（A.8）现在让我们展示（A.8）的反例，其中左侧高于右侧，即Hexpis超级加法。因为F′（X）必须是一个正的随机变量（F严格递增），我们认为F′（X）：=ζ~ 实验（1）。定义W：=ln（1+ζ）和Z：=lnζ。要获得超加性，我们必须证明eE（W）>1+eE（Z）。（A.9）可以发现W和Z的pdf由fw（x）=e1+x给出-ex，x>0，（A.10）fZ（x）=ex-ex，x∈ R（A.11）我们现在可以计算期望值。根据（A.10），E（W）由以下积分得出：E（W）=eZ∞xex公司-exdx。变量z=Ex的变化和partsyieldsE（W）=eΓ（0，1）的积分≈ 0.596，其中Γ（s，x）=R∞xts公司-1e级-tdt是上不完全Gamma函数。类似的推导得到E（Z）=-γ≈ -0.577，即减去Euler-Mascheroni常数。最后，我们同意（A.9）thateE（W）=eeΓ（0,1）≈ 1.815 > 1.561 ≈ 1+e-γ=1+eE（Z），因此为次可加性提供了反例。B、 命题的证明B。1、命题2.3证明。我们将u=0设置为Hexpα反翻译不变量，而不损失泛型。证明依赖于椭圆分布的特殊协解性质，参见Fangand Zhang（1990）。特别是，椭圆随机向量的任何线性组合都保持椭圆，这意味着我们可以写~ El（σX，g），Y~ El（σY，g），X+Y~ El（e′∑e，g），其中e=（1，1）′，因此e′∑e=σX+σY+2ρσXσY。此外，任何椭圆分布X都可以写为X=u+AY，其中AA′=σ，Y是球形分布，即具有∑=i，身份矩阵的椭圆分布。应用到我们的例子中，这意味着我们可以写出X=σXZ，Y=σYZ和X+Y=√e′∑eZ，带Z~ El（1，g）。

最后，Hexpα的次可加性降低为Hexpα（X+Y）6 Hexpα（X）+Hexpα（Y）<=>√e′∑eHexpα（Z）6σXHexpα（Z）+σYHexpα（Z）<=>qσX+σY+2ρσXσY6σX+σY，这对于任何ρ都是正确的∈ [-1，1]。B、 2。3.1投标书证明。X′的pdf的截断Gram-Charlier（GC）展开由fx′（X）给出≈ φ（x）1+倾斜（X）H（X）3！+库尔特（X）H（X）4！.（B.1）证明依赖于Hermite多项式的特殊性质。这些性质是根据标准高斯pdfφ的导数定义的：iφ（x）xi=(-1） iHi（x）φ（x）。前四个多项式由H（x）=x，H（x）=x给出-1，H（x）=x-3x和H（x）=x-6倍+3倍。它们形成了一个正交系统，即zhi（x）Hj（x）φ（x）dx=我！如果i=j0，如果i 6=j。为了找到Hα（X）的GC展开式，我们需要一个类似的系统，用于φ的α次方。可以检查φα（x）=kφ(√αx），k=（2π）1-α和iφ(√αx）xi=(-1） ieHi（x）φ(√αx），其中eH（x）=αx，eH（x）=αx-α、 eH（x）=αx-3αxandeH（x）=αx-6αx+3α。因此，关于原始多项式Hi’s，φ(√αx）形成系统zhi（x）Hj（x）φ(√αx）dx=如果i=j0如果i 6=j，则为Ci（α）。在代数运算之后，前四个系数Ci（α）表示asC（α）=α-3/2，C（α）=（α- 2） α+3α5/2，C（α）=3（3（α- 2） α+5α7/2，C（α）=3（3α- 12α+ 42α- 60α + 35)α9/2.现在让我们首先推导Iα（X′）=R（fX′（X））αdx的GC展开式。利用上述结果和二阶泰勒展开式（1+ε）α≈ 1 + αε +α(α-1） ε，Iα（X′）近似于asIα（X′）≈ 我N（0，1）+3kα（α- 1） 4个！α5/2Kurt（X）+kα（α- 1） C（α）2×3！倾斜（X）+kα（α- 1） C（α）2×4！库尔特（X）。注意，因为φ，所以没有倾斜（X）项(√αx）H（x）dx=0。现在，为了完成，我们需要返回到Hα（X）=1-αln Iα（X）。

我们应用泰勒展开式我N（0，1）+ ε≈ ln I公司N（0，1）+ 我N（0，1）-1ε，其中IN（0，1）=p（2π）1-α/α，最终屈服于α（X）≈ HαN（0，Var（X））+ k（α）Kurt（X）+k（α）Skew（X）+k（α）Kurt（X），其中函数k（α）、k（α）和k（α）在（3.3）中明确表示。B、 3。命题4.2证明。为了表示目的，我们表示X：=X′。FromRoyston（1982），X的密度（r:T），X的rthorder统计量，写到asfX（r:T）（X）=（1- FX（x））r-1（FX（x））T-rfX（x）。（B.2）因为我们有FX（x）=FXx个-uσ和fX（x）=fXx个-uσ/σ、 我们从（B.2）中发现，X（r:T）的密度由fX（r:T）（X）=σfX（r:T）给出x个- uσ,表示thatX（r:T）~ u+σX（r：T）。（B.3）替换（B.3）在bHα（X；m，T）的表达式中，我们可以写出bHα（X；m，T）=lnσ+bHα（X；m，T）。（B.4）此外，当Hexpα（X）=σHexpα（X）时，我们得到lnσ=Hα（X）- Hα（X）。将其替换为（B.4）yieldsbHα（X；m，T）=Hα（X）- Hα（X）+bHα（X；m，T）<=>bHα（X；m，T）- Hα（X）=bHα（X；m，T）- Hα（X）<=> BbHα（X；m，T）= BbHα（X；m，T）,这就完成了证明。C、 expαm-spacings估计量的推导本附录推导了Hexpα的m-spacings估计量，其最终表达式见第4.1节。考虑i.i.d.副本X，X，连续随机变量X的X。我们表示X（1:T）6 X（2:T）6·····<X（T:T）相应的顺序统计，并确定相关的m间距（1 6 m<T）是非负差异X（i+m:T）的序列- X（i:T），用于1 6 i 6T- m、 在第一步中，我们构建了expα（X）的1-间距估计量，因为情况m=1与密度fX的样本间距估计量有自然关系。首先，回想一下顺序统计Y（1:T），均匀U（0，1）随机变量Y的Y（T:T）遵循Be-ta分布（Arnold et al.1992）。特别是，EY（i:T）=iT+1。现在让我们映射X，XT通过FX获得TU（0，1）i.i.d.随机变量Yi：=FX（Xi）。

显然，序列FX（X（1:T）），FX（X（T:T））与theorder统计Y（1:T）一致，Y（T:T），导致：EY（i:T）= E外汇X（i:T）= PX 6 X（i:T）=iT+1。因此，二阶统计量X（i:T）6 X（i+1:T）isEZX（i+1:T）X（i:T）fX（X）dx=T+1。（C.1）我们可以使用这个关键观察值来获得Fxx的估计值，并告诉T阶统计量。实际上，o nec因此可以通过常数kisuch近似n个连续顺序统计量x（i:T），x（i+1:T）之间的fX（x），相应的概率质量ZX（i+1:T）x（i:T）bfX（x）dx=ZX（i+1:T）x（i:T）kidx=kiX（i+1：T）- X（i:T）与（C.1）中的预期概率质量一致。表示X（0:T）：=inf X和X（T+1:T）：=sup X，此yieldski=（T+1）（X（i+1:T）- X（i:T）），对于X（i:T）<X 6 X（i+1:T）。因为T+1间距构成X（0:T），X（T+1:T）, 我们可以近似密度fXbybfX（x）=TXi=01I{x（i:T）<x6X（i+1:T）}ki。（C.2）该估计器对应于由T+1个箱子组成的直方图，边界为[X（i:T），X（i+1:T）]，0 6 i 6 T，高度为每个箱子的面积等于1/（T+1）。从这个密度估计器中，可以导出Hexpα的1-spacingplug-in估计器，如下所示。提案C.1。将连续随机变量X的密度fx近似为（C.2），则Hexpα（X）的1间隔插件估计量由t+1TXi=0给出（T+1）X（i+1：T）- X（i:T）1.-α!1.-α。（C.3）证明。r（fX（x））αdx的1-间距估计量be comesZ（bfX（x））αdx=TXi=0ZX（i+1:T）x（i:T）（bfX（x））αdx=TXi=0（T+1）（X（i+1）- X（i））αZX（i+1:T）X（i:T）dx=T+1TXi=0（T+1）X（i+1：T）- X（i:T）1.-α、 导致（C.3）。（C.3）中的估计量不能这样使用，因为通常我们不知道X（0:T）和X（T+1:T），即X的真实支持度。

因此，根据Miller和Fisher（1993）的研究，我们对X（1:T）以下和X（T:T）以上的值进行了偏差，并通过系数T+1T进行补偿-1，得出最终近似值bhexpα（1，T）：=T-1吨-1Xi=1（T+1）X（i+1：T）- X（i:T）1.-α!1.-α。正如Learnd Miller和Fisher（1993）在香农熵的特殊情况下所详述的那样，1-间距估计值来自高方差。为了减少渐近方差，可以考虑在间距重叠的地方使用m-间距估计。kibecomeski的对应项（m）：=m（T+1）（X（i+m：T）- X（i:T）），对于X（i:T）<X 6 X（i+m:T）。但是，由于它们的间距重叠，因此它们不会形成X（0:T），X（T+1:T）此外（相同的x可以落在多个m间距中），因此我们失去了与密度估计器的对应关系，作为（C.2）中指标的加权和。然而，从ki（m）的定义来看，我们可以考虑hexpα（1，T）的这种扩展：bHexpα（m，T）：=T-mT公司-mXi=1T+1mX（i+m：T）- X（i:T）1.-α!1.-α、 cor响应（4.1）。取极限α→ 1，werecover the estimator in（4.2）：bHexp（m，T）：=expT-mT公司-mXi=1lnT+1mX（i+m：T）- X（i:T）!.参考文献Abbas，A.（2006）。最大熵效用。运营研究，54（2），277–290。Adcock，C.（2014）。均值-方差-偏态有效曲面、Stein引理和多元extendedskew student分布。《欧洲运筹学杂志》，234（2），392–401。Ardia，D.、Bolliger，G.、Boudt，K.、Gagnon Fleury，J.（2017）。基于风险的投资组合中的变量错误定义的影响。运筹学年鉴，254（1-2），1-16。Arnold，B.、Balakrishnan，N.、Nagaraja，H.（1992）。订单统计的第一门课程。纽约：约翰·威利父子公司。Artzner，P.、Delbaen，F.、Eber，J.、Heath，D.（1999）。一致的风险度量。《数学金融》，9（3），203–228。Behr，P.、Guettler，A.、Miebs，F.（2013）。

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