关于泛双线性投资组合的一个注记

2022-6-24 10:33:17

关于泛双线性冠状病毒的一点注记*北伊利诺伊大学2019年7月24日摘要本说明对“通用投资组合”的Magni ficent或Entlich封面理论进行了简洁而有趣的扩展和应用我通过考虑资产价格实现序列的后见之明确定的最佳双线性交易策略，概括了Cover的最佳常数再平衡投资组合（或1-线性交易策略）基准。双线性交易策略是一种小型两阶段主动策略，其最终资本增长在资产市场的每个阶段总回报向量中分别呈线性。我运用Cover（1991）的巧妙性能加权平均技术构建了一个通用的双线性投资组合，该投资组合保证（对所有可能的市场行为都是一致的）以与事后发现的最佳双线性交易策略相同的渐近速率复合其资金。因此，在相同的技术意义上，通用双线性投资组合渐近支配原始（1-线性）通用投资组合，即Cover的通用投资组合渐近支配所有常数再平衡投资组合和所有买入持有策略。事实上，就像许多俄罗斯玩偶一样，人们可以忘乎所以地利用这些想法构建一个无穷无尽的层次结构，其中包含越来越占主导地位的H-线性通用投资组合。关键词：在线投资组合选择；通用投资组合；稳健的程序；模型不确定性；不断重新平衡的投资组合；渐进资本增长；Kelly CriterionJEL分类代码：D81；D83；G11^W=ZB∈BTYt=1xByt！f（B）dB（1）*北伊利诺伊大学自由艺术和科学学院公共和全球办公室经济系助理教授，地址：伊利诺伊州德卡尔布市祖拉夫厅514号，邮编：60115。电子邮件：agarivaltis1@niu.edu.主页：http://garivaltis.com.

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2022-6-24 10:33:20

ORCID iD：0000-0003-0944-8517。我们首先调查任意市场序列的财富增长的自然目标可能是什么。例如，一个自然的目标可能是跑赢百思买和持有策略，从而击败一个在未来n天内看报纸的投资者。我们提出了一个更宏伟的目标-托马斯·盖德，《环球投资组合》，1991年。1988年，保罗·萨缪尔森突然给斯坦福大学信息理论家托马斯·考弗写了一封信。塞缪尔森被派去一位投资组合理论的封面人物进行审查。“如果我真的使用了你的一些程序，”萨缪尔森写道，“我不会让这……使我的投资组合选择偏向于我的外星堂兄使用日志实用性所做的选择。”他斥责凯利、拉坦、马科维茨和“大多数六月出现泊松分布概率的各种博士”-威廉·庞德斯通（WilliamPoundstone），《财富公式》（Fortune\'s Formula），2005年，有四个参数，我可以判断大象，有五个参数，我可以让它扭动鼻子-约翰·冯·诺伊曼纳（John von NeumannA）关于泛双线性投资组合的注释A.加里瓦提斯（Garivatis1）简介；文献综述。本说明很好地应用和扩展了由Thomas Cover（1991）、Cover和Ordentlich（1996）以及Ordentlich和Cover（1998）建立的优雅的通用组合理论。通用投资组合理论是对数最优投资组合理论（即渐进资本增长理论）的在线模拟，其精妙的简单性来自于约翰·凯利（1956）、亨利·拉坦（1959）、利奥·布雷曼（1961）和卡片计数器爱德华·O·索普（1969）。茶叶说，在实验室条件下，投资者或赌徒提前知道他所赌的盈亏结果的精确分布。

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2022-6-24 10:33:23

正如萨缪尔森（1963、1969、1979）多次指出的那样，麦克莱恩、索普和齐姆巴（2011年）认为，对数最优投资组合（或增长最优投资组合）具有巨大的最优特性，这与它们饱和了一种非常特殊的预期效用这一事实截然不同。Leo Breiman（1961）在这个方向上给出了第一个实质性结果，即所谓的Kelly赌徒在一般情况下，几乎肯定会以指数因子渐进地胜过任何“本质上不同的策略”。他还表示，为了基于目标的投资，凯利标准将达到远处高点的预期等待时间降至最低。罗伯特·贝尔（Robert Bell）和托马斯·考夫（Thomas Cover）（1980年、1988年）在一对漂亮的文章中指出，实际上，凯利规则也具有非常强的短期竞争最优性，即使是对于博彩或投资市场的单期波动。他们考虑了一个静态的零和投资φ-博弈，其payoff kernelis等于一个交易者的财富与另一个交易者的财富之比的任意增长函数φ（o）的期望值。但前提是，在通用双线性投资组合A注释之前。

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2022-6-24 10:33:26

GarivatisActual投资组合选择，允许每位参赛者对其初始美元进行公平的随机化（通过将其交换为平均值最多为1的任何随机资本），游戏的鞍点等于每位参赛者使用对数最优投资组合，以及仅取决于标准φ（o）的公平随机化，而不是潜在投资机会的任何特定特征。Garivatis（2018a）表明，钟形覆盖定理同样适用于连续时间内表现出依赖状态漂移和扩散的托卡斯特差异投资φ-博弈；Garivatis（2019a）进一步推广了这一结果，以涵盖连续时间市场上的杠杆投资φ-博弈，其中资产价格遵循跳跃-扩散过程，并具有紧密支持的跳跃回报。库拉托拉（Curatola）（2019）最近的一些研究调查了两个大公司的战略互动，这两个公司的交易不仅相互影响，还影响整个股市的预期回报。关于竞争最优与数学生物学中的进化偶然性相关的启发性讨论，请咨询Taland Tran（2019）。Cover的普遍投资组合理论始于他的经验性Bayesstock投资组合（Cover和Gluss 1986），其线索来自这样一个事实，即对于具有iid回报的股票市场，对数最优投资组合相当于某种恒常平衡投资组合（CRP）；这包括为每项资产确定正确的（最佳增长）目标财富百分比，并持续执行再平衡交易，以抵消分配漂移。然而，在存在模型不确定性的情况下（例如。

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2022-6-24 10:33:29

对于实际的股票市场），这个特定的CRP对于实践者来说是完全未知的。受信息理论类比的启发，Thomas Cover有着卓越的洞察力，他认为应该将自己的在线投资业绩与事后根据通用双线性投资组合A.Garivatis（已实现）资产价格序列的实际注释确定的最佳常数再平衡投资组合进行基准比较。事后优化的财富可以解释为一种金融衍生品，在Black和Scholes（1973）的（完整的）连续时间市场中，这种金融衍生品易于精确定价和复制。在这一点上，Ordentlich和Cover（1998）在时间-0为单一风险资产的无杠杆事后优化定价了再平衡选项；他们的工作二十年来一直没有完成，直到加里瓦蒂斯（2019b）完成，他演示了如何在任意时间t为任意数量的几何布朗运动相关股票定价和复制封面（杠杆）再平衡选项。在离散时间内，经验Bayes股票投资组合（Cover和Gluss 1986）、Dirichlet加权通用投资组合（Cover和Ordentlich 1996）和minimaxuniversal投资组合（Ordentlich和Cover 1998）都是值得注意的，因为它们保证在事后看到的最佳固定再平衡投资组合中，最终财富的比例很高，统一适用于所有可能的资产价格序列。

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2022-6-24 10:33:33

考虑到这一百分比（或竞争比率）以缓慢（多项式）的速度收敛到零，最佳CRPin事后预测的超额复合（对数）增长率（高于在线投资组合）一致收敛到零。因此，通用投资组合成功地将最佳CRP inhindsight的表现与“指数中的一阶”相匹配最初的通用投资组合（受到iid股票市场的启发）克服了一个缺陷，即它们无法识别和利用个别资产回报序列中甚至非常简单的序列依赖类型。例如，考虑一个双资产市场，其中资产2是现金（不支付利息），资产1是“热门股”，其价格在奇数周期交替翻倍，在偶数周期减半。当然，人们应该希望他的投资组合选择算法能够检测出这样一个微不足道的模式，从而学会（渐进地）每两个周期将其资本翻倍。但最初的环球投资组合，当应用于环球双线性投资组合A.Garivatis这一特定的资产价格序列时，只需学会使用不断的再平衡投资组合，即在每个投资期开始时，将其财富的50%投入股票，其余部分以现金持有；这就产生了渐进的资本增长，每两个周期的增长率为对数（9/8）=11.8%，持续复合，这与完美交易的对数2=69.3%相差甚远。解决这一难题的一个方法是使用带有辅助信息的通用投资组合（Cover and Ordentlich 1996）以及一个“信号”，例如，表明当前时期是否奇怪。这里的明显反对意见是，这一特定信号的效力（相对于任何其他附带信息）只有在事后才会变得明显。

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mingdashike22

2022-6-24 10:33:36

因此，本文不同地解决了这个问题：我们考虑了一个扩展的参数族，即小型2期主动交易策略缩放双线性投资组合，它明确概括了常数再平衡投资组合（这里称为1-线性投资组合）。因此，我们应用Ordentlich封面技术设计了一个通用的双线性投资组合，该投资组合以与事后发现的最佳双线性交易策略相同的符号率组合资金（从而学会在激励示例中完美交易）。因此，在相同的技术意义上（参见with Cover和Thomas 2006），通用双线性投资组合将逐渐主导通用1线性投资组合，即通用1线性投资组合逐渐主导所有常数再平衡投资组合和所有买入和持有策略。一旦做到这一点，我们就可以很容易地看到，对于所有可能的小视界，我们如何能够构建一个由越来越占主导地位的通用H-linearportfolios组成的无休止的层次结构∈ {1, 2, 3, ...}.关于通用双线性投资组合的说明A.Garivatis2双线性交易策略。我们首先定义双线性交易策略（或双线性投资组合）的概念，这是一种简单的2期主动策略，概括了恒常平衡投资组合（CRP）的概念。为此，我们假设有m个资产被称为di，j∈ {1，…，m}；我们让xi≥ 0表示第1期1美元资产投资的总回报，同样，我们让yj≥ 0表示第2期资产j的总回报。我们让x：=（x，…，xm）∈ Rm+- {0}表示周期1中的总回报向量，同样，y：=（y，…，ym）∈ Rm+- {0}是周期2中的总返回向量。定义1。双线性交易策略是一个平方矩阵B：=[bij]m×mofnon负权重之和为1。

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何人来此

2022-6-24 10:33:39

在两个投资期之后，双线性交易策略B将初始美元乘以两期资本增长系数的系数：=xBy=mXi=1mXj=1bijxiyj。（2）所有双线性交易策略的集合表示为db：={B∈ Matm，m（R）：B≥ 0和1B1=1}，（3），其中1：=（1，…，1）是1的m×1向量。提案1。双线性最终财富xBy通过以下两个时期的主动交易策略进行唯一复制：在第1个时期，我们使用初始投资组合p：=（p，…，pm）=B1，其中pi=mPj=1 Bij是财富的初始部分。g、如果xi：=1.05，则资产i在第1期升值5%；如果xi：=0.98，则资产i在第1期损失了其价值的2%，以此类推。双线性（参见Serge Lang 1987）指的是资本增长因子xBy在每个向量x和y中分别是线性的。当共同视为（x，y）的函数时，双线性形式xBy是2m变量x中的齐次二次多项式。。。，xm，y。。。，ym。关于通用双线性投资组合的说明A.Garivatis投资于资产i；在周期2中，我们必须使用portfolioq（x）：=（q（x）。。。，qm（x））=Bxpx=BxxB1，（4）例如qj（x）=mPi=1bijximPi=1mPk=1bikxi。（5）证明。我们从函数方程（px）·（q（x）y）=xBy，（6）开始，例如，两个周期的生长因子等于在周期1和2中获得的各个生长因子的乘积。首先，我们替换y：=1=（1，…，1）和x：=ei=（0，…，0，1i，0，…，0），这是Rm的ithunit基向量。正如承诺的那样，存在pi=eiB1=mPj=1bij。接下来，在恒等式q（x）y=xBypx中，（7）我们放置y：=ej。这就给我们留下了qj（x）=mPi=1bijximPi=1mPj=1bikxi，（8），这是期望的结果。为了在逻辑上完整，我们必须将p和q（x）的表达式替换为方程（6），以验证它们是否将其转换为关于泛双线性投资组合A.GarivatisIdentity的注释。

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何人来此

2022-6-24 10:33:43

给你：（B1）x·BxxB1y=xBy。(9)示例1。每一个固定的再平衡投资组合（参见Thomas Cover 1991）c：=（c，…，cm）相当于一个双线性交易策略，由外部产品B：=cc表示，例如bij：=cicjfor all i，j∈ {1，…，m}。这里，恒定的再平衡投资组合c决定始终保持每个资产i中财富的恒定比例CIO，其中ci≥ 0，MPI=1ci=1。示例2。更一般地，考虑始终使用组合c的交易策略：=（c，…，cm）∈ 最小时段1，然后始终使用投资组合d：=（d，…，dm）∈ 最小周期2（不考虑x的观测值），其中m：=c∈ Rm+：mPi=1ci=1表示Rm+中的单位投资组合单纯形。该方案是一种双线性交易策略，对应于外部产品B：=cd，例如，对于所有i，j，bij：=cidj∈ {1，…，m}。示例3。每个买入并持有策略（购买一些初始投资组合c：=（c，…，cm）并持有两个时期，不进行再平衡）相当于一个双线性交易策略，由对角矩阵B表示：=diag（c，…，cm）。受Ordentlich和Cover（1998）以及Cover和Thomas（2006）的启发，我们注意到双线性交易策略的概念有以下简单明了的解释。让我们通过简单的交易方案来定义一个极值策略：在第1阶段，我们将100%的财富投入到资产i中，然后在第2阶段，我们将所有收益转入资产j中。因此，在分配漂移方面存在不同的极值，例如，一些组成资产在每个阶段都会表现优于投资组合（而一些资产将表现不佳），CRP通常必须在每个周期进行交易，以恢复目标分配c：=（c，…，cm）。从字面上看，B的一个极值点。关于泛双线性投资组合A的注记。

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mingdashike22

2022-6-24 10:33:46

加里瓦提斯战略（i，j）∈ {1，…，m}×{1，…，m}；由于（i，j）极端策略产生xiyj的资本增长因子，因此相当于双线性交易策略B：=eiej，这是B的一个极值点。一般双线性投资组合B：=[bij]m×mis可唯一表示为极端策略的凸组合B=mXi=1mXj=1bijeij（10）；这意味着B的实践者已经选择将他最初的美元投入到每个极端策略（i，j）中。因此，在两个时期结束后，投资者的总财富将等于tomPi=1mPj=1bijxiyj=xBy。3通用双线性投资组合。我们现在考虑渐近占优（或增长最优）双线性投资组合的在线学习。为此，我们假设有T个基本投资期T∈ {1，…，T}，每个被分为“前半部分”（期间总回报向量为xt）和“后半部分”（期间总回报向量为YT）我们让xt：=（x，…，xt）∈Rm+- {0}t记录第1期、第1期、第1期和。。。，t、同样，我们让yt：=（y，…，yt）∈Rm+- {0}t确定第1期后半年的回归历史。。。，t、因此，我们有转换法xt+1：=（xt，xt+1）和yt+1：=（yt，yt+1），其中x和yde记录空历史。我们让wb（xt，yt）：=tYs=1xsBys（11）一份关于通用双线性投资组合A的注释。garivatis表示双线性交易策略B相对于回报历史的最终财富函数（xt，yt）；类似地，我们编写wb（xt，yt-1）：=t-1Ys=1xsBys！×（xtB1）=WBxt，（yt）-1, 1)（12）如果时间t只完成了一半。

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2022-6-24 10:33:50

我们将考虑顺序投资策略^B（o，o），即在每个时期t开始时，选择一些双线性投资组合^B（xt-1，yt-1）：=h^bij（xt-1，yt-1） im×M，以观察到的回归历史（xt）为条件-1，yt-1); 该双线性投资组合将在T期的整个期间内使用。投资计划实现的资本增长系数^B（o，o）相对于历史（xt，yt）等于^W（xt，yt）：=tYs=1xs^B（xs-1，ys-1） ys，（13），如果周期t只完成了一半，我们写下^W（xt，yt-1）：=“t-1Ys=1xs^B（xs-1，ys-1） ys#×hxt^B（xs-1，ys-1） 1i=^Wxt，（yt）-1, 1).（14）在给定的时间段t内，^B（o，o）的在线行为相当于Portfolivectors^p（xt-1，yt-1）：=^B（xt-1，yt-1） 1和^q（xt，yt-1）：=^B（xt-1，yt-1） xtxt^B（xt-1，yt-1)1. （15）为了在t个完整投资期结束后获得^B（o，o）在线绩效的实际基准，我们将考虑最佳双线性。存入B的初始货币存款等于空产品WB（x，y）：=1美元。关于通用双线性投资组合的一个注记A.个别序列（xt，yt）事后的GarivatisTrading策略：B*（xt，yt）：=arg maxB∈BWB（xt，yt）（16）和B*（xt，yt-1）：=参数maxB∈BWB（xt，yt-1） =B*xt，（yt）-1, 1). （17） B累积的最终财富*（xt，yt）是一种路径依赖型金融衍生工具，Payoffd（xt，yt）：=最大∈BWB（xt，yt）=WB*（xt，yt）（xt，yt）（18）和D（xt，yt-1）：=最大∈BWB（xt，yt-1） =Dxt，（yt）-1, 1). （19）提案2。最终财富函数WB（xT，yT）是向量x，y，x，y。。。，xT，yT，例如，它在每个向量xT中分别是线性的，在每个向量yT中也是线性的，对于1≤ t型≤ T、因此，事后优化的最终财富D（xT，yT）在每个xT和每个HYT中都是凸的和正均一的。证据WB（o，o）的多重线性很容易从定义中得出，例如：。

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2022-6-24 10:33:53

WB（xT，yT）=t型-1Qs=1xsBys· （xtByt）·TQs=t+1xBYS在X和yt中明显具有相加性和均匀性。如果我们写D（xt）并将D（o，o）视为xtonly的函数，那么关于xt（或关于yt）的凸性和同质性来自于映射xt7→ D（xt）是一系列线性函数的逐点最大值，即（WB（xt））B∈B由于明显的原因，任何因果（或非预期）投资策略^B（o，o）都无法实现事后最优回报（o，o）；然而，可能需要注意的是，关于通用双线性投资组合A.Garivatisto achieveany average^W（xt，yt）：=ZB∈BWB（xt，yt）f（B）dB，（20），其中f（o）是B上的连续密度函数。也就是说，受ThomasCover（1991）和Cover and Ordentlich（1996）的启发，我们做出以下定义。定义2。通用双线性投资组合（对应于先验密度f（o）是所有双线性交易策略的绩效加权平均值：^B（xt，yt）：=RB∈BB·WB（xt，yt）f（B）dBRB∈BWB（xt，yt）f（B）dB=Ef【B·WB（xt，yt）】Ef【WB（xt，yt）】。（21）如此定义，矩阵^B（o，o）确实是一个有效的双线性投资组合，因为^B（xt，yt）的偏差≥ 0和1^B（xt，yt）1=1。初始双线性组合^B（x，y）等于质量RB的中心∈BBf（B）dB=由先验密度f（o）诱导的Ef【B】。提案3。T个完整投资期后，普遍财富^W（xT，yT）等于平均值^W（xT，yT）=ZB∈BWB（xT，yT）f（B）dB=EfWB（xT，yT）. （22）顺便说一下，如果某个因果（非预期）交易策略可以精确复制（或对冲）离散时间支付（xt，yt）=^W（xt，yt），那么该策略必然是唯一的。对于双线性支付，我们已经遇到了这种现象。关于泛双线性投资组合的一个注记。

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2022-6-24 10:33:57

t期内通用双线性投资组合的总回报由xt^B（xt）给出-1，yt-1） yt=RB∈B（xtByt）·WB（xt-1，yt-1） f（B）dBRB∈BWB（xt-1，yt-1） f（B）dB=RB∈BWB（xt，yt）f（B）dBRB∈BWB（xt-1，yt-1） f（B）分贝。（23）取方程（23）两侧的（伸缩）积，t：=1。。。，T，并记住WB（x，y）=1=RB∈Bf（B）dB，我们得到期望的结果：^W（xT，yT）=RB∈BWB（xT，yT）f（B）dB。继Cover（1991）和Cover and Thomas（2006）之后，通用双线性投资组合背后的直觉是：我们在所有双线性交易策略中分配初始美元（根据tof（o））∈ B、由此，在给定B附近的双线性投资组合将获得f（B）dB美元进行管理（从现在起直到王国到来）。经过t个完整的投资期后，该地区的双线性策略已将资金增长到WB（xt，yt）f（B）dB；因此，投资者的总财富等于∈BWB（xt，yt）f（B）dB。有了这种直觉，可以立即写出^B（xt，yt）的公式，因为给定B的区域设置负责管理分数φ（B）dB：=WB（xt，yt）f（B）dBRB型∈总财富的BWB（xt，yt）f（B）dB。因此，整体双线性投资组合就是凸组合^B=RB∈BB·φ（B）dB。长期以来，B附近的双线性交易策略*（xt，yt）由于其优越的指数增长率，即（1/t）log D（xt，yt），将控制更大的总财富份额。因此，总资金将（渐进地）以同样的速度复合自身；关于泛双线性投资组合A.Garivatisis，我们有关系极限→∞（事后看来，最佳双线性投资组合的超额增长率）=limt→∞“日志D（xt，yt）t-log^W（xt，yt）t#=0，（24）对于单个返回序列ω：=（xt，yt）∞t=1。

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2022-6-24 10:34:00

本文件的其余部分关注于勾勒出必要的细节。在这一点上，我们定义为：定义3。竞争比率R（xT，yT）衡量普遍双线性投资组合实际实现的后优化双线性财富的百分比，例如R（xT，yT）：=^W（xT，yT）D（xT，yT）=WB（xT，yT）的平均值WB（xT，yT）最大值WB（xT，yT）。（25）引理1。竞争比率R（o，o）始终为≤ 1.它在每个向量xt和每个向量yt中分别是阶0和拟凹的齐次。证据事实上，R（xT，yT）≤ 1紧随以下事实，即数字（WB（xT，yT））B的任何凸组合（或加权平均）∈B不能超过其最大值。度0的均匀性源于WB（o，o）和D（o，o）在每个向量xtor yt中都是线性均匀的（度1）。多重拟凹性来自这样一个事实，即当被视为XTONE（或YTOONE）的函数R（xt）时，我们处理的是正线性函数（即^W（xt））与正凸函数（即D（xt））的比率。也就是说，如果我们考虑的不仅仅是几乎所有地方；但在任何地方，对于所有可能的ω∈Rm+- {0}N、关于泛双线性投资组合A.Garivatis的注记上轮廓集Uα：=xt公司∈ Rm+：R（xt）≥ α=nxt公司∈ Rm+：^W（xt）- αD（xt）≥ 0o，（26）那么我们看到Uα是所有α的凸集∈ R、对于，如果α≤ 0，则Uα=Rm+，这是凸的；如果α≥ 0，则Uα是凸的，因为它是凹函数xt7的上轮廓集→^W（xt）- αD（xt）。由于0度的（多重）同质性，竞争比率仅与向量x或y的方向有关-它们的长度不影响泛双线性投资组合的相对性能。因此，我们可以自由地将每个xt（resp.yt）缩放λ的因子：=1/| | xt | |（resp.1/| | yt | |），以便xt（resp.yt）的坐标和为1，例如。

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2022-6-24 10:34:04

我们可以假设每个xtor yt都属于unitsimplexm、因此，我们有关系（xT，yT）：=inf（xT，yT）∈（Rm+-{0}）2TR（xT，yT）=min（xT，yT）∈2TmR（xT，yT），（27）例如，最坏情况相对性能R（xT，yT）超过简单数的乘积2毫米。更好的是，由于R（o，o）是多重拟凹的，其最小值实际上必须在某个极值点（xT，yT）实现∈ {e，…，em}2T，例如，返回历史，其中所有xt，yt都是单位基向量。发生这种情况的原因是，当R（o，o）仅被视为xt的函数时∈ m（或仅为yt∈ m），我们有R（xt）=R（xt1e+····+xtmem）≥ min{R（e），…，R（em）}=R（ei*), （28）一切可能的市场行为都会发生（xT，yT）。关于泛双线性投资组合A.Garivatis的一个注记，即竞争比率总是可以通过用适当的单位基向量ei替换任何xtor YT来降低*.在下面的内容中，我们将考虑单位基向量xT：=（ei，…，eiT）和yT：=（ej，…，ejT）的序列，其中iT：=（i，…，iT）∈ {1，…，m}和jT：=（j，…，jT）∈{1，…，m}T.为了简单起见，我们将通过编写（不言而喻的）表达式R（iT，jT）、^W（iT，jT）和D（iT，jT）来滥用符号。单位基本部门的序列在此称为极值序列或凯利赛马序列，因为它们对应于博彩市场（如赛马或预测市场），其中只有一项m资产的总回报为正。对于给定的Kelly序列（iT，jT），我们将要求计数，或relativefrequenciesnij（iT，jT）：=（次数（iT，jT）=（i，j））=X{t：（iT，jT）=（i，j）}1，（29），以便nij≥ 0和MPI=1mPj=1nij=T。引理2。

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2022-6-24 10:34:07

对于任何Kelly序列（iT，jT），事后来看，最佳双线性交易策略的最终财富等于D【nij】mi，j=1=Q（i，j）：nij＞0（nij／T）nij；universalwealth^W（iT，jT）承认minorant^W（iT，jT）≥f（T+m- 1)!mYi=1mYj=1nij！，（30）其中f：=最小∈Bf（B）是由优先级密度f（o）分配给任何双线性投资组合的最小权重。证据与Kelly序列（iT，jT）相反，双线性交易的最终财富A关于通用双线性投资组合A的票据。GarivatisStrategy B由WB（iT，jT）=TYt=1bitjt=Y（i，j）：nij>0bnij（iT，jT）ij给出。（31）该数量相对于B的最大化相当于Rm+中单位单纯形上的标准Cobb-Douglas优化问题。拉格朗日乘子得出解b*ij=nij/T，因此D（iT，jT）=Q（i，j）：nij>0（nij/T）nij。通过将WB（iT，jT）直接集成到一组双线性交易策略中，可以获得^W（iT，jT）的规定最小值。为此，我们将B识别为固体区域N（B，…，b1m，B，…，b2m，…，bm1，…，bm，m-1) ∈ Rm-1+：b+···+bm，m-1.≤ 1o，（32），其中bmm=1- b- · · · - bm，m-1不是自由变量。因此，我们必须评估（m- 1） -折叠积分zb=01-bZb=0···1-b- ··· -bm，m-2Zbm，m-1=0Y（i，j）6=（m，m）bnijij1.-X（i，j）6=（m，m）bijnmmf（B）dbm，m-1分贝。（33）关于通用双线性投资组合A.Garivatis的注释，使用f（B）的事实≥ f、并回顾一般标识yz=01-zZz=0···1-z-···-zk公司-2Zzk-1=0zαzα··zαk-1公里-1(1 - z- z- · · · - zk公司-1） αkdzk-1···dzdz=Γ（α+1）Γ（α+1）···Γ（αk+1）Γ（α+α+···+αk+k），（34）其中Γ（·）是伽马函数，我们将k：=mand获得^W（iT，jT）≥ f·mQi=1mQj=1Γ（nij+1）m+mPi=1mPj=1nij！=f·mQi=1mQj=1nij！（T+m- 1)!, （35）如承诺的那样。推论1。对于所有xT，yT，竞争比率有以下（统一）界限：1≥ R（xT，yT）≥f（T+1）（T+2）···（T+m）- 1)~fTm公司-1.

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2022-6-24 10:34:10

（36）因此，事后来看，最佳双线性投资组合的超额连续复合每期增长率（即，-（1/T）log R（xT，yT））被0夹住≤ 超额增长率≤日志1楼T+Tm-1Xj=1log（T+j）。（37）这个恒等式后面是迭代积分的直接求值（34）。为了实现这一点，必须反复调用特例k：=2，例如Rz=0zα（1- z） βdz=Γ（α+1）Γ（β+1）/Γ（α+β+2），这是β函数，或第一类欧拉积分（参见David Widder1989）。关系~ 表明这两个序列是渐近等价的，例如~ B表示限制→∞an/bn=1。也就是说，每个完整的投资期（两部分）。关于泛双线性投资组合A.Garivatis的一个注记，即在最坏的情况下，超额增长率渐近等于数量（m- 1）对数（T）/T。证据对于任何Kelly序列（iT，jT），引理1意味着r（iT，jT）=^W（iT，jT）Q（i，j）：nij>0（nij/T）nij≥ f·TT（T+m- 1)!mYi=1mYj=1nij！nnijij，（38），其中右侧使用0：=1的约定。现在，请注意整数程序min（[nij]≥0：mPi=1mPj=1nij=T）mYi=1mYj=1nij！nnijij（39）的求解方法是将矩阵[nij]m×mto T的任何条目设置为零，并将所有其他条目设置为零，例如，我们有一个著名的不等式（参见Cover和Ordentlich1996），mYi=1mYj=1nij！nnijij≥TTT。（40）因此，liesR（xT，yT）≥ 最小值（iT，jT）∈{1，…，m}2TR（iT，jT）≥f（T+1）（T+2）···（T+m）- 1). (41)定理1。

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可人4

2022-6-24 10:34:14

通用双线性投资组合渐近支配原始（1-线性）通用投资组合，其技术意义与通用1-线性投资组合渐近支配所有常数再平衡投资组合和所有买入持有策略完全相同。如果事后发现，最好的双线性交易策略比最好的固定再平衡投资组合保持了更高的符号资本增长率，那么，关于通用双线性投资组合的注释a.Garivatis，那么通用双线性投资组合将以指数因子渐进地优于通用1线性投资组合。证据我们让^S（xt，yt）：=Zc∈m“tYs=1（cxs）（cys）#g（c）dc=Eg”tYs=1（cxs）（cys）#（42）表示t个完整投资期过后通用1线性投资组合的财富（参见Thomas Cover 1991和Cover and Ordentlich 1996），其中管理信息系统Rm+和g（o）中的单位投资组合单一是优先密度m、事后来看，最佳固定再平衡投资组合的最终财富将表示为*（xt，yt）：=最大值∈mtYs=1（cxs）（cys）。（43）由于下界^W（xt，yt）^S（xt，yt）=^W（xt，yt）D（xt，yt）·D（xt，yt）S*（xt，yt）·S*（xt，yt）^S（xt，yt）≥fm公司-1Qj=1（t+j）·D（xt，yt）S*（xt，yt）·1，（44）我们可以将渐近超额增长率（泛双线性投资组合相对于泛1线性投资组合）最小化如下：→∞“对数^W（xt，yt）t-对数^S（xt，yt）t#≥ lim信息→∞（1吨）logfm级-1Yj=1（t+j）！+lim信息→∞日志D（xt，yt）t-日志S*（xt，yt）t= lim信息→∞日志D（xt，yt）t-日志S*（xt，yt）t≥ 0，（45）关于泛双线性投资组合A的一个注记。

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2022-6-24 10:34:17

Garivatis我们利用了以下事实：*（xt，yt）≥^S（xt，yt）和d（xt，yt）≥ S*（xt，yt）保持所有xt和所有yt。因此，我们已经证明，即使是超额增长率（1/t）对数的最小后续极限^W/^S是非负的；如果事后看来，最好的双线性交易策略恰好实现了比事后看来最好的常数再平衡投资组合更高的渐近增长率（在这个意义上，最小的后续限制（1/t）log（D/S*) 则泛双线性投资组合将以指数因子渐近优于泛1线性投资组合。3.1激励示例的解决。为了结束这篇文章，本小节提供了通用双线性投资组合在m=2资产的原始激励示例（如引言所述）中行为的精确公式。因此，我们假设资产2是现金（不支付利息），资产1是“热门股票”，在每个投资期的前半期总是翻倍，然后在每个投资期的后半期损失50%的价值。因此，我们有xt定义的个人返回序列：≡ （2，1）和yt：≡ (1/2, 1). 如图1所示，所有双线性交易策略集现在包含在四面体B中：=（b、b、b）∈ R+：b+b+b≤ 1., （46）其中变量bis受关系b的约束：=1- b- b- b、与Thomas Cover（1991）类似，我们将使用均匀先验密度f（b，b，b）≡普遍双线性投资组合的实践者必须对个人收益序列ω：=（xt，yt）抱有希望∞t=1具有这一令人愉快的特性。关于泛双线性投资组合A的一个注记。

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2022-6-24 10:34:20

Garivatis000.5b21b110.51两项资产的双线性交易策略集1B120.510b11+b12+b215 1，bij6 0，b22：=1！b11！b12！b21：图1：所有可能的双线性交易策略B集合B的几何描述：=[bij]2×2以上两种资产。定义关系为B≥ 0; b+b+b≤ 1.和b：=1- b- b- b、该四面体的体积为1/6.6，例如，四面体b的体积由体积（b）=Zb=01给出-bZb=01-b-bZb=0dbdbdb=。（47）在每个（完整）投资期内，双线性交易策略B得出的（期内）资本增长系数为toxtByt=2 1bbb1级- b- b- b1/2= 1+b-b、（48）因此WB（xt，yt）=（1+b+b/2）t。因此，通过评估关于通用双线性投资组合的注释A.加里瓦蒂斯三重积分zb=01，可以找到在t个完整投资期过后获得的通用财富^W（xt，yt）-bZb=01-b-bZb=01+b-btdbdbdb=t+5- 12（t+2）- 21-t（t+1）（t+2）（t+3）~t·2t。（49）事后看来，最好的双线性交易策略是*（xt，yt）≡0 10 0, （50）例如，极端策略，即在每个投资期的前半期将牧场押在股票上，然后在每个投资期的后半期完全兑现。这种（完美交易）产生了事后最优财富D（xt，yt）=D（xt，yt-1） =2t，对应于渐近增长率limt→∞（1/t）log D（xt，yt）=log 2=每个完整投资期的69.3%，连续组合。t个完整周期后的竞争比率等于toR（xt，yt）=32- 12（t+2）2-t型- 21-2t（t+1）（t+2）（t+3）~t。

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mingdashike22

2022-6-24 10:34:23

（51）请注意推论1向我们承诺了minorantR（xt，yt）≥（t+1）（t+2）（t+3），（52）确实正确；我们当然有限制→∞（1/t）log R（xt，yt）=0，因此，通用双线性投资组合以与事后最佳双线性交易策略相同的渐近速度组合资金。关于泛双线性投资组合的一个注记A.相对于这个单独的回报序列，泛双线性投资组合的表达式为三重积分W（xt，yt）Zb=01-bZb=01-b-bZb=01+b-bt型bbb1级- b- b- bdbdbdb。（53）通过一些努力，可以明确评估在线双线性权重，如下所示：^b（xt，yt）=2·4t+2- 3·2t（t+5t+10）（t+4）[4t+2- 3·2t+1（t+2）+1]~t型→ 0，（54）^b（xt，yt）=t+4（3t- 4） +18（t+4）+2-t3（t+4）[2t+4- 6（t+2）- 2.-t]→ 1，（55）^b（xt，yt）=t+6- 36（t+1）- 2.-t（3t+19）3（t+4）[2t+4- 6（t+2）- 2.-t]~3吨→ 0，（56）^b（xt，yt）=^b（xt，yt）~t型→ 0。（57）注意，（1，1）和（2，2）极值策略（两者都相当于买入和持有策略）由泛双线性投资组合赋予相等的权重（即^b=^b）；之所以会出现这种情况，是因为这两种资产在任何完整的投资期内都会为买入并持有投资者产生相同的结果。因此，通用双线性投资组合学会了在尽可能有限的条件下进行完美交易→∞^B（xt，yt）=0 10 0. （58）对于通用1线性投资组合来说，情况并非如此，它实现了通用双线性投资组合的capitalA注释A.Garivatisgrowth factor^S（xt，yt）=Zc=0（1+c）t（1- c/2）tdc=tXk=0t-kXk=0tk、k、t- k- k(-1） kk+k（k+2k+1）。（59）在t个完整的投资期之后，事后来看，最佳的固定再平衡投资组合等于（1/2，1/2），这对应于（次优）双线性交易策略B=1/4 1/41/4 1/4.

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能者818

2022-6-24 10:34:26

因此，事后看来，最佳持续再平衡投资组合的最终财富是S*（xt，yt）=（9/8）t。因此，泛双线性投资组合的超额渐近增长率（高于泛1线性投资组合）为log 2- 对数（9/8）=每（完整）投资期57.5%，连续组合。为了便于可视化，图2绘制了通用双线性投资组合的资金总额与通用1线性投资组合的资金总额以及完美交易者获得的财富。下面板显示了从所有双线性交易策略的性能加权平均值中获得的参数学习。4总结和结论。在这篇文章中，我们构建了一个出色的lucidOrdentlich“通用投资组合”封面理论的巧妙应用和扩展最初的（1线性）通用投资组合保证实现最终财富的高百分比，这将累积到最佳固定再平衡投资组合中。在这里，我们使用了统一的先验密度g（c）≡ 1在单位时间间隔内[0，1]。关于泛双线性投资组合的一个注记A.资产价格的GarivatisSequence。不断重新平衡的投资组合构成了一个非常简单的主动交易策略参数族，“活动”相当于持续执行平衡交易，以便将投资组合恢复到给定的目标配置。

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2022-6-24 10:34:29

受不断重新平衡的投资组合是一种（地平线1）交易策略的启发，任何给定时期的资本增长因子都是市场总回报向量的线性函数，我们决定考虑更广泛的双线性交易策略（或线性投资组合），这是一种小型2期主动策略，其资本增长因子在两个总回报向量中分别呈线性。因此，我们在事后发现资产价格的实际序列时，找到了最佳双线性交易策略这一更有力的基准。这导致我们将applyCover（1991）的巧妙性能加权平均技术应用于这种新情况，例如，通用双线性投资组合是所有可能的双线性交易策略的性能加权平均。运用Cover和Ordentlich（1996）的优雅方法，我们表明，对于任何拥有m资产的金融市场，在最坏的情况下，通用双线性投资组合实现的事后优化财富的百分比将趋向于零，就像quantityT-（m）-1）作为T→ ∞, 式中，T表示完整（两部分）投资期的数量。因此，通用双线性投资组合成功地将事后最佳双线性交易策略的表现与“指数中的一阶”相匹配，例如，无论资产价格的单个序列如何，事后最佳双线性交易策略的超额连续复合每期资本增长率（一致）收敛为零。因此，我们证明了泛双线性投资组合在技术意义上渐近支配着泛1线性投资组合，其中泛1线性投资组合可以是现金，也可以是无风险债券。关于泛双线性投资组合的一个注记A.GarivatisPortfolio渐近支配所有常数再平衡投资组合和所有买入持有策略。

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2022-6-24 10:34:33

通用双线性投资组合将以指数因子击败通用1-linearportfolio，前提是单个资产价格序列具有这样的特性，即事后最佳双线性交易策略实现的渐进增长率严格大于事后最佳恒等平衡投资组合的渐进增长率。类似地，我们可以忘乎所以地定义三线性交易策略B的概念：=（bijk）mi，j，k=1，其在任何（三方）时期t的（地平线-3）资本增长因子等于三线性形式Hxt，yt，ztiB：=mXi=1mXj=1mXk=1bijjztk，（60），其中bijk≥ 0，MPI=1mPj=1mPk=1bijk=1。这导致了一个通用的三线性组合，最坏情况下的竞争比率表现为T-（m）-1）作为T→ ∞. 通常，anH线性交易策略（参见Garivatis 2018b）将每个时段t划分为H个子时段，其中总回报向量表示为（xt，xt，…，xht，…，xht）=（xht）Hh=1。期内资本增长现在由H线性形式（参见SergeLang 1987）hxt。。。，xHtiB：=X（i，…，iH）∈{1，…，m}H（B（i，…，iH）HYh=1xhtih），（61）其中B（i，…，iH）≥ 0和P（i，…，iH）∈{1，…，m}HB（i，…，iH）=1；随之而来的泛线性投资组合在最坏的情况下渐近达到分数T-（mH-1）后见之明的最佳H线性交易策略的最终财富。因此，我们可以用这种方法构建一个无限的层次结构，关于泛双线性投资组合的注A.Garivatismoriginal泛投资组合。

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2022-6-24 10:34:36

如果地平线是地平线H的整数倍，比如H：=q·H，那么连续几次重复给定H-线性投资组合B的行为构成了一种特殊类型的H-线性投资组合；因此，universal Hlinear投资组合的表现逐渐优于universal H-linear投资组合，达到指数的一阶，即la封面。北伊利诺伊大学披露。这篇论文完全是作者的作品，他宣称自己没有兴趣冲突；这项工作的资金完全来自他在北伊利诺伊大学的定期学术任命。参考文献【1】Black，F.和Scholes，M.，1973年。期权定价和公司责任。《政治经济学杂志》，81（3），第637-654页。[2] 布雷曼，L.，1961年。有利游戏的最佳赌博系统。《第四届伯克利数理统计与概率研讨会论文集》，1，pp.63-68。[3] 封面，T.M.，1991年。通用投资组合。《数学金融》，1（1），第1-29页。[4] Cover，T.M.和Gluss，D.H.，1986年。经验Bayes股票市场投资组合。《应用数学进展》，7（2），第170-181页。[5] Cover，T.M.和Ordentlich，E.，1996年。带有附带信息的通用投资组合。IEEE信息论学报，42（2），pp.348-363。关于通用双线性投资组合的说明A.Garivatis[6]Cover，T.M.和Thomas，J.A.，2006年。信息论要素。新泽西州霍博肯：约翰·威利父子公司。[7] Curatola，G.，2019年。战略互动的大型投资者的投资组合选择。工作文件。[8] 加里瓦蒂斯，A.，2018a。连续时间内的博弈论最优投资组合。《经济理论公报》，第1-9页。[9] 加里瓦蒂斯，A.，2018b。回溯选项的多线性超边缘化。工作文件。[10] 加里瓦蒂斯，A.，2019a。跳跃差异的博弈论最优投资组合。《游戏》，10（1），第8页。[11] 加里瓦蒂斯，A.，2019b。

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2022-6-24 10:34:39

精确复制HindSight中的最佳再平衡规则。《衍生品杂志》，26（4），第35-53页。[12] Kelly，J.L.，1956年。信息率的新解释。贝尔系统技术杂志。[13] Lang，S.，1987年。线性代数。纽约：Springer Verlag。[14] Latan\'e，H.A.，1959年。风险企业的选择标准。《政治经济杂志》，67（2），第144-155页。[15] MacLean，L.C.、Thorp，E.O.和Ziemba，W.T.，2011年。凯利资本增长投资准则：理论与实践。新泽西州哈肯萨克：世界科学出版公司。[16] Ordentlich，E.和Cover，T.M.，1998年。事后看来，实现最佳投资组合的成本。运筹学数学，23（4），第960-982页。[17] Poundstone，W.，2005年。《财富》杂志的公式：关于击败赌场和华尔街的科学教育体系的不为人知的故事。纽约：希尔和王。关于泛双线性投资组合的注记A.Garivatis[18]塞缪尔森，P.A.，1963年。风险与不确定性：一个大数字的谬论。《科学》，第6（5）页，第153-158页。[19] 塞缪尔森，P.A.，1969年。动态随机规划的终身投资组合选择。《经济学和统计学评论》，51，pp.239-246。[20] 塞缪尔森，P.A.，1979年。为什么我们不应该让财富的平均值变大呢？尽管行动的时间很长。《银行与金融杂志》，第2期，第305-307页。【21】Tal，O.和Tran，T.D.，2019年。重新审视适应性押注对冲：对风险和时间范围的考虑。bioRxiv，第617084页。【22】索普，E.O.，1969年。有利游戏的最佳赌博系统。《国际统计研究所评论》，37（3），第273-293页。[23]Widder，D.V.，1989年。高等微积分。纽约：多佛出版社。关于泛双线性投资组合A的一个注记。

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