具有一般因素的长期风险敏感投资组合

2022-5-9 02:25:08

具有一般因素的长期风险敏感投资组合Marcin Piteraaa和Lukasz Stettnerbf首次发行日期：2015年8月21日此版本：2018年6月13日摘要：本文考虑了基于长期风险敏感准则的投资组合优化。假设刺激资产价格的经济因素是遍历的，但不一定是一致遍历的。本文给出了用带加权范数的局部收缩法求解合适的Bellman方程的方法。给出了最优策略的形式，并给出了满足强加假设的市场模型的例子。关键词：风险敏感投资组合、贝尔曼方程、加权跨度范数、风险度量SC2010:93E20、91G10、91G801简介在投资组合管理的理论研究中使用了许多随机控制方法（参考文献[23]）。其中，风险敏感控制是最受认可的控制之一。对于有限时间范围内，任何投资组合价值过程V和风险规避参数γ<0，风险敏感标准（RSC）函数由以下公式给出：=lim inft→∞tγlne[Vγt]。（1.1）与通常基于预期效用准则的标准理论方法相比，在投资组合管理中使用该目标函数具有许多优势。当我们试图计算现实证券市场模型的最佳交易策略时，让我们来讨论与模型参数估计相关的困难或出现的可追踪困难[4]。

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2022-5-9 02:25:12

对于RSC，应用γ=0附近的泰勒展开，我们得到γ（V）=lim inft→∞波兰克拉科夫贾吉耶隆大学数学学院[ln-Vt]+γV-ar（ln-Vt）+O（γ，t）i，（1.2），电子邮件：marcin。pitera@im.uj.edu.pl.bInstitute of Mathematics，波兰科学院，华沙，波兰，电子邮件：l。stettner@impan.pl，由NCN资助的研究，2012年12月7日B/ST1/03298。具有一般因子2的长期风险敏感投资组合，这表明该图可以被视为绩效的衡量标准，因为它用渐近方差乘以风险规避参数γ<0来惩罚预期增长率。当然，这只适用于最后一项（即O（γ，t）/t）消失的问题，当t变为完整时。然而，正如[4，第5节]中所解释的，这一假设满足了许多标准动力学，因此（1.2）提出了产生这类地图的动机。我们参考[4]进一步讨论RSC的经济性质。在[1,14]之后，我们想强调一个事实，即RSC可能被视为一种风险，不符合报酬标准。事实上，RSC可以被视为一个可接受性指数[6,2]，该图量化了投资组合增长与相关风险之间的权衡。正如我们将在本文中展示的，风险和绩效测量理论中的许多方法可以直接应用于RSC。从另一个角度来看，RSC是许多与（受控）马尔可夫决策过程相关的优化控制问题的一个很好的目标函数，无论是在有限的时间范围内还是在有限的时间范围内（参见[18,17,8,5]和其中的参考文献）。具体而言，与投资组合优化的关系如[3]所示，其中RSC应用于有限时间范围内的连续时间，并考虑了梅顿跨期资本资产定价模型的一个版本[21]。

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2022-5-9 02:25:15

[25]对离散时间市场模型进行了类似研究。正因为如此，我们决定以这样一种方式展示我们的结果，它们可能对风险分析专家，尤其是研究动态增长指数的专家，以及风险敏感控制马尔可夫决策过程的专家都很感兴趣。有许多复杂的方法可以保证与RSC相关的Bellman方程解的存在。更不用说消失折扣法[16]或定点法[8]。保证解存在的假设通常与所考虑过程的遍历性质有关[8,19,17,16]。最新的结果与局部Doeblin条件[5]和马尔可夫分裂技术[9]有关。RSC的理论也严格连接到乘性泊松方程[9]和三次成本随机动态博弈的Issacs方程（参见[16,11,7]和其中的参考文献）。在本文中，我们推广了[25]的结果，即我们考虑具有更一般经济因素的市场模型，这些因素不一定是一致遍历的，因此研究贝尔曼方程时，我们必须使用合适的权函数。本文[3]研究了Black-Scholes市场的此类更一般的经济因素，然后在[22]中继续研究了连续时间一般扩散模型。在本文中，我们研究离散时间模型，并试图将[15]中的风险中性结果推广到[24]中的风险敏感性投资组合。本文的主要创新之处在于，我们使用加权跨度范数压缩方法，得到了适用于Bellman方程的解的存在性。因此，我们的论文可以应用于比[25]更一般的市场动力学。

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2022-5-9 02:25:19

此外，我们还利用Bellman方程的无界解解决了一个风险敏感控制问题。本文的组织结构如下。第二部分是一般设置。我们在这里陈述了我们研究的所有假设分数（例如动力学、控制等）。接下来，在第3节中，我们回顾了加权范数和跨度范数的一些基本符号。在第4节中，我们给出了本文的主要结果，即我们陈述了Bellman方程，并说明了何时可以求解它。在第5节中，我们展示了如何长期运行风险敏感投资组合，一般因素3将贝尔曼方程与初始投资问题联系起来。特别地，我们讨论了在给定贝尔曼方程解的情况下，如何构造最优策略以及何时可行。最后，第6章我们展示了典型的动态，这可能符合我们的模型。2.预备课程(Ohm, F、 {Ft}t∈T、 P）是一个离散时间过滤概率空间，其中T=N，Fis平凡，f=St∈TFt。此外，设L:=L(Ohm, F、 P）表示所有（a.s.识别）F-可测量随机变量的空间。我们假设市场由m个风险资产（如股票、债券、衍生证券）和k个经济因素（如通货膨胀率、短期利率、分割收益率）组成。m风险资产的价格将用Si=（Sit）t表示∈t（i=1，…，m）和k经济因素水平将用Xj=（Xjt）t表示∈t对于（j=1，…，k）。为了简单起见，我们将写S:=（St）t∈Tand X:=（Xt）t∈T、其中St=（St，…，Smt）和Xt=（Xt，…，Xkt）。我们将使用A来表示所有U值适应过程的集合，其中U是Rm的一个紧子集。A的元素将对应于所有可接受的投资组合策略H:=（Ht）t∈T、其中Ht=（Ht，…，Hmt）和Hi=（Hit）T∈这是投资于第i项风险资产的资本的一部分（因为i=1，…，m）。

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2022-5-9 02:25:22

此外，我们将使用符号VH=（VHt）t∈t表示与策略H相对应的投资组合价值过程。在本文中，我们将做出以下假设：（A.1）过滤{Ft}t∈Twill可以由k+m随机过程序列生成，用wi=（Wit）t表示∈t对于（i=1，…，k+m）。此外，Wt=（Wt，…，Wk+mt）将独立于Ftand Law（Wt+1）=Law（Wt），即W:=（Wt）t∈斜纹形成一系列i.i.d.随机向量。（A.2）因子过程X将是马尔可夫过程，并将接受以下表示：X∈ Rk，Xt+1=G（Xt，Wt）：=（G（Xt，Wt），Gk（Xt，Wt）），其中Gi:Rk×Rk+m→ RK是一个Borel可测函数，相对于第一个变量是连续的（对于i=1。

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2022-5-9 02:25:25

，k）。（A.3）对于任何H∈ A、我们将假设投资组合动态的形式为vh=V，lnVHt+1VHt=F（Xt，Ht，Wt），（2.1）表示t∈ T、其中V>0，F:Rk×U×Rk+m→ R是一个Borel可测函数，与前两个变量有关。（A.4）我们将假设对于任何t∈ T、 x∈ Rk，h∈ 我们有ω（G（x，w））≤ a（w）+bω（x），（2.2）|F（x，h，w）|≤ a（w）+bω（x），（2.3）具有Borel可测函数a，a:Rk+m的一般因子4的长期风险敏感投资组合→ R+，常数b∈ （0,1），b>0与连续可测函数ω：Rk→ [0, ∞), 我们称之为重量函数。此外，我们假设对于任何γ∈ R、 γ（a（W））∈ R和γ（a（W））∈ R、（2.4）式中：→R是熵效用度量，即|γ（X）：=（γlne[exp（γX）]如果γ6=0，e[X]如果γ=0。（2.5）（A.5）对于任何R>0，都存在常数c>0和概率测度ν，例如infx∈CRP[G（x，W）∈ A]≥ cν（A），A∈ B（Rk），（2.6）式中CR={x∈ Rk：ω（x）≤ R} 。假设（A.1）和（A.2）分别是概率空间和非因子过程的经典条件。假设（A.3）是技术性的——它允许通过日志回报而不是价值过程对投资组合进行建模（有关更多详细信息，请参见示例6.1或[25]）。假设（A.4）具有财务解释。（2.2）和（2.3）中引入的状态空间约束带表示，在我们的模型中，我们只允许相对于状态空间的ω-增长（即与ω的增长成比例的增长）。特别是，不等式（2.2）可能被视为施加在X上的几何漂移条件的一种形式（参见[15]）。另一方面，假设（2.4）允许我们控制噪声部分的熵。在更为概率的情况下，它等价于a（W）和a（W）的矩母函数存在的说法。

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2022-5-9 02:25:30

特别是，我们可以说，时间t的单周期对数收益率的效用（或风险）由γ（或-对于任何简单交易（在任何固定状态下），μγ）必须是有限的，事实上，它的范围是±a（Wt）加上一些常数（取决于状态）。请注意，这一假设很弱，且由标准模型完全满足，标准模型将对数收益描述为形式为F（x，h，Wt）=a（x，h，Wt）+k+mXi=1b（x，h）的过程，其中Wt是具有多维正态分布的随机向量，函数a和b满足ω-增长约束。然后，可以使用随机变量smin（Wt，…，Wk+mt）和max（Wt，…，Wk+mt）构造函数a。假设（A.5）是（局部）二值化性质。结合几何漂移条件，我们可以利用X的遍历性质（参见[15]）。请注意，设置ω≡ 对于任何R>0，我们得到C=Rk。因此，在这种特殊情况下，（A.5）成为一个全局Doeblin条件，相当于过程X的一致遍历性。另一方面，如果ω是长期运行的风险敏感投资组合，且一般因子5无界且任意R>0的CRis紧，则（2.6）与（局部）混合条件直接相关，即对于任意固定的紧子集K（Rk），我们有超能力了∈克苏帕∈B（Rk）|P[G（x，W）∈ A]- P[G（y，W）∈ A] |<1。（2.7）本文的主要目标是优化（1.1）中给出的风险敏感成本标准，即|γ（V）=lim inft→∞tγln E[Vγt]，其中γ<0是一个固定的风险规避参数，V是投资组合价值过程。换句话说，给定集合A和VHH的动力学∈ A、我们想解决最优随机控制问题∈Aγ（VH）。

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2022-5-9 02:25:34

（2.8）对于任何H，使用熵表示法（详见[1]）和（2.1）∈ A、我们得到γ（VH）=lim inft→∞uγlnVHtVHt=lim inft→∞γ（Pt）-1i=0F（Xi，Hi，Wi））t，（2.9），其中μγ是（2.5）给出的熵效用度量。请注意，（2.9）中的第一个等式为RSC提供了另一种财务解释。VHtallow的对数变换使我们能够测量时间t的累积增长（对数回报），而mapγ则用于评估其（熵）效用。然后，我们将结果除以t，使其在时间上正常化，并使用lim inf来测量（aworst案例稳健版）价值过程的长期效率（参见[1]）。在上述假设下，从（2.9）不难看出，问题（2.8）的最佳值将是有限的，这实际上是命题2.1的陈述。提议2.1。设γ<0。在假设（A.1）-（A.4）下，我们得到-∞ < 嘘∈A.γ（VH）<∞.证据将（A.3）和（A.4）用于任何H∈ A和t∈ T、我们得到了-1Xi=0F（Xi，Hi，Wi）≤T-1Xi=0a（Wi）+bω（Xi）≤T-1Xi=0a（Wi）+bbiω（X）+i-1Xj=0bja（Wi-j）≤b1- bω（X）+t-1Xi=0a（Wi）+b1- 文学士（威斯康星州）.以一般因子6为熵效用测度的长期风险敏感投资组合γ对于任意两个独立的随机变量是单调的、平移不变的、可加的，对于任意t∈ T、我们得到了-1Xi=0F（Xi，你好，Wi）！≤b1- bω（X）+t-1Xi=0μγa（Wi）+b1- 文学士（威斯康星州）=b1- bω（X）+tμγa（W）+b1- 文学士（西）.因此，对于任何H，使用（2.9）和（2.4）∈ A、我们得到γ（VH）=lim inft→∞uγPt-1i=0F（Xi，Hi，Wi）T≤ uγa（W）+b1- 文学士（西）< ∞.另一个不等式的证明是类似的。3加权范数假设（A.4）我们引入了可测连续函数ω：Rk→ [0, ∞), 我们称之为权重函数。下面[15]让我们回顾一下关于这些函数的基本符号。

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2022-5-9 02:25:37

我们将用Cω（Rk）表示所有连续可测函数f:Rk的集合→ R、使得f的ω-范数有界，即kfkω：=supx∈Rk|f（x）|1+ω（x）<∞.接下来，我们定义f的ω-跨度半形式∈ Cω（Rk）bykfkω-span:=supx，y∈Rkf（x）- f（y）2+ω（x）+ω（y）。备注3.1。函数f:Rk的经典跨度范数→ R（参见[18]及其参考文献）通常定义为kfkspan=supxf（x）-infyf（y）。注意，在我们的框架中，使用ω≡ 0，我们得到kfkω-span=supxf（x）-infxf（x）=kfkspan。此外，对于任何有界权函数ω，我们知道k·kω与k·kω-s是等价的。对于任何β>0的情况，我们还将定义kfkβ给出的加权（半）范数，ω：=supx∈Rk | f（x）| 1+βω（x），kfkβ，ω-span:=supx，y∈Rkf（x）- f（y）2+βω（x）+βω（y）。请注意，对于任何β>0和c≥ 0，函数ω′：Rk→ [0, ∞), ω′（x）=βω（x）+cis也是一个权函数。现在让我们回顾一下加权范数和相关跨度范数的一些基本性质。具有一般因素的长期风险敏感投资组合7提案3.2。设ω：Rk→ [0, ∞) 这是一个权重函数。然后1）对于任何大于0的β，范数k·kω和k·kβ，ω是等价的。2）对于任何大于0的β，亚型k·kω-Span和k·kβ，ω-Span是等价的。3）对于任何0<β<1和f∈ Cω（Rk），我们得到kfkω-span≤ kfkβ，ω-span。4）对于任何f∈ 我们得到infc∈Rkf+ckω=kfkω-span。5）让f∈ Cω（Rk）和C∈ R.那么kf+ckω=kfkω-span当且仅当c∈ [c，c]，其中c=- infx∈Rk{f（x）+（1+ω（x））kfkω-span}，（3.1）c=- 好的∈Rk{f（x）- （1+ω（x））kfkω-span}。（3.2）此外，还存在c∈ {c，c}，这样kf+ckω=supx∈Rkf（x）+c1+ω（x）=- infx∈Rkf（x）+c1+ω（x）。（3.3）证据。性质1）、2）和3）的证明很简单，因此此处省略。4）该证明基于[15，引理2.1]，并被召回以确保完整性。

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2022-5-9 02:25:42

让f∈ Cω（Rk）。对于任何x∈ Rk，我们得到| f（x）|≤ kfkω（1+ω（x）），这反过来意味着f（x）- f（y）2+ω（x）+ω（y）≤kfkω[2+ω（x）+ω（y）]2+ω（x）+ω（y）=kfkω，x，y∈ Rk。因此，对于任何c∈ R我们得到kfkω-span=kf+ckω-span≤ kf+ckω。（3.4）现在让我们证明另一个不平等。注意，我们可以用a·f代替f，对于一些a>0的情况，kfkω-span=0的证明是微不足道的，在不丧失一般性的情况下，我们可以假设kfkω-span=1。通过k·kω-span的定义和kfkω-span=1的事实，我们得到f（x）- [f（y）+1+ω（y）]≤ 1+ω（x），对于任何x，y∈ Rk。因此，c:=- 英菲∈Rk{f（y）+1+ω（y）}∈ R和任何x∈ Rk，我们得到f（x）+c=supy∈Rk[f（x）- f（y）- 1.- ω（y）]≤ 1+ω（x）。（3.5）另一方面，对于任何x∈ Rk，我们得到f（x）+c=supy∈Rk[f（x）- f（y）- 1.- ω（y）]≥ f（x）- f（x）- 1.- ω（x）=-（1+ω（x））。（3.6）一般因子为8的长期风险敏感投资组合，结合（3.5）和（3.6），我们得到kf+ckω≤ 1.这与（3.4）一起，得出了4）的证明∈ Cω（Rk）并设C∈ R.重复并稍微修改4）的证明，很容易检查kf+ckω=kf+ckω=kfkω-span。（3.7）如果c∈ [c，c]，然后存在α∈ [0,1]使得c=αc+（1- α）因此，使用（3.4）和（3.7），我们得到kfkω-span≤ kf+ckω≤ α+ω1- α） kf+ckω=kfkω-span。另一方面，我们知道如果kf+ckω=kfkω-span，那么对于任何x∈ 我们得到了什么-kfkω-span≤f（x）+c1+ω（x）≤ kfkω-span。因此，对于任何x∈ 我们有-f（x）- （1+ω（x））kf kω-span≤ C≤ -f（x）+（1+ω（x））kfkω-span，因此c≤ C≤ c、这就完成了证明的第一部分。

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2022-5-9 02:25:45

现在让我们证明存在（至少一个）c∈ [c，c]，令人满意（3.3）。给定f∈ Cω（Rk），对于任何C∈ R我们呼吸+（c）：=supz∈Rkf（z）+c1+ω（z）和a-（c）：=- infz∈Rkf（z）+c1+ω（z）。很容易注意到，a+（·）是有限的、连续的、非递减的，而a-（·）是有限的、连续的、不增加的。此外，a+（c）→ ∞, 作为c→ ∞, 还有-（c）→ ∞, 作为c→ -∞. 因此，存在c∈ R、使得a+（c）=a-（c）。此外，对于任何c≥ cwe getkf+ckω=max（a+（c），a-（c） )≥ a+（c）=最大值（a+（c），a-（c））=kf+ckω，而对于c≤ cw getkf+ckω=max（a+（c），a-（c） )≥ A.-（c） =最大值（a+（c），a-（c））=kf+ckω。因此，a+（c）=a-（c） =kf+ckω=infc∈Rkf+ckω=kfkω-span。（3.8）根据5）证明的第一部分，我们知道∈ [c，c]。如果cis等于cor c，则屋顶完成。相反，让我们假设c6∈ {c，c}。利用a+（·）的单调性，我们得到了a+（c）≤ a+（c）通过（3.8）使用kf+ckω=kf+ckω=kf+ckω=kf+ckω=max（a+（c），a-（c），我们得到a+（c）=a+（c）。因此，a+（·）在[c，c]上必须是常数，而作为一个凸非减缩映射，它在[c，c]上实际上是常数(-∞, c] 。使用类似的论点，我们得到-（·）作为非递增凸映射，在[c]上必须是常数，∞]. 因此，这两种方法都可以满足（3.3），从而得出结论。具有一般因素的长期风险敏感投资组合9备注3.3。我们可能得到c6=c，让f（x）=0表示| x |≤ 1和f（x）=| x-x |代表|x |≥ 1.然后，对于ω（x）=|x |，很容易检查kfkω-span=1，c=-1和c=1。此外，我们可以考虑加权f的中心常数，即常数，使得从0到supx的距离∈Rkf（x）+c1+ω（x）等于从0到infx的距离∈Rkf（x）+c1+ω（x）。

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mingdashike22

2022-5-9 02:25:48

特别是，k·kω-展半形式可以被认为是中心函数的k·kω范数，这为命题3中的4）提供了一些见解。2.命题3。2意味着对于任何大于0的β≥ 0，f:Rk→ R和ω′由ω′（x）=βω（x）+c定义，我们得到kfkω<∞ <==> kfkω′<∞, （3.9），这反过来意味着Cω（Rk）=Cω′（Rk）。此外，如果函数族是一致有界的wrt。ω-span范数，则为统一边界wrt。ω′-span范数。接下来，对于任何β>0，两个概率度量qan和Qon（Rk，B（Rk））以及相应的签名度量H=Q- Q、设kHkβ，ω-var表示其加权总变化范数，由kHkβ，ω-var=ZRk给出1+βω（z）|H |（dz）=sup k：k k kβ，ω≤1ZRk|（z）H（dz），其中| H |表示H的总变化量，即| H |=1AH- 1AcH，A是测度H的正集（例如使用Hahn-Jordan分解获得）。特别是ω≡ 0），让KHKVARDE注意标准总变化范数[18]，即kHkvar:=ZRk | H |（dz）=2 supA∈B（Rk）| Q（A）- Q（A）|.4贝尔曼方程使用表示法（2.9），不难看出对应于（2.8）的贝尔曼方程的形式为v（x）+λ=suph∈Uμγ（F（x，h，W）+v（G（x，W）），（4.1），其中λ∈ R、五∈ Cω（Rk），x∈ Rk与ω：Rk→ [0, ∞) 是（a.4）中的权重函数，对应的Bellman运算符rγf（x）：=suph∈Uμγ（F（x，h，W）+F（G（x，W）），F∈ Cω（Rk），（4.2）满足某些收缩特性。具有一般因子10的长期风险敏感投资组合为了计算方便，让我们引入相关的贝尔曼方程u（x）+λγ=γsuph∈Uμγ（F（x，h，W）+U（G（x，W））γ）=infh∈Uln E[EγF（x，h，W）+u（G（x，W））]=Tγu（x），（4.3），其中u（x）=γv（x），其中相应的Bellman算子的形式为TγF（x）：=γRγF（x）γ=infh∈ulne[EγF（x，h，W）+F（G（x，W））]，F∈ Cω（Rk）。（4.4）备注4.1。Bellman方程（4.3）严格连接到为相应γ（cf。

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2022-5-9 02:25:51

[9] 以及其中的参考资料）。在经典情况下（即使用遍历性条件和span范数或消失折扣法）存在MPE解的有效一般条件可在[8,19,17,16]中找到。关于更一般的条件（使用分裂马尔可夫技术或Doeblin条件获得），参见例[9,5]。还使用风险度量的稳健表示（即。-[12]，我们可以注意到方程（4.1）对应于遍历成本随机动态博弈的艾萨克斯方程（参见[16,11]及其参考文献）。提议4.2。设γ<0。在假设（A.1）-（A.4）下，算子Rγ和Tγ将集合Cω（Rk）转化为自身和f∈ Cω（Rk）映射(-∞, 0）×Rk （γ，x）7→ Tγf（x）是连续的。证据我们将只展示Rγ的证明，因为Tγ的证明是类似的。让f∈ Cω（Rk）和γ<0。我们知道存在M>1，所以对于所有x∈ Rk，我们得到| f（x）|≤ M（ω（x）+1）。首先，让我们证明kRγfkω是有限的。利用γ是单调的和平移变量的事实，以及（A.4），对于任何x∈ Rk，我们得到γf（x）≤ μγ（a（W）+bω（x）+M（ω（G（x，W））+1））≤ μγ（a（W）+bω（x）+Ma（W）+Mbω（x）+M）=（b+Mb）ω（x）+μγ（a（W）+Ma（W））+M以及rγf（x）≥ -（b+Mb）ω（x）+γ(-a（W）- 文学硕士（女））- 因此，注意到Rγf∈ ω′（x）=（b+Mb）ω（x）+|μγ（a（W）+ma（W））|+|μγ的Cω′（Rk）(-a（W）- Ma（W））|+M，并使用（3.9），我们得出结论，kRγfkω是有限的。其次，让我们证明映射(-∞, 0）×Rk （γ，x）7→ Rγf（x）是连续的。设{（γn，xn，hn）}n∈Nbe一个序列，使得γn<0 xn∈ Rk，hn∈ U和（γn，xn，hn）→ （γ，x，h），其中γ<0，x∈ RK和h∈ U

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2022-5-9 02:25:54

n.F（x.A，x.F）和x.F（x.A，x.F）和x.F（x.n，x.e）我们知道。-→ eγ[F（x，h，W）+F（G（x，W））]。一般因子为11的长期风险敏感投资组合由于权重函数ω是连续的且具有固定值，我们知道y:=supn∈Nω（xn）<∞.此外，使用（A.4），我们得到0≤ eγn[F（xn，hn，W）+F（G（xn，W））]≤ eγ[a（W）+Ma（W）+（b+Mb）y+M]与γ，使得对于任何n，我们都有γn≤ γ. 注意到eγ[a（W）+Ma（W）+（b+Mb）y+M]∈ 五十、根据支配收敛定理，E[Eγn[F（xn，hn，W）+F（G（xn，W））]→ E[Eγ[F（x，h，W）+F（G（x，W））]，因此*γn（F（xn，hn，W）+F（G（xn，W）））→ μγ（F（x，h，W）+F（G（x，W）））。设hγz:=arg maxh∈Uμγ（F（z，h，W）+F（G（z，W）），对于任何z∈ U（注意U是紧凑的）。由于函数（γ，x，h）的连续性7→ μγ（F（x，h，W）+F（G（x，W）），我们也知道μγn（F（xn，hγnxn，W）+F（G（xn，W）））→ μγ（F（x，hγx，W）+F（G（x，W）），这意味着（γ，x）的连续性→ Rγf（x）。我们现在准备好阐述本文的主要结果。定理4.3。设γ<0。在假设（A.1）-（A.5）下，对于非常小的β>0，算子Tγ是k·kβω-span下的局部收缩，即存在函数β：R+→ （0,1）和L:R+→ （0，1）使得kTγf- Tγfkβ（M），ω-span≤ L（M）kf- fkβ（M），ω-span，对于f，f∈ Cω（Rk），使得kfkω-span≤ M和kfkω-span≤ M.理论的证明4。3将被分成三个引理，我们现在将对它们进行公式化和证明。在此之前，让我们介绍一些有用的符号。让(Ohm, F、 P）是对应于随机变量W的概率空间。

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2022-5-9 02:25:58

无论如何∈ Cω（Rk），x∈ RK和h∈ 我们将使用以下符号h（x，f）：=γarg maxh∈Uuγ（F（x，h，W）+γF（G（x，W））=arg minh∈ulne[EγF（x，h，W）+F（G（x，W）），（4.5）Q（x，F，h）：=γarg minQ∈MhEQ[F（x，h，W）+γF（G（x，W））]-γH[QkP]i=arg maxQ∈MhEQ[γF（x，h，W）+F（G（x，W））]- H[QkP]i，（4.6）具有一般因子的长期风险敏感投资组合，其中M:=M(Ohm, F）表示上所有概率测度的集合(Ohm, F） H[QkP]是qwrt的相对熵。P、 i.e.H[QkP]：=（EQ[lndQdP]如果Q<< P+∞ 否则（4.5）和（4.6）中定义的对象可能不是唯一的，因为arg min（或arg max）可能定义一个集合，而不是单个元素。然而，由于符号的轻微滥用，我们使用（4.5）的任何固定最大化子，并假设hx，f∈ 为了得到测量Q（x，f，h）的唯一表示，我们使用了所谓的埃舍尔变换[13]。在我们写出q（x，f，h）的显式形式之前，让我们给出一个更具体的注释。度量Q（x，f，h）对应于熵效用γ的鲁棒（对偶）表示中的最小化场景。事实上（参见[7]），对于anyZ∈ L(Ohm, F、 P），使得γZeγZ∈ L(Ohm, F、 P），我们得到μγ（Z）=infQ∈MhEQZ-γH[QkP]i.（4.7）表示Z=F（x，H，W）+γF（G（x，W））是这样的∈ L(Ohm, F、 P），注意到kfkω<∞ 并使用（A.4）。那么，威格茨∈ L(Ohm, F、 P）和e2γZ∈ L(Ohm, F、 P），再加上对于任何γ<0的情况，我们得到|γZeγZ |≤ 1{γZ≤0}|γZ |+1{γZ>0}| e2γZ |，证明结束。然后，如[7，命题2.3]所示，我们可以通过Z的埃舍尔变换确定（4.6）的极小值，即由Q（x，f，h）（dw）=eγf（x，h，w）+f（G（x，w））P（dw[eγf（x，h，w）+f（G（x，w））给出的度量Q（x，f，h）（dw））。（4.8）我们还将通过Q（x，f，h）（A）=E定义Rk上的度量值Q（x，f，h）{G（x，W）∈A} eγF（x，h，W）+F（G（x，W））E[EγF（x，h，W）+F（G（x，W））]，A∈ B（Rk）。

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2022-5-9 02:26:01

（4.9）最后，对于任何f，g∈ Cω（Rk）和x，y∈ 我们将写下：Q（x，f，h（x，g））-Q（y，g，h（y，f））。（4.10）我们现在准备好介绍Lemma4。引理4.5和引理4.6。具有一般因素的长期风险敏感投资组合13引理4.4。设γ<0。在假设（A.1）-（A.4）下，我们得到γf（x）- Tγg（x）- （Tγf（y）- Tγg（y））≤ kf- gkβ，ω-spankHf，gx，ykβ，ω-var，（4.11）对于任何f，g∈ Cω（Rk），x，y∈ Rk和β>0。证据让f，g∈ Cω（Rk），x，y∈ 然后让β>0。利用（4.5）我们得到了γf（x）=γsuph∈Uμγ（F（x，h，W）+γF（G（x，W）））≤ γμγ（F（x，h（x，g，W）+γF（g（x，W））=supQ∈M（P）hEQ[γF（x，h（x，g），W）+F（g（x，W））]- H[QkP]i=EQ（x，f，H（x，g））γF（x，h（x，g），W）+F（g（x，W））- H[Q（x，f，H（x，g））kP]（4.12）现在，使用（4.6）我们得到γg（x）=γsuph∈U（F（x，h，W）+γg（g（x，W））=γ（F（x，h（x，g），W）+γg（g（x，W））=supQ∈M（P）hEQ[γF（x，h（x，g），W）+g（g（x，W））]- H[QkP]i≥ 等式（x，f，h（x，g））γF（x，h（x，g），W）+g（g（x，W））- H[Q（x，f，H（x，g））kP]（4.13）结合（4.12）和（4.13）我们得到γf（x）- Tγg（x）≤ 等式（x，f，h（x，g））[f（g（x，W））- g（g（x，W））]≤ZRk[f（z）- g（z）]Q（x，f，h（x，g））（dz）。（4.14）在（4.14）中用g切换f，并对y进行类似的计算∈ Rk，我们得到γg（y）- Tγf（y）≤ZRk[g（z）- f（z）]Q（y，g，h（y，f））（dz）（4.15）将（4.14）与（4.15）相结合，并使用回忆符号（4.10），我们得到γf（x）- Tγg（x）- （Tγf（y）- Tγg（y））≤ZRkf（z）- g（z）Hf，gx，y（dz）。（4.16）我们知道，对于任何c∈ R、我们得到了ZRKf（z）- g（z）Hf，gx，y（dz）=ZRkf（z）- g（z）+c1+βω（z）（1+βω（z））Hf，gx，y（dz）。具有一般因素的长期风险敏感投资组合 Rk表示符号测度Hf，gx，y（例如使用Hahn Jordandecomposition获得）和任何c的正集∈ R leta+（c）：=supz∈Rkf（z）- g（z）+c1+βω（z）和a-（c）：=- infz∈Rkf（z）- g（z）+c1+βω（z）。那么，对于任何c∈ R、我们得到了ZRKf（z）- g（z）Hf，gx，y（dz）≤ a+（c）ZA（1+βω（z））Hf，gx，y（dz）- A.-（c） ZAc（1+βω（z））Hf，gx，y（dz）。

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能者818

2022-5-9 02:26:05

（4.17）来自命题3。2.我们知道存在c∈ R、这样a+（c）=a-（c） =kf- gkβ，ω-span。因此，从（4.17）我们得到了ZRKf（z）- g（z）Hf，gx，y（dz）≤ kf- gkβ，ω-spankHf，gx，ykβ，ω-var，（4.18）与（4.16）一起得出（4.11）的证明。引理4.5。设γ<0。在假设（A.1）-（A.4）下，对于任何固定的M>0和φ∈ （b，1），存在αφ>0，如khf，gx，ykβ，ω-var≤ 对于任意x，y，kHf，gx，ykvar+β（φω（x）+φω（y）+2αφ），（4.19）∈ RK和f，g∈ 满足kfkω-span的Cω（Rk）≤ M和kgkω-span≤ M.证明。对于任何x，y∈ RK和f，g∈ Cω（Rk）我们得到khf，gx，ykβ，ω-var=ZRk1+βω（z）|Hf，gx，y |（dz）=ZRk |Hf，gx，y |（dz）+βZRkω（z）|Hf，gx，y |（dz）≤ kHf、gx、ykvar+βZRkω（z）`Q（x，f，h（x，g））（dz）+ZRkω（z）`Q（y，g，h（y，f））（dz）.因此，为了证明（4.19），有必要证明对于任何固定的M>0和φ∈ （b，1），存在αφ>0，使得zrkω（z）`Q（x，f，h）（dz）≤ φω（x）+αφ（4.20）对于任何h∈ U、 x∈ RK和f∈ 满足kfkω-span的Cω（Rk）≤ M.设M>0和φ∈ （b，1）。利用（4.8）和（4.9），我们得到（4.20）等价于h（ω（G（x，W））- φω（x）eγF（x，h，W）+F（G（x，W））i≤ αφEheγF（x，h，W）+F（G（x，W））i.一般因子为15的长期风险敏感投资组合为简单起见，设Z:=γF（x，h，W）+F（G（x，W））。这足以证明这一点A（ω（G（x，W））- φω（x））eZ≤αφE简单,其中A={ω（G（x，W））- φω（x）>αφ}，作为不等式eAc（ω（G（x，W））- φω（x））eZ≤αφE简单这是微不足道的。利用Schwarz不等式，我们得到1≤ E[E]-Z] E[eZ]，所以这就足够证明了A（ω（G（x，W））- φω（x））eZEE-Z≤αφ（4.21）乘以（4.21）的两边2（Mb）-γb）（φ-b），使用y<Ey表示任何y>0的事实，以及Inequality2Mb（φ-b） <2（Mb）-γb）（φ-b），来证明（4.20），这足以证明e2（Mb）-γb）（φ-b）（ω（G（x，W））-φω（x））eZEE-Z≤αφMb（φ- b）。

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2022-5-9 02:26:08

（4.22）使用（A.4）和Schwarz不等式e2（Mb）-γb）（φ-b）（ω（G（x，W））-φω（x））eZ≤ Ee2（Mb）-γb）（φ-b） [a（W）-(φ-b） ω（x）]eZ≤ E-2（Mb）-γb）ω（x）Ee2（Mb）-γb）（φ-b） a（W）eZ≤ E-2（Mb）-γb）ω（x）rE[e4（Mb）-γb）（φ-b） a（W）]qE[e2Z]，所以这就足以证明这一点，而不是（4.22）-2（Mb）-γb）ω（x）rE[e4（Mb）-γb）（φ-b） a（W）]qE[e2Z]EE-Z≤αφMb（φ- b）。让我们来证明。由于（A.4），我们知道是[e4（Mb-γb）（φ-b） a（W）]∞. （4.24）另一方面，从kfkω-span≤ M、我们知道存在一个∈ R使得kf+akω≤ 因此，回顾Z=γF（x，h，W）+F（G（x，W）），利用指数函数的单调性和（A.4），我们得到qE[e2Z]=qE[e2[γF（x，h，W）+（F（G（x，W））+A）-a] ]≤量化宽松[e2][-γa（W）-γbω（x）+M（a（W）+bω（x）+1）-a] ]=e（Mb-γb）ω（x）+M-aqE[e2[Ma（W）-γa（W）]，（4.25）E[E-Z] =E[E-[γF（x，h，W）+（F（G（x，W））+a）-a] ]≤ E[E]-γa（W）-γbω（x）+M（a（W）+bω（x）+1）+a]=e（Mb-γb）ω（x）+M+aE[eMa（W）-γa（W）]。（4.26）具有一般因素的长期风险敏感投资组合16使用（4.25）、（4.26）和（2.4）我们得到-2（Mb）-γb）ω（x）qE[e2Z]EE-Z= e2MqE[e2[Ma（W）-γa（W）]E[eMa（W）-γa（W）]∞. （4.27）结合（4.27）和（4.24），我们得到（4.23）将持续足够大的时间。换句话说，选择αφ是不够的，比如e2m（φ- b） MbrE[e4（Mb-γb）（φ-b） a（W）]qE[e2[Ma（W）-γa（W）]E[eMa（W）-γa（W）]≤ αφ. （4.28）这是（4.20）的证明。引理4.6。设γ<0。在假设（A.1）-（A.5）下，对于任何固定的M>0，φ∈ （b，1）和αφ>0时，存在β∈ （0,1）和L∈ （0，1）使得khf，gx，ykvar+β（φω（x）+φω（y）+2αφ）≤ L（2+βω（x）+βω（y）），（4.29）对于任何x，y∈ RK和f，g∈ 满足kfkω-span的Cω（Rk）≤ M和kgkω-span≤ M.证明。让我们fix M>0，φ∈ （b，1）和αφ>0。让R∈ R应使R>2αφ1- φ.

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2022-5-9 02:26:11

（4.30）我们将考虑两种情况：（a）ω（x）+ω（y）>R，（b）ω（x）+ω（y）≤ R、发现β<1和L∈ （0，1）使得（4.29）在{ω（x）+ω（y）>R}和{ω（x）+ω（y）上都满足≤ R} 。案例a）注意到kHf、gx、ykvar≤ 2.找到β<1和L就足够了∈ （0，1）使得2+β（φω（x）+φω（y）+2αφ）≤ L（2+βω（x）+βω（y）），（4.31）对于任何x，y∈ Rk，使得ω（x）+ω（y）>R。我们将证明，在这种情况下，对于任何β<1，我们可以找到L∈ （0,1）使（4.31）成立。让β<1。我们知道（4.31）等于2+2βαφ≤ 2L+β（L- φ）（ω（x）+ω（y））。假设L>φ。然后，有充分的证据表明2+2βαφ≤ 2L+β（L- φ） R，相当于2+β（2αφ+φR）2+βR≤ L.（4.32）因此，使用（4.30），选择任何小于1的L就足够了∈最大值φ、 2+β（2αφ+φR）2+βR, 1.. （4.33）具有一般因素的长期风险敏感投资组合17例b）Let CR:={（x，y）∈ Rk×Rk：ω（x）+ω（y）≤ R} 。这足以证明存在β∈ （0,1）和L∈ （0，1）对于任何（x，y）∈ 克兰德f，g∈ 满足kfkω-span的Cω（Rk）≤ M和kgkω-span≤ M、我们得到khf，gx，ykvar+β（φR+2αφ）<2L。事实上，这足以证明SUP（x，y）∈CRkHf、gx、ykvar<2。（4.34）事实上，选择任何β<1，使β<2就足够了- 辅助（x，y）∈CRkHf，gx，ykvarφR+2αφ，考虑anyL∈辅助（x，y）∈CRkHf，gx，ykvar+β（φR+2αφ），1！。（4.35）相反，让我们假设（4.34）是错误的。然后，存在一个序列（xn，yn，fn，gn，An）n∈N、对于（xn，yn）∈ CR，fn，gn∈ Cω（Rk）和An∈ B（Rk），使得kfnkω-span≤ M、 kgnkω-span≤M和hfn，gnxn，yn（An）=Q（xn，gn，h（xn，fn））（An）-Q（yn，fn，h（yn，gn））（An）→ 1.（4.36）由于（4.36）我们知道“Q（xn，gn，h（xn，fn））（Acn）→ 0和Q（yn，fn，h（yn，gn））（An）→ 0

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2022-5-9 02:26:15

（4.37）接下来，对于任何x∈ Rk，h∈ U、 f∈ Cω（Rk）和A∈ B（Rk），ω（x）≤ R和kfkω-span≤ M、利用Schwarz不等式，我们得到了Q（x，f，h）（A）=E{G（x，W）∈A} eγ[F（x，h，W）+γ| F（G（x，W））]E[Eγ[F（x，h，W）+γ| F（G（x，W））]=E{G（x，W）∈A} eγ[F（x，h，W）+γ| F（G（x，W））]E[Eγ[F（x，h，W）+γ|F（G（x，W））]E[E-γ[F（x，h，W）+|γ| F（G（x，W））]]E[E-γ[F（x，h，W）+γ| F（G（x，W））]≥E{G（x，W）∈A} eγ[F（x，h，W）+γ| F（G（x，W））]e-γ[F（x，h，W）+γ| F（G（x，W））]E[Eγ[F（x，h，W）+γ|F（G（x，W））]E[E-γ[F（x，h，W）+γ| F（G（x，W））]≥E{G（x，W）∈A}e2[（Mb）-γb）ω（x）+M]E[eMa（W）-γa（W）]≥E{G（x，W）∈A}e2[（Mb）-γb）R+M]E[eMa（W）-γa（W）]。（4.38）长期风险敏感投资组合，一般因素18结合（4.37）和（4.38），我们得到{G（xn，W）∈Acn}→ 0和E{G（yn，W）∈安}→ 0.另一方面，从（A.5）开始，对于任何n∈ N和（xn，yn）∈ CR，我们到了{G（xn，W）∈Acn}+ E{G（yn，W）∈安}≥ cν（Acn）+cν（An）=c>0，其中c和ν满足（2.6），对于CR。这会导致矛盾，并由此得出案例b）的证明。我们现在准备证明（4.29）。实际上，结合（4.33）和（4.35），我们得出结论，对于agiven M>0，φ∈ （b，1），αφ>0和R∈ R满足（4.30），选择β<1和L就足够了∈ （0,1），使得β<2- 辅助（x，y）∈CRkHf，gx，ykvarφR+2αφ，L>max（φ，sup（x，y）∈CRkHf，gx，ykvar+β（φR+2αφ），2+β（2αφ+φR）2+βR）。（4.39）这是（4.29）的证明。现在我们准备证明定理4.3。理论证明4。3.让γ<0。结合引理4.4、引理4.5和引理4.6，我们知道对于任何固定的M，都存在β（M）∈ （0,1）和L（M）∈ （0，1），使得tγf（x）- Tγg（x）- （Tγf（y）- Tγg（y））2+β（M）ω（x）+β（M）ω（y）≤kf- gkβ（M），ω-spankHf，gx，ykβ（M），ω-var2+β（M）ω（x）+β（M）ω（y）≤ L（M）kf- gkβ（M），ω-span，对于任何f，g∈ Cω（Rk）和x，y∈ kfkω-span≤ M和kgkω-span≤ M.因此，对于任何固定的M，都存在β（M）∈ （0,1）和L（M）∈ （0，1），使得kTγf- Tγgkβ（M），ω-span≤ L（M）kf- gkβ（M），ω-span，只要kfkω-span≤ M和kgkω-span≤ M

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2022-5-9 02:26:18

这就是定理4的证明。3.推论4.7。对于给定的γ<0，存在β：R+→ （0,1）和L:R+→ （0,1），因此对于任何γ∈ [γ，0]，算符Tγ是一个局部收缩wrt.β和L，即对于任何γ∈ [γ，0]，我们得到kTγf- Tγfkβ（M），ω-span≤ L（M）kf- fkβ（M），ω-span，对于f，f∈ Cω（Rk），使得kfkω-span≤ M和kfkω-span≤ M.具有一般因素的长期风险敏感投资组合。推论的证明。7是定理4.3证明的直接结果。为了提高透明度，让我们简要地解释一下证据的概念。为了清楚起见，让我们假设M>0，并考虑L（M）∈ （0,1）和β（M）∈ (0, 1). 设αφ>0，使γ满足（4.28），即αφ≥e2M（φ- b） MbrE[e4（Mb-γb）（φ-b） a（W）]qE[e2[Ma（W）-γa（W）]E[eMa（W）-γa（W）]，设R为（4.30）满足γ。那么，对于任何γ∈ [γ，0]我们得到αφ≥e2M（φ- b） MbrE[e4（Mb-γb）（φ-b） a（W）]qE[e2[Ma（W）-γa（W）]E[eMa（W）-γa（W）]。因此，对于任何γ，选择αφ和R将保证（4.28）和（4.30）∈ [γ，0）。接下来，我们知道β（M）和L（M）的选择方式是（4.39）满足γ，即β<2- 辅助（x，y）∈CRkHf，gx，ykvarφR+2αφ，L>max（φ，sup（x，y）∈CRkHf，gx，ykvar+β（φR+2αφ），2+β（2αφ+φR）2+βR）。因此，我们可以找到一个常数a∈ （0，2）使得sup（x，y）∈CRkHf、gx、ykvar≤ 对于任何γ∈ [γ，0）。要做到这一点，只需注意到（4.38）中引入的Q（x，f，h）的下界实际上是在减少wrt.γ。利用定理4.3，即算子Tγ的收缩性质，我们可以解贝尔曼方程（4.3）和（4.1）。命题4.8。在假设（A.1）-（A.5）下，存在γ<0，因此对于任何γ∈（γ，0），存在唯一的（直到一个加性常数）uγ∈ Cω（Rk）和λγ∈ R、托贝尔曼方程（4.3）的解。证据设x′γ<0，M:=u（a（W））- uγ(-a（W））+b。

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2022-5-9 02:26:21

我们知道这一点∈ 我们得到kRγ0kω-span≤ M、 askRγ0kω-span≤ 你好∈Rk（γ（a（W）+bω（x））- uγ(-a（W）- bω（y））2+ω（x）+ω（y）≤ 你好∈Rku（a（W））- uγ(-a（W））+bω（x）+bω（y）2+ω（x）+ω（y）≤ u（a（W））- uγ(-a（W））+b.具有一般因子20的长期风险敏感投资组合对于算子T′γ和M，让β（M）和L（M）表示定理4中相应的常数。3.为了简单起见，我们将写β和L，而不是β（M）和L（M）。设γ：=max{γ，-|β(1 - L）|}（4.40）注意到γ∈ (-1,0）并使用推论4。7.任何情况下∈ （γ，0），我们知道kTγf- Tγfkβ，ω-span≤ Lkf- fkβ，ω-span，（4.41）表示f，f∈ Cω（Rk），使得kfkω-span≤ M和kfkω-span≤ M.As |γ|<β（1）- 五十），可以很容易地证明，对于任何n∈ N我们得到kTnγ0kω-span≤ 实际上，使用（4.41），我们得到kTγ0kω-span=|γ| kRγ0kω-span≤ |γ| M≤ M、 kTγ0kω-span≤ kTγ0- Tγ0kβ，ω-span+kTγ0kβ，ω-span≤ kTγ0kβ，ω-span（L+1）≤|γ|1 - LkRγ0kβ，ω-span≤|γ|β(1 - 五十） kRγ0kω-span≤ M、 kTγ0kω-span≤ kTγ0- Tγ0kβ，ω-span+kTγ0- Tγ0kβ，ω-span+kTγ0kβ，ω-span≤ kTγ0kβ，ω-span（L+L+1）≤|γ|1 - LkRγ0kβ，ω-span≤|γ|β(1 - 五十） kRγ0kω-span≤ M≤ . . .kTnγ0kω-span≤ kTγ0kβ，ω-span（Ln-1+ . . . + L+1）≤|γ|β(1 - L）kRγ0kω-span≤ M.利用Banach的不动点定理（参见[17，附录A]），我们知道，在具有ω-跨度范数的Cω（Rk）中存在Tγ的一个不动点。利用ktnγ0kωspan这一事实≤ M代表任何n∈ N和Tγ的局部收缩性质我们得出结论，存在唯一的uγ∈ Cω（Rk）（达到一个加性常数），使得kTγuγ- uγkβ，ω-span=0。因此，对于固定的∈ Rk，常数λγ：=Tγuγ（a）-uγ（a）γ和uγ∈ Cω（Rk）是贝尔曼方程（4.3）的解。因此，常数λγ：=Rγvγ（0）- vγ（0）和vγ∈ Cω（Rk）是Bellman方程（4.1）的解。在本节的最后，让我们展示一个推论，这将在以后有所帮助。要做到这一点，让我们∈ RK和定义uγ（x）：=uγ（x）- x的uγ（a）∈ Rk。推论4.9。

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2022-5-9 02:26:24

在P位置4的假设和符号下。8函数（γ，0） γ 7→λγ和（γ，0） γ 7→ 每x的uγ（x）∈ 它们是连续的。证据很明显，当uγ是（4.3）的解时，\'uγ也是（4.3）的解。由（4.41）和命题4。8我们得到了k’uγkω-span≤ M和| Tmγ0（x）- \'uγ（x）- Tmγ0（a）|≤ M（L（M））M（2+β（M）ω（x）+β（M）ω（a））（4.42）长期风险敏感投资组合，任何x的一般因子为21∈ （γ，0）的紧致子区间的Rk和γ。根据命题4。每个m和Fixedx 2个∈ 映射γ→ Tmγ0（x）和γ→ Tmγ0（a）是连续的。所以当γn→ γ<0我们有，使用（4.42），uγn（x）- \'uγ（x）|≤ |Tmγn0（x）- Tmγ0（x）|+|Tmγn0（a）- Tmγ0（a）|+2M（L（M））M（2+β（M）ω（x）+β（M）ω（a））=an，M+bn，M+cm。（4.43）对于给定的，我们可以选择m，使cm≤ . 然后让n→ ∞ 对于固定的m，我们得到了映射γ的连续性→ uγ（x）。遵循命题4的证明。2我们还可以证明映射γ→ Tγ′uγ（x）是连续的。因此，映射λ→ λγ=Tγ′uγ（x）-\'uγ（x）γ是连续的，这就完成了证明。5最优策略在假设和命题符号下，很容易检查。我们得到vγ（x）=uγ（x）γ和λγ是Bellman方程（4.1）的解。最后，我们可以将贝尔曼方程（4.1）和（4.3）与初始问题（2.8）联系起来。提议5.1。在（A.1）-（A.5）下，存在γ<0，因此对于任何γ∈ （γ，0），我们得到λγ≥ 嘘∈Aγ（VH），即问题（2.8）中的最佳值不超过贝尔曼方程（4.1）的解。此外，如果假设（A.4）从上面有界，我们得到（2.8）中的最优值等于λγ，最优策略由贝尔曼方程（4.1）的选择器确定。证据这一证明可以被视为经典验证定理与风险敏感控制理论的一个变体（参见[16，定理2.1]）。

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mingdashike22

2022-5-9 02:26:27

设γ由（4.40）和γ给出∈ （γ，0），设uγ和λγ表示Bellman方程（4.3）的解。首先，我们需要证明λγ是任何γ的上界∈ （γ，0），即对于任何适应策略H=（Ht）t∈T、我们得到了≥ lim inft→∞γt-1Xi=0F（Xt，Ht，Wt）！。（5.1）对于我来说∈ T和p>1，使得γ>pγ，使用（4.3），我们有euγp（Xi）≤ E[euγp（Xi+1）+γpF（Xi，Hi，Wi）-λγpγp | Fi]。因此，利用塔的性质，我们得到λγpγp≤ E[euγp（Xt）-uγp（X）+γpPt-1i=0F（Xi，Hi，Wi）]长期风险敏感投资组合，对于任何t∈ 等价地，对于vγ（x）=uγ（x）γ，我们得到λγp≥γ-铂-1Xi=0F（Xi，Hi，Wi）+vγp（Xt）- vγp（X）！。在上面的不等式中，很难摆脱v的极限（注意，对于有界vit的情况很简单）。利用霍尔德不等式，我们知道对于q=p/（p- 1）我们得到λγp≥t“γt-1Xi=0F（Xi，Hi，Wi）！+uqγvγp（Xt）- vγp（X）#因此（对于任何p>1），因为vγp（Xt）-vγp（X）≤ M（2+ω（Xt）+ω（X））和limt→∞tuqγ（ω（Xt））=0我们有λγp≥ lim inft→∞γt-1Xi=0F（Xi，Hi，Wi）！。利用γ的连续性→ λγ（见推论4.9），我们有这个跛行→1λγp=λγ，显示（5.1）。其次，我们展示了贝尔曼方程（4.1）定义的策略的最优性，当ain（A.4）从上到下以A为界时。

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2022-5-9 02:26:30

让我们来看看γ∈ （γ，0），设M>0，使得kvγkω≤ M.对于由Bellman方程（4.3）确定的策略^H，利用μγ的单调性，我们得到λγ=tμγt-1Xi=0F（Xi，^Hi，Wi）+vγ（Xt）- vγ（X）！≤γt-1Xi=0F（Xi，^Hi，Wi）+M（ω（Xt）+1）- vγ（X）！≤γt-1Xi=0F（Xi，^Hi，Wi）+MtXi=1bi-1a（重量-i） +btω（X）+1！- vγ（X）！≤γt-1Xi=0F（Xi，^Hi，Wi）+M~a1-b+ω（X）+1- vγ（X）t→ ∞ 我们得到（考虑（5.1））λγ=lim inft→∞tμγ（t-1Xi=0F（Xi，Hi，Wi）），这就完成了证明的第二部分。6.示例性动态在本小节中，让我们给出一些动态示例，这些示例中的假设（A.1）-（A.5）都已完成。具有一般因素的长期风险敏感投资组合23例6.1。在这个例子中，我们将设置ω≡ 0（相当于，有人可能会说ω是有界的），并表明我们的框架涵盖了经典情况下的一大类动力学。第一个例子取自[25]。我们假设时间T=R+是连续的，但我们只能在离散时间n中重塑我们的投资组合∈ N.为了N∈ N和（z=1，…，k+m），假设wzn表示wz（t）的轨迹- wz（n）（n）≤ T≤ n+1），其中{wz（t）}k+mz=1是独立的布朗运动（产生过滤）。假设风险集合和因子的动力学由xjn=bj（Xn）给出-1） +k+mXz=1δjz[wz（n）- wz（n）- 1） ]n∈ N、 dSitSit=ai（Xn）dt+k+mXz=1σizdwz（t），t∈ [n，n+1），其中对于（i=1，…，m），（j=1，…，k）和（z=1，…，k+m）：ai，bi:Rk→ R是可测有界函数，Bi是连续的，δjz∈ R、 σiz∈ R和秩（（σiz）z=1，。。。，k+m）=k。hi（t）表示在t时投资于第i个风险资产的资本部分，letU={（h，…，hm）∈ [0,1]m:mXi=1hi=1}。此外，设Hin=hi（n）。

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2022-5-9 02:26:33

利用伊藤引理（详见[25]），我们得到了形式为F（Xn，Hn，Wn）=mXi=1Zn+1nai（Xn）hi（s）ds的函数F-k+mXz=1Zn+1nmXi=1hi（s）σizds+Zn+1nmXi=1hi（s）k+mXz=1σizdwz（s）。我们可以检查假设（A.1）–（A.4）在这个框架中是否成立，对于ω≡ 参见[25]，其中直接证明了第4节中所有命题的事实等价物。为了清楚起见，让我们展示（A.4）中函数F的上界的存在性。我们得到f（Xn，Hn，Wn）=lnVn+1Vn=lnmXi=1HinSin+1Sin=lnmXi=1hinei（Xn）+Pk+mz=1σiz[wz（n+1）-wz（n）]≤ sup1≤我≤Mai（Xn）+k+mXz=1σiz[wz（n+1）- wz（n）]≤ kaksup+kσksupmax1≤Z≤k+m[wz（n+1）- wz（n）]，其中kaksup=sup1≤我≤msupx∈Rk | ai（x）|和kσksup=sup1≤我≤msup1≤Z≤k+m |σiz |。因此，is足以设置任何b≥ 0安达（w）=kaksup+kσksupmax1≤Z≤k+m | wz（n+1）- wz（n）|（w）。具有一般因素的长期风险敏感投资组合24注意，很容易检查a是否满足（2.4），对于高斯X，我们得到e | X|∈ L.此外，（2.2）源于b的有界性，（2.6）源于σ的非退化性和b的有界性，事实上，对于所有x，我们可以找到一个常数c∈ Rk。在本例中，Bellman方程（4.1）的解是有界的，因此我们在命题5.1中得出λγ是最佳值，无需额外假设。例6.2。现在我们来概括前面的例子。也就是说，letG（x，W）=B（x）+C（W），其中B:Rk→ kB（x）k≤ A+bkxk，b<1，C:Rk+m→ Rkis从公式c（Wn）=min（k+mXz=1δjz[wz（n）的上方起界- wz（n）- 1） ]，K），K>0。然后Xn=B（Xn-1） +C（Wn），dSitSit=ai（Xn）dt+k+mXz=1σizdwz（t），t∈ [n，n+1），其中我们假设kaikω<∞. 选择ω（x）=a+bkxk可以检查所有假设（a.1）-（a.5）以及ain（a.4）的有界性是否满足。特别是，假设（a.5）在x中一致满足∈ 由于G（x，W）和C（Wn）的形式，RK是紧致集的一部分。例6.3。

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2022-5-9 02:26:36

假设假设（A.1）和（A.2）成立，对于任何t∈ T、式中ξ是一个可测向量函数。此外，集合U的形式为{（h，…，hm）∈ [0,1]m:Pmi=1hi≤ 1}. 然后我们可以明确定义F，asF（Xn，Hn，Wn）=lnmXi=1Hinξi（Xn，Wn）+（1-mXi=1Hin）！。为了得到假设（A.3）和（A.4），我们需要对W和ξi施加额外的假设。特别是，我们可以通过设置Win=wi（n+1）来考虑示例6.1的离散化版本- wi（n）和ξi（Xn，Wn）=expnai（Xn）-k+mXz=1σiz+k+mXz=1σizWjno。（6.1）参见[26]了解一般情况，参见[10]了解（6.1）成立时的情况。具有一般因素的长期风险敏感投资组合25参考文献[1]T.R.Bielecki，I.Cialenco和M.Pitera，离散时间动态极限增长指数，arXiv预印本arXiv:1312.1006（2013）。[2] T.R.Bielecki，I.Cialenco和Z.Zhang，《动态一致可接受性指数及其在金融中的应用》，数学金融24（2014），第3411-441号。[3] T.R.Bielecki和S.R.Pliska，风险敏感动态资产管理，应用。数学擎天柱。39（1999），第337-360号。[4] ，投资组合管理风险敏感标准的经济性质，《会计与金融评论2》（2003），第3-17页。[5] R.Cavazos Cadena和D.Hern’andez Hern’andez，《有限控制马尔可夫链中最优风险敏感性平均成本的表征》，《应用概率年鉴》15（2005），第1A期，175-212页。[6] A.S.Cherny和D.B.Madan，《绩效评估的新措施》，《金融研究回顾》第22期（2009），第7期，2571–2606页。[7] P.Dai Pra，L.Meneghini和W.J.Runggaldier，《随机控制和动态地图之间的联系》，控制数学，信号和系统9（1996），第4期，303–326。[8] G.B.Di Masi和L。

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