证明是直接的，将省略。2.2关于随机场应用的初步讨论，我们称之为rand OMField实用程序，任意B([0,T])B(R)F-可测泛函，U(t),x,ω)满足：(i)对于任意的x,过程U(t，x，ω)是一个c`adl`ag和适应过程，(ii)并且对于任意的(t，ω)函数x7→U(t，x，ω)是严格递增和严格凹的。对于随机效用U(t，x，ω)，一个概率测度Q，一个半马项x，x∈r，使得U(t，x，Q，U)<+∞,我们用(2.14)Aadm(x，x，Q，U):=nπ∈L(x)supτ∈Tteq Uτ，x+(π·x)τ-<+∞o表示模型(x，x，Q，U)的可容许投资组合的s et。这里TTis停止时间的集合，τ，使得τ≤T。当X=S，Q=P时，为了简单起见，我们写Aadm(X，U)。考虑一个C`adl`ag半鞅，X和一个概率测度，Q。

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2022-4-16 14:44:12

然后，我们调用一个前向实用程序（X,Q)、任何随机的实用程序，U:=(U(t),ω，x）），通过以下的自生成性质：a）函数U(0，b）对于任意x∈(0,+∞),存在e xi stπ_x∈Aadm(x,x,Q),如U s,x+(π_x·x)s=eqhu T,x+(π_x·x)s=eqhu T,x+(π_x·x)T fsi,the T≥T≥s≥0。c）对于任意x∈(0,+∞),对于任意π∈Aadm(x,x,Q),我们有s,x+(π·x)s≥eqhu T,x+(π·x)T fsi,the T≥T≥s≥0。当x=s,Q=P时，我们简单地称U为前向效用。Le Tx是一个C`adl`ag半鞅，Q是一个概率测度。然后，我们调用HARA前向实用工具（X,Q）,(X，Q)的任意前向u性，其形式为(2.15)Up(t,X):=D(t)xp(t),u(t,X):=bD(t)log(X)+D(t),Ue(t,X):=De(t)exp(γ(t)X)。这里D=(D(t))0≤t≤t,p=(p(t))0≤t≤t,γ:=(γ(t))0≤t≤t,De=(D(t))0≤t≤t,De=(D(t))0≤t≤t,De=(D(t))0≤t≤t≤t,De=(D(t))0≤t≤t≤t,第二类HARA实用程序（即ofUpand u两种情况）。Choulli等人完全分析了指数型前向效用（即Ue的情况）。（2011年）。在我们看来，不可能用一个单一的形式来描述所有的情况，这一事实得到了我们为r isk-aversion过程P和γ所找到的直接形式的高度支持。命题2.9。设U:=U(t,ω,x）是一个随机效用，S是一个半随机效用。那么下面成立。(i)如果U i是（s）的f或ward实用程序，P）,则对于任一停止时间τ∈TT，泛函(2.16)U(t,ω,x):=U(tτ(ω),ω，x)是对(Sτ，P)的前向动力效用。(ii)考虑一个概率测度Q是对P绝对连续的，密度过程用z表示。则随机函数效用(2.17)UQ(t,ω,x):=U(t,ω,x)Zt(ω)是对（S,P）的前向效用当且仅当U是对（S,Q）的前向效用。这个命题的证明很容易，可以在Choulli等人身上找到。（2011）.3幂型正向效用的参数化在本节中，我们将把以下形式的正向效用参数化(3.18)Up(t，x):=D(t)xp(t)。为此，我们首先推导出投资组合利率过程的一些有用性质，这些性质在下面列出。设π是一个投资组合(π∈L(S))且x>0,使得(3.19)x+π·S>0,且x+(π·S)->0。然后，我们用(3.20)θx:=x+(π·S)-1π求出投资组合率。引理3.2。设π是一个投资组合，x>0，这样（3.19）成立。在此基础上，进一步证明了：（一）投资组合利率θxs是S-可积的，E(θx·S)=(x+π·S)/x>0。（二）π与其投资组合利率θxvia(3.20)和(3.21)π=xe-(θx·S)θx之间存在一一对应关系。这个引理的证明是显而易见的，我们可以省略。对于我们处理效用Up的分析（在p=0和p6=0的情况下），处理投资组合利率比处理投资组合本身更方便。因此，我们需要对我们将在本文中使用的可接受的投资组合利率的集合进行分析。对于任意半马项X、任意概率Q、任意游动效用U和任意初始资本X>0，我们将可容许投资组合利率的集合θ(X，X，U，Q)由(3.22)θ(X，X，Q，U):=nθ∈L(X)e(θ·X)>0&πX:=xe-(θ·X)θ∈Aadm(X，X，Q，U)O表示。同样，当X=S和Q=P时，为了简单起见，可容许投资组合利率的集合用θ(X，U)表示。命题3.3。假定S是局部有界的，Zeloc(S)6=é。设p∈(-∞,1）并考虑(3.23)Up(t,x):=d(t)xp,如果p6=0d(t)+bd(t)log(x),如果p=0。对于任意x∈(0,+∞),考虑以下极大问题(3.24)maxπ∈Aadm(x)EUp(t,x+(π·S)t)，其中集Aadm(x,Up）在（2.14）中定义。

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2022-4-16 14:44:18

（1）对于任意x∈(0,+∞),如果(3.24)-的解由eπx-exi sts表示，则(3.25)x+eπx·S>0,且x+eπx·S)->0。（2）初始资本为x的最优投资组合利率由θx:=(x+eπx·S)-1eπx表示，与x∈(0,+∞)无关（或等价eπx/x与x无关）。Kramkov和Schachermayer(1999)清楚地证明了随机变量x+(eπx·S)是正的，且过程(x+eπx·S)Z是一个上鞅，对于任意Z∈Zeloc(S)6=.这意味着过程x+eπx·S和x+(eπx·S)-都是正的，断言（1）跟随。为了证明断言(2)，只需说明：对于任意x∈(0,+∞),Xeπ∈Aadm(x,Up）,以及对于任意π∈Aadm(x,Up）,我们h=x-1π∈Aadm(1,Up）。本节的其余部分包含以下几个小节。第1小节（第3.1小节）讨论过程p的描述，而第2小节（第3.2小节）讨论过程D。在最后一小节（第3.3小节）中，我们详细地证明了定理3.8的证明，它为第2小节的一般结果提供了基础。在本文的其余部分，我们用Up(t，x)表示（3.18）中定义的泛函。这个函数也依赖于不确定度ω∈Ω，而为了简单起见，我们将在整篇文章中使用shortThandup(t，x)。3.1风险厌恶过程的动态p，这一小节构成了我们在（3.18）中定义的函数参数化中的一个步骤。下面，我们将陈述这一子部分的主要结果：定理3.4。假定S是局部有界的，Zeloc(S)6=é。设Up(t，x)在(3.18)中定义为(3.26)supτ∈Tteàd(τ)-<+∞,且p=(p(t))0≤t≤tis局部有界。如果Up(t，x)是一个前向效用，那么p(ω，t)=p(0)p-几乎所有ω∈Ω，并且对于所有t∈[0，t].定理3.4的证明需要两个中间步骤，将在引理3.5和3.6中详细说明。这两个引理证明了当p具有常数符号时，定理3.4成立。引理3.5。假定p=(p(t))t≥0为正，(3.26)成立，Upis为正效用，则过程p在(ω，t)中为常数（即定理3.4在这种情况下成立）。由于Up(t,x）是一个随机效用，所以对于任意(t,ω)∈[0,t]×Ω,Up(t,x）在变量x中是严格递增的。这意味着pD>0，因此D>0（因为p是正的）。通过停止并使用P roposition 2.9-(i)，我们可以假定--不失一般性--P是有界的。因此，在这种情况下，对于任意x>0-，即0∈θ(x，Up)-d ue到（3.26）,零投资组合利率θ=0是允许的，这是很容易的。因此，对于任意x>0且任意停止时间σ和τ满足σ≥τ的情况，任意抽样定理和Up(t,x）的上鞅性质导致(3.27)e D(σ)xp(σ)fτ≤D(τ)xp(τ)。通过推算Q:=D(σ)/D(τ)E(D(σ)/D(τ))·P,和δ:=p(σ)-p(τ),我们得出(3.27)为eq elog(x)∞-1fτ≤cq:=e(D(σ)fτ)-1-1,对于所有x>0。由于elog(x)-1=elog(x)++e-log(x)++e-log(x)-fτ≤cq+2,对于所有x>0,上述相等性等价于(3.28)EQ elog(x)+fτ)+exp-log(x)EQ(θ-fτ)≤cq+2。由于Jens en的相等性，(3.28)yieldsexp log(x)EQ(θ+fτ)=EQ(θ-fτ)=0，p-a.s.或等价于P(σ)=P(τ)p-a.s,此不等式对于所有x>0成立。由于停止时间对是任意的，那么引理的证明就立即进行了。在引理3.5的证明中，p上的正性条件是至关重要的，没有它，这个方法在某个阶段就不会是结论性的。因此，对于负p的情况，我们将用Berrier等人的一个r esult来进行讨论。(2009)，其中作者试图度量一个随机域效用在其随机域共轭上的前向pr运算的e-ECT，该共轭可以被定义为。

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2022-4-16 14:44:25

对于任何随机效用，U(t,x)，x∈R+我们定义它的Frenchel-Legendre共轭（以下称为随机共轭），V(ω,t,y)，byV(t,ω,y):=supx>0U(t,ω,x)-xy，t≥0，y>0。（3.18）中Upded的随机共轭由(3.29)Vp(t,y)=-(D(t)p(t))1-q(t)yq(t)(q(t))-1给出，其中q是p的共轭过程，由q(t):=p(t)p(t)-1给出。引理3.6。假设过程p=(p(t))0≤t≤tis为负，(3.26)成立，且Upis为正效用。则p在(t，ω)中为常数，即p(t)=p(0)，P-A.S.证明。考虑t≥0，任意b组。命题3.7（见本证明的末尾）的直接应用到Up（t,x)=D(t)xp(t)及其随机共轭在(3.29)imp中的定义是：对于任意t′∈[t，+∞)，任意Z∈Zeloc(S),和η∈L+(Ft)，我们是(3.30)E(D(t′)p(t′))1-q(t′)q(t′)(ηZT′ZT)q(t′)ft！≤(D(t)p(t))1-q(t)q(t)ηq(t),当xs:=(D(s)p(s))1-q(s)q(s)Zq(s)s>0时，方程（3.30）变为(3.31)ext′eα(q(t′)-q(t))ft≤Xt。由于X是正的（这是由于q(t)=p(t)p(t)-1>0)，我们导出(3.32)maxneεα+ext′i{q(t′)-q(t)≥ε}ft,eεα-ext′i{q(t′)-q(t)≤-ε}ft≤Xt,对于任意α∈IR和任意ε>0,其中α=α+-α-。因此，我们推导出q(t\')=q(t),p-a.s。T≥T′≥T≥0。这就结束了引理的证明。前一引理的证明本质上是基于以下命题3.7。如果U(t,x）是一个前向效用，那么对于任意t′，0≤t≤t′≤t和任意η∈L+(Ft)，我们有(3.33)V(t,η)≤ess infz∈Zeloc(S)e V(t′，ηzt′zt)Ft,p-a.S.证明。这个命题的证明可以在Berrier等人身上找到。（2009）.本小节剩下的p艺术致力于定理3.4的证明。定理3.4的证明：如果过程p是正的或负的，那么该定理的证明分别来自引理3.5和引理3.6。因此，只要我们证明过程p有一个常数符号（即p(t)p(0)>0,p-a.s.对于allt∈[0,t])，这个定理就得到了证明。为此，我们假定(3.34)sup0≤t≤tP(t)>0,p-a.s.,并考虑th e随停止时间τ:=infnt≥0P(t)P(0)<0ot。由于(3.26)，对于任意x≥1,零投资组合属于Aadm(x,Up）。因此，D和Up(t,e）是两个永不消失的C`adl`ag上鞅，因而p(t)=log(Up(t,e）/D(t))是一个右连续的自适应过程。通过将p与（3.34）的r光连续性结合起来，我们推导出p有常数符号当且仅当(3.35)p(0)p(τ)>0,p-a.s.由于p是局部有界的，所以假定p有界并不损失一般性。对于p rove(3.35)，我们将分别在a）和b）部分中区分p(0)<0还是p(0)>0。a）假定p(0)<0，因此D(0)<0。然后，由于(3.26)，我们推导出nullstrategy对于任意x>0是可容许的。因此，D(t)xp(t)是一个上鞅，对于任意x>0，我们有D(τ)xp(τ)I{p(τ)>0}f≤-e D(τ)xp(τ)I{p(τ)<0}f+D(0)xp(0)。这证明了(3.35).b)假设p(0)>0，或等效地D(0)>0。对于任意n≥1,存在θn∈AADM(n-1),使得(3.36)端(τ)n-p(τ)(1+(θn·S)τ)p(τ)O=D(0)n-p(0),由于Delbaen和Schachermayer(1994)引理A1.1,存在一个非负实数序列ce,(αk)k=n,..,Nn,使得nnxk=nαk=1,yn:=1+nnxk=nαk(θk·S)τ几乎肯定收敛于Y≥0,由于Fatou引理和Zeloc(S)6=θ,我们obtainE(ZY)≤limn→+∞e(ZYn)≤1，对于某些Z∈Zeloc(S)。这意味着0≤Y<+∞p-a.s。

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2022-4-16 14:44:32

考虑(Xn)n≥1给定Xn:=D(τ)n-p(τ)Yp(τ)n-d(τ)Yp(τ)n-d(τ)Yp(τ)n，P-A.S.,并通过对{p(τ)>0}和{p(τ)<0}情形的区分，一方面推导出(3.37)LiMn→+∞xn=-d(τ)Yp(τ),如果p(τ)>0；-∞,如果p(τ)<0。另一方面，我们Havexn≥nnxk=nαkn-p(τ)D(τ)(1+θk·sτ)p(τ)-D(τ)Yp(τ)n≥nnxk=nαkk-p(τ)D(τ)(1+θk·sτ)p(τ)-D(τ)Yp(τ)n(3.38)然后，通过取（3.38）两边的期望，利用（3.36）和Up(τ,1+pnnk=nαkθk·sτ)的上鞅性质，我们得到(3.39)E(Xn)≥D(0)″nnxk=nαkk-p(0)-1#。由于Xnis非正，同样Fatou对(3.39)左边项的引理导致(3.40)E(limn→+∞Xn)≥-D(0)>-∞。然后，由于（3.37）和（3.40）我们推导出P(P(τ)<0)=0。因此（3.35）成立，并在假定（3.34）下证明了该定理。当我们证明th假设成立时，该定理的p顶将是完全的。为此，考虑τ:=inf{t≥0p(t-)=0}t.由于p从不消失（由于Upis是一个随机实用工具），我们推导出在{τ<t}上，我们有p(τ-)=0p-a.s。这意味着τ是一个可预测的停止时间，它是由停止时间(σn)n≥1满足sup0≤t≤σnp(t)>0p-a.s.满足的。因此，Pσnful符合假定(3.34)，因此它是常数等于P(0)。然后，在{τ<T}上，我们有0=p(τ-)=p(0)6=0，这意味着τ=T和p(t-)=p(0)6=0p-a.s.这证明了p(T)和p(t-)这两个过程永远不会消失，(3.34)立即随之而来。这就结束了定理的证明。3.2过程的动态性在这一小节中，我们为powertype前进实用程序展开了参数化的第二步，也是最后一步。由于定理3.4，在本节的其余部分中，我们将假定过程p在(ω，t)中是常数，并且我们将描述(D(t))0≤t≤tas以及与Up(t，x)相关的效用最大化问题的最优投资组合。这些结果将在两个定理中给出，这些定理是以一般性的递增顺序陈述的。首先，我们描述过程D是可预测的变化（定理3.8）。然后，我们删除了可预测性和变化假设，并确定了ofD的一般形式（定理3.11）。定理3.8。设p是实数，使得06=p<1，q是它的共轭(q:=pp-1)，集合D+由（2.9）给出。假设D(t)是一个具有参数化的c\'adl\'ag和可预测过程，S是局部有界的，Zeloc(S)6=，并且假设2.1中M1成立。那么，下面的断言（1）和（2）是等价的。(1)U(t，x)=D(t)xpi是具有最优投资组合率bθ的正向效用。（2）最小Hellinger鞅密度q,eZ,存在性和结论：（2.a）过程bz:=eze bθ·s是鞅。（2.b）过程D由(3.41)D=de q(q-1)h(q)(eZ,P)p-1给出。（2.c）P a-几乎全部(ω，t),最优投资组合利率bθ属于int(D+),是(3.42)b+(p-1)cθ+zà(1+θtrx)p-1-1xf(dx)=0,P a-a.e的根。这个定理的证明需要一些中间结果，这些结果本身是有趣的。从技术上讲，定理3.8是本小节的核心。因此，为了清楚地说明，我们将把它的证明推迟到第3.3节。在下面，我们将强调定理3.8在特殊情况wh en S是连续的情况下的重要性，然后我们将处理在一般情况下描述D。推论3.9。假定D(t)是一个具有有限变分的C\'adl\'ag和可预测过程，S是连续的，Zeloc(S)6=é。（1）U（t,x)=D(t)xpi是具有最优投资组合率bθ的前向效用。（2）最优投资组合率bθ是b+(p-1)cθ=0,p a-a.e的根，且具有以下性质：（2.a）过程D由dt=dexp qztbθtrucubθudau,0≤t≤t给出。（2.b）过程bz:=e(p-1)bθ·ms e bθ·s是鞅，其中ms是S.证明的局部鞅部分。

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2022-4-16 14:44:38

这个推论的证明是由定理3.8直接得到的，并且证明了以下事实：当S连续时，所有阶r的最小Hellinger密度与最小鞅密度一致（参见Choulli et al.(2007))，并且假设2.1成立。这就结束了对这一推论的证明。定理3.4和3.8声称，具有（3.18）形式的、具有可预测和可预测变异D的远期效用集是由常数p(0)参数化的，常数p(0)是风险规避过程的初始值。在给定p(0)的情况下，利用最优定价密度的Hellinger过程唯一明确地确定了过程D。这个密度是Choulli等人明确计算的最小Hellinger鞅密度。（2007）（参见alsoChoulli和Stricker(2005，2006)关于p的其他情况），并在此提出了功率型正向效用最大化的“最优对偶过程”的自然R ole。此外，最优投资组合利率是通过逐点RD方程（3.42）显式给出的。现在，我们正处于对D的一般形式的描述阶段，并实现了（3.18）中的Up-definitioned-在其完全推广中的参数化。定理3.11。假定p在(-∞,0)(R)(0,1）中为常数，D满足(3.43)D(t)=D(0)E(ND)exp(aD),这里NDS是局部鞅，ADS是具有变化的可预测过程，如ZD:=E(ND)>0。假设S是局部有界的，Zeloc(S)6=，假设2.1有mzdholds。那么，下面的断言（1）和（2）是等价的。(1)Upis是具有最优投资组合率bθ的前向效用。（2）以下性质成立。(2)q阶最小Hellinger鞅密度，表示为byeZD,存在且(3.44)D=dzdeq(q-1)h(q)(eZD，ZD)p-1。(2.b)最优投资组合利率bθ属于int(D+),是(3.45)bd+(p-1)cθ+zθ(1+θtx)p-1-1xfd(dx)=0,pa-a-e的根。(2.c)过程bz:=ZDeZDE(bθ·S)是鞅。这里，bd和fdary给出n为(3.46)bd:=b+cβ+zf(x)xF(dx),FD(dx):=(1+f(x))f(dx)和β，f，g，nd是由定理a.1保证的Nd的Jacod参数。证明。我们从证明(1)yen（2）开始。假设断言（1）成立。设(Tn)n≥1是停止时间的一个平衡点，它平稳地增加到T，使得(ZD)Tnis是一个鞅。设qn:=zdtn·P。根据引理2.9，我们得出结论：Un(T,ω,x):=Dexp(adt:/tn)xpi是（STn,Qn）在最优投资组合率bθn:=bθi[[0,tn]]时的正向动态效用。因此，将定理3.8直接推广到（STn,Qn,Un,bθn),表明该模型的最小Hellinger鞅密度byeZD,n,th在satis(3.47)exp(adtàTn)=etàTn q(q-1)h(q)(eZD,n,Qn)1/(q-1),0≤t≤t,在[[0,Tn]]上bθ属于int(d+),是（3.45）的根。因此，很明显，这最后一个陈述隐含着断言(2.b)。根据引理2.6，我们得到了关于ZD（记为byeZD）的q阶最小Hellinger鞅密度存在于H(q)t(eZD，n),Qn)=h(q)t:/tn(eZD，ZD）。因此，这个等式与（3.47）的组合导致断言(2.a)。由于命题B.1（见公式(b.120)，注意这里的ourbθ是该命题的eβ的一个版本）和(3.44)，我们导出(3.48)bZ=ZDeZDE(bθ·S)=ZDE ehd·S+q(q-1)h(q)(eZD,ZD)p-1e(bθ·S)p-1eq(q-1)h(q)(eZD,ZD)p-1e(bθ·S)=(Dxp)-1U(t,xEt(bθ·S)),证明了bZ是一个鞅，因为U(t,x)是具有最优投资组合率bθ的正向效用。这就结束了(1)yen（2）的证明。在此证明的其余部分，我们将讨论(2)yen（1）。假设断言（2）是ful的，并指出只要断言(2-a)成立，(3.48)就仍然有效。

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2022-4-16 14:44:45

因此，我们获得了UP·，Xe bθ·s=DxpbZ,d ue到断言(2-c),我们得出U·，Xe Bθ·s是任意x>0的鞅，对于任意可容许策略θ,我们得到了t,xEt(θ·S)=DxpbZtEt(θ·S)pet bθ·s-p.（3.49）由于pd>0(U(t,x）是一个随机效用）,命题a.5(takeeZ:=zdezdwhishis S的鞅密度，且supτ∈ttebq eτ(θ·S)peτbθ·s-p=-dxpsupτ∈ttehuτ,xeτ(θ·S)-i<+∞,我们得到了U(t,xEt(θ·S))对于任意adm可容许的S是一个上鞅trategyθ和任意x>0。这就结束了定理的证明。注3.12。1）从定理的证明中，我们可以很容易地看出，当UPI为前向u时，(3.43)是有的。2）定理3.11和3.4指出，具有（3.18）的f orm的前向效用集是由对P(0)，ZD参数化的，其中ZD是当UPI为前向效用时存在的D的乘性Doob-Meyer分解中的正局部鞅。如果我们假定p(0)是给定的，那么定理3.11声称，所有幂型f或沃德效用都是通过将概率的局部c hange与定理3.8相结合而得到的，该局部c hange在经济上对应于信念的局部变化。再次，当参数p(0)，ZD被选择时，最优投资组合利率由（3.45）明确描述。3.3定理3.8的证明定理3.8的证明需要三个中间的技术引理。证明这些引理所用的主要工具是两种类型的积分--涉及随机测度--我们将在下面精确说明。设K=(K(t),ω，x）,x∈Rd，ω∈Ω，t∈[0,T])是AEP可测泛函。（1）如果K是非负的，我们用K和K表示下列非递减过程(3.50)(Kμ)t:=ztzrdk(u,（2）设Q是一个概率，§Q是Q下的补偿器。我们说K是(Ω-Q)可积的，并表示K∈Gloc(Ω，Q),I f(3.51)x0<t≤·K(t，St)I{st6=0}-zkt(x)Q({t}，dx)1/2∈a+loc(Q)。在这种情况下，所得积分-由K(Ω-Q)-表示为a Q-局部鞅。当q=P时，我们简单地写出W∈Gloc(μ)。关于这两个积分的更多细节和性质，以及所得到的积分，我们可以参考Jacod(1979)、Jacod和Shiryaev(2003)或He、Wang和Yan和（1992）。引理3.14。假设S是局部有界的，Zeloc(S)6=，假设2.1有M1holds，D i S可预测，且由（3.18）修正为前向效用。然后，过程D满足(3.52)D=Dexp(aD)=DE(XD),XD:=aD+x(ead-1-aD),且以下断言成立。(i)对于任意α∈(0,1）,过程(3.53)(1+bθtrz)p-1-pbθtrzp(p-1)i{bθtrz≤α}μ，(1+bθtrz)pI{bθtrz>α}μ，是不可减且局部可积的。(ii)p a-几乎所有(ω，t)∈Ω×[0,+∞[,bθ∈int(D+)。(iii)最优投资组合率bθ是（3.42）的根。即(3.54)0=p-1b+cbθ+z(1+bθtrz)p-1-1p-1zf(dz)，P a-a-e.(iv)最优投资组合利率bθ,satis为(3.55)e-≈ad·xd=P(p-1)bθtrcbθ·a-zh(1+bθtrz)p-1-1+(1-P)bθtrx(1+bθtrz)p-1如果(dz)·A.这里xd1由（3.52）给出。(v)如果我们表示u(t,ω,x):=1+xtrbθt(ω)p-1，则(3.56)1-A+但是:=1+z(u(t,x)-1)'A({t},dx)=exp(Ω)，at:='A({t},dx),IRd结果，正的可预测过程(1-A+bu)-1，i是局部有界证明的。当pD(t)>0时（t,ω)∈[0,t]×Ω-u(t,x）是一个随机效用-,可以看出D(t)/di是一个有变化的正的、可预测的过程。因此，(3.52)中的分解成立。引理的断言(i)-(v)将分三个步骤进行（下面的a、b、c部分）：a部分证明了断言(i)，而b部分证明了断言(ii)、(iii)和(iv)。

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2022-4-16 14:44:51

部分证明了断言(v)。A）注记(3.57)U(t),xEt(θ·S))=dxpexp adtinelet(θ·S)P=dxpet xdinelet xθ=dxpet(1+xd)·xθ+xd，对于任何可接受的策略θ,其中XDis取自(3.52)，xθ由(3.58)xθ=pθ·S+p(p-1)θtrcθ·A+(1+θtrz)p-1-pθtrzU(t),xEt(θ·S))是局部上鞅(θ=bθ的局部鞅）当且仅当(3.59)p(1-p)ead·xθ+xd是局部上鞅(θ=bθ的局部鞅）我们很容易地推导出，(3.59)成立当且仅当(3.60)(1+θTRZ)p-1-pθTRZI{θTRZ≤α}∑A+LOC，且P A-几乎全部(ω,t）,我们有(3.61)exp(-ad)p(1-p)·xd=Φpbθ·A，且minθ∈Rd[ΦP(θ)]=ΦP(bθ)，其中ΦP(2.8)给出，对于阅读器(3.62)Φp(θ):=btrθp-1+θtrcθ+z(1+θtrx)p-1-pθtrxp(p-1)F(dx),由于I{θtrz>α}μ=pi{θtrs>α}∈A+loc,和(1+θtrz)p-1-pθtrzi{θtrz≤α}μ=(1+θtrz)p-1-pθtrzi{θtrz≤α}μ++(1+θtrz)p-1i{θtrz>α}时，我们通过将（3.61）中的第二等式与引理A.3结合，推导出引理的断言(i)来自(3.60).b),引理的断言(ii)和(iii)都是紧随其后的，而断言(iv)是从将（3.54）插入(3.61).c)的方程式中，通过将(3.54)乘以(3.54)来实现的，并且使用了Ab=rxf(dx)a，ac=0和Ft(dx)at=({t}，dx)，我们得到(3.63)Z(1+bθtrz)p-1z({t}，dz)=0,一方面，我们得到了(3.63)Z(1+bθtrz)p-1z({t}，dz)=0。另一方面，通过跳入(3.55)，然后在结果方程中插入(3.63)，再次使用Δac=0，我们得到了1-exp(-ad)=exp(-ad)@xd=-z(1+bθtrz)p-1({t},dz)+a=-bu+a.由此，断言(v)从上述等式中得到，并得到了e-ad的局部边界。这就实现了引理的证明。f ollowing引理将说明当UP是一个正向效用时，q阶最小Hellinger鞅密度是如何建立的，并与最优投资组合率bθ有关。引理3.15。假设S是局部有界的，Zeloc(S)6=，假设2.1有M1holds，D i S可预测，且由（3.18）修正为前向效用。然后，以下性质成立:(i)EP-可测泛函(3.64)Wt(z):=1+bθtrtz1/(q-1)-11-at+r1+bθtrty1/(q-1)'A({t},dy)=:u(t,z)-11-1+bu，是(μ-'A)-可积的，即。(ii)由(3.65)eZ:=e eN,eN:=q-1bθ·sc+W(μ-Ⅴ)定义的过程eZ是S的鞅密度。(iii)以下(3.66)(q-1)xd+xh1+xdàq-1-1à(q-1)xdi=q(q-1)h(q)(eZ,P）成立，其中XDis由（3.52）定义。由于引理3.14-(v),(Eγt)-1:=(1-a+bu)-1=Eadis lo cally有界，且x0<t≤·(cWt):=x0<t≤·zwt(x)({t},dx)=x0<t≤·但1-a+但e3ad·adis是一个非递减的局部有界过程。因此，W∈Gloc(μ)当且仅当ifhX(Wt(st))I{st6=0}i1/2=(Eγ)-2(1+bθtrx)p-1-1μ1/2∈A+loc(P)。同样，(eγ)-2=(1-a+bu)-2=e2ad（见引理3.14的断言(v)）的有界性意味着上述主张等价于(3.67)(1+bθtrx)p-1-1μ1/2∈a+loc(P)。如果我们把γ:={z∈rd bθtrz≤α}，那么-D ue to(P(x))1/2≤Px-很容易确认(3.67)是由(3.68)v:=(1+bθtrz)p-1-1I'Aμ(3.68)的局部可积性所隐含的，V:=(1+bθtrz)p-1-1I^acμ。V∞的局部可积性直接来源于I{bθtrS≤α}·[bθ·S,bθ·S]∈a+loc(sincebθiss-integrabure，hencebθ·S是c`adl`ag半马特）,它的局部可积性直接来源于I{bθtrS≤α}·[bθ·S,bθ·S]∈a+loc（sincebθiss-iss-iss-integrate，S=c`adl`ag半马特）,和(q-1)(1-α)2(p-2)vx(bθtróS)I{bθtróS≤α}I{bθtróS≤α}·[bθ·S,bθ·S]。为了证明V的局部可积性，只要证明(3.69)Z(1+bθtz)p-1bθtrzi{bθtrz>α}F(dz)·A∈A+loc就足够了。实际上，通过将(3.69)与(1+bθtrz)pI{bθtrz>α}μA+loc（见引理3.14-(I))结合，以及TRZF(dz)·A+(1+bθTRZ)pI~nc'A，我们推导出(1+bθTRZ)p-1i{bθTRZ>α}μ是局部可积的（它是不递减的，其补偿器是局部可积的）。

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2022-4-16 14:44:57

最后，由于toI{bθtrz>α}=xi{bθtrS>α}∈a+loc，由bθ·S是一个C`adl`ag半鞅的事实，我们得出Vis是局部可积的。在这个证明的剩余部分，我们将证明（3.69）。由于命题A.4，我们有(3.70)bθtrcbθ·A∈A+loc，和bζ·A:=bθtrb-zbθtrzi{bθtrz>α}F(dz)·A∈A+loc。从bθ的值(3.54)，我们得到（回想一下：={x∈rd:bθtrx≤α}和q-1=(p-1)-1)(3.71)-(q-1)bζ-bθtrcbθ=p-1zΩc(1+bθtrz)p-1bθtrzf(dz)+zà(1+bθtrz)p-1p-1p-1bθtrzf(dz)。然后，通过组合0(1+bθtrz)p-1p-1p-1bθtrzf(dz)I{bθTRZ≤α}μ(1-α)p-2(BθTRZ)I{BθTRZ≤α}μ(1-α)p-2i{BθTRδS≤α}·[Bθ·S,Bθ·S]∈A+loc，(3.70)和(3.71)，我们得出结论（3.69）成立。这就结束了断言(i)的证明。因此，eZ是一个正局部鞅。然后，直接应用Ito公式foreZS得出结论：当且仅当b·a+(p-1)cbθ·a+zx(1+bθtrx)p-1(1-a+bu)-1-1f(dx)·a0时，atezs是局部鞅。然后，通过区分是否为Δa=0或Δa6=0这两种情况，很容易检验上述方程与（3.54）等价。的确，很明显，我们有ba=rxf(dx)a，和ca=0，在{a=0}上，我们有1-a+bu=1。这就结束了断言(ii)的p顶。在这个证明的剩余部分，我们集中讨论最后一个断言（即断言(iii)）的pr。当Z1时，通过将(3.56)和(b.121)合并，我们推导出(1+xd)q-1-1=q(q-1)h(q)(eZ,p）。这个方程在{a6=0}上正好是(3.66)；而在{a=0}上，当Z1时（回想一下这里β和bθ重合）由合并(3.55)和(b.122)得到(3.66)。这证明了(3.66)，引理的证明是完全的。备注3.16。（1）在引理3.15的证明中，很容易注意到（3.67）的证明完全遵循θ∈L(S)和方程（3.54）。因此，证明对于p=0的情形也是有效的。因此，如果bθ∈L(S)且是(3.72)b-cλ+zh1+λtrx-1-1Ixf(dx)=0的根，则process1+bθtrx-1-1i∈Gloc(μ)。2）引理3.17（见下文）的证明也仅基于（3.54）的bθfulls和（3.65）给出的ofeZ形式。这两个引理都不假定p∈(-∞,1）上的任何条件，因此引理3.17对于p=0的情形仍然有效，或者当asbθ∈L(s)解(3.54)，dez由（3.65）给出时，等价alentlyeZ是零级极小Hellinger鞅密度，当p=0时，等价alentlyeZ是零级极小Hellinger鞅密度是零级极小Hellinger鞅密度是零级极小Hellinger鞅密度是零级极小Hellinger鞅密度。引理3.15的修正过程是q阶的最小Hellinger鞅密度。即：对于任意Z∈Zeloc(S，P),eZ是满足(3.73)h(q)(eZ,P)h(q)(Z，P)的鞅密度（属于Zeloc(S，P))。证明了eZ是满足(3.73)h(q)(eZ,P)h(q)(Z，P)的鞅密度。由于引理3.15-(ii)，引理的证明将从证明Ofez的最优性开始。借助于Choulli and Stricker(2006)中的命题3.2（关于拟左连续性的情形，另见Choulli and Stricker(2005)中的命题4.2）,足以证明(3.73)对于任意正鞅密度Z=E(N)成立:N=β·sc+Y(μ-Ⅴ),Yt(x)=kt(x)+bkt1-ati{at<1},bkt:=zkt(x)'A({t},dx),其中β∈L(S)和pkt(st)I{st6=0}.1/2∈a+loc。由于zTcz和φ(z):=(1+z)q-qz-1q(q-1)的凸性，在集合{}a=0}上，我们推导出(3.74)dh(q)(z,P)da-dh(q)(eZ,P)da=(βtrcβ-eθtrceθ)+zeθtrxk(x)-φ(ek(x))=(βtrcβ-eθtrceθ)+zeθtrxk(x)-ek(x)f(dx)=0。这里θ=(p-1)bθ,ek(x):=(1+bθtrx)p-1-1和φ′(k(x))=(p-1)Bθtrx=Eθtrx。

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mingdashike22

2022-4-16 14:45:04

最后一个均衡性（3.74）是由botheZ和Z属于Zeloc(S)得到的，等于(3.75)b+Cβ+ZxK(x)F(dx)=0,并且b+(p-1)cbθ+zxek(x)F(dx)=0。现在，我们比较了这两个跳转过程ΔHet(Z,P）和δhet(eZ，P）,再次利用φ(z)的凸性，如下:①Het(Z，P)-Het(eZ，P)=(1-at)“φ-bkt1-at-φeγ-1t-1#+zhφ(kt(x))-φ(1+bθtrtx)p-1eγ-1t-1i'At(dx)≥(1-at)(1-bkt1-at-eγt)eγ1-qt-1q-1+zhkt(x)+1-eγ-1t(x)t(1+bθtrtx)p-1i(bθtrtx+1)eγ1-qt-1q-1q-1èt(dx)=eγ1-qtq-1zh(kt(x)+1)-eγt-1(1+bθtrtx)Trx)p-1ibθtrtxt(dx)=0。（3.76）（3.76）中的最后一个等式来自（3.75）（通过将两个方程与Δa相乘并使用ba=rx({t}）,dx),if ac=0和Ft(dx)at=({t},dx))导致zx(kt(x)+1)({t},dx)=0,和0=eγ-1tzx(1+bθtrtx)p-1({t},dx)。因此，通过（3.74）和（3.76）的结合，我们推导出tatez是S的最小q阶Hellinger鞅性。这就实现了该引理的证明。现在，我们准备好给出定理3.8的证明。定理3.8的证明：我们开始证明(1)=(2)。因此，假定断言（1）成立，引理3.14、3.15和3.17是有效的，并且存在最小Hellinger鞅密度eZ（由引理3.15给出）。此外，将Ito公式应用于E(XD)q-1与（3.52）和（3.66）相结合，容易得到（3.41）。这证明了定理的断言(2.b)和(2.c)。为了得出断言（2）成立的结论，我们需要证明断言(2.a)。这是根据Upwith最优投资组合率的前向性质得出的，xe bθ·S=dxpe q(q-1)h(q)eZ,p p-1e bθ·S p(3.77)=dxpe bθ·S p(3.77)=dxpe bθ·S eγ1-qbθ·S+q(q-1)h(q)eZ,p p-1(3.78)=dxpe bθ·S eZ。（3.79）很明显，(3.77)是从（3.41）和p-1=q-1得出的，而（3.78）和（3.7）是从（3.41）和p-1=q-1得出的。79）从(b.120)-对于Z1的情况-中得出，只要ord er q,eZ的MHM密度存在。这个证明断言（2）。在这个证明的剩余部分g中，我们重点讨论p巡回(2)=yen（1）。因此，我们认为断言（2）是完全正确的。然后，很明显，(3.77)、(3.78)和（3.79）总是成立，只要q阶的MHM密度存在，一个d断言(2.b)是有效的。因此，这些等式与断言(2a)的结合意味着Up·,xE bθ·S是一个m artin Gale。此外，对于任何可容许的θ,我们有(Dxp)-1Up(·,xE(θ·S))=E(θ·S)pe bθ·s1-pe q(q-1)h(q)ez,pp-1eBθ·sp-1=eBθ·S ez E(θ·S)/eBθ·S p=bz E(θ·S)/eBθ·S p=E(θ·S)/eBθ·S p=E(θ·S)/eBθ·S p=E(θ·S)/eBθ·S p=E(θ·S)/eBθ·S p。a.5,证明Up(·,xE(θ·S))是任何可容许的投资组合利率θ的上鞅。因此，Upis是一个正向u性和断言（1）成立。4对数型正向函数的参数化利用本节集中于描述f orm为(4.80)U(t,x):=bd(t)log(x)+d(t)的正向函数，我们将证明这类正向函数是由两个密切相关的局部鞅tobD和d完全参数化的。对于这些随机效用，我们考虑了可容许投资组合的set,Aadm(x,log)，它比(2.14)中的一个略有改进。Aadm(x,log):=nπ∈L(s)x+π·s>0,&[u(τ,x+(π·s)τ)]-τ∈Ttis一致可积。然后，可容许投资组合率的集合-以θ(x,log)-由(4.81)θ(x,log):=nθ∈L(s)E(θ·s)>0&θe-(θ·s)∈Aadm(x,log)O给出。下面，我们阐述了这部分的主要结果。定理4.1。假定(4.80)中的Ude是一个随机效用，使得(4.82)supτ∈TTE bD(τ)<+∞和supτ∈TTE d(τ)<+∞。假定S局部有界，Zeloc(S)6=，且ssu pemption 2.1对mte bD(T)ft/e(bD(T))成立。

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2022-4-16 14:45:10

那么下面的断言（1）和（2）是等价的。（1）泛函Uis是具有最优投资组合率bθ的前向效用。（2）以下性质成立:(2.a)过程bd是正鞅。(2.b)关于Q:=bd(T)bd(0)-1·P的零阶MHM密度存在（即byeZQ)，且存在一个Q-局部鞅Lq，使得(4.83)D(t)=bd(t)D(0)bd(0)-1+lqt-h(0)t(eZQ，Q),0≤t≤t(2.c)pa-几乎全部(ω，t),最优投资组合率bθ属于int(D)，是(4.84)bq-cλ+zh1+λtrx^-1-1ixfq(dx)=0的根，其中bq和FQ(dx)是S在Q下的可预测特征。(2.D)过程bnt:=D(t)-bd(t)log ezqt是鞅。我们开始证明di？cult部分，它是(1)=yen（2）。假设断言（1）成立。由于命题3.3，最优投资组合利率Bθx不依赖于初始资本x∈(0,+∞)。因此，这一事实与断言（1）的结合导致putbθ:=bθ,和(4.85)U t,xEt(bθ·S)=log(x)bD(t)+bD(t)log Et(bθ·S)+D(t)是一个鞅，对于任意x∈(0,+∞),对于任意θ∈θ(x,log)，(4.86)U(t,xEt(θ·S))=log(x)bD(t)+bD(t)log(Et(θ·S))+D(t)是一个上鞅，因此bD(t)是一个正鞅，D是一个c`adl`ag上鞅。证明了在Q:=BD(t)/BD(0)·p下，断言(2.a)和D(t)/BD(t)是一个上鞅。因此，存在一个可预测且不递减的pr函数AQ，使（4.85）和（4.86）转化为（应用Ito公式并在Q下进行补偿后）(4.87)-ΦQ(θ)·a-aq-ΦQ(bθ)·a-aq=0。这里，(2.8)通过取p=0和R=Q而给出的函数ΦQ，(bQ，c，FQ)是S在Q下的可预测特性（显然是cq=c)。因此，(4.87)蕴涵着Bθ在集合D+上使Φq变得最小，并且Thusbθ满足引理A.3的假设。因此，断言(2.C)紧随这个引理之后。然后，通过引理3.15和引理3.17（详见注3.16）的证明，我们推导出fw(t，y):=1+bθtry-1-1∈Gloc(μ，Q),并且给出了关于Q,denotedeZQ，existing的零级最小Hellinger鞅密度byezq:=E(eNQ),eNQ:=-bθ·Sc,Q+fw(μ-ρQ),这证明了断言(2.b)。由于命题B.1(B.120)中的q=0，我们得到了Ezq-1=Ebθ·S。通过在（4.85）中插入th是等式，我们得到了(4.88)Ut，xEt(bθ·S):=Bd(t)log(x)+Bd(t)log(x)+D(t)=Bd(t)log(x)+D(t)-Bd(t)log Ezqt。然后，断言(2d)遵循了Ut，xEt(bθ·S)和Bd都是鞅的事实，这就完成了证明断言(2)，证明了r的everse蕴涵（即。(2)=§(1))，很容易指出，只要断言(2.b)h成立，(4.88)就有效。然后，断言(2.a)和(2.d)暗示uq t,xEt(bθ·S)是任意x>0的q-鞅。然后，一旦我们证明th atUQ(t,xEt(θ·S))是任意x>0且任意θ∈θ(x,log）的q-上鞅，就会立即得到断言（1）。为此，我们需要计算，xEt(θ·S))=log(x)+log(Et(θ·S))+d(t)/bd(t)=log Et(θ·S)/Et(bθ·S)+uq t,xEt(bθ·S),=:log x(t)+uq t，xEt(bθ·S).那么，很容易看出X=E(θ·S)/E(Bθ·S)=EZQE(θ·S)是一个正的q-局部鞅（这意味着log(X(t))是一个q-局部上鞅）,由于EY+≤EY+1-EQ e(log(X(τ)))+≤EQ(X(τ))+1≤2。然后，Lavall\'ee-Poussin变元允许我们得出N\\log(X(τ))+，τ∈Tto是q一致可积的。由于uq t,xE(bθ·S)是鞅，我们推导出Huq(τ,xEτ(θ·S))i+,τ∈Tt是q一致可积的。这一事实与θ的可容许性的结合导致了一致可积的ofUQ(t,xEt(θ·S))。因此，这个过程是一个q-上鞅，并完成了定理的证明。注4.2。从Theore M4.1中可以清楚地看出，如果我们假定BD和D是可预测的，那么BD是常数。

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nandehutu2022

2022-4-16 14:45:17

因此，在这种情况下，只有一个f orward效用，它将经典的对数效用用一个最优定价密度的H ellinger过程扩充。关于对数效用的最优投资组合的完整描述，我们请读者参考Géoll和Kallsen(2003)。值得一提的是，Tour方程（4.84）与Kardaras(2012)在一维上下文中导出的方程相同。Kabanov(2013)尝试将这个方程（称为“市场方程”）扩展到多维框架。5离散时间市场模型本节说明了我们关于离散时间市场模型的第3和第4节的结果，它是经济和/或金融文献中最常用的市场模型。我们考虑交易时间为t=0，1，..，t的市场模型，市场模型的信息量由F=(Fn)n=0，1，..，t给出，d维股票价格过程由S=(Si)i=0，1，..，t表示。对于x∈(0，+∞)，p<1，而t=0，1,...,T,我们pu T(5.89)Up(T,x):=D(T)xp,如果p6=0,bD(T)log(x)+D(T),如果p=0,其中D=(D(T))T=0,1,..,T,(bD(T))T=0,1,..,T,(D(T))T=0,1,..,T,和(D(T))T=0,1,..,满足(5.90)sup0≤j≤tehd(j)+bD(j)+D(j)i<+∞。类似于（2.9）对于连续时间情形，我们将D+jby(5.91)D+j:=nθ∈rd1+θtrx>0,对于任意j=1,2,...,T，j(dx)-a.eo,Gj(dx):=p(sj∈dx fj-1),其中y=sj:=sj-sj-1。对于任意过程X=(Xi)i=0,1,……,T,我们将其关联到jthperience(j=1,2,……,T)θj(X,Up)的可容许策略集，其给定形式为(5.92)θj(X,Up):=nθ∈L(Fj-1)d+j e xjsj(1+θtrsj)p-1Fj-1<+∞,p-a.s.o.在这个f假设中，假设2.1成为假设5.1。对于任意j=1,2,...,T,任意θ∈D+j,P-A.E.,且所有收敛于P-A.S的序列(θn)n≥1purint(D+j)。对于θ,我们有velimn→+∞e d(j)Kp(θtrnsj)fj-1=(+∞,在γj上；e d(j)Kp(θtrsj)fj-1,在γcj.(5.93),其中Kp(y):=y(1+y)1/(q-1)=y(1+y)p-1和γj:={Gj(Rd)>0和θ6∈t(d+j)中，我们给出了具有（5.89）形式的前向u函数的参数化算法。定理5.2。设p∈(-∞,0)TM(0,1）。假设S是有界的，假设5.1成立，D满足（5.90）。那么，下面是等价的。(i)Up(t,x)-在（5.89）中定义-是一个具有最优投资组合的前向效用bθ=(bθi)i=1,2,...,t。(ii)两个过程D和bθ被给出bθj∈θj(D，Up)是e djèsj(1+θtrèsj)p-1fj-1=0,(5.94)和D(j-1)=e D(j)(1+bθtrjèsj)pfj-1，(5.95)的根，对于所有j=1,2,...,t。H ereθj(D，Up)在（5.92）中定义。注5.3。定理5.2完全参数化了（5.89）在离散时间设置中的前向效用。事实上，这些前向实用程序的唯一参数是进程D的终端值，也就是D(T)。给定这个随机变量，我们计算了第n个时间段的最优投资组合，bθnas方程（5.94）的根。然后，我们从（5.95）计算dn-1。然后，我们一遍又一遍地重复这个过程，直到我们完全确定过程D和bθ。定理5.2的证明。注：由于(5.90)，过程D可以表示为byD(t)=D(0)ZDtexp(aDt),zdt:=tyi=1D(j)E(D(j)fj-1),aDt:=txj=1 log E D(j)D(j-1)fj-1,t=1,2,...,t；Zd=1,ad=0。很容易证明ZDis是一个正的martin gale（因为pD(j)>0)和aDis预测表。因此，在证明的其余部分，我们将给出概率度量Q:=Zdt·P。我们将从证明(i)=§(ii)开始。因此，假设(i)成立。那么存在一个可容许策略bθ，使得对于任何其他可容许策略θ,过程Upj,jyk=1(1+bθtrk@sk)！和Upj,jyk=1(1+θtrk@sk)！分别是鞅和上鞅。这意味着对于任意j=1,2,...,T，(5.96)D(0)eq(1+θtrjsj)p fj-1≤D(0)e-adj+adj-1=D(0)eq(1+bθtrjsj)p fj-1。那么，(5.96)的RHS项中的相等性意味着（5.95）。

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mingdashike22

2022-4-16 14:45:24

而整个不等式（5.96）可以转化为tod(0)Z(1+θtrjx)pGQj(dx)≤D(0)Z(1+bθtrjx)pGQj(dx),其中GQj(dx)由GQj(dx):=qsj∈dxfj-1给出。根据引理a.3和假设5.1,我们得出结论:(5.97)j(λ):=D(0)Z(1+λtrx)pGQj(dx),λ∈D+j，是int(D+j)上的di值，其最小值θj是int(D+j)的根，它是0=πj(λ)=pD(0)Z(1+λtrx)p-1xgqj(dx)的根，这与(5.94)等价，并得到断言(ii)。为了证明相反（即(ii)=≈(i)),我们假定断言(ii)成立。然后将(5.95)的两边乘以xpqj-1k=1(1+bθtrjsk)p，得到(j-1)xpj-1yk=1(1+bθtrksk)=ED(j)xpjyk=1(1+bθtrjsk)p fj-1！。这证明了对于任意x∈(0,+∞)的过程Upj,xjyk=1(1+bθtrksk)！，j=0,1,…,T,isa鞅。由于pD(j)>0且对于任意j=0,p<1,1、……，T,那么对于任何可容许的投资组合改进θ，我们导出了(j)(1+θtrj@sj)p-d(j)(1+bθtrj@sj)p≤pD(j)θj-bθj tr@sj)p≤pD(j)θjθj tr@sj(1+bθtrjsj)p-1。然后，通过在上述不等式的两边取条件期望，利用(5.94)和(5.95)，我们得到xpD(j)(1+θtrjsj)pfj-1≤expd(j)(1+bθtrjsj)pfj-1=xpD(j-1)。然后，将该不等式的两个ide乘以j-1yk=1(1+θtrksk)p，我们得出结论：对于任一x>0且任一可容许θ的情形，xjyk=1(1+θtrj@sk)！=xpD(j)jyk=1(1+θtrk@sk)p,j=0,1,...是一个上鞅。在离散时间市场模型中，最简单、最流行的情形之一是二项式模型。设ζja是一个FJ可测的随机变量，它只取两个值：对任意j=1,2,...,T,ζuja和ζdja满足0<ζdj<1<ζuj.给定股票在时间j-1（即sj-1)的价格，时间j的价格要么上升到sj-1ζuj，要么下降到sj-1ζdj。因此，我们得到sj=sj-1ζj=sjyk=1ζk,s>0。我们用(Aj)j=1,...,t(5.98)Aj:={ζj=ζuj}∈fj给出的事件序列。对于这个模型，我们有#(Ω)=2n<+∞。因此，任何随机变量都是可积的，且θj(D，Up)=L(fj-1)'AD+j，j=1,2,…，t。此外，在这种情况下，由于(5.99)D+j=i1/(1-ζuj)sj-1,1/(1-ζdj)sj-1h=int(D+j)，πj=1,2,…，t，假设5.1总是有充分性的。在这个简单的框架中，幂型前向实用工具的描述--将Musiela和Zariphoupoulou(2009a)的结果推广到幂型情况--有一个更明确的形式，在下面给出。推论5.4。下面两个断言是等价的。(i)Up(t，x）,在（5.89）中删除，是一个具有最优投资组合率的前向效用函数bθ=(bθj)j=1,2,…,t。(ii)过程D是一个具有乘法Doob-Meyer分解的上鞅，D=D(0)ZDexp(aD)(ZDis是一个正鞅，aDis是可预测的），它具有以下性质:(ii.1)通过设Q:=zdt/zd^·P,则对于j∈{1,2,..,T},bθj=γj-1(ζuj-1-γjζdj+γj)sj-1∈d+j,γj:=(ζuj-1)Q(ajfj-1)(1-ζdj)Q(acjfj-1)！1-Q(II.2)可预测过程ady由adj=-jxk=1log(γp-1kq(Akfk-1)+Q(ackfk-1))(ζuk-ζdk)p-1(ζuk-1-γkζdk+γk)p-1,j=1,2,...,T给出。这个推论可以作为定理5.2的应用得到。因此，我们将避免再次重复同样的证明，通过给出一些注释来强调这种情况的良好特征，这些特征极大地简化了证明。由于D+JIS打开且#(Ω)<+∞，假设（5.90）和（5.93）自动确定。由（5.97）给出的函数τj=Q(ajfj-1)(1+(ζuj-1)λsj-1)p+Q(acjfj-1)(1+(ζdj-1)λsj-1)p，它在d+j上是可得的。因此，bθji是方程的解，θ′(λ)=0，这导致（5.100）。最后，通过将（5.100）插入（5.95）并应用D的分解导出形容词。这就结束了推论的证明。我们通过导出对数情形的结果来结束这一小节。定理5.5。假设S是有界的，bD和D两个过程满足（5.90）,并且假设5.1对mte BDT ft/EBD(T)成立。

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可人4

2022-4-16 14:45:31

则函数U(t，x):=bD(t)log(x)+D(t)（见(5.89))，是一个具有最优投资组合bθ=(bθi)i=1,2,...的正效用，t(ii)bD是一个正鞅，过程bθ满足(5.101)bθj∈θj(bD，U)和bθj是EbD(j)1+θtr@sjsjfj-1！=0,j=1,2,...,t的根，过程D是一个上鞅，其可预测部分由(5.102)-jxk=1 e bD(k)log(1+bθtrksk)给出fk-1。这里的θj(bD，U)由（5.92）给出。证明。假设断言(i)成立。然后，对于任意x∈(0,+∞),过程suj,xjyk=1(1+bθtrk@sk)！是鞅。然后，我们推导出过程d(j)+bd(j)logjyk=1(1+bθtrk@sk)！和bd(j)都是鞅。这证明了ATBD是一个正鞅。因为对于任一容许的leθ,Uj,xjyk=1(1+θtrk@sk)！，是一个su泛鞅。然后我们推导出(5.103)e bd(j)log(1+θtrjsj)fj-1≤e D(j-1)-D(j)fj-1=e bd(j)log(1+bθtrjsj)fj-1。因此，(5.103)的RHS项中的相等性意味着adj:=jxk=1 e D(k)-D(k-1)fk-1=-jxk=1 e bd(k)-D(k-1)fk-1=1 e bd(k)log(1+bθtrksk)fk-1。这证明了（5.102）。若设Q:=Bd(T)Bd(0)-1·P，则(5.103)为Zlog(1+θtrjx)GQj(dx)≤Zlog(1+bθtrjx)GQj(dx)，其中GQj(dx):=Q(sj∈dxfj-1)。这证明了在集合d+j上，tbθj极大函数(5.104)Yj(λ):=zlog(1+λtrx)GQj(dx)。根据引理a.3，我们得出结论:bθj∈INT d+j，且bθj是0=bd(j-1)πyj(λ)=bd(j-1)z1+λtrx-1xgqj(dx)=e bd(j)(1+λtr@sj)-1sjfj-1的根。这证明了(5.101)，从而完成了断言(ii)的证明。为了证明(ii)蕴涵(i),我们假定断言(ii)成立。然后，由于（5.101）和bd是鞅的事实，我们计算u(j，xqjk=1(1+bθtrksk))fj-1=bd(j-1)log(x)+e d(j)fj-1+bd(j-1)j-1xk=1log(1+bθtrksk)+e bd(j)log(1+bθtrjsj)fj-1，=uj-1,xj-1yk=1(1+bθtrksk)！最后一个等式很容易从（5.102）得到。这证明了Uj,XJYK=1(1+bθtrksk)！对于任意x∈(0,+∞)是amartingale。由于（5.101）和对数函数的凹性，我们得到了对于任意给定的θe bd(j)hlog(1+θtrj@sj)-log(1+bθtrj@sj)i fj-1≤0。然后，将此不等式与Uj,xjyk=1(1+θtrk@sk)！=Uj,xjyk=1(1+bθtrk@sk)！+bd(j)jxk=1log1+θtrk@sk1+bθtrk@sk！结合，我们得出了过程Uj,xjyk=1(1+θtrk@sk)！是一个上鞅。对于二项式m odel，其集合θj(bD，U)和d+j，与幂次情形的集合相似。b项模型中的对数前向效用的hecharacterization如下。推论5.6。以下两个断言是等价的。(i)U(t，x)在(5.89)中定义，是一个具有最优投资组合bθ=(bθj)j=1,2,...,t的前向效用。(ii)以下假设成立:(ii.1)di是一个正鞅，且bθjis由(5.105)bθj=(ζuj-1)qj-(1-ζdj)(1-Qj)(ζuj-1)(1-Qj)(ζuj-1)(1-Qj)(ζuj-1)(1-Qj)sj-1∈D+j给出，其中Qj:=Q(ajfj-1)，Q:=D(t)D(0)·P和Ajis由（5.98）给出。–jxk=1 hlogζuk–ζdj1–ζdkqj Qj+logζuk–ζdjζuk–1(1-Qj)(1-Qj)i.证明。这个推论的p顶板来自定理5.5，并且在二项式情况下，包含在（5.104）中的函数Yj(θ)的形式为(5.107)Yj(θ)=log(1+(ζuj-1)θsj-1)Qj+log(1+(ζdj-1)θsj-1)(1-Qj)。二项式离散模型的一个推广是多维离散模型，其中D维股票价格过程在任意时刻分支为n(n>2)个可能值。对于这种模型，假设5.1-对于BD和p=0的情况而不是D-和（5.90）自动满足，因为集合D+是开放的，并且#(Ω)<+∞。

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nandehutu2022

2022-4-16 14:45:38

HARA型正向效用的特征和其他说明性的例子可以在Ma(2013)6中找到。结论和相关的开放问题本文完整而明确地描述了当S是局部有界的，并且在对这些效用的参数和市场模型的参数作了一些温和的假设（见假设2.1）的情况下，HARA型正向效用。我们的方法是最明确的，处理最普遍的市场模型，这是没有d ou bt的。然而，我们的结果有一些可以改进和/或扩展的地方。此外，我们的工作导致了一些相关的开放问题。下面，我们概述了其中的一些问题和可能的推广。（1）我们的结果一方面可以推广到一般S（不一定局部有界）的情况。另一方面，假设2.1可以忽略不计，这就产生了最小Hellinger de Scherator的新概念。最后一部分构成了我们在Choulli and Ma(2013)中目前的工作--也就是未进展的工作，其中前向效用和前向投资组合的显式形式被丢失，而特征仅由对偶实现。同时，我们还可以猜想，当U是一个前向性时，Zeloc(P)6=θ的非套利假设是多余的。这可以通过将Choulli,Deng和Ma(2013)的resu lts扩展到random Firefeld实用程序的情况来证明。（2）我们能为任何random Firefeld实用程序定义一个向前的“regularis”吗？这个前向正则是最小的前向效用，它大于或等于r。（3）离散时间设置中的前向效用的参数化被简化为一个参数，该参数是过程D的最终值。换句话说，在这种情况下，前向效用及其最优组合也是使用反向迭代计算的。这就引出了一个问题，即我们能否在连续时间框架下，用倒向随机二元方程来刻画这些正向效用。这听起来是PDES方法的一个非常有希望和有趣的替代方案。对于指数情形，我们从Mchristoph Frei中了解到，这个问题最近由Anthropelos(2013)解决。（4）另一个问题是，这些远期效用及其最优投资组合如何改变不可违约的市场，或者更一般地说，改变任何运行的dom退出时间。我们相信，这一问题将导致这些正向u值在不确定模型下的稳定性。附录本附录包含两个部分，我们参考了Jacod(1979)（定理3.75,第103页）和J.acod和Shiryaev(2003)（引理4.24,第185页）,作为f.ollowing表示定理的一些有用的中间结果。设N∈M0,loc。那么，存在一个可预测且可预测的过程φ,n′∈M0,locate[n′],s]=0和泛函f∈EP和g∈EO使得(i)TxS=0f(s,@ss)I{}ss6=0}∈a+loc,txs=0g(s,@ss)I{}ss6=0}∈a+loc,(ii)mpμ(GeP)=0,(iii)过程N是由(a.108)N=φ·sc+W(μ-'A)+gμ+N′,W=f+bf1-ai{a<1}.这里bft=zft(x)({t},dx)和f有一个版本，即{a=1}}{bf=0}.此外(a.109)nt=ft(st)+gt(st)i{st6=0}-bft1-ati{st=0}+N′t.本文通篇用Jacod的N（P下）的分量/参数来称为四元组(β,f,g,N′)。对于任何与P等价的概率测度R，我们用(bR,c,vr)（其中vr（dt,dx)=FRtdAt)来表示S相对于R的可预测特性。注记因此，从RéP，我们有fréf，pa-a.e。因此，分别在（2.9）和(a.110)中定义的集合D+和D不依赖于等价的概率。引理a.2。假定S是局部有界的。设R为概率测度等价顶。然后，给出了t(d+)=D:={λ∈D+:δ>0,1+λtrx≥δ，f-A.E}中D+satis(a.110)0∈in的内部证明。

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2022-4-16 14:45:45

通过停止，假定S以K为界并不损失一般性。对于任意λ∈int(D+)，存在ε>0，使得对于任意B(λ，π)=D+。注:λ:=λ(1+π2λ)∈B(λ，π)，因此我们有1+λtrx>0,fr-A.E。因此，我们写出1+λtrx=ππ+2λ+2λ(1+λtrx)π+2λ≥ππ+2λ>0,fr-a.e.这证明了λ∈D，因此我们得到了int(D+)×D.在证明的剩余部分我们将证明反包含。设λ∈D，一致界fr om低于δ。然后，很容易看出B(λ，δ/k)=d+。这证明了λ∈int(D+)，并且引理的证明直接从注意到0∈D.引理A.3开始。假定S是局部有界的，设R是等于P的概率测度，下面的断言成立，P A-A.E.(i)对于任一λ∈int(D+),(A.111)zx(1+λtrx)1/(q-1)-1fr(dx)<+∞。(ii)在(2.8)中的函数Φrp(λ)是凸的，适当的，下半连续的，在int(D+)上是双列的，且Φrp(λ)=br+Cλq-1+zhx(1+λtrx)1/(q-1)-xiFR(dx),λλ∈int(D+),(iii)如果minλ∈DΦrp(λ)=Φrp(λ),假设2.1对于λ∈Rd,假设2.1 mte drdp ft成立，则λ∈int(D+).证明。这个引理的p顶将在三个部分中得到，其中我们将分别证明断言(i)、(ii)和(ii)。a）对于任何λ∈int(D+)，由于引理a.2，存在δ∈(0,1）使得1+λtrx≥δ>0,f-A.E。然后，将泰勒展开式应用到(1+λtrx)1/(q-1)-1=(1+λtrx)p-1-1中，得到了r∈(0,1）的存在性，使得(1+λtrx)p-1-1=(1-p)λtrx(1+rλtrx)p-2≤δp-2(1-p)λtrx。（根据S是局部有界的事实），我们得到Zx(1+λtrx)1/(q-1)-1fr(dx)≤δp-2λ(1-p)ZxFR(dx)<+∞,p a-a.e.这证明了引理的断言(i)。b）由于Fatou的引理和fp≥0,显然ΦRPI是凸的、真的和半下连续的。然后，一旦证明了ΦRPON int(D+)的可确定性，引理的断言(ii)的证明就完成了。设λ∈int(D+)。那么，对于任意y∈Rd，感谢a部分证明的断言(i)和引理a.2，存在ε>0，使得对于任意0≤ε≤ε，λ+εy∈dom(Φrp)。函数gp(λtrx):=(1+λtrx)p-1-pλtrxq(q-1)的泰勒展开式的一个应用意味着存在r∈(0,1）这样kε(x):=gp(λtrx+εytrx)-gp(λtrx)ε=ytx(1+λtx+rεytx)1/(q-1)-1。同时，注意(kε(x))ε是由k(x):=yx max(1+λtrx)1/(q-1)-1,(1+λtrx+εytrx)1/(q-1)-1上有界的。由于引理A.3-(i)，k(x)是F-可积的，由于λ,λ+εy∈dom(Φrp)。将支配收敛定理应用于(kε(x))ε,得到(a.112)Limε→0Φrp(λ+εy)-Φrp(λ)ε=ytrΦ*(λ),其中Φ*(λ)由Φ*(λ):=br+cλq-1+zhx(1+λtrx)1/(q-1)-xiFR(dx)给出，从(a.112)可以清楚地看出ytrΦ*(λ)是Φrpatλ的方向导数，在y中是线性的。因此，由于Rockafellar(1970)中的定理25.2，ΦRPIs在λ∈int(d+).c）处可执行，以证明断言(iii),我们首先注意到λ属于d+-,因为d+Chrodom(Φrp)-,并且λn:=n-1nλ∈int(D+)=D,将断言(ii)直接应用于每个λn，推导出Φrpi在λn处是可犯的，由于Φrp的凸性，我们得到λtrn→Φrp(λn)≤(n-1)→Φrp(λ)→Φrp(λn)≤0。这意味着th atzλtrnx(1+λtrnx)p-1-1p-1fm(dx)≤-λtrnb+(1-p)λtrncλn。因此，结合这个假设2.1就意味着λ∈int(d+)（否则，利用上述不等式中的Fatou引理，我们将得到+∞≤λtrb+(1-p)λtrcλ，这是不可能的）。这就完成了引理命题A.4的证明。设S局部有界，并有以下分解=S+SC+z(μ-'A)+b·A.设θ为S-可积过程，α∈(0,+∞)。(i)过程(a.113)xθ:=θ·s-xθtr@si{θtr@S>α}是局部有界半鞅。(ii)若我们表示ζθ:=θtrb-z(θtz)i{θtrz>α}F(dz)，则ζθ·a∈a+loc。(iii)过程xθ-ζθ·a是局部有界半鞅。

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2022-4-16 14:45:51

断言(i)的证明是经典的，可以在Dellacherie-Meyer(1980)或Jacodand Shiryaev(2003)中找到。由于S是局部有界的，所以我们可以清楚地证明θI{θ≤n}·S和I{θ≤n}·xθ是局部有界的半马集。因此，pθtr@si{θtr@S>α，θ≤n}是一个局部有界的有限过程，它的紧致由vθ,n:=(θtrz)I{θtrz>α,θ≤n}等给出。显然，θti{θ≤n}·s-θtrbi{θ≤n}·a和xθtr@si{θtr@S>α,θ≤n}-vθ两个过程是局部鞅。由于xθ-的补偿器存在且是局部可积过程，因此我们导出了v ar exθ=limnV ar i{θ≤n}·exθ=ζθ·a。这证明了断言(ii)和(iii)。这里，对于任何变差为V的过程，我们用V ar(V)来表示变差。命题A.5。设p∈(-∞,0)TM(0,1）,eZ为鞅密度，且bθ∈θ(1,Up）,则bz:=eze(Bθ·S)为真鞅。如果我们表示tebq:=bzt·P，并考虑θ∈θ(1，Up)满足(a.114)supτ∈ttebq Eτ(θ·S)pEτ(bθ·S)-P<+∞,则符号(P)E(θ·S)pE(bθ·S)-pq是abq-上鞅证明。在证明的剩余部分，我们证明了p<0,并且我们认为(Tn)n≥1是一个停止时间序列，它是一个平稳地缓和到T的，从而使tnis是一个真鞅。因此，sinceeZE(θ·S)是一个超级马丁大风，通过推入eqn:=eztn·P，并利用Jensen不等式推导出eBqeetàtn(θ·S)/etàtn(bθ·S)pfs≥eBqn(etàtn(θ·S)Fs)/etàtn(bθ·S)fsi P=eeqn(etàtn(θ·S)fssi,对于0≤S<t≤t。证明了E(θ·S)/E(Bθ·S)p/2是非负Bq-局部下鞅。然后，根据A.114)和de la Vall\'ee Poussin的论证，我们推导出th是过程isa truebq-下鞅。再说一遍，Jensen在等式中的一个应用，得到Ebqh et(θ·S)/et(bθ·S)p fsi≥Ebq et(θ·S)/et(bθ·S)p/2fs≥es(θ·S)/es(bθ·S)p,-E(θ·S)/E(Bθ·S)pis abQ-superm artin gale,这就结束了本文的研究。下面，我们讨论了局部概率变化下的最小Hellinger鞅密度（以下简称MHM-密度）的一些有用性质。在附录的最后一部分，我们将把最小Hellinger鞅密度的一些性质推广到局部概率变化的情形。这个扩展是由我们在第3和第4节中的参数化方法所声称的。在本文的其余部分中，我们考虑了一个r eal数p∈IR,p6=1,q=pp-1,和一个正局部鞅Z，它由(b.115)Z:=E(N),N:=β·sc+W(μ-'A)+gμ+N,Wt(x):=ft(x)-1+bft-at1-ati{at<1}给出。这里β、f、g、n-是N的Jacod分量。在这一节中，我们经常使用关于密度Z的鞅密度集(B.116)Zeq，loc(S，Z):=nz p rocess Z>0,ZZ∈Zeq，loc(S)o,其中Zeq，loc(S)由(2.6)-(2.5)给出。在Z（测度的局部变化）下，过程S具有以下可预测性和连续局部鞅部分Sc,Z,bZ,aZ,vzand fz，由(b.117)Sc,Z:=sc-cβ·A,bZ:=b+cβ+zf(x)h(x)F(dx),azt:=vz({t},IRd）,vz(dt,dx):=FZt(dx)dAt,FZt(dx):=(1+ft(x))ft(dx)给出。命题b.1。设p∈(-∞,1）和q为其共轭数（即q:=p/(p-1))。考虑拟局部鞅，Z，andeZ∈Zeq，loc(S，Z)。

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2022-4-16 14:45:58

假设存在β∈L(S)这样的pa-a.e.eβ∈D+，(b.118)0=bz+(p-1)cλ+zh(1+λtrx)p-1-1IxFz(dx)和(b.119)W∈Gloc(μ，Z)，Wt(x):=(1+eβtrtx)p-1-11-a+rut(x)vz（{t},dx）,andeZ:=E(eN),eN:=(p-1)Eβ·Sc,z+Wμ-'Az.然后，下面成立。(b.120)ezq-1=e ehz·S+q(q-1)h(q)(eZ,Z)=e eβ·S e q(q-1)h(q)(eZ,Z)。这里，ehz:=(γZ)1-qeβ和γZ:=1-azt+r(1+eβtry)p-1'AZ({t},dy)satifies(b.121)γzt=1+q(q-1)h(q)(eZ,Z)1-p，在{}a=0}上，我们有(b.122)q(q-1)dh(q)(eZ,Z)=peβtrceβda+Z=peβtrceβda+Z，h(1+EβTrx)p-1-q(1+EβTrtx)p-1-1)iFZ(dx)证明。由于该命题的所有假设和所有结论在局部化条件下都是稳定的。换句话说，如果存在一个不断增加的停止时间序列(Tn)n，使得该命题在[[0,Tn]]上对于每n≥1是有效的，那么它将是全局有效的。因此，假定Z是鞅，并且putQ:=zt/Z·P·P·P并不丧失一般性。然后，很容易看出(bZ，c，FZ)在Q下与S的可预测性相吻合，§z与μ的Q-补偿器相吻合，方程(b.118)-(b.119)转化为在Q存在下Atez是最小的Hellinger martin gale dens itity的事实。T hus，Choulli等人推论4.7的直接应用。（2007）（参见Choulli和Stricker(2009)的定理3.1来获得完整的和其他的刻画），导致了(b.120)中的firerst相等性。在(b.120)中的第二等式是由Yor公式（即e(X)e(Y)=e(X+Y+[X，Y]))和(b.121)导出的。因此，在这个p屋顶的剩余部分，我们将着重于证明(B.121)和(B.122)。为此，我们从如下计算Hellingerprocess开始：(b.123)q(q-1)h(q)(eZ,Z)=q(q-1)h(q)(eZ,q)=q(q-1)(p-1)e(p-1)(eγq)-q-1+q-q(1+eβtrx)p-1/eγqif dx)·a++x(1-aQ)'A(Eγq)-q-1-q(eγq)-1-1-1)因此，由于在集合{}a=0}上我们有eγq=1，我们推断(b.122)立即跟随s从上面的等式。通过取(b.123)两侧的跳变，并使用the e fac=0,bt@at=rxfqt(dx)@at=rx'Aq({t},dx)andRx(1+eβtrx)q(p-1)'Aq({t},dx)=0（从(b.118)中导出），我们得到q(q-1)h(q)(eZ,Z)=buQ(1-aQ+buQ)-q-aq-q buQ/(1-aQ+buQ)-aQ^++(1-aQ)ut(1-aQ+buQ)-q-1-q-qbuq/(1-aQ+buQ)-q-q-q-q/(1-aQ+buQ)其中buQ=r(1+eβtrx)p-1vq({t},dx)=eγq-1+aQ。因此，对上述结论进行简化，得到(B.121)，完成了该命题的证明。ReferencesAnthropelos,M.(2013):正向指数性能：定价与最优风险分担。预印本。http://arxiv.org/abs/1109.3908。Berrier,F.和L.C.G.Rogers。Tehranchi,M.R.（2009）：前向功利函数的一个表征。mimeo,Cambridge.Clark,S.A.(1996):随机效用模型的选择空间，经济理论，7(1)，179-189。Cohen,M.A.，《随机效用系统--案例》，数学心理学学报，22(1)，1-23，1980。Choulli,T.Deng,J.和Ma,J.（2013）：无套利、生存能力和Num\'eraire投资组合的关系。阿尔伯塔大学预印本（25页）。Choulli,T.and Ma,J.(2013):一个最优的de simator和Forward实用程序。正在进行的工作（25页）。Choulli,T.，Ma,J.和Morlais,M.(2011):T hree论文集关于具有可变退出时间的指数套期保值。Musiela Festisch,Springer.Choulli,T.和Stricker,Ch.（2009）：比较了最小Hellinger鞅测度oforder q和q-最优鞅测度。随机过程及其应用。Choulli,T.和Stricker,C.（2005）：不完全市场中的最小熵-Hellinger鞅测度。数学。金融学15（3）,465-490.Choulli,T.和Stricker,C.（2006）：更多关于最小熵-Hellinger martin gale measur ES.Math.金融学16（1）,1-19.乔利，崔克，陈，李，金。（2007）：Q阶最小Hellinger鞅测度。11（3）,399-427.

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2022-4-16 14:46:05

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