分数随机环境下的最优投资组合

2022-5-31 06:41:49

在这种设置下，当效用函数属于特定类型时，默顿提供了如何交易股票和/或如何消费以最大化效用的明确解决方案，例如，恒定相对风险规避（CRRA）。在这些开创性的论文之后，最优投资组合和消费问题在存在缺陷的金融市场中得到了广泛的研究。例如，Cox和Huang【1989年】以及Karatzas等人【1987年】研究了不完全市场的情况；Mag ill和Constantinides【1976年】考虑了交易成本，Guasoni和Muhle-K arbe【2013年】考虑了auser的指南；Grossman和Zhou【1993年】、Cvitani\'c和Karatzas【1995年】以及Elie和Touzi【2008年】重新研究了投资组合约束下的投资，仅举几个例子。默顿公共关系问题的一个关键因素是基础资产的建模，实证研究表明波动是随机的。在这个方向上，我们让读者参考Zariphopoulou【1999】中的非n线性局部波动率模型，Chacko和Viceira【2005】中的特定类赫斯顿随机波动率模型，Lorig和Sircar【2016】中的局部随机波动率，Kramkov和Schachermayer【2003】中的半鞅模型的一般分析。大部分工作都集中在波动率的马尔可夫模型上。然而，在最近的一系列论文中，非马尔可夫模型似乎更好地描述了数据，尤其是短期依赖性。InGatheral等人（2014年）漂亮地证明，由分数布朗运动（fBm）驱动的随机波动率（Hurst系数H<），即所谓的粗糙分数随机波动率（RFSV），与观测数据相当吻合。Jaisson和Rosenbaum【2016】和El Euch等人。

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2022-5-31 06:41:54

【2016】表明，RFSV是基于Hawkes过程的限额订单簿（LOB）一般模型的自然sca-ling限额。*加利福尼亚大学统计与应用概率系，加利福尼亚州圣巴巴拉，93106-3110，fouque@pstat.ucsb.edu.NSF拨款DMS-1409434支持的工作+加利福尼亚大学统计与应用概率系，加利福尼亚州圣巴巴拉，93106-3110，hu@pstat.ucsb.edu.Meanwhile，Fouque等人【2015】和Hu【2017】在投资组合优化问题中考虑了风险y资产的多尺度因子模型，其中收益率和波动率由快速均值回复因子和缓慢变化因子驱动。具体而言，Fouque等人【2015】通过分析非线性Hamilton-Jacobi-Bellman偏微分方程（HJB PDE），试探性地提供了价值函数的渐近近似和一般效用函数的最优策略。在本文中，我们将考虑标度和非马尔可夫结构来建模基础资产。正如Fouque和Hu【2017b】所述，尤其是由于长期投资的相关性（有关所涉及时间尺度的进一步讨论，请参见Fouque等人【2015年】），我们只考虑一个缓慢变化的分数

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2022-5-31 06:41:57

【2003】、Coutin【2007】、Biagini等人【2008】、Kaarakka和Salminen【2011】了解更多详情。这种RFSV模型下的定价选项确实是一个挑战，因为该模型是非马尔可夫模型，PDE工具不再可用。然而，当分数随机波动率因子缓慢变化（小δ）时，可以使用Fouque et al.（2000）和Fouque et al.（2001）设计的所谓“epsilon-Martingale分解”方法获得实际近似值。最近，Garnier和Solna【2017】针对低变RFSV模型提出了这一点，并对分数SV的Black-Scholes公式进行了修正。请注意，问题不是n-马尔可夫问题，但在期权定价的情况下仍然是线性的。主要结果。本文研究了theRFSV模型（3.9）下的非线性终端效用最大化问题。对于电力公司，通过鞅畸变表示，我们严格地得到了在任何时间和所有H∈ （0，1），以及Corres-ponding最优投资组合的表达式。在δ较小的情况下，这些表达离子的形式为一个引导阶项加上阶数δH的一阶修正。这是通过在观察值Zδ（时间t=0）下围绕“冻结”波动率扩展martinga-le畸变表示来实现的。对于相对较小的H（如Gatheral等人【2014】所示，接近0.1），价值过程的一阶修正相对较大，应通过任何良好的实践策略对als进行评级。我们的结果很好地表明，最优策略的Leading order（在基础资产和currentfactor水平方面是明确的，因此易于实施）将生成高达δH阶的价值函数，即包括第一次校正。

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2022-5-31 06:42:00

换句话说，最优策略表达式中的δHterm不需要对价值过程进行这样的修正。然而，它是明确给出的，通过考虑ac计数跨期套期保值，可以很容易地实施以改进策略。对于一般效用函数，使用Psilon鞅分解方法和常数系数的Merton问题的风险容限函数的性质，我们获得了与agiven策略对应的投资组合值的近似值，如Fouke和Hu[2017b]在马尔可夫情况下所述，我们证明，在一类特定的可容许策略中，该策略是渐近最优的。论文的组织结构。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了一般随机波动模式下的martinga-le-扭曲变换，该模式首次在Zariphopoulou【1999】的马尔可夫案例中推导，并在Tehranchi【2004】的非马尔可夫环境中推导。在这里，标的资产的转移和波动是由一个随机过程驱动的，这个过程不需要是马尔可夫过程，也不需要是半鞅过程。我们还对多资产情况进行了推广。在第三节中，我们证明了

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2022-5-31 06:42:03

我们在第5.2节中得出结论，即电力公用事业和随机环境的默顿问题由St表示，基础资产价格的回报和波动率由随机事实r Yt驱动，dSt=u（Yt）Stdt+σ（Yt）StdWt，（2.1）对u（y）和σ（y）的假设将在后面具体说明。这里是一个与（Gt）相适应的一般随机过程，即由{WYu:u产生的自然过滤≤ t} ，WYtis是一个布朗运动，通常与驱动价格的布朗运动相关W、怀俄明州t=ρdt，|ρ|<1。还将（Ft）定义为（Wt，WYt）产生的自然过滤。用π表示投资者的策略，用Xπ表示相应的财富过程。量πt∈ Ft表示在时间t投资于风险资产的资金金额，剩余资金持有在货币账户中，以恒定利率r支付利息。在不丧失一般性的情况下，我们将始终取r=0。假设策略π是自我融资的，财富过程的动力学Xπ由dXπt=πtu（Yt）dt+πtσ（Yt）dWt给出。（2.2）投资者的目标是找到最佳战略，以最大限度地发挥其对最终财富的预期效用。数学上，他旨在确定最佳值vt：=ess supπ∈AtE[U（XπT）| Ft]，（2.3）与最优策略π*, 根据效用函数U（·）描述的偏好。在本节和第3节中，我们考虑功率实用情况：U（x）=x1-γ1- γ、 γ>0，γ6=1，（2.4），集合Atis是所有可容许策略的类别：At：={πis（Ft）-适应：Xπsin（2.2）保持非负s≥ t、给定Ft}，（2.5），其中零是Xπt（破产）的吸收状态。此外，对于power utility案例，我们要求llπ∈ 在，满足以下可积性条件：supt∈[0，T]Eh（XπT）2p（1-γ） i<+∞, 对于某些p>1和E“ZT（Xπt）-2γπtσ（Yt）dt#<∞.

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2022-5-31 06:42:06

（2.6）稍后，在第4节中，我们将讨论一般效用函数的情况。为了激发我们将在第2.2节中介绍的鞅失真变换，我们首先在下一小节中调用Z ariphopoulou【1999】在马尔可夫电力公司案例中获得的失真变换（2.4）。我们还在Rema rk 2.5中指出，当股票的收益率和波动率由相同的随机性WY决定时，结果可以推广到多资产情况。2.1畸变变换在马尔科夫装置中，Ytis a diffusion process in The Ma-rkovian setup，Ytis a diffusion process following The formdYt=k（Yt）dt+h（Yt）dWYt的随机微分方程，and value function V（t，x，y）：=supπ∈AtE[U（XπT）| Xt=X，Yt=y]是Fouque等人[2015]给出的Hamilton-Jac-obiBellman（HJB）方程的解。偏差变换由v（t，x，y）=x1给出-γ1- γψ（t，y）q，（2.7），q=γγ+（1- γ） ρ（2.8），这导致HJB方程中的canc e ling（ψy）项。因此，ψ求解线性偏微分方程ψt+h（y）yy+k（y）y+1- γγλ（y）ρh（y）yψ+1- γ2qγλ（y）ψ=0，ψ（T，y）=1，其中λ（y）是夏普比λ（y）：=u（y）/σ（y。通过费曼-卡克公式，我们观察到ψ可以表示为ψ（t，y）=eEhe1-γ2qγRTtλ（Ys）dsYt=yi，（2.9），其中在EP下，fWYt=WYt-Rtρ1.-γγλ（Ys）ds是标准布朗运动。下一小节中的公式概括了（2.9），没有使用任何PDE参数。2.2鞅失真变换鞅失真变换由公式（2.7）和（2.9）驱动。Tehranchi【2004年】对其进行了驱动，其效用函数略有不同。为了清楚起见，我们在此重申，并提出了一个基于验证随机微积分的简短证明。我们认为，以下结果和证明可以直接扩展到多资产情况（见Remar k 2.5）。

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2022-5-31 06:42:10

在本文的其余部分中，为了简化符号，我们仅提出了单一资产的情况。注意，在下面的命题2.2中，（Yt）是一个适用于（Gt）的一般随机过程，它不需要是马尔可夫的，也不需要是半鞅的。特别是，在第3节中，我们将能够将其应用于（Yt）是分数过程的情况。假设夏普比λ（·）是有界的。通过DEPDP=exp定义新的概率度量(-ZTasdWYs公司-ZTasds），（2.10），其中atis由AT给出=-ρ1.- γγλ（Yt），（2.11），因此是有界的，并且Gt适应。那么，fWYt：=WYt+Rtasds是标准的布朗运动。我们现在假设以下模型。假设2.1。（i） ST的SDE（2.1）具有独特的强溶质。假设函数λ（·）有界且C（R）。函数λ′（·）是有界的，且λ′（·）最多是多项式增长的。（ii）定义P鞅=eEhe1-γ2qγRTλ（Ys）dsGti，（2.12）并写出其表示形式dmt=MtξtdfWYt。（2.13）我们假设EHECξRTξtdti<∞, （2.14）其中常数cξ由cξ=16（1）给出-γ） ρpqγ表示γ<1，cξ=16（1-γ） ρpqγ-4p（1-γ） γ>1时为γ。参数p在（2.6）中引入，q由（2.8）定义。提案2.2。让Stfollow the dynamics（2.1），并假设目标是（2.3）和power utilityfunction（2.4）。在假设2.1下，（2.3）中定义的值过程vt由vt=X1给出-γt1- γheEe1级-γ2qγRTtλ（Ys）ds燃气轮机智商。（2.15）根据（2.10）中引入的toeP计算期望值EE[·]。参数q在γ和ρ项中由（2.8）给出。

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2022-5-31 06:42:13

最优策略π*是π*t型=λ（Yt）γσ（Yt）+ρqξtγσ（Yt）Xt，（2.16），其中ξ在（2.13）中给出。关于GT的条件对应于第2.1节中所述马尔可夫情况下的变量分离。备注2.3。（i）请注意，（2.4）中的γ=1是对数效用情况，可以单独处理。（ii）对于退化情况λ（y）≡ λ、数值过程VT减小到VT=X1-γt1- γe1-γ2γλ（T-t）。数量=-ρ1.-γγλ是一个常数，从（2.12）直接计算得出ξt=0。因此，最优控制π*变为π*t=λγσ（Yt）Xt。在这种情况下，vt和π*t不要像预期的那样依赖于A和q。（iii）在不相关的情况下，ρ=0，问题已经是“线性的”，因为q=1。价值过程vt与最优控制π*简化为VT=X1-γt1- γEhe1-γ2γRTtλ（Ys）dsGti，π*t=λ（Yt）γσ（Yt）Xt。命题2.2的证明。证明遵循验证参数，即为了证明vtisinded值过程和π*（2.16）中给出的是最优的，需要证明（i）对于任何控制πt∈ 在，过程（2.15）是一个超鞅，而（ii）vt是一个受控鞅（2.16），它需要是可容许的。设αtbe为在统计时间t中投资的财富的比例，即πt=αtXt，那么财富过程（2.2）可以重写为：dXt=Xt[αtu（Yt）dt+αtσ（Yt）dWt]。（2.17）在以下证明中，我们将首先推导出dVt的漂移部分，然后得到α*t通过最大化漂移α，最终表明漂移部分在α处进行评估*选择正确的At和q为零。回想（2.12）中定义的P鞅mt，并使用MtasVt=X1重写VT-γt1- γeNtMqt，（2.18），其中Nt=-1.-γ2γRtλ（Ys）ds。在下面的推导中，我们使用短符号λ=λ（Yt），u=u（Yt），σ=σ（Yt）。

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2022-5-31 06:42:15

通过将It^o公式应用于Vtin（2.18），我们推导了DVT=十、-γtdXt-γX-γ-1td hXiteNtMqt+X1-γt1- γeNtMqtdNt+X1-γt1- γeNtqMq-1tdMt+X1-γt1- γeNtq（q- 1） Mq公司-2td hM it+dX1-γ1- γeN，Mqt型=十、-γtXtαtu-γX-γ-1textαtσeNtMqtdt+X1-γt1- γeNtMqt-1.- γ2γλdt+X1-γt1- γeNtqMq-1tMtξtatdt+X1-γt1- γeNtq（q- 1） Mq公司-2tMtξtdt+X-γteNtqMq-1tρXtαtσMtξtdt+X1-γt1- γeNtMqt（1）- γ） αtσdWt+qξtdWYt.对于任何可容许策略π，最后一项都是真鞅∈ 在这源于entmqt的有界性，由λ（·）的有界性和X1的平方可积性保证-γtαtσ和X1-γtξt。更精确地说，我们有：E“ZT（Xπt）2-2γαtσ（Yt）dt#=E“ZT（Xπt）-2γπtσ（Yt）dt#<∞,E“ZT（Xπt）2-2γξtdt#≤“EZT（Xπt）2p（1-γ） dt#p“EZTξ2p/（p-1） tdt#p-1p<∞.根据π的可容许性（2.6）和假设2.1（ii），这意味着ξt的有限时刻。通过重写dVt=X1-γteNtMqtDt（αt）dt+d鞅，漂移因子dt（αt）取形式：dt（αt）：=αtu-γαtσ-λ2γ+q1- ξt+q时的γ（q- 1） 2（1- γ） ξt+ρqαtσξt。将Dt（αt）与α进行区分，并检查二阶条件，得到ma ximizerα*t=μγσ+ρqξtγσ=λγσ+ρqξtγσ。（2.19）评估漂移因子Dtatα*t生产SDT（α*t） =qξtat1- γ+λργ+qξtρqγ+q- 11- γ. （2.20）然后，漂移因子Dt（α*t）在q的选项（2.8）和at的选项（2.11）下消失。注意，otherchoiceξ=0只会导致退化情况λ（·）常数在备注2.3（ii）中考虑。另一方面，由于ξt与at无关，（2.8）和（2.11）是将Dt（α）归零的唯一选择*t）。

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2022-5-31 06:42:19

还请注意，对于q的选择（2.8），项ξ被取消，这对应于非线性项的取消(第2.1节中审查的PDE参数中的yΦ）。此外，使用πt=αtXtand方程（2.19）表示α*t、 π之后的财富过程*t解决SDEdXπ*t=Xπ*t型λ（Yt）+ρqλ（Yt）ξtγdt+λ（Yt）+ρqξtγdWt,因此，它保持非负，这意味着π*t=α*tXtsatis（2.5）。为了检查条件（2.6），我们首先注意到E“ZTXπ*t型-2γ（π*t） σ（Yt）dt#=E“ZTXπ*t型2.-2γλ（Yt）γ+ρqξtγdt#。然后，利用H¨older不等式、λ的有界性和ξt的可积性条件，验证了∈[0，T]呃Xπ*t型2p（1-γ） i<+∞, 对于某些p>1。为此，我们计算Xπ*t型2p（1-γ）= EeRt2p（1-γ） γ（λ+ρqλξs）-p（1-γ） γ（λ+ρqξs）ds+Rt2p（1-γ） γ（λ+ρqξs）dWs≤ E“eRt4p（1-γ） γ（λ+ρqλξs）ds+Rt8p（1-γ） γ-2p（1-γ） γ（λ+ρqξs）ds#×Ee-Rt8p（1-γ） γ（λ+ρqξs）ds+Rt4p（1-γ） γ（λ+ρqξs）dWs.根据假设2.1（ii）下ξin（2.14）的指数矩和λ的有界性，在t∈ [0，T]，而第二个期望是Novikov条件下的期望。从而得到了预期的结果。备注2.4。关于（ξt）t的假设∈[0，T]比其他论文更强（见Tehranchi[2004]，Nadtochiy和Zariphopoulou[2013]），但它允许我们充分证明π*（2.16）中给出的是可接受的。在第3节中，我们将看到分数随机环境模型满足了这一假设。尽管为了简单起见，下一节中的结果仅在单一资产情况下给出，但westate他重新推导了多资产情况下的公式。推导是一项乏味的工作。备注2.5（多资产案例的概括）。设St：=[St，St，…，Snt]为n个风险资产，由DSIT=ui（Yit）Sitdt+nXj=1σij（Yit）SitdWjt，i=1，2。

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2022-5-31 06:42:22

n、在这里，每个SITI由其自身的随机因子Yit驱动，但所有因子都适用于相同的单布朗运动WYtwith相关结构：dWi，Wjt=0，dWi，WYt=ρdt，i、 j=1，2，n、 nρ<1。用π表示=π、 π，···，πn+∈ Ft交易向量，使得πIt表示在时间t时归属于SITA的m元数量（+表示m atr ix转置）。在这种多重资产设置中，在自我融资假设和r=0的情况下，财富过程满足dxt=πt·u（Yt）dt+πt·σ（Yt）dWt，向量符号Yt：=[Yt，Yt，…，Ynt]+，u（Yt）：=[u（Yt），u（Yt），···，un（Ynt）]+，σ（Yt）：=σi，j（Yit）作为大小为n的方阵，Wt：=[Wt，Wt，··，Wnt]+。假设∑（Yt）=σ（Yt）σ（Yt）+是可逆的正定义，函数∧（Yt）=σ（Yt）-1u（Yt）以有界导数为界，并用at=-ρ1.-γγ+nσ（Yt）-1u（Yt）。定义P鞅=eEe1级-γ2qγRTu（Ys）+∑（Ys）-1u（Ys）ds燃气轮机,并假设ξt由鞅表示定理满足（2.14），那么投资组合值vt可以表示为vt=X1-γt1- γheEe1级-γ2qγRTtu（Ys）+∑（Ys）-1u（Ys）ds燃气轮机iq，其中Ee在EP下计算，q为常数，选择为：q=γγ+（1- γ） ρn.最优控制π*由π给出*t型=∑（Yt）-1u（Yt）γ+ρqξtσ-1（Yt）+nγXt，1nbeing为1的n向量。3分数随机环境的应用在本节中，我们首先简要回顾分数布朗运动（fBm）和分数OrnsteinUhlenbeck（fOU）过程，然后介绍缓慢变化的fOU过程。在这种模型下，我们将根据命题2.2中的结果得出投资组合价值VT的近似值。

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2022-5-31 06:42:26

更重要的是，请注意最佳交易策略π*由于存在ξtgivenby的鞅表示定理，由（2.16）给出的是不明确的，我们将获得该最优策略的显式近似。3.1分数布朗运动和分数Ornstein-Uhlenbeck过程分数布朗运动是一个连续的高斯过程（W（H）t），具有ze-ro平均值和协方差结构：EhW（H）tW（H）si=σH|t | 2H+| s | 2H- |t型- s | 2H, （3.1）式中σHis为正常数，H∈ （0，1）称为赫斯特指数。根据Mandelbrot和Van Ness[1968]，W（H）thas是以下移动平均随机积分表示：W（H）t=Γ（H+）ZR（t- s） H类-+- (-s） H类-+dWs，（3.2），其中（Wt）t∈R+是通常的布朗运动，而（Wt）t∈R-:= （B）-t） t型∈R-是另一个与（Wt）t无关的布朗运动∈R+。对于（3.2），σHis计算为σH=（Γ（2H+1）sin（πH））-现在我们考虑分数布朗运动的Langevin方程dzht=-aZHtdt+dW（H）t，（3.3），初始条件为ZH=η。在C he ridito等人【2003】中，证明了zh，ηt：=e-在η+ZteaudW（H）u是唯一一个解方程（3.3）的几乎肯定是连续的过程，其中Rteaudw（H）u存在于路径Riemann-Stieltjes积分（通过部分积分）中，并且几乎肯定在t中是连续的。特别是对于t∈ R+，ZHt：=Zt-∞e-a（t-s） dW（H）s=W（H）t- aZt公司-∞e-a（t-s） W（H）sds，（3.4）是一个初始条件η=ZH的静态解，其他所有的静态解都具有与ZHt相同的分布。在接下来的文章中，我们将只考虑这个平稳解，并将其称为平稳分数奥恩斯坦-乌伦贝克过程。它具有零均值和（co）方差结构：σou=a-2HΓ（2H+1）σH，EZHtZHt+s= σouCZ（s），（3.5），其中CZ（s）由CZ（s）=2 sin（πH）πZ给出∞cos（asx）x1-2H1+xdx。

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2022-5-31 06:42:29

（3.6）使用W（H）t的移动平均表示法（3.2），固定解（3.4）可以表示为：ZHt=Zt-∞K（t- s） dWZs，（3.7）其中WZt公司t型∈Ris是（3.2）中描述的R上的一个标准BM，超脚本Z表示它驱动了ZHt过程。核K由K（t）=Γ（H+）定义tH公司-- aZt（t- s） H类-e-asds. （3.8）我们参考[Garnier和Solna，2017年，第2.2节]了解当t<< 1和T>> 1，当H∈ （0，），对于长程c或R特性，当H∈ （，1）。在下文中，我们将主要讨论H<如引言中所述的情况，但我们的渐近结果也适用于H>。如【Garnier和Solna，2017年，附录B】所述，可以考虑更一般的高斯波动率因素。但是，对于简单性和长度，我们仅限于fOU过程的情况。3.2慢变fOU过程如引言所述，我们考虑由Zδ，Ht表示的慢变分数因子。在小δ，Zδ的体系中，Ht被定义为一个重定标的稳态fOU过程，Zδ，Ht=δHZt-∞e-δa（t-s） dW（H）s=Zt-∞Kδ（t- s） dWZs，Kδ（t）=√δK（δt），（3.9），其中W（H）是由布朗运动WZtvia（3.2）驱动的fBm，K（t）在（3.8）中给出。根据第3.1节，Zδ，Ht是SDEdZδ的稳态解，Ht=-δaZδ，Htdt+δHdW（H）t。

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2022-5-31 06:42:32

（3.10）这是一个零均值平稳高斯过程，方差σou，协方差EhZδ，HtZδ，Ht+si=σouCZ（δs）。协方差函数仅取决于δs，这表明1/δ是Zδ的自然尺度，Htas期望d。引理a.1中说明了关于Zδ的更多性质和估计。当δ为零时，根据支配收敛定理a和CZ（0）=1，协方差变为δ→0EhZδ，HtZδ，Ht+si=σouCZ（0）=σou，（3.11），过程Zδ，HtZ在分布上收敛到Zδ，Ht型∈RD=（σouZ）t∈R、其中Z是标准正态随机变量。3.3数值过程的一阶近似在本节中，我们研究第2节中讨论的问题，其中Yt=Zδ，Ht和WYt=WZt。准确地说，标的资产STI是由缓慢变化的分数

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2022-5-31 06:42:34

[2009]），weobtainMtξt=eE[eDtMT | Gt]，其中eDtMT表示关于布朗运动的马利亚阶导数fwzt=WZt- ρ1.- γγZtλ（Zδ，Hs）ds。术语t计算为：eDtMT=e1-γ2qγRTλ（Zδ，Hs）dsZT1- γqγλ（Zδ，Hs）λ′（Zδ，Hs）eDtZδ，Hsds。由于Mt、λ和λ′是有界的，因此需要显示rteDtZδ，Hsds一致有界。为此，回顾（3.9）中定义的Zδ，Hs：Zδ，Hs=Zs-∞Kδ（s- u） dWZu=Zs-∞Kδ（s- u） dfWZu+ZsKδ（s- u） ρ1- γγλ（Zδ，Hu）du。它适用于Gt，Thusetzδ，Hs=0。FOR r t公司≥ s、对于t<s，我们推导出tzδ，Hs=Kδ（s- t） +ZstKδ（s- u） ρ1- γγλ′（Zδ，Hu）eDtZδ，Hudu。因此，通过定义正增长函数Aδ（t）=RtKδ（s）ds，一个hasZTeDtZδ，Hsds公司≤ZTtKδ（s- t） ds公司+ρ1- γγZTtZstKδ（s- u）λ′（Zδ，Hu）eDtZδ，Hudu ds≤ZT公司-tKδ（s）ds+ρ1- γγkλ′k∞ZTtZTuKδ（s- u）eDtZδ，Huds du≤ Aδ（T）+ρ1- γγkλ′k∞Aδ（T）ZTteDtZδ，Hudu，对于任何t∈ [0，T]，ZTeDtZδ，Hsds公司≤Aδ（T）1-ρ1-γγkλ′k∞Aδ（T）提供1-ρ1-γγkλ′k∞Aδ（T）是正的。这适用于有效的小δ，因为δ（T）的阶数为δH（见引理A.1（iv）），从而完成了证明。定理3.2。根据假设2.1，对于固定t∈ [0，T），Xt=x和观测值Zδ，H，VδT表示VδT=QδT（Xt，Zδ，H）+O（δ2H），（3.12），其中QδT（x，Z）=x1-γ1- γe1-γ2γλ（z）（T-t） “1+1- γγλ（z）λ′（z）φδt+δHρλ（z）1.- γγ（T- t） H+Γ（H+）#。（3.13）此处φδ定义为φδt=E“ZTtZδ，Hs- Zδ，Hds公司Ft#=E“ZTtZδ，Hs- Zδ，Hds公司Gt#、（3.14）和δ阶φδtis在引理A.1中已证明其方差为δ2H阶。请注意，O（δ2H）表示Ft适应的随机变量，在L.证明中为δ2H阶。

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2022-5-31 06:42:39

命题2.2的一个简单应用，其中Yt=Zδ，ht和WYt=wzt给出了价值过程VδtVδt=X1的以下表示-γt1- γheEe1级-γ2qγRTtλ（Zδ，Hs）ds燃气轮机智商。我们首先展开ψδt：=eEhe1-γ2qγRTtλ（Zδ，Hs）ds然后将泰勒公式应用于函数xq。测度绝对连续变化下的条件期望公式，以及（2.11）给出的At值和z a t点的泰勒展开式zδ，Hyields，ψδt=Ehe1-γ2qγRTtλ（Zδ，Hs）dse-RTtasdWZs-RTtasdsGti=Ehe1-γ2qγRTtλ（Zδ，Hs）dseRTtρ（1-γγ）λ（Zδ，Hs）dWZs-RTtρ（1-γγ）λ（Zδ，Hs）dsGti=e1-γ2qγλ（Zδ，H）（T-t） EheRTtρ（1-γγ）λ（Zδ，H）dWZs-RTtρ（1-γγ）λ（Zδ，H）ds+A[t，t]+B[t，t]Gti，其中A[t，t]和B[t，t]由A[t，t]=1给出- γqγλ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）ZTtZδ，Hs- Zδ，Hds+ρ1.- γγλ′（Zδ，H）ZTtZδ，Hs- Zδ，HDWZ公司- ρ1.- γγλ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）ZTtZδ，Hs- Zδ，Hds，B[t，t]=1- γqγZTtλλ′′+λ′2（χs）Zδ，Hs- Zδ，Hds+ρ1.- γγZTtλ′′（ηs）Zδ，Hs- Zδ，HDWZ公司- ρ1.- γγZTt公司λλ′′+λ′2（χs）Zδ，Hs- Zδ，Hds，其中χsandηs是拉格朗日余数：χs，ηs∈ [Zδ，H∨ Zδ，Hs，Zδ，H∧ Zδ，Hs]。由于λ（·）是有界的，因此可以展开eA[t，t]+B[t，t]，并推导出ψδt=e1-γ2qγλ（Zδ，H）（T-t） EheRTtρ（1-γγ）λ（Zδ，H）dWZs-RTtρ（1-γγ）λ（Zδ，H）ds1+A[t，t]+R[t，t]Gti=e1-γ2qγλ（Zδ，H）（T-t） EheRTtρ（1-γγ）λ（Zδ，H）dWZs-RTtρ（1-γγ）λ（Zδ，H）ds1+A【t，t】Gti+O（δ2H），其中R[t，t]由R[t，t]=eA[t，t]+B[t，t]给出- 1.-A【t，t】。（3.15）引理A.2证明了R[t，t]~ O（δ2H）。如前所述，我们用O（δ2H）表示δ2Hin Lsense阶随机变量。我们引入了一个新的概率测度bp，使得underbP，cWZt=WZt- ρ1.-γγλ（Zδ，H）t是标准布朗运动。

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2022-5-31 06:42:42

然后ψδt可以重写为ψδt=e1-γ2qγλ（Zδ，H）（T-t） bE公司1+A【t，t】燃气轮机+ O（δ2H）=e1-γ2qγλ（Zδ，H）（T-t） bE“1+（1- γ） qγλ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）ZTtZδ，Hs- Zδ，Hds公司Gt#+e1-γ2qγλ（Zδ，H）（T-t） bE“ρ1.- γγλ′（Zδ，H）ZTtZδ，Hs- Zδ，HDWZ公司燃气轮机#- e1级-γ2qγλ（Zδ，H）（T-t） bE“ρ1.- γγλ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）ZTtZδ，Hs- Zδ，Hds公司Gt#+O（δ2H），第二项与第三项相消，因为“ρ1.- γγλ′（Zδ，H）ZTtZδ，Hs- Zδ，HDWZ公司Gt#=bE“ρ1.- γγλ′（Zδ，H）ZTtZδ，Hs- Zδ，HdcWZsGt#+bE“ρ1.- γγλ′（Zδ，H）ZTtZδ，Hs- Zδ，Hρ1.- γγλ（Zδ，H）dsGt#=bE“ρ1.- γγλ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）ZTtZδ，Hs- Zδ，Hds公司Gt#。因此，术语ψδ表示ψδt=e1-γ2qγλ（Zδ，H）（T-t）1+（1- γ） qγλ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）Φδt+ O（δ2H），（3.16），其中Φδt=bE“ZTtZδ，Hs- Zδ，Hds公司Gt#=bE“ZTtZδ，Hsds燃气轮机#- Zδ，H（T- t）。为了进一步简化Φδt，我们使用Zδ，hs的移动平均表示（3.9），并推导出Φδt=bE“ZTtZδ，Hsds燃气轮机#- Zδ，H（T- t） =bE“ZTtZs-∞Kδ（s- u） dWZuds燃气轮机#- Zδ，H（T- t） =bE“Zt-∞ZTtKδ（s- u） ds dWZuGt#+bE“ZTtZTuKδ（s- u） ds dWZu燃气轮机#- Zδ，H（T- t） =Zt-∞ZTtKδ（s- u） ds dWZu- Zδ，H（T- t） +bE“ZTtZTuKδ（s- u） ds dWZuGt#=φδt+bE“ZTtZTuKδ（s- u） ds dcWZuGt#+ρ1.- γγλ（Zδ，H）ZTtZTuKδ（s- u） ds du=φδt+ρ1.- γγλ（Zδ，H）δH（T- t） H+3/2Γ（H+）+O（δH+1）。（3.17）在推导过程中，我们更改了ds和DWZU的顺序，并使用关系CWZT=WZt-1.-γγλ（Zδ，H）ρt。顺序的变化由随机Fubini定理调整，其有效条件为zttZs公司-∞Kδ（s- u）杜邦1/2秒<∞, Kδ（t）=√δK（δt）。下面是K∈ L（0，∞).

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2022-5-31 06:42:45

现在结合（3.16）和（3.17），我们得到vδt=X1-γt1- γψδtq=X1-γt1- γe1-γ2γλ（Zδ，H）（T-t）1+1- γγλ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）Φδt+ O（δ2H）=X1-γt1- γe1-γ2γλ（Zδ，H）（T-t）（1+1- γγλ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）φδt+δHρλ（Zδ，H）1.- γγ（T- t） H+Γ（H+）！+O（δ2H）。观察前导项有两种修正：随机分量φδt和确定性函数（t，Xt，Zδ，H），两者都是δH阶。备注3.3（对λ（·）假设的讨论）。为了扩展ψδt，我们需要Ehe1的统一界（Inδ）-γ2qγRTtλ（Zδ，Hs）dsi。不要认为如果γ>1，这是自动满足的，因为指数函数以1为界。对于0<γ<1，在假设2.1（i）中规定的以λ（·）为界的假设下也可以满足。此外，可以放宽假设，使函数λ（·）的指数矩有统一的界。3.4最优策略我们现在转向（2.16）π中给出的最优投资组合的扩展*t=“λ（Zδ，Ht）γσ（Zδ，Ht）+ρqξtγσ（Zδ，Ht）#Xt，其中由表示定理m（2.13）给出的过程ξt通常不明确。在本节中，我们使用定理3.2中导出的结果来近似ξt，并获得π的以下渐近结果*t、定理3.4。在假设2.1下，最优策略π*用π近似*t=“λ（Zδ，Ht）γσ（Zδ，Ht）+δHρ（1- γ） γσ（Zδ，Ht）（T- t） H+1/2Γ（H+）λ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）#Xt+O（δ2H）（3.18）：=π（0）t+δHπ（1）t+O（δ2H）。在证明这个理论之前，我们先做一些重要的评论。备注3.5。（i）对于H=、Zδ的情况，Ht成为马尔可夫OU过程，（3.18）与[Fouque等人，2015年，第3.2.2节和第6.3.2节]中得出的反馈形式近似值一致。（ii）在π的近似值（3.18）下*t、超前顺序策略π（0）t跟随过程Zδ，Ht，反向修正π（1）在Zδ，H部分冻结，并且在vt中随机修正φδt在此处消失。

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2022-5-31 06:42:48

这使得近似策略π（0）t+δHπ（1）更容易实现。此外，在σ（·）的附加光滑性假设下，通常σ（·）是c且（1/σ（·））′是有界的，那么校正项π（1）t可以在Zδ处完全冻结，而不改变精度顺序，即π（1）t=ρ（1- γ） γσ（Zδ，H）（T- t） H+1/2Γ（H+）λ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）Xt+O（δH）。（iii）用Xπ（0）t表示遵循零阶策略的财富过程π（0）t=λ（Zδ，Ht）γσ（Zδ，Ht）XtdXπ（0）t=u（Zδ，Ht）π（0）tdt+σ（Zδ，Ht）π（0）tdWt，（3.19）和Vπ（0），δ·相应的值过程Vπ（0），δt：=EhUXπ（0）TFti。在第4.3节命题4.5中，我们导出了一般效用函数对Vπ（0），δt的展开式。当应用于功率因数（2.4）的情况时，可以推断Vπ（0），δ- Qδt为δ2hw级，Qδt位于（3.13）中。因此，根据定理3.2，Vπ（0），δt- Vδ为δ2H阶，我们得出结论，π（0）t=λ（Zδ，Ht）γσ（Zδ，Ht）x生成（3.12）给出的近似值过程，并且在δH阶的所有容许策略内是渐近最优的。定理3.4的证明。有必要推导（2.13）确定的ξt展开式。在上一节中，我们得到了ψδt的严格展开式：=eEhe1-γ2qγRTtλ（Zδ，Hs）dsGti；见（3.16）和（3.17）。使用ψδtasMt=eItψδt重写（2.12）中定义的，其中它=1-γ2qγRtλ（Zδ，Hs）ds。

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2022-5-31 06:42:51

将It^o公式应用于Mtyields，dMt=eItψδtdIt+eItdψδt=1- γ2qγλ（Zδ，Ht）Mtdt+eIt-1.- γ2qγλ（Zδ，H）ψδtdt+e1-γ2qγλ（Zδ，H）（T-t） 1个- γqγλ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）dΦδt+ O（δ2H）=δHeIte1-γ2qγλ（Zδ，H）（T-t） 1个- γqγλ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）θt，TdfWZt+O（δ2H）。在推导过程中，我们先后使用了关系式（3.16）和（3.17），dψδt=dφδt+（Zδ，Ht-Zδ，H）dt，其中ψδt由ψδt=E“ZTZδ，Hs给出- Zδ，HdsFt#（3.20）和dψδt=δHθt，TdWZt+δH+1eθt，TdWZt与θt，Tandeθt，t在引理A.1中规定。注意，从m（3.16）可以推导出ψδt=e1-γ2qγλ（Zδ，H）（T-t） +O（δH），则dMtbecomesdMt=δHeItψδt1- γqγλ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）θt，TdfWZt+O（δ2H）=“δH1- γqγλ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）（T- t） H+Γ（H+）#MtdfWZt+O（δ2H），ξt的近似值为ξt=δH1- γqγλ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）（T- t） H+Γ（H+）+O（δ2H）。将上述表达式插入（2.16）y字段，即可得到所需的d结果（3.18）。3.5数值说明接下来，我们用数值说明了注3.5（iii）中所述π（0）的渐近最优性。也就是说，我们使用蒙特卡罗模拟计算Vδtand Vπ（0），δtat时间t=0，并比较它们的差异。使用方程式（2.15）并将测量值从EP改为P，给定vδ=X1-γ1- γhEe（1-γ2γ）RTλ（Zδ，Hs）ds+ρ（1-γγ）RTλ（Zδ，Hs）dWZsG智商。求解Xπ（0）的SDE（3.19），并将溶液插入Vπ（0），δtyieldVπ（0），δ=X1的定义中-γ1-γEe-2γ+3γ-12γRTλ（Zδ，Hs）ds+（1-γγ）RTλ（Zδ，Hs）dWsF.模型参数选择为：T=1，H=0.1，a=1，γ=0.4，ρ=-0.5，u（y）=0.1×λ（y）0.1+λ（y），λ（y）=Zy/σou-∞p（z/2）dz，其中p（z）是N（0，1）-密度。注意，上述λ（y）的选择满足模型假设2.1。由于自然的非马尔科夫结构，我们首先在-Mand 0，然后通过平均500000条路径来评估每个条件期望。

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2022-5-31 06:42:54

慢因子（Zδ，Ht）t∈[0，T]是使用具有网格大小的Euler格式生成的t=10-3，M=（T/t） 0.5t（由于短距离相关）。表1中给出的数值结果仅用于说明，因为我们仅计算了由#1、#2、、#3、#4和#5表示的少数“omegas”的值。表1：值处理Vδ与Vπ（0）的关系，对于电力公用工程情况，为δ#1#2#3#4#5Vδ1.4645 1.4 067 1.4 253 1.4212 1.4082δ=1 Vδ- Vπ（0），δ0.0021 0.0 021 0.0 020 0.0020 0 0.0020Vδ1.4739 1.3 995 1.4 237 1.4188 1.4019δ=0.5 Vδ- Vπ（0），δ0.0022 0.0022 0.0022 0.0022 0.0023Vδ1.4814 1.3 972 1.4 248 1.4195 1.4002δ=0.1 Vδ- Vπ（0），δ0.0020 0.022 0.0022 0.0022 0.0022Vδ1.4811 1.3 990 1.4 260 1.4208 1.4020δ=0.05 Vδ- Vπ（0），δ0.0019 0.0 020 0.0 021 0.0020 0.0021Vδ1.4783 1.4 050 1.4 291 1.4245 1.4076δ=0.01 Vδ- Vπ（0），δ0.0016 0.0 018 0.0 018 0.0017 0.0018正如预期的那样，策略π（0）t在δ较小时表现良好，因为相对差异（Vδ- Vπ（0），δ）/Vδ为0.1%。更令人惊讶的是，即使δ值不太小，它也表现良好。4一般效用和分数阶随机环境在本节中，我们通过一般效用U（x）的渐近性研究非线性投资组合优化，并且当基础资产的漂移u和波动率σ由缓慢变化的分数阶随机因子Zδ驱动时，htdefined in（3.9）。

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2022-5-31 06:42:57

这是由最近的两项工作推动的：在Fouke和Hu[2017b]中，我们在缓慢变化的马尔可夫环境中，得到了给定策略下的值函数的渐近结果，并证明了这种策略的最优性达到o（δH）；另一方面，当波动率由Zδ，Ht驱动n时，Garnie r和Solna【2017】给出了线性定价问题的渐近性和隐含波动率。使用符号M（t，x；λ）表示具有常数Sharpe-r atioλ的经典默顿值，我们用v（0）表示冻结Sharpe Ratioλ（z），v（0）（t，x，z）=M（t，x，λ（z））。（4.1）然后我们通过π（0）（t，x，z）=-λ（z）σ（z）v（0）x（t，x，z）v（0）xx（t，x，z），（4.2）和相关值过程vπ（0），δisVπ（0），δ：=EhUXπ（0）TFti，（4.3）其中Xπ（0）是遵循策略π（0）的财富过程：dXπ（0）t=u（Zδ，Ht）π（0）（t，Xπ（0）t，Zδ，Ht）dt+σ（Zδ，Ht）π（0）（t，Xπ（0）t，Zδ，Ht）dWt。（4.4）我们首先导出Vπ（0），δ的展开式，然后我们证明π（0）在δhamong阶上是最优的。δt[eπ，eπ，α]形式的策略：=π=eπ+Δαeπ：π∈ Aδt，α>0，0<δ≤ 1., （4.5）其中Aδ是缓慢变化的分数随机环境zδ，Ht下的容许控制（2.5）类。受电力效用情况下π（0）的反馈形式（3.18）和一般效用下π（0）的定义（4.2）的启发，我们在此将eπ和eπ限制为反馈控制。也就是说，eπ，eπ是（t，Xt，Zδ，Ht）的函数。作为一个副产品，通过将Vπ（0），δ的展开结果应用于电力效用，定理3.4中得到的π（0）在整个策略类aδt中达到δ2H阶是最优的。在下一小节中，我们首先回顾了当u和σ是（2.1）中的常数时的经典默顿问题，它在导出Vπ（0），δ的展开（4.21）中起着至关重要的作用。

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2022-5-31 06:43:00

然后我们定义了一些符号，以供以后使用。4.1具有常数系数的默顿问题该问题已被广泛研究，例如，在Karatzas和Shreve【1998年】。这里我们总结了关于经典默顿值函数M（t，x；λ）的结果。假设效用函数U（x）是C（0，∞), 严格递增、严格凹、满足纳达和渐近弹性条件：U′（0+）=∞, U′型(∞) = 0，AE[U]：=limx→∞xU′（x）U（x）<1，则默顿值函数M（t，x；λ）严格递增，在财富变量x中严格凹，在时间变量t中递减，即C1,2（[0，t]×R+）并解HJB方程mt+supπσπMxx+uπMx= Mt公司-λMxMxx=0，M（T，x；λ）=U（x），（4.6），其中λ=u/σ是恒定夏普比。对λ的响应为cw，最优策略为π*（t，x；λ）=-λσMx（t，x；λ）Mxx（t，x；λ）。（4.7）给定默顿值函数M（t，x；λ），可以通过（t，x；λ）=-Mx（t，x；λ）Mxx（t，x；λ）。（4.8）很明显，由于M（t，x；λ）的正则性、凹性和单调性，R（t，x；λ）是连续且严格正的。它是作为λ函数的lso平滑，参见下面的备注4.2。关于进一步的财产，werefer向K¨allblad和Zariphopoulou【2014、2017】以及Fouke和Hu【2017b】咨询。我们使用Fouque等人[2015]的符号：Dk=R（t，x；λ）kkx，k=1，2，··，（4.9）Lt，x（λ）=t+λD+λD.（4.10）注意，Lt，x（λ）的系数取决于R（t，x；λ），因此取决于M（t，x；λ）。默顿PDE（4.6）可重写为lt，x（λ）M（t，x；λ）=0。（4.11）接下来，我们总结本节研究中需要的所有假设。

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2022-5-31 06:43:04

这将包括效用函数U（x）、状态过程（xπ（0）t，St，Zδ，Ht）以及v（0）（t，x，Z）的性质。4.2假设基本上，我们在Fouque和Hu【2017b】中相同的假设集下工作，为了读者的方便，我们在此处重述这些假设。关于一般效用函数的详细讨论见第2.3节。假设4.1。在本文中，我们对效用U（x）进行了以下假设：（i）U（x）是C（0），∞), 严格递增、严格凹且满足以下条件（Inadaand渐近弹性）：U′（0+）=∞, U′型(∞) = 0，AE[U]：=limx→∞xU′（x）U（x）<1。（4.12）（ii）U（0+）是有限的。在不丧失一般性的情况下，我们假设U（0+）=0。（iii）用R（x）表示风险承受能力，R（x）：=-U′（x）U′（x）。（4.13）假设R（0）=0，R（x）严格增加，R′（x）<∞ 在[0，∞), 存在K∈ R+，因此对于x≥ 0和2≤ 我≤ 4.（i） xRi（x）≤ K、（4.14）（iv）将边际效用U′（x）的反函数定义为I:R+→ R+，I（y）=U′(-1）（y），并假设对于某些正α，κ，I（y）满足多项式增长条件：I（y）≤ α+κy-α、（4.15）以及对于正常数cn，cn，n=1，2，3，c>1，cI（x）≤ |xI′（x）|≤ CI（x），c | I′（x）|≤ xI′（x）≤ C | I′（x）|和| xI′（x）|≤ CI′（x），（4.16）备注4.2。第（ii）项不包括功率因数U（x）=x1的情况-γ1-γ>1时为γ。然而，本节中的所有结果仍然适用于γ>1的情况，在证明中略有修改。K¨allblad和Zariphopoulou【2017】中引入的条件（4.16）是其命题4中的关键假设，将在我们的推导中使用。他们还给出了一个满足这一条件的边际效用倒数的混合例子。在条件（4.15）下，风险容限函数R（t，x；λ）在变量λ中是光滑的。

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2022-5-31 06:43:07

该性质将用于推导命题4.5。为了证明这一点，我们从[Fouke和H u，2017b，命题3.3（iii）]中看到，风险容忍函数R（t，x；λ）可以用（t，x；λ）=Hx（H）表示(-1）（x，t，λ），t，λ），其中H（x，t；λ）：R×[0，t]×R→ R+是热方程的唯一解HT+λHxx=0，H（x，T，λ）=I（e-x），和H(-1）是变量x的反函数。然后，H（x，t；λ）在参数λ中是光滑的。下面是状态过程（Xπ（0）t，St，Zt）和v（0）（t，X，z）所需的附加假设。假设4.3。（i）函数λ（z）=u（z）/σ（z）是C（R）。此外，λ（z）、λ′（z）和λ′（z）最多是多项式增长。（ii）值函数v（0）（t，x，z）=M（t，x；λ（z））满足以下关系：xv（0）xx（t，x，z）≤ d（z）v（0）（t，x，z），（4.17），其中d（z）为多项式增长。请注意，这会自动被电源利用率（2.4）所满足。（iii）过程v（0）（t，Xπ（0）t，Zδ，H）在L（[0，t]×中）Ohm) δ均匀，即e“ZTv（0）（s，Xπ（0）s，Zδ，H）ds公司#≤ C（4.18），其中Cis独立于δ和Zδ，His在（3.9）中给出，t=0。备注4.4。请注意，条件（4.17）实际上是对一般公用事业的一个隐藏假设，它自动被电力公用事业满足。为了保证（4.18），在【Fouque和Hu，2017b，第2.4节】中讨论了一系列假设。4.3具有给定策略π（0）的Epsilon鞅分解，如Fouke等人【2000】在线性定价问题的背景下介绍的，并进一步发展了inGarnier和Solna【2017】，Epsilon鞅分解的思想是找到一个以鞅加上具有正确终端条件的小东西的形式的过程。

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2022-5-31 06:43:10

具体而言，我们的目标是找到Qπ（0），δ，使其终端条件与感兴趣的量Vπ（0），δt，na mely，Qπ（0），δt=Vπ（0），δt=U（Xπ（0）t）一致，并且可以分解为Qπ（0），δt=Mδt+Rδt，（4.19），其中Mδ是鞅，Rδ是δ2H阶。注意，δh阶项将被Mδt分解吸收。假设我们得到这样一个分解（4.19），然后在方程Qπ（0）两侧取关于f的条件期望，δt=Mδt+RδTgivesVπ（0），δt=EhQπ（0），δt | Fti=Mδt+ERδT | Ft= Qπ（0），δt+ERδT | Ft- Rδt.（4.20）由于Rδt的阶数为δ2H，Qπ（0），δt是Vπ（0）的近似值，δtup是δH。因此，上述论证得出了所需的近似结果。现在仍然需要找到Qπ（0），δtso，分解保持不变，我们有以下命题。提案4.5。根据第4.1条和第4.3条的规定∈ [0，T），Xπ（0）T=X，观测值Zδ，H，（4.3）中定义的Ft可测值过程Vπ（0），δtde的形式为Vπ（0），δT=Qπ（0），δT（Xπ（0）T，Zδ，H）+O（δ2H），（4.21），其中Qπ（0），δT（X，Z）由以下公式得出：Qπ（0），δT（X，Z）=V（0）（T，X，Z）+λ（Z）λ′（Z）Dv（0）（T，X，Z X，Z）φδT+δHρλ（Z）λ′（Z）V（1）（T，X，Z），（4.22）V（0）和（4.1）和（4.9）中分别定义的数据，φδtt型∈[0，T]是（3.14）中δHgiven阶的Ft可测量过程，v（1）（T，x，z）定义为v（1）（T，x，z）=Dv（0）（T，x，z）Dt，T，Dt，T=（T- t） H+3/2Γ（H+）。（4.23）命题4.5的证明将在推论4.6和命题4.7之后给出。正如在Remark 3.5中所解释的，我们有以下推论。推论4.6。在公用电U（x）=x1的情况下-γ1-γ、当γ>0，γ6=1，并且在假设2.1和4.3下，（3.18）给出的π（0）在全类容许策略Aδtup to orderδH证明中是渐近最优的。

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2022-5-31 06:43:13

直接计算得出，在功率实用程序下，v（0）、Dv（0）和v（1）asv（0）（t，x，z）=x1-γ1- γe1-γ2γλ（z）（T-t），Dv（0）（t，x，z）=x1-γγe1-γ2γλ（z）（T-t），v（1）（t，x，z）=（1- γ） γx1-γe1-γ2γλ（z）（T-t）（t- t） H+Γ（H+）。然后，可以推导出Qδt=Qπ（0），δt，其中Qδtis由（3.13）a和Qπ（0）给出，δtis由（4.22）给出。结合定理3.2，Vδ和Vπ（0），δ允许相同的一阶近似。因此，我们得到了所需的渐近最优性。对于一般实用程序，我们将在第4节中较小的类EAδt[eπ，eπ，α]中得出类似的结果。4、提案4.7。对于马尔可夫情形H=，近似值Qπ（0），δtgiven in（4.21）与[Fouque and Hu，2017b，定理3.1]中得出的结果一致，Vπ（0），δ（t，x，z）=V（0）（t，x，z）+√δ（T- t） ρλ（z）λ′（z）Dv（0）（t，x，z）+O（δ）。（4.24）证明。首先观察H=，Dt，T=（T- t），以及Qπ（0）中的第三项，δt ecomes√δ（T- t） ρλ（z）λ′（z）Dv（0）（t，x，z）。使用Zδ的移动平均表示（3.9），H=1/2时，φδt显式计算为φδt=1- e-aδ（T-t） aδZδ，Ht- （T- t） Zδ，H=（t- t）Zδ，Ht- Zδ，H+ O（δ）。然后使用“织女星伽马”关系v（0）z（t，x，z）=（t- t） λ（z）λ′（z）Dv（0）（t，x，z）和事实Zδ，Ht- Zδ，Hp~ O（δpH），可以推导出vπ（0），δt=v（0）（t，Xπ（0）t，Zδ，H）+v（0）Z（t，Xπ（0）t，Zδ，H）Zδ，Ht- Zδ，H+√δ（T- t） ρλ（Zδ，H）λ′（Zδ，H）Dv（0）（t，Xπ（0）t，Zδ，H）=v（0）（t，Xπ（0）t，Zδ，Ht）+√δ（T- t） ρλ（Zδ，Ht）λ′（Zδ，Ht）Dv（0）（t，Xπ（0）t，Zδ，Ht）+O（δ），这与[Fouque and Hu，2017b，定理3.1]中得出的结果一致。现在我们来看命题4.5的证明。命题4.5的证明。根据epsilo的n-鞅分解策略，我们的目标是证明Qπ（0），δtca可以写成Mδt+Rδt，其中Mδ是鞅，Rδ是δ2H阶。为了清晰和简单，我们应主要关注Qπ（0）、δ的推导，并推迟附录A中的精度证明。

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