此外，n×n维矩阵值过程σ是渐进可测的，σ（t）对于所有t和所有ω都是非奇异的，pni=1Pnd=1RTσid（t）dt<∞ P-a.s.风险过程θ的市场价格定义为θ（t）=σ（t）-1（α（t）- r（t）1），0≤ t型≤ T、 似然过程Z由Z（T）=e定义-Rtθ（s）′dW（s）-Rt |θ（s）| ds，0≤ t型≤ T、 状态价格密度过程H由H（T）=B（T）定义-1Z（t），0≤ t型≤ T、 （1）假设3.1RT |θ（T）| dt<∞ 局部鞅Z是一个鞅。E[H（T）]<∞.定义3.2投资组合过程（π，π）由n维渐进可测过程π和一维渐进可测过程π组成，其中π（t）+π（t）′1 | r（t）| dt<∞,RT |π′t（α（t））-r（t）1）| dt<∞andRT |π（t）′σ（t）| dt<∞ P-a.s.相应的财富过程X给出了yx（t）=X+Zt（π（s）+π（s）′1）r（s）ds+Ztπ（t）′（α（s）- r（s）1）ds+Ztπ（s）′σ（s）dW（s），0≤ t型≤ T（2），其中xis是初始财富。如果X（t）=π（t）+π（t）′1，0，则投资组合过程称为自我融资≤ t型≤ T从现在起，与π相对应的自我融资投资组合由Xπ表示。请注意，向量π（t）对应于t时投资于每个股票的资本量，而B（t）对应于投资于货币市场的资本量。4任何固定初始财富x的最佳投资组合流程≥ 0，如果相应的财富过程是自我融资和满足Xπ（t），则称投资组合过程π是可接受的≥ 0, 0≤t型≤ T P-a.s.对于固定初始财富x>0，我们考虑最佳投资问题Pπ∈A（x）E[U（xπ（T））]，其中A（x）是满足条件E[min[U（xπ（T），0）]]>-∞ U是一个满足标准条件的效用函数，参见[13，Ch.3]。让我表示导数U′的（广义）逆，对于details-seeCh。3.4（同上）。我们需要以下假设和标准结果。

参见第3章定理7.6，以及定理3.5，推论6.5，Remark6.4和第102页（同上）。假设4.1 E（H（T）I（yH（T）））< ∞, y∈ （0，∞).定理4.2考虑初始财富x∈ （石灰）→∞E[H（T）I（yH（T））]，∞).最优财富过程X*然后是byX*（t） =EFtH（T）H（T）I（Y（x）H（T））, 0≤ t型≤ T、 （3）其中，Y（x）>0由[H（T）I（Y（x）H（T））]=x确定。我们现在准备给出本文的主要结果。定理4.3考虑初始财富x∈ （石灰）→∞E[H（T）I（yH（T））]，∞).最优投资组合过程π*由π给出*（t） =σ（t）\'-1.纬纱[H（T）I（Y（x）H（T））]+θ（T）EFt[H（T）I（Y（x）H（T））]H（T），（4）0≤ t型≤ T，其中W是关于W的垂直导数算子。备注4.4使用（3）和（4）可以看出最佳por tfolio过程也可以表示为π*（t） =σ（t）\'-1.H（t）-1.W[H（t）X*（t） ]+θ（t）X*（t）, 0≤ t型≤ T、 （5）证明。定义M byM（t）=H（t）X*（t） =EFt[H（t）I（Y（x）H（t））]]。（6） 使用假设4.1和Y（x）>0，我们得到[M（t）]=EhEFt[H（t）I（Y（x）H（t））]I≤ EEFt公司（H（T）I（Y（x）H（T）））= E（H（T）I（Y（x）H（T）））< ∞.因此，M是平方可积鞅。现在使用（1）、（2）、标准It^o公式、自身条件和θ的定义来获得dm（t）=H（t）dX*（t） +X个*（t） dH（t）+dX*（t） dH（t）=H（t）[X*（t） r（t）dt+π*（t） ′（α（t）- r（t）1）dt+π*（t） ′σ（t）dW（t）]+X*（t）[-r（t）H（t）dt- θ（t）′H（t）dW（t）]+π*（t） ′σ（t）(-θ（t）H（t））dt=H（t）π*（t） ′σ（t）dW（t）- 十、*（t） θ（t）′H（t）dW（t）。这意味着π*满足度，对于任何t，M（t）=M（0）+ZtH（s）（π*′（s） σ（s）- 十、*（s） θ（s）′dW（s）。由于M是一个平方可积函数，我们可以使用orem 2.2来获得任意t的表示M（t）=M（0）+ZtWM（s）′dW（s）P-a.s。因此π*可表示为WM（t）′=H（t）（π*′（t） σ（t）- 十、*（t） θ（t′）。因此π*（t） ′σ（t）=WM（t）′H（t）+X*（s） θ（t）′,这意味着π*（t） =σ（t）\'-1.WM（t）H（t）+X*（t） θ（t）.

（7） 替换X*（t） 用（3）的右侧替换（7），用（6）的右侧替换M（t）。结果如下。4.1与Malliavin微积分方法的比较根据Clark-Ocone定理，它认为如果F是一个n可积的可测随机变量，则在F的意义上是Malliavin可微的∈D1,1thenF=E[F]+ZTEFt[（DtF）′]dW（t），其中D是Malliavin导数算子。关于空间D1,1的定义和证明，请参考【13，附录E】和【12】。以Clark-Ocone定理为出发点【19】得出最优投资组合过程π的显式公式*基于Malliavin衍生品，与我们在本论文中研究的金融市场本质相同。自然，这一结果依赖于贴现的最优终端财富是完全马利雅文可微的这一要求。为了确保这一条件得到满足，需要对金融市场和效用函数进行进一步限制。例如，关于θ和r的Malliavin可微性的条件以及逆I的进一步条件是必要的，详情请参见【19，定理4.2】。相比之下，唯一的非标准条件是π的表达式*定理4.3所依赖的是假设4.1中的平方可积性，因为通常只假设可积性，参见[13，Ch.3.7]。4.2示例让我们通过研究两个著名的示例来说明定理4.3。4.2.1对数效用t U（x）=ln（x）表示x∈ （0，∞). 因此，I（y）=y的y∈ （0，∞). 使用类似于下面（8）中的计算，很容易看出假设4.1得到满足，并且Limi→∞E[H（T）I（yH（T））]=0。因此，对于任何初始财富x>0，我们可以重复使用定理4.2和定理4.3。我们直接得到EFt[H（T）I（Y（x）H（T））]=EFtH（T）Y（x）H（T）=Y（x）。

（8） 这意味着纬纱[H（T）I（Y（x）H（T））]=WY（x）= 0，（9）由于在这种情况下，垂直导数减少为标准导数，请参见备注2.1。利用（4）、（8）和（9）我们得到π*（t） =σ（t）\'-10+θ（t）Y（x）H（t）=（σ（t）σ（t）′）-1（α（t）- r（t）1）Y（x）H（t）。现在使用定理4.2和（8）来看看x=Y（x），这意味着最优投资组合可以表示为π*（t） =（σ（t）σ（t）′）-1（α（t）- r（t）1）xH（t）。为了完整性起见，我们使用定理4.2和上述公式来获得最优财富过程x*（t） =xH（t）。4.2.2具有确定性系数的电力设施设r、α和σ为时间的确定性函数，U（x）=xγγ∈ （0，∞)γ<1时，γ6=0。因此，I（y）=yγ-1对于y∈ （0，∞). 这意味着e[（H（T）I（yH（T））]）]=yγ-1EhH（T）H（T）γ-1i=yγ-1E[H（T）I（H（T））]。假设4.1意味着limy→∞E[H（T）I（yH（T））]=0。假设4.1的有效条件是θ和r有界。回想一下HX*给定byH（t）X*（t） =EFt[H（t）I（Y（x）H（t））]，是一个平方可积鞅。现在使用I（y）=yγ-1、（1）和（3）执行以下计算，其中（…）表示基于r，θ和γ，H（t）X的时间确定性函数*（t） =Y（x）γ-1EFthH（T）γγ-1i（10）=Y（x）γ-1英尺-RTγγ-1θ（s）′dW（s）+RT（…）dsi=Y（x）γ-1 RT（…）dsEFtheRT公司-γγ-1θ（s）′dW（s）i=Y（x）γ-1 RT（…）dseRt-γγ-1θ（s）′dW（s）EFtheRTt-γγ-1θ（s）′dW（s）i=Y（x）γ-1 RT（…）dseRt-γγ-1θ（s）′dW（s）eRTt |γθ（s）γ-1 | ds=Y（x）γ-1 RT（…）dseRt-γγ-1θ（s）′dW（s）eRT |γθ（s）γ-1 | ds-Rt |γθ（s）γ-1 | ds=Y（x）γ-1 RT（…）dseRt-γγ-1θ（s）′dW（s）e-Rt |γθ（s）γ-1 | ds。因此，HX*实际上是一个平方可积指数鞅。利用它^o\'s公式，我们得到了h（t）X*（t） =H（0）X*（0）+ZtH（s）X*（s）-γγ- 1θ（s）′dW（s）。根据定理2.2，这意味着HX的垂直竞争*关于W，可重新表示为W[H（t）X*（t） ]\'=H（t）X*（t）-γγ- 1θ（t）′。

（11） 现在使用（5）和（11）可以看到最优投资组合可以表示为π*（t） =σ（t）\'-1.H（t）-1.W[H（t）X*（t） ]+θ（t）X*（t）= σ（t）\'-1.十、*（t）-γγ- 1θ（t）+θ（t）X*（t）= σ（t）\'-1.1.- γθ（t）X*（t）= （σ（t）σ（t）′）-1（α（t）- r（t）1）X*（t） 1个- γ。为了完整性起见，让我们找到最佳财富过程x的表达式*. 使用定理4.2和I（y）=yγ-1见y（x）γ-1=xEhH（T）γγ-1i。使用（10）和以上我们得到x*（t） =H（t）xEhH（t）γγ-1EFTHH（T）γγ-1i。参考文献【1】V.Bally、L.Caramellino、R.Cont、F.Utzet和J.Vives。部分随机积分与函数It^o演算。Springer，2016年。[2] F.E.Benth、G.Di Nunno、A.L¨okka、B.Oksendal和F.Proske。由L’evyprocess驱动的市场中最小方差投资组合的明确表示。《数学金融》，13（1）：55–722003年。[3] R.Cont和D.-A.Fourni'e.路径空间上非对抗泛函变量公式的变化。《功能分析杂志》，259（4）：1043–10722010。[4] R.Cont和D.-A.Fourni\'e.It^o公式的函数扩展。Comptes Rendus Mathematique，348（1）：57–61，20 10。[5] R.Cont和D.-A.Fourni\'e.泛函It^o演算和鞅的随机积分表示。《概率年鉴》，41（1）：109–1332013。[6] R.Cont和Y.Lu。鞅表示的弱近似。《随机过程及其应用》，126（3）：857–8822016。[7] J.Detemple和M.Rindesbacher。具有随机利率和投资约束的最优投资组合选择的闭式解。《数学金融》，15（4）：539–5682005。[8] J.B.Detemple、R.Garcia和M.Rindesbacher。最优投资组合的蒙特卡罗方法。《金融杂志》，58（1）：401–4462003。[9] G.Di Nunno和B.Oksendal。最优投资组合，部分信息和Malliavin演算。

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