最小R\enyi熵投资组合

2022-5-31 19:21:38

最小R’enyi熵组合Nathan Lassance*卢旺天主教大学、卢旺金融中心（LFIN）和运筹学与计量经济学中心（CORE）。《罗马之音》支付341348卢瓦因·拉纽夫，比利时。2018年7月-可在https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=2968660AbstractAccounting因为资产重组的非规范性在稳健投资组合优化中仍然具有挑战性。在本文中，我们通过评估投资组合的风险来解决这个问题，通过投资组合的回报所传达的“随机数量”。我们通过使用一个目标函数来实现这一点，该目标函数依赖于R’enyi熵的指数，这是一个信息理论标准，可以精确量化分布中嵌入的不确定性，考虑高阶矩。与香农熵相比，R’enyi熵具有一个参数，可以围绕不确定性的概念进行调整。格拉姆-查理尔展开式表明，它控制着测量中分布的中心（方差）和尾部（峰度）部分的相对贡献。我们进一步依赖于指数R’enyi熵的非参数估计，它扩展了最初为Shannon entr opy设计的鲁棒样本间隔估计。一个投资组合选择应用程序表明，最小化R'enyi熵yieldsportfolios可以在风险回报-营业额交易效果方面超过最先进的最小方差投资组合。关键词：投资组合选择；香农熵；R′enyientropy；Ris k测量；信息论。1、简介在投资组合优化中，众所周知，最优投资组合权重对参数输入中的估计误差的高度敏感性可以使其他合理的投资策略在很大程度上处于次优状态（见K olm et al。

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2022-5-31 19:21:41

2014年及其参考资料）。马尔科维茨（1952）的均值-方差投资组合尤其如此：最优权重对资产预期收益的估计误差非常敏感。为了解决这一稳健性问题，可以简单地忽略投资组合的预期回报约束，从而形成基于风险的分配框架（参见Ardia等人，2017）。最小风险投资组合尤其吸引了投资者的注意，因为“最小方差投资组合通常在样本外表现更好*通讯作者：nathan。lassance@uclouvain.be.+电子邮件：frederic。vrins@uclouvain.be.than任何其他均值-方差组合-即使在比较中使用了夏普比率或与均值和方差相关的其他绩效指标”（DeMiguel和Nogales，2009年，第560页）。最小风险投资组合通常使用方差作为风险度量。由于基于样本的最小方差投资组合仍然很容易受到估计错误的影响，因此开发了各种不同的robus t替代方案（参见Fabozzi等人2010年和Scutell\'a和Recchia 2013年的评论）。Ledoit和Wolf（2003、2004a、b）提出的收缩率估算方法尤其具有吸引力。然而，问题仍然是，方差仅对高斯分布而言是一个足够的风险度量，并且在很大程度上不受尾部浓度增加的影响（Ver morken et a l.2012）。因此，最小方差投资组合（varianceportfolio）不能解释资产回报的非正态性。可以使用两种主要的alter-native方法来处理非正态性。首先，可以最小化下行风险度量，例如。最小VAR和CVaR投资组合。然而，此类投资组合符合平均风险法（Fabozzi et al。

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2022-5-31 19:21:44

2010），产生了均值-方差投资组合的稳健性问题。其次，可以扩展效用函数的泰勒表达式，以包括投资组合回报的第三和/或第四时刻（参见Adcock 2014）。然而，由于维度的增加和对异常值的高度敏感性，对此类高阶投资组合进行稳健性验证是非常具有挑战性的。在本文中，我们提出了一种新的（尽管是自然的）方法来设计稳健的最小风险投资组合，以解释资产回报的非正态性。我们通过最小化通过R’enyi熵指数测量的投资组合回报的不确定性来实现这一点，R’enyi熵是在稳健的m间距框架内估计的。得到的最优投资组合称为最小R’enyi熵投资组合。熵是来自信息论的一个著名概念。它精确地旨在量化分布所传达的不确定性/随机性量，嵌入所有高阶矩（Cover和Thomas2006）。因此毫不奇怪，香农熵（熵的最标准定义）已被重新确认为金融领域的一种外观指标（Sbuelz和Trojani 2008，Zhou et al.2 013，Ormos和Zibriczky 2014），投资组合管理（Philippatos和Wilson 1972，Dionisio et al.2006，Vermorken et al.201 2，Flores et al.2017）和效用理论（Yang和Qiu 2005，Abbas 2006，Jose et al.2008）。然而，当使用熵构建最优投资组合时，文献仅限于使用熵作为惩罚项，而不是更标准的成本函数：人们将权重视为圆盘网概率，并使用其熵作为惩罚项，将其缩小到等权重解（见Bera和Park 2008，Zhou et al.2013）。相反，我们使用投资组合收益分布的熵（而不是权重的熵）作为基于风险的成本函数。

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2022-5-31 19:21:47

在信息论的意义上，寻求使后者最小化的权重可以使收益的不确定性最小化，从而提供最小风险投资组合。此外，我们还依赖于R′enyi熵，这是香农熵的一个特例。它具有一个参数α∈ [0，∞]这使得人们可以权衡将centraland尾部的不确定性最小化。我们特别赞成设置α∈ 【0，1】因此，R’enyi熵与s pread的测度（如坎贝尔1966年的扩展切比斯-赫夫不等式所示）和最小方差峰度目标（如测度的新Gram-Charlier展开所示）有着天然的联系。实验结果也支持这一选择。我们的贡献组织如下。第2节探讨了指数R′enyientropy的理论性质，并将其与风险的概念联系起来。第3节介绍了最小R’enyi熵组合及其与高阶矩的关系。第四节推导了测度的稳健m-spacings估计，并研究了其一致性和鲁棒性。我们设计并执行了第5节中提出的方法的实证样本外性能研究。最小R'enyi熵投资组合在风险调整绩效方面表现优于标准最小风险投资组合，同时实现了接近零的价值sofα的合理营业额水平。第6节结束。为了简明起见，在线资源中报告了不同提议的证明。2、指数R'enyi熵和风险度量我们从引入R'enyi熵开始本节，R'enyi熵是一种灵活的度量，用于量化随机变量分布的不确定性。它包含众所周知的香农熵，香农熵是作为特例恢复的。然后，我们展示了如何将其指数变换视为偏差风险度量。

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2022-5-31 19:21:50

对R'enyiα参数影响的讨论结束了s e作用，特别是认为s Tα∈ [0，1]应该在我们的投资组合选择上下文中受到青睐。在续集中，我们分别注释了随机变量X的FX和fXthecdf以及pdf。我们对连续分布非常感兴趣。2.1。Shannon和R'enyi熵随机变量X的熵通常指Shannon熵，由Shannon（1948）首次引入，产生了一门新的科学学科：信息论。定义灰分（X）：=H【fX】：=-Eln fX（X）. （2.1）已知该度量可以量化嵌入X中的随机变量量。例如，当X是一个具有有界支撑的连续随机变量时，对于均匀分布，该数量最大化，而均匀分布是特定的。香农熵嵌入了许多重要的性质。我们参考Cover和Thoma s（2006）的延伸治疗。R’enyi（19 61）在（2.1）中借助参数α提出了香农熵的推广∈ R+。他们的想法是考虑-ln fX，导致以下定义：Hα（X）：=Hα[fX]：=1- αln Efα-1X（X）, （2.2）只要存在期望。香农熵是在limα意义下的一个特例→1Hα（X）：=H（X）=H（X）。（2.3）与香农熵一样，R’enyi熵具有有趣的性质。然而，它的指数变换在风险的上下文中具有更多的自然属性。下一节致力于对指数R’enyi熵及其与偏差风险度量的关联进行更详细的分析。2.2。指数R'enyi熵由Hexpα表示指数R'enyi熵，从（2.2）中读取asHexpα（X）：=exp（Hα（X））=Z（fX（x））αdx1.-α。（2.4）坎贝尔（1966）首先介绍了该数量，他研究了该数量作为α分布扩散度量的相关性∈ [0，1]。

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2022-5-31 19:21:54

在第2.4节中，我们回到了经验α和spr read度量之间的联系。在本文中，我们将此度量应用于构建最小风险投资组合（se e第3节）。2.2.1. 根据R’enyi熵的特性（见Koski和Persson 1992，Johnson和Vignat 2007，Pham et al.2008），Hexpα符合以下特性。提案2.1。设c为实常数。Hexpα（X）满足以下性质：（i）平移不变性：Hexpα（X+c）=Hexpα（X）；（ii）标度特性：Hexpα（cX）=c | Hexpα（X）；（iii）它在α中是非递增和连续的。2.2.2。关于偏差风险度量量化不确定性，使用指数R'enyi熵作为偏差风险度量很有吸引力，Rockafellar等人（2006）介绍了这一点。定义2.1。偏差风险度量是指任何功能D：Lp(Ohm) → [0，∞] 满足：（i）正性：对于所有非常数X，D（X）>0，对于任何常数X，D（X）=0；（ii）正均一性：D（cX）=cD（X）c>0；（iii）平移不变性：D（X+c）=D（X）c∈ R（iv）次加性：D（X+Y）6 D（X）+D（Y）。让我们证明Hexpαful满足偏差风险度量的前三个属性（次可加性在下一节中讨论）。正同质性（ii）和平移不变性（iii）源于命题2.1中Hexpα的性质。从正性（i）来看，如果X与密度fx的正性不是常数，则Hexpα（X）是严格正的。为了证明如果X为常数，则为零，让我们计算Hexpα（k），当k为常数时，计算Hexpα（k+cX）的极限，因为对于给定的有限熵的随机变量X，c趋于零：Hexpα（k）=limc↓0Hexpα（k+cX）=极限↓0cHexpα（X）=0。2.2.3。

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2022-5-31 19:21:57

次可加性在本节中，我们首先强调，对于投资组合选择中遇到的大多数情况，xpα预计是次可加性的，但严格地说，它不是次可加性的。提案2.2。一般来说，Hexpα不是一个次加法测度。证据附录A给出了使用随机变量对（X，Y）的次加性的三个分析反例：一对独立的单侧（L'evy），一对基于Vrins等人提出的entr opy b边界的独立的双侧双峰（高斯混合）。（2007），并最终形成了一对共单调随机变量。有限合伙人(Ohm) 是支持集上定义的随机变量空间Ohm 有固定的时间。我们强调，这一主张与最近在投资组合管理文献中所作的一些陈述相矛盾（参见Flor es et al.2 017）。然而，值得强调的是，这些反例在投资组合应用中是非典型的。例如，L'evydistribution是非常有尾的：没有一个时刻是确定的，资产回报在实践中存在更多的尾部（续2001年）。类似地，多模态分布和协同单调性是投资组合管理中很少出现的行为。事实上，正如风险价值（Danielsson et al.2013）一样，指数R’enyi熵的次可加性可以合理假设在投资组合优化的特定背景下成立。例如，Z的指数r′enyi熵~ N（u，σ）坍缩为hexpα（Z）=σ√2πα1/(α-1）（Koski和Persson 1992）。从高斯分布的稳定性来看，次加性性质等同于σX+Y6σX+σY，而标准偏差的次加性又反过来成立（Artzner et al.1999）。然而，由于资产回报率通常不能用高斯分布很好地描述，这种特殊情况具有很大的限制性。

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2022-5-31 19:22:00

对资产回报率中观察到的fattails进行建模的一个更具吸引力的候选者是一般类别的椭圆（也称为径向）分布，它在数学金融和投资组合理论中有许多应用，参见。g、 Chen等人（2011年）。椭圆分布包括高斯分布、学生t分布、柯西分布和拉普拉斯分布。如下一个命题所示，当（X，Y）按照椭圆分布分布时，指数R′enyi熵是次加性的，提供了比高斯设置更广泛和更真实的条件。提案2.3。Let（X，Y）~ El（u，∑，g）和El（u，∑，g）为二元椭圆分布，即fX，Y（x）=|∑|-1/2克（十）- u)′Σ-1（x- u）,式中，gis为非负密度发生器函数，∑是∑行列式的绝对值=σXρσXσYρσXσYσY, （X，Y）的比例矩阵。然后，Hexpα是该对（X，Y）的次加性。证据见附录B。1、备注2。命题2.3可以扩展到任何维度，也就是说，如果X=（X，…，Xn）~El（u，∑，gn），然后是HexpαPni=1XiPni=1Hexpα（Xi）。结合正同质性性质，这意味着Hexpα在投资组合水平上是次加性的，即表示（w，…，wn）正投资组合权重，我们有HexpαPni=1wiXiPni=1wiHexpα（Xi）。我们感谢上述论文的作者就所提供的反例进行讨论。2.3。指数R'enyi熵是一种灵活的风险度量。该函数解释了α如何调整分布中心和尾部的相对分布，从而导致不同的风险定义。为了说明这一点，考虑两种极端情况α=0和α=∞. 如下一个命题所示，当α=0时，Hexpα（X）测量X的扩散，而当α=∞,Hexpα（X）由fX的上确界的倒数给出（见Koski和Persson 1992）。提案2.4。

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mingdashike22

2022-5-31 19:22:03

设X为连续随机变量，则Hexp（X）：=limα↓0Hexpα（X）和Hexp∞（十）：=limα→∞Hexpα（X）读取asHexp（X）=L(Ohm) , （2.5）Hexp∞（十） =1/sup-fX，（2.6），其中L(Ohm) 是X的支撑集的Lebesgue度量，Ohm := {x:fX（x）>0}。正如我们所看到的，改变α改变了我们衡量倾向性的方式，即不确定性，以及风险。取α=0等于通过分布的支持来测量r isk，而取α=∞ 通过最大概率来衡量风险的金额。正如我们在下一节中提出的那样，通过最小化投资组合回报率的各向异性，可以将x轴上的密度范围最小化（α=0），或将y轴上的密度范围最大化（α=∞.Hexp只关注极值（低熵=极值之间的低距离），而Hexp∞只关注最可能的结果（低熵=高最大可能性），因此，在对称单峰情况下，关注分布的中心。从这两个极端情况来看，结果是，在投资组合选择应用中，α太大是不可取的，因为Hexpα几乎不会受到tailevents的影响，这是对方差的批评。相反，通过减少α，我们为所有事件分配了更相似的“权重”，因此与模式周围的事件相比，增加了尾部事件的相对重要性。示例2.1。为了说明α的这种影响，图2.1显示了Hexpα（X），X~ t-Student（ν）与ν一起演化，以获得不同的α值。根据Zografos和Nadarajah（2005），Hexpα（X）表达asHexpα（X）=（πν）1-αΓν+1Γν!αΓα(ν+1)-Γα（ν+1）. （2.7）正如人们所看到的，当从α=2到α=0.4时，对ta il不确定度增加的敏感性越来越明显。2.4。

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2022-5-31 19:22:07

α的上诉∈ [0，1]在portfolioselection上下文中，上一节讨论了减少α值如何使人们获得一个熵的度量，该度量受尾部事件的影响越来越大。在本节中，我们更具体地表明，投资者应该倾向于设定α∈ [0，1]，在这种情况下，Hexpα提供了方差的外观范围作为风险标准。首先，对于α∈ [0，1]，Hexpα与扩散测量有密切联系。通过最小化方差，投资者确保投资组合回报的大部分概率分布集中在均值周围的某个小区间。这是由切比雪夫不等式建立的，给定集Ak={x∈ Ohm | |x个-E（X）|≥k} ，s表示P（X∈ Ak）≤Var（X）k。类似地，对于α∈ [0，1]，Hexpα（X）的一个小值意味着X的大多数概率分布集中在一组小的Lebesgue测度上。这是由坎贝尔（1966）的扩展切比雪夫不等式确定的。提案2.5。设X为连续随机变量，其R′enyi熵定义为α∈ [0，1]。那么，给定α∈ [0，1]和A′k={x∈ Ohm | 外汇（x）≤ k} ，以下不等式成立：P（X∈ A′k）≤kHexpα（X）1.-α。（2.8）该不等式比切比雪夫不等式更一般，因为它不仅处理平均值周围的绝对偏差，而是根据大多数概率密度所在的集的大小来关联扩散。对于具有Ohm = R和fX（x）→ 0作为x→ ±∞, 这对于资产回报来说很常见，那么只有两个x值，其中fX（x）=k（如果k<模式（x））。表示它们x-kand x+k，我们有x-k<模式（X）<X+k（2.8）表示P（X-k<X<X+k）≥ 1.-kHexpα（X）1.-α→ 1as Hexpα（X）→ 0

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2022-5-31 19:22:10

换句话说，如果Hexpα（X）很小，X集中在其模式周围的一个小间隔上的概率接近1。支持设置α的第二个参数∈ [0，1]与第3.2节中推导的r’enyi熵的Gram-Charlier展开式有关。扩展将显示，当α∈ [0，1]，X峰度前面的系数为正（α>1则为负），因此峰度的增加会降低R′enyi熵，这是投资者所期望的。第三，第5.2节中的经验结果显示，当α∈ [0，1]也是。3、最小R′enyi熵组合为了使Hexpα的理论性质与投资组合选择标准的期望特征很好地匹配，我们将此方法作为目标函数来设计投资策略。特别是图2.1：Hexpα对X尾部不确定性的敏感性~ t-Student（ν）随α减小而增大。注：我们在（2.7）中报告了Hexpα（X）的不同值α，作为X.3 4 6 8 10 12 14 16 18 20νHexpα（X）α=0.4α=0.5α=0.7α=1α=2的函数，以构建一个最小风险投资组合，称为最小R'enyi熵（MRE）投资组合，该投资组合将指数R'enyi熵最小化。我们用P表示投资组合回报，这样P=w′X=Pni=1wixi，其中w=（w，…，wn）′是投资组合权重的向量，X=（X，…，Xn）′是资产回报的随机向量。3.1。

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2022-5-31 19:22:13

定义给定α的n个资产投资集的MRE投资组合定义为aswα： =参数最小值∈WHexpα（P），（3.1），其中W是W上的一组约束，包括全投资约束1′nw=1。请注意，受权重非凸函数的高阶模型的影响（Jur czenko和Maillet 2006），在（3.1）中的优化程序可能不一定是凸的，即只具有一个局部最优。因此，在解决MRE投资组合时，必须完全采用全局优化技术，而不是标准的局部优化器。我们回到第5.1.4.3.2节。与基于动量的投资组合的联系：格拉姆-查利尔扩展传统的最小风险投资组合是根据投资组合回报的特定动量（通常是方差）构建的，导致最小方差投资组合，以及可能的更高阶矩，如马泰利尼和齐曼（2010）、阿德科克（2014）和范杜夫和姚（2017），我们称之为高阶投资组合。在经典的Markowitz-Gaussian设置中，MREportfolio与最小方差portfolio一致，因为Hexpα与高斯随机变量的方差之间存在一对一的对应关系。然而，在更一般的情况下，MRE投资组合比最小方差投资组合更有吸引力，因为它可以解释来自高阶矩的不确定性。要看到这一点，推导R'enyi熵的truncatedGram特征（GC）展开式很有用。提案3.1。让X∈ L(Ohm) 并注意▄X=（X- E（X））/pVar（X）其标准化副本。defineskew（X）=E（X）和Kurt（X）=E（X）- 然后，Hα（X）的截断GC展开式，表示为HGCα（X），写入asHGCα（X）：=HαN0，pVar（X）+ k（α）Kurt（X）+k（α）Skew（X）+k（α）Kurt（X），（3.2），系数k（α）=1- α8α，k（α）=-3α- 6α+524α3/2，k（α）=-3α- 12α+ 42α- 60α+35384α5/2。（3.3）证明。

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2022-5-31 19:22:16

见附录B。图3.1显示了系数k（α）、k（α）和k（α）。设置α=1，我们得到GC展开式HGC（X）=HN0，pVar（X）-倾斜（X）-Kurt（X）源自Hyv¨arinen等人（2001）。因此，控制kurto sis的能力是R’enyi熵相对于Shannon熵的显著优势，如后一种情况k（1）=0。MRE和高阶投资组合之间的联系现在已经明确。我们有hαN0，pVar（P）= HαN（0，1）+ln Var（P），图3.1：R’enyi熵的Gram-Charlier展开系数k（α）、k（α）和k（α）。注：公式（3.2）和（3.3）中显示了图特征展开和系数表达式。0.25 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5α-2-1.5-1-0.50.5更高的力矩系数k（α）k（α）k（α）k（α）yieldswα≈ arg最小值∈Wln Var（P）+k（α）Kurt（P）+k（α）Skew（P）+k（α）Kurt（P）。（3.4）当fPis接近高斯时，主要贡献的高阶项是k（α）Kurt（P）。当α<1，k（α）>0时，MRE投资组合类似于最小方差峰度投资组合，正如Martellini和Ziemann（2010）所指出的，这是一个良好的高阶投资组合，因为偶数矩的估计量比奇数矩的估计量噪音小。然而，当α>1时，k（α）<0，因此影响是相反的。根据投资者对峰度的偏好，设置α∈ 如我们在第2.4节中所述，[0，1]因此更为自然。因此，根据第2.3节，通过使用αo netrades函数最小化中心（方差）和尾部（峰度）不确定性，即前两个偶数矩。示例3.1。考虑n=2资产X=X⊥ X=Y遵循零平均Student t分布，其中（σX，νX）=（0.3，10）和（σY，νY）=（0.2，6）。我们构建了一个投资组合P=wX+（1- w） Y，并通过数值积分计算Hexpα（P）。在图3.2中，我们显示了hexpα（P）、pVar（P）和Kurt（P）如何依赖于w。

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2022-5-31 19:22:19

我们可以看到，当α足够高时，w因为σX>σ，并且当α较高时，大多数中心事件都很重要，所以与最小方差解一致。然而，α减少的越多，Y（νY<νX）的肥尾巴的影响就越重要，因此w接近最小峰度解。假设k（α）和k（α）对于所有α都是负值，那么两个附加项k（α）Skew（P）和k（α）Kurt（P）可以解释为使解远离最小化Hexpα（P），或者Hα（P）等价于exp（x）是一个单调递增的函数。高斯偏态和峰度。这很直观，因为在固定的均值和方差下，高斯分布的香农熵最大化（Cover and Tomas 2006）。最后，请注意，（3.1）中的优化程序可以容纳对形式为E（P）=w′u的投资组合预期回报的额外约束≥ u用u表示资产的预期回报，以说明投资者不仅关注ris k，还关注回报的事实。鉴于GC的扩展，这种框架将与Adcock（2014）和Qi et a l（2017）等研究的更高的力矩效率前沿相联系。然而，在实证研究中，我们将重点放在风险最小化上，因为估算向量u（见第1节）中固有的技术困难会导致样本外性能的显著损失。4、Hexpα的稳健m-spacings估计量在本节中，我们解释了在给定有限样本{Pt}16t6Twith Pt=Pni=1wiXi，t的情况下，如何稳健地估计Hexpα（P）。特别地，我们提出了一种基于样本间距的估计，并讨论了其一致性和鲁棒性。4.1. mspacings估计量的动机和表达式为了避免对投资组合收益的分布作出假设，我们正在寻找Hexpα（P）的非参数估计量。

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2022-5-31 19:22:22

关于Shannon熵的非参数估计存在大量研究，可在Beirlant et al.（1997）中找到。估计熵的一种自然方法是插入式估计，即将密度估计器插入熵的积分定义中。例如，我们可以使用著名的Parzen（也称为kernel）估计器。然而，已知该估计器对带宽参数非常敏感，这会产生图3.2的稳定性问题：最小R'enyi熵组合权衡方差和峰度的最小化。注：X⊥ Y遵循零均值Student t分布（σX，νX）=（0.3，10）和（σY，νY）=（0.2，6）。我们考虑一个portfolioP=wX+（1- w） Y并绘制其标准偏差pvar（P）、超额峰度Kurt（P）和经验R′enyientropy Hexpα（P），用于α和w的不同值∈ [0，1]。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1wpV ar（P）Kurt（P）α=0.2α=0.25α=0.3α=0.4α=0.5α=0.6α=0.8α=1.5我们的投资组合优化背景。相反，熵的m-spacingsestimation更为可靠：Wachowiak e t al.（2005）表明，此类估计器“稳健且准确，与流行的Parzen windowmethod相比，可以更好地估计熵，并且在许多情况下，需要的计算比Parzen方法更少。”因此，我们研究了r'enyientropy的稳健m-spa-cings估计量，该估计量扩展了Learn Miller和Fisher（1993）的香农熵m-spacingsestimator，这是一个“一致、快速收敛且计算效率高的熵估计量，对异常值具有鲁棒性”附录C给出了估算值的详细推导，为了简洁起见，我们在此仅报告最终表达式。提案4.1。设X为连续随机变量。

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2022-5-31 19:22:25

然后，Hexpα（X）的m间距估计量表示为Hexpα（m，T），读取asbHexpα（m，T）：=T- mT公司-mXi=1T+1mX（i+m:T）- X（i:T）1.-α!1.-α、（4.1）其中X（1:T）6 X（2:T）6····6 X（T:T）是X的顺序统计（即按递增顺序排序的观测值）和m∈ [1，T- 1] 是整数参数。证据参见附录C。参数m是一个非常重要的自由参数：增加其值可以通过在每个间隔x（i+m：T）中分组更多的顺序统计信息来减少估计量的方差- X（i:T）。因此，当应用于第5节中的经验数据时，Parzen估计器（具有高斯核）在带宽参数的广泛值范围内取得了比m-spacings估计器更差的风险调整性能。因为它决定了估计员的稳健性，以及MRE投资组合的稳健性。我们回到第4.2.2节。取α的极限→ 1，我们恢复了学习Miller和Fisher（1993）估计量的指数：bHexp（m，T）：=expT- mT公司-mXi=1lnT+1mX（i+m：T）- X（i:T）!.(4.2)4.2. m-spacings估计器的特性m-spacings估计熵吸引了大量研究（见Beirlant et al.1997），并给出了whileback的日期，例如Vasicek（1976）。然而，它主要考虑香农熵，即使对于这种特殊情况，也只研究了渐近行为。在一般情况下，α6=1，一致性尚未建立。在本节中，我们首先讨论了一致性估计量的性质，认为为了我们的投资组合应用，可以忽略估计量的符号偏差。其次，我们展示了参数M如何决定估计量的鲁棒性。4.2.1。渐近偏差首先考虑α=1的情况，表示bh（m，T）：=lnbHexp（m，T）。

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2022-5-31 19:22:28

van E s（1992）证明了bH（m，T）是渐近有偏的，但实际上，偏差只取决于m的固定值，而不取决于密度fX：bH（m，T）- H（X）→ ψ（m）- ln m a.s.，（4.3），其中ψ（x）=ddxlnΓ（x）是digamma函数。等式（4.3）意味着我们可以简单地减去偏差，得到一致的估计量。回到指数情况，这意味着我-ψ（m）bHexp（m，T）→ Hexp（X）a.s.（4.4）非常重要，正如（4.4）中所示，因为当α=1时，共感偏差仅取决于n m，使用（4.4）中的偏差修正估计量或（4.2）中的偏差估计量在搜索（3.1）中熵最小化的权重时是等效的。理想情况下，我们希望所有α都能得到相同的结果，即渐近偏差仅取决于α和m。虽然这种结果未知，但Hegde et al.（2005）指出，“在许多实际应用中，[…]这种偏差不会影响解决方案，因为它独立于真实的数据分布[…]此外，如我们现在所示，X和▄X=（X）的估计偏差- u）/σ是相同的，即它不依赖于X的具体位置和规模。提案4.2。设▄X=（X- u）/σ和bhα（X；m，T）：=lnbHexpα（X；m，T），然后是m-spacingsestimator的偏差BbHα（X；m，T）:= EbHα（X；m，T）-Hα（X）=BbHα（￠X；m，T）.证据见附录B。3.4.2.2。对异常值的鲁棒性参数m作为平滑参数，控制估计量的方差。本节表明，增加m会使m间距估计值更接近异常值，这对于确保MRE投资组合稳定的样本外表现至关重要。稳健性表明，真实回报分布的一个小扰动只会使估计值发生微小变化。在评估估计器的稳健性时，经验影响函数（E I F）代表了一个有用的工具（seeHampe l et al.1986）。

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2022-5-31 19:22:31

给定基于大小为T的样本的量θ的估计器θ（X，…，XT），EIFθ（r）测量估计器θ对在样本中添加补充观测值θr的灵敏度：EIFθ（r）：=（T+1）^θ（X，…，XT；^r）-^θ（X，…，XT）.（4.5）直觉上，EIF^θ（^r）越低，估计值^θ越稳健。图4.1显示了mspacings估计器的EIF-EIFbHexpα（^r）-对于T=250的x值~ N（u=0，σ=0.2）。继Hampel e t al.（1986）之后，我们设定Xi=u+σΦ-1.iT+1消除随机样本变量。我们认为∈ [-5σ，5σ]并仅报告α=0.5的结果，因为其他值产生相似性。我们确实可以观察到，对于足够大的^r值，即对于其他值，EIF随m减小。5、样本外实证研究我们通过对MRE投资组合的样本外绩效研究来结束本文，该研究旨在表明与现有战略相比，拟议投资组合政策的实际利益。该研究是在投资组合优化文献中常用的六个基准数据集上进行的。5.1。方法学5.1.1。比较策略报告的结果将MRE投资组合与α进行比较∈ {0.3、0.5、0.7、1、1.5、2}到五个不同的最小方差（MV）组合。前四个解决了二次优化程序W= arg最小值∈Ww′∑w（5.1），通过使用样本协方差矩阵xb∑和Ledoitand Wolf（2003，2004a，b）开发的三个稳健shr inkage估计器估计∑：b∑CC：=δbFCC+（1- δ)b∑，b∑SF：=δbFSF+（1）- δ)b∑，b∑I：=δbFI+（1- δ)b∑，（5.2），其中δ最小化收缩时间与真矩阵∑之间的Frobenius范数。

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2022-5-31 19:22:34

这三个目标矩阵基于常数相关模型（bFCC）、单因素模型（bFSF）和多重身份矩阵（bFI）。第五个MV投资组合是DeMiguel和Nogales（2009）的一步M投资组合（MP）：（w, u) = arg最小值∈W、 uTTXt=1ρ（Pt- u），（5.3），其中ρ是Huber的ro-bus t损失函数ρ（x）：=x/2如果| x | 6 cc（| x |- c/2）如果| x |>c，c=1%。（5.4）我们注意到，我们还实施了Jorion（19 86）的robustBayes-Stein均值方差投资组合，以及使用Boudt et al.（2008）中的稳健估计量的最小VaR投资组合。我们不报告其结果，因为尽管这些标准受到更高回报的积极影响，但由于其对投资组合预期回报的敏感性，它们的风险较低，即调整后的绩效比MRE投资组合低。同样权重的策略也得到了考虑，但尽管它自然实现了最低的营业额，但它在很大程度上优于所有其他策略，因此也没有报告。5.1.2。数据集我们依赖于肯尼思法国图书馆的六个月收益数据集，这些数据集在文献中被广泛用作比较投资组合策略的基准（参见DeMiguel等人2009a、b、Behr等人2013和andArdia等人2017）。表5.1列出了数据。图4.1：增加m提高了m间距估计器bhexpα（m，T）对异常值的鲁棒性。注：T=250观察值由X生成~ N（u=0，σ=0.2），通过设置Xi=u+σΦ-1.iT+1. 然后，在rα=0.5和不同的m值的情况下，报告了hexpα（m，T）的EIF和EIFbHexpα（^r）。它在异常值空间中随m而减小。-5σ -4σ-3σ-2σ-σ0σ2σ3σ4σ5σ^rEIFbHexpα（^r）m=5m=10m=25m=50表5.1：实证研究中考虑的数据集列表。注：所有数据集均为月度报表。行业投资组合考虑了价值加权方案。

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2022-5-31 19:22:37

资料来源：Kenneth French Librara ry.数据集Abb。n Time perio d6 Fama-按规模和账面市值排序的法国公司投资组合6BTM 6 07/1963-06/201625 Fama按规模和账面市值排序的法国公司投资组合25BTM 25 07/1963-06/20166 Fama-按规模和动量排序的法国公司投资组合6Mom 6 07/1963-06/201625 Fama按规模和动量排序的法国公司投资组合25Mom 25 07/1963-06/201610行业代表美国股市的投资组合10 ind 10 07/1963-06/201617代表美国股市的行业投资组合17 ind 17 07/1963-06/20165.1.3。动态再平衡我们通过动态再平衡来构建投资组合。不太频繁地重新平衡重量对于确保令人满意的性能和营业额很重要（Car rollet al.2017），因此我们设定了一年的滚动窗口，如Behr et al.（2 013）。估计窗口设置为N年，即T=120。我们在DeMiguel et al.（2009b）和Behr et al.（2013）中使用1963年7月作为起始日期，并在2016年6月之前平衡投资组合。这是一个43年的样本期以外的时期。5.1.4. 优化正如第3.1节所指出的，MRE优化程序通常不是一个凸问题。因此，为了找到最佳权重，我们依赖Ugray et al.（2007）基于NelderMead算法的globaloptimizer。通过这样做，我们将陷入局部极小值的风险降至最低。我们在不同的数据集上观察到，多次重新编译优化会产生本质上无法区分的解，这说明非凸性不是一个主要问题。5.1.5。选择第4.2.2节中指出的mAs，m的值对于间距估计值至关重要，因为它决定了MRE投资组合的稳健性。

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2022-5-31 19:22:40

为了说明这一点，表5.1报告了10Ind数据集，α=0.5和m=2、8、24时MRE最佳权重的时间演变。这些是无约束权重，即对应于W={W∈ Rn | 1′nw=1}。还报告了M-portfolio的权重，以供比较。可以清楚地观察到，增加m可以提高获得的最优权重的稳定性。作为第一种策略，我们考虑了遗漏交叉验证方法，使用最大回报、最小方差和最大夏普比率作为标准。然而，无论是在业绩还是营业额方面，取得的结果都很差。允许m在每个滚动窗口更改似乎会增加程序的不稳定性，因此不建议这样做。因此，作为第二种策略，我们使用了简单的经验法则m=T2/3= 24在所考虑的数据集上运行良好。事实上，我们观察到，一旦误差足够大，结果对所选m的特定值仅显示很小的敏感性，因此可以将m设置为24，而不用担心另一个差但接近的值会产生不同的结果。具体而言，表5.2中m=18和m=35的结果产生了非常相似的性能。唯一的变化是营业额方面，m=18时的营业额更高，几乎相同的形式=35。图5.1：增加m可提高MRE最优权重的稳定性。注：对于10Inddataset，我们报告了α=0.5和M=2、8、24的M-投资组合和MRE投资组合的最佳权重的时间演化。权重是无约束的d，即W={W∈ Rn | 1′nw=1}。5.1.6. 权重约束为了减少估计误差，在投资组合优化中，通常会限制解空间W。这有助于提高获得的最优权重的稳定性，进而提高投资组合的样本外绩效。

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2022-5-31 19:22:44

表5.1很容易理解这一点，在表5.1中，投资组合在无约束的情况下具有显著的营业额，即使n=10与样本量T=120的不相容性相对较低。因此，我们优化了不同的投资组合，并对权重进行了约束。我们实现了Levy和Levy（2014）设计的基于全局的约束（GVBC），其内容为asnXi=1wi公司-nσi‘∑≤ δ，（5.5），其中σi：=pVar（Xi）和‘σ：=nPni=1σi）。GVBC的基本原理是“对标准偏差相对较高的股票施加更严格的约束，因为这些股票参数的估计误差以及潜在的经济损失比标准偏差相对较低的股票更大”（Levy和Levy 2014 p.375）。使用美国行业投资组合数据集，作者观察到，与多种稳健的投资组合选择策略相比，样本外夏普比率有了很大改善，δ的值范围很广。特别是，δ在10%-25%之间的结果是稳定的。在续集中，我们将δ设置在较高的位置，即δ=25%，由于δ=0，因此很难区分不同的投资组合，因为它们太接近相等权重的投资组合。对于δ=20%和δ=15%，实证研究的结论保持不变，尽管自然不那么引人注目。5.1.7。绩效衡量我们用三个标准衡量投资组合的样本外绩效和稳定性：1。夏普比率，定义为：=（E（P）- rf）/pVar（P）（5.6），并使用样本估计器进行估计，这是资产定位文献中使用的最常见的性能度量。为简单起见，我们将thatrf=0，如DeMiguel et a l.（2009b），即。我们报告了变异系数的倒数。2.

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mingdashike22

2022-5-31 19:22:46

鉴于MRE投资组合与最小方差投资组合相比的吸引力在于考虑高阶不确定性，仅使用夏普比率不足以评估我们投资组合政策的优点。因此，我们还报告了P'ezier（2004）的调整夏普比率，该比率解释了投资者更高的时刻参考值，定义为ASAR：=SR1+倾斜（P）3！SR公司-库尔特（P）4！SR公司,（5.7）我们使用样本矩估计进行估计。3、为了评估投资组合的稳定性和相关交易成本，我们报告营业额，通常定义为周转率：=r- 1RXt=1nXi=1 | wi，t+1- wi，t+|，（5.8），其中R=43是再平衡周期数，wi，t+1是在t+1时资产i的期望权重，wi，t+是在t+1时再平衡前的权重。所有三个标准均以年度形式表示。5.2。样本外结果结果见表5.2。可以进行一些有趣的观察。首先，比较六个MRE投资组合，可以清楚地看到α=1.5和α=2的收益率是迄今为止表现最差的。这与（3.2）中的Gram-Charlierexpansion一致，其中s e ttingα>1有利于具有更多峰度的溶液（在这种情况下，k（α）<0）。因此，从理论和经验角度来看，建议设置α6 1，如第2.4节所述。其次，MRE投资组合的tur-nover系统性地随α增加。从α=0.3到α=0.7，它不会增加太多，但随后会急剧增加。这种影响可以通过以下事实来解释：Hexpα（P）（作为w的函数）的凸度随着α的增加而减小。例如，这在图e 3.2中可见。

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2022-5-31 19:22:49

这使得最小值更有可能从一个滚动窗口变为另一个滚动窗口，因为目标函数围绕最小值变化，α越高。第三，对于α∈{0.3，0.5，0.7，1}，MRE portfoliois的性能相对于α非常稳定。通过查看六个数据集的平均SR和ASR，很容易观察到这一点。这种参数稳健性对决策者来说是一种很有吸引力的行为。结合营业额随α增加的事实，这意味着选择α非常低，在这种情况下，α=0.3左右，可以在风险、回报和营业额之间进行最佳权衡。第四，比较MRE和MV投资组合，我们可以确切地观察到，MRE投资组合在SR和ASR方面都比MV投资组合有所改善，但我们在下面的讨论中放弃的α=1.5和α=2除外。事实上，平均六个数据集的交叉点，每个MRE投资组合显示的SR和ASR都比所有MV投资组合大。然而，就营业额而言，所有MRE投资组合的稳定性都不如MVE投资组合。这是可以预期的，因为MRE投资组合对高阶矩敏感，高阶矩受离群值的影响大于方差。也就是说，对于α=0.3和α=0.5，营业额的增长相当温和（α=0.3时平均约4个百分点）。因此，我们得出结论，与资产配置环境中的变量相比，R’enyi熵提供了更好的风险标准，尤其是对于α值较低的情况，这里所考虑的数据集，特定的α值=0.3。6、结论来自广泛科学文献的许多研究表明，尽管没有目标回报约束，但最低风险投资组合仍表现出稳定的样本外绩效。

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2022-5-31 19:22:53

虽然方差（最初由Markowitz引入）是高斯分布中的一种自然风险度量，但我们检查了α的结果∈{0.05、0.1、0.2}。与α=0.3相比，营业额几乎没有下降，夏普比率指标几乎保持不变。框架，它无法捕获实际应用程序中可能出现的极端事件。为了考虑到这一现实，提出了各种替代风险措施。在这篇文章中，我们提出了一种自然的不确定性度量——指数R’e nyi熵——作为投资组合选择的高阶标准。R’enyi熵广义化香农熵，产生一系列不确定性度量。其参数α能够调整度量中分布的中心和尾部的相对分布。由于其与偏差风险度量的类别以及扩展因子α的度量密切相关，因此具有指数级的跨形式完整性∈ [0，1]。最小化该度量得到最小R'enyi熵组合。Gram-Charlier展开表明，该投资组合代表了最小方差投资组合的高阶矩扩展，α控制方差和峰度最小化之间的权衡。在实际环境中，实证研究表明，最小R'e nyi熵投资组合在交易风险、回报和营业额方面比最先进的稳健最小方差投资组合在样本外表现更好，尤其是对于接近zer o的α。超出我们的应用范围，本文指出了R'enyi熵在各种运筹学问题中的吸引力，这是一种捕捉更高时刻不确定性的有力方法，也是一种将熵作为优化标准而不仅仅是一种特殊的评估指标的有力方法。

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2022-5-31 19:22:56

在投资组合选择的特殊情况下，R’enyi entr opy已成为现有风险标准的有力替代品，为其他应用打开了大门。例如，可以将R'enyi熵应用于风险平价策略，这就提出了计算资产对投资组合回报指数R'enyi熵贡献的挑战。致谢作者感谢克里斯·布特和维克多·德米格尔激发了讨论。作者还感谢2018年精算和金融数学会议、法国金融协会（AFFI）第35届年会和2018年比利时金融研究论坛的与会者的意见和建议。这项工作得到了国家科学基金会（F.R.S.-FNRS）[格兰特编号FC 1777 5]的支持。附录A。Hexpα次可加性反例在本节中，我们报告了命题2.2中提到的三个次可加性反例。表5.2：六个数据集中的样本Sha rpe比率、调整后的夏普比率和MRE和MV投资组合的营业额。

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2022-5-31 19:22:59

注：投资组合采用第5.1节所述的方法构建。夏普比率（SR）MRE投资组合MV投资组合α=0.3α=0.5α=0.7α=1α=1.5α=2b∑b∑CCb∑SFb∑IMP6BTM 0.844 0.845 0.846 0.841 0.832 0.815 0.835 0.821 0.833 0.836 0.84125BTM 0.985 0.980 0.973 0.961 0.937 0.906 0.953 0.913 0.951 0.9566Mom 0.768.763 0.753 0.750 0.716 0.700 0.738 0.741 0.738 0.737 0.73125Mom 0.936 0.948 0.957 0.960 0.954 0.928 0.902 0.920 0 0.904 0.9030.91610Ind 0.995 1.001 1.014 1.013 0.971 0.936 0.977 0.970 0.983 0.973 0.97617Ind 0.938 0.947 0.936 0.965 0.905 0.891 0.936 0.924 0.935 0.935 0.918平均0.911 0.914 0.913 0.915 0.886 0.863 0.890 0 0 0.882 0.891 0.890调整夏普比率（ASR）MRE投资组合MV投资组合α=0.3α=0.5α=0.7α=1α=1.5α=2b∑b∑CCb∑SFb∑IMP6BTM 0.829 0.830 0.831 0.826 0.816 0.800 0.822 0.8090.821 0.824 0.82625BTM 0.969 0.963 0.956 0.943 0.919 0.889 0.940 0.906 0.939 0.944 0.9406Mom 0.759 0.753 0.744 0.741 0.708 0.694 0.730 0.733 0.729 0.729 0.72325Mom 0.921 0.934 0.943 0.947 0.943 0.918 0.889 0.909 0.892 0.90210Ind 0.990 0.995 1.005 1.004 0.965 0.927 0.973 0.966 0.979 0.968 0.97217Ind 0.950 0.959 0.945 0.975 0.911 0.901 0.950 0.940 0.950 0.949 0.929平均0.903 0.906 0.9040.906 0.877 0.855 0.884 0.877 0.885 0.884 0.882转换MRE投资组合MV投资组合α=0.3α=0.5α=0.7α=1α=1.5α=2b∑b∑CCb∑SFb∑IMP6BTM 0.184 0.182 0.183 0.189 0.218 0.266 0.171 0.167 0.170 0.168 0.16825BTM 0.499 0.535 0.616 0.966 1.356 1.502 0.444 8 0.464 0.443 0.445 0.4786Mom 0.167 0.171 0.180 0.191 0.247 0.284 0.168 0.168 0.167 0.168 0.17825Mom 0.437 0.444 0.523 0.635 0.8601.200 0.417 0.413 0.410 0.416 0.42210Ind 0.348 0.350 0.378 0.450 0.600 0.776 0.283 0.276 0.274 0.286 0.32117 ind 0.526 0.568 0.685 0.825 1.033 1.246 0.449 0.422 0.433 0.452 0.467平均0.360 0.427 0.542 0.719 0.879 0.323 0.318 0.322 0.339A。1.

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mingdashike22

2022-5-31 19:23:02

列维分配命题。Hexpis不是独立L'evy分布随机变量对（X，Y）的次加性。证据Z的pdf~ L'evy（u，σ）由fZ（x）=pσ2πe给出-σ2（x-u）（x-u）3/2，并且对于x>u严格为正。其指数熵以封闭形式已知（见Zog rafosand Nada rajah 2003）：Hexp（Z）=4σ√πe1+2γ，其中γ≈0.577是乌勒-马斯切洛尼常数。我们注意到X，Y的参数分别为（uX，σX）和（uY，σY），σX，σY>0。由于L'evy是一个s表定律，因此X+Y之和等于L'evy，分布参数为uX+Y=uX+u，σX+Y=σX+σY+2√σXσY。次可加性与σX+Y6σX+σY相等<=> 2.√σX√σY6 0，当σX，σY>0时，该值始终保持不变。A、 2。B伊莫代尔分布命题。考虑（ZX，ZY）一对独立的标准正态变量和（UX，UY）一对参数为1/2的独立伯努利变量，与ZY，ZY两者都独立。定义X：=（2uXUX- uX）+σZX，Y：=（2uYUY- uY）+σzy，常数uX，uYandσ>0。然后，当（uX，uY）=（1，2）和σ<0.3918时，Hexpis对（X，Y）不是次加性的。证据注意φ（x）标准高斯密度，x，Y的边缘密度由高斯混合函数fx（x）=2σ给出φx+uxσ+ φx个- uXσ,fY（x）=2σφx+uYσ+ φx个- uYσ.（A.1）很容易证明（参见Pham和Vrins 2005），X+Y的密度为FX+Y（X）=4σ√φx+ux+uYσ√+ φx+ux- uYσ√+ φx个- uX+uYσ√+ φx个- uX- uYσ√.（A.2）由于Honly取决于X的密度fX，我们表示H[fX]：=H（X）。Vrins等人（2007）表明，对于密度c可以写成fZ（x）=PNn=1πnKn（x）形式的随机变量Z，其正权重πnsumming为1，高斯核Kn（x）=σnφx个-unσn,那么H（Z）可以在下面和上面有界。

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