论最优运输产生的投资组合

2022-6-1 07:58:26

关于由OPTIMAL Transporting-KAM LEONARD WONGAbstract生成的投资组合。由Fernholz在随机投资组合理论中首次引入的功能生成投资组合允许其投资绩效被归因于直接可观察且易于解释的市场数量。在之前的工作中[18，19]，我们表明Fernholz的乘法生成的PortfolioH与最优传输和指数凹函数的信息几何有着深刻的联系。最近，Karatzas和Ruf【12】引入了一种新的加性投资组合，Vervuurt【21】研究了其与最优运输的关系。我们表明，相加生成的投资组合可以用众所周知的布雷格曼散度的双重信息几何来解释。此外，从某种意义上说，我们将包含加法和乘法代的所有可能形式的函数组合结构描述为特例。每一种构造都涉及衡量市场波动率的单位单纯形上的分歧函数，并允许对投资组合价值进行路径分解。用一个实证例子加以说明。简介投资组合管理中的一个重要问题是绩效归因。对于一般的投资算法，通常很难根据市场走势透明地解释投资组合的PnL（盈亏）。从数学上讲，我们可以将投资组合价值视为与基础价格过程相关的交易策略的一个组成部分（例如，参见[6]和[13]的第一章）。这通常是市场所走路径的复杂函数，不允许进行方便的简化。在[8]中，Fernholz引入了一种投资组合结构，并证明了当市场投资组合被作为数字时，价值过程的路径分解公式。

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2022-6-1 07:58:29

被称为功能生成投资组合，它们现在是随机投资组合理论的关键工具，如[6，10]所述。一个特别重要的结论是，它们允许我们在大型股票市场上制定简单的结构条件，在这种条件下，有可能跑赢市场投资组合。有关市场投资组合的此类相对套利以及所需的结构条件的示例，我们请读者参考文献[8、9、11、2、22、15、7、12]及其参考文献。在【12】之后，我们说Fernholz的投资组合是乘法生成的——这个术语将在第3节中明确。虽然上述论文在股票价格为It^o过程的连续时间内工作，但在一系列论文[17、18、19]中，我们在离散时间和模型独立的框架下工作，并发现日期之间存在着一种优雅的联系：2017年9月27日。关键词和短语。随机投资组合理论，功能生成投资组合，最优运输，信息几何，散度。2 TING-KAM LEONARD Wong利用对数成本函数多重生成投资组合和最优运输。有关最佳运输的一般介绍，请参见【23，24】。此外，在[19]中，我们表明，这些投资组合的最佳再平衡可以用指数凹函数和二次收敛的新信息几何来解释（见定义3.2）。从数学上讲，这项工作【19】揭示了之前未被探索的最佳运输和信息几何之间的联系，以及除了经典的瓦塞尔斯坦成本之外的已确定的重要例子。关于指数族累积量生成函数给出的成本函数的这种联系的扩展，请参见[16]。信息几何起源于运用微分几何思想进行统计推理的研究。

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mingdashike22

2022-6-1 07:58:33

经过几十年的紧张发展，它现在在统计学、信息论和机器学习中有着众多的应用。有关这一美丽地区的介绍，请参见【1】。在我们的上下文中，主要思想是，交易策略由指数凹函数给出，在代表股票市场状态的单位单纯形上诱导几何结构。然后可以使用几何概念（如差异（定义见下文第3.8节）和角度）对投资组合的财务损益进行量化。另一方面，Karatzas和Ruf在[12]中引入了一类新的附加生成投资组合。对于这些投资组合，也可以推导出类似于Fernholz公式的ApithWise分解。最近，论文[21]中观察到，额外生成的投资组合也对应于非最优运输问题。这里的代价函数是欧几里德内积，它等价于经典的二次代价c（x，y）=x- y |。与【19】类似，我们将在本文中看到，这些投资组合与Amari和Nagaoka在【14】中引入的众所周知的Bregman散度几何结构有关。我们强调，只有在离散时间内，这些几何思想才会变得明显。这是因为在连续时间内，除二次变差（本质上是黎曼度量）外，所有高阶效应都会消失。一些自然的问题如下：多重生成和相加生成的投资组合之间的关系是什么？是否有其他形式的功能组合生成与最佳运输和信息几何有关？在本文中，我们回答了这些问题。我们考虑功能组合构建的一般框架（见定义3.9），并描述其所有可能的形式。

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可人4

2022-6-1 07:58:35

很明显，功能性投资组合生成，即使是在我们的扩展形式中，也会对可行的交易策略施加强大的条件。我们发现，除了乘法和加法生成之外，还存在一个新的组合结构家族，可以通过两个参数α>0和c进行参数化≥ 我们证明了这类中的每个交易策略η都是一个乘法生成的投资组合和市场投资组合的长短组合。此外，我们在定理5.9中证明了当以市场投资组合为基准且Vη（·）>-C： αlogC+Vη（t）C+Vη（0）=Д（u（t））- ^1（u（0））+吨-1Xs=0D[u（s+1）|u（s）]。这里，ν是生成函数，它是α指数凹的（即ανisconcave），D[·|·]≥ 0是单位单纯形上的散度（在信息几何意义上）n（这里n是股票的数量），我们称之为L（α）-散度和u（t）∈ nis时间t的市场权重。在此框架中，最优运输3代产生的乘性投资组合对应于（α，C）=（1，0），当α=C时，加性投资组合是有限的↓ 0.我们参数化的一个优点是，我们可以通过改变α和C来生成具有相同生成函数的不同投资组合。此外，当α=1时，L（α）-散度是通常的L-散度，当α=1时，L（α）-散度趋于Bregman散度↓ 在我们的上下文中，这是L-散度和Bregman散度之间的正则相互作用。通过改变参数，我们可以在两个已知的投资组合结构之间进行插值。我们希望这项工作进一步明确了最佳运输和信息几何在功能组合生成中的作用。1.1. 论文大纲。

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2022-6-1 07:58:38

论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了离散时间市场模型，并介绍了表示交易策略和相关价值过程的各种方法。在第3节中，我们回顾了乘法和加法生成的投资组合的定义，并比较了投资组合价值过程的相应分解公式。这些结果激发了我们功能性投资组合生成的一般框架。第4节解释了与最佳传输和信息几何结构的连接。第5节证明了我们关于函数投资组合生成和路径分解的主要结果。最后，我们用一个实证例子来说明新的投资组合结构。2、市场模型我们在一个离散时间、独立于模型的框架中工作，这在我们之前的论文中使用【17，18】。读者可参考这些文件了解更多详情。让n≥ 2、市场上的股票数量是固定的。我们模型的数据是一个序列{X（t）=（X（t），…，Xn（t））}∞t=0，值为（0，∞)n、我们将Xi（t）视为股票i在t时的市值。t时的市场权重向量定义为（2.1）u（t）=（u（t），un（t））=X（t）X（t）+···+Xn（t），Xn（t）X（t）+···+Xn（t）.向量u（t）取开放单位单纯形（2.2）中的值n={p=（p，…，pn）∈ （0，1）n:p+···+pn=1}。我们表示为n关闭年注册号。在这个市场上，我们考虑各种自我融资的交易策略。让我们根据每个时间点持有的股份数量来表达一种策略。此外，我们使用市场投资组合作为基准。这意味着股票i的（相对）价值只是市场权重ui（t）。我们假设交易是无摩擦的（更多细节参见[17，18]）。定义2.1（交易策略）。

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2022-6-1 07:58:41

自我融资交易策略是一个序列η={η（t）}∞t=0，值以Rn为单位，使得自筹恒等式（2.3）nXi=1ηi（t）ui（t+1）≡nXi=1ηi（t+1）ui（t+1）4 TING-KAM LEONARD WONGholds代表所有时间t。η的（相对）值过程由（2.4）Vη（t）=Vη（0）+t定义-1Xs=0（η（t）·（u（t+1）- u（t）），其中Vη（0）=η（0）·u（0），a·b是欧氏内积。在上述定义中，请注意，投资组合的初始值由Vη（0）=η（0）·u（0）隐式确定。选择时间t的投资组合η（t）作为时间t之前价格{u（s）}ts=0的函数，以及可以通过过滤{F（t）}建模的其他当前可用信息∞t=0。然而，我们并不认为{u（t）}∞t=0，作为一个随机过程。这只是一条自然选择的固定路径，其组成部分会一个接一个地向投资者展示。在本文中，我们只研究交易策略相对于市场投资组合的价值，因此为简单起见，我们可以省略“相对”一词。请注意，由于我们在投资组合中同时允许多头和空头头寸，因此Vη（t）的值可能为负值。如果所有t的投资组合值Vη（t）都严格为正，我们可以通过（2.5）π（t）=（π（t），…）定义相应的投资组合过程，πn（t））=η（t）u（t）Vη（t），ηn（t）un（t）Vη（t）.π（t）的分量表示每只股票的流动资本投资百分比；clearlyPni=1πi（t）≡ 我们称π（t）为时间t的投资组合权重向量。在这种情况下，值Vη（t）可以用（2.6）Vη（t）=Vη（0）t的形式乘法表示-1Ys=0π（t）·u（t+1）u（t）,其中，u（t+1）u（t）是成分比率的向量。将其与additiverepresentation（2.4）进行比较。

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mingdashike22

2022-6-1 07:58:44

直觉上，（2.5）和（2.6）给出的价值过程定义限制了与此结构兼容的功能性投资组合生成形式。在结束本节之前，我们回顾一下[12，命题2.3]中的一个观察结果。给定序列{η（t）}∞t=0如果从（2.3）的意义上讲可能不是自我融资，我们可以通过设置（2.7）ηi（t）=ηi（t）来制定自我融资交易策略- Qη（t）- C、式中（2.8）Qη（t）：=Иη（t）·u（t）- ~η(0) · u(0) -t型-1Xs=0？η（s）·（u（s+1）- u（s））是“自我融资缺陷”，C∈ R是一个常数，控制投资组合的初始值Vη（0）=η（0）·u（0）。“修正”策略η满足（2.9）η（t）·（u（t+1）- u（t））=Иη（t）·（u（t+1）- u（t）），因此，值得注意的是，回报率不受影响。在【12】中，作者在连续时间内推导了这些量。上述定义是对当前环境的直接适应。关于最优运输5CCN产生的投资组合nΦ（p）图1。乘法生成投资组合的几何解释。3、乘法和加法生成的portfoliosIn本节我们回顾了功能生成的两种已知形式的定义和主要结果。为了便于说明，我们假设生成函数在适当的意义上是光滑的和凹的。3.1. 乘法生成的投资组合。我们遵循[18]的处理方法，扩展了Fernholz的原始构造。定义3.1（乘法生成的投资组合）。让^1： → R是一个光滑函数，使得Φ：=eД是凹的。（我们称其为指数凹函数）。给定生成函数Д，我们定义了一个映射π：n→ n、称为投资组合图，由（3.1）πi（p）=pi（1+Dei-pД（p）），i=1，n、式中（e。

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2022-6-1 07:58:47

，en）是标准的欧几里德基和Dei-pis沿矢量ei的方向导数- p、由Д生成的投资组合过程由（3.2）π（t）给出=η（t）u（t）Vη（t），ηn（t）un（t）Vη（t）= π（u（t））。以下是一种几何方法（这是一种新方法，但紧随knownresults而来）来解释公式（3.1），它看起来可能有点奇怪。考虑凹面函数Φ=eД的图形。给定p∈ n、设p处Φ的切线超平面由q 7给出→Pni=1 IQI（见图1）。然后，可以验证投资组合向量π（p）由（3.3）πi（p）=CIPIP+····+cnpn，i=1，n、特别是，重量比πi（p）Pi与ci成正比。这种结构被称为乘法结构，因为我们根据生成函数的导数指定了权重比。权重比可视为组合权重相对于市场权重的非标准化Radon-Nikodym导数。我们之所以需要凹函数，是因为这些是唯一能够以独立于模型的方式捕获波动性的组合映射。关于6 TING-KAM LEONARD Wongt的精确陈述，请参见【18，定理1】和下文第4节。为了说明分解公式，我们还需要在[18]中引入L-散度的概念。定义3.2（L-散度）。如定义3.1所示。Д的L-散度是函数DL，Д[·|·]：n×n→ [0, ∞) 定义为（3.4）DL，Д[q | p]=对数（1+^1（p）·（q）- p）（）- （q）- Д（p）），p，q∈ n、在哪里^1是通常的欧几里德梯度。这里L代表“对数”。在[18]中，我们证明了L-散度是非负的，并且当eν是严格凹的时，L-散度是严格正的。注意，因为函数Д是凹函数的对数，在（3.4）中，我们可以包括改进标准线性近似的算术校正。

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大多数88

2022-6-1 07:58:50

这与下文定义3.6中回顾的经典布雷格曼分歧形成对比。每一个乘法生成的投资组合都允许如下所示的路径分解。定理3.3（乘法分解）。[8，18]设η为指数凹函数Д乘法生成的交易策略，如定义3.1所示。然后η的值过程由（3.5）log Vη（t）给出- 对数Vη（0）=Д（u（t））- ^1（u（0））+吨-1Xs=0DL，Д[u（t+1）|u（t）]。第3.3节将在我们引入额外生成的投资组合后讨论（3.5）的财务含义。这里让我们举一个例子（更多例子见[6，第3章]）。对于固定元素π∈ n、设ν（p）=nXi=1πilog pibe信息论中的交叉熵（见[5]），或等于几何平均数Φ（p）=pπ·pπnn与权重π的对数。那么由Д生成的投资组合图π（·）就是常数图π（p）≡ π、 p∈ n、我们称之为常数加权投资组合。相应的L-散度由（3.6）DL给出，Д[q | p]=logπ·qp- π·logqp，p，q∈ n、这里logqphas组件logqipi。在融资中，这一数量被称为超额增长率[6，17]和多元化回报率[3，25]。文献[26]研究了L-发散的一般比较性质。例如，这里证明了如果ν（p）=Pni=1nlog Pi，对应于等权投资组合和D，L[·|·]≥ Dх，L[·|·]对于一些，然后≡ И直到一个加法常数。换言之，等权portfoliois的L-散度是最大的，并且不能全局改进。3.2. 额外生成的投资组合。现在，我们将[12]和[21]的工作改编为我们的离散时间设置，并推导出类似于（3.5）的分解公式。额外生成的投资组合的主要思想如下。

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2022-6-1 07:58:53

取一个（凹）生成函数Д：n→ R并考虑其梯度（3.7）~η（t）=^1（u（t））。在最优运输7产生的投资组合中，由Д产生的额外交易策略是从（3.7）中以（2.7）的方式获得的自我融资策略，该策略纠正了“自我融资的缺陷”。我们下面给出的公式（3.8）取自【21，第3.3节】。定义3.4（额外生成的投资组合）。设ν为光滑凹函数n、通过（3.8）ηi（t）=Dei定义了由Д产生的额外交易策略-u（t）Д（u（t））+Vη（t），i=1，n、一旦初始值Vη（0）固定，这对于所有t都是明确的。注意，相加生成的交易策略取决于当前市场权重u（t）和当前投资组合值Vη（t），而乘法生成的投资组合的投资组合权重是u（t）的确定函数。为了完整性和说明符号，让我们检查以下引理3.5。（3.8）定义的交易策略η是自我融资的，即身份（2.3）保持不变。证据假设该策略在时间t之前是自我融资的。那么，时间t+1的投资组合价值是明确的，等于vη（t+1）=nXi=1ηi（t）ui（t+1）。另一方面，我们有nXi=1ηi（t+1）ui（t+1）=nXi=1（Dei-u（t+1）Д（u（t+1））+Vη（t+1））ui（t+1）=nXi=1ui（t+1）Dei-u（t+1）Д（u（t+1））+ Vη（t+1）=0+Vη（t+1）。最后一个等式来自方向导数的线性和nxi=1ui（t+1）（ei）的事实- u（t+1））=u（t+1）- u（t+1）=0。通过归纳，战略η是所有t的自我融资。现在，我们为价值过程开发了一个分解公式，该公式在【12】中连续进行了验证。在我们的离散时间设置中，【12，命题4.3】中的有限变化项成为Bregmandivergence的累积和。

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大多数88

2022-6-1 07:58:56

Bregman散度是在[4]中引入的，是信息几何学中的一个基本概念。几何后果将在第4节中解释。定义3.6（布雷格曼分歧）。定义3.4中凹函数Д的布雷格曼散度是非负函数DB，Д[·|·]：n×n→[0, ∞) 定义为（3.9）DB，Д【q | p】=^1（p）·（q）- p）- （q）- ^1（p））。8 TING-KAM LEONARD WONGTheorem 3.7（添加剂分解）。考虑由凹函数Д生成的交易策略η。然后，相对值满足分解（3.10）Vη（t）- Vη（0）=Д（u（t））- ^1（u（0））+吨-1Xs=0DB，Д[u（t+1）|u（t）]。证据对于任何t，我们有vη（t+1）- Vη（t）=nXi=1ηi（t）（ui（t+1）- ui（t））=nXi=1Dei-u（t）Д（u（t））+Vη（t）！（ui（t+1）- ui（t））=nXi=1（ui（t+1）- ui（t））Dei-u（t）Д（u（t））=^1（u（t））·（u（t+1）- u（t））=Д（u（t+1））- Д（u（t））+分贝，Д[u（t+1）|u（t）]。公式（3.10）通过随时间求和得出。我们还给出了一个加法情况的例子。Let^1（p）=-1 | p|=-1.p+···+pn是平方欧几里德范数的负一半。它生成交易策略η（t），由ηi（t）=p给出|- pi+Vη（t）。有趣的是要注意到，φ的布雷格曼散度是欧氏距离平方的一半：DB，φ[q | p]=kp- qk。有关布雷格曼分歧的其他示例，请参见[1，第1章]。3.3. 功能性投资组合生成框架。

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可人4

2022-6-1 07:58:59

观察分解（3.5）和（3.10）都可以写成（3.11）g（Vη（t））的形式- g（Vη（0））=Д（u（t））- ν（u（0））+D[u（t+1）|u（t）]，其中g、Д和D[·|·]是合适的函数：o（乘法生成）g（x）=对数x，D[···]是指数凹函数的L-散度（加法生成）g（x）=x，D[·|·]是凹函数的布雷格曼散度。人们很自然会问，是否存在其他允许形式路径分解的投资组合结构（3.11）。为了阐明这个问题，我们引入了散度的一般概念。在信息几何中，散度是可微流形上的一个非负的类距离量；见【1，第1章】。这里我们只考虑单位单纯形上的发散。定义3.8（分歧n）。上的分歧nis a非负函数D[·：·]：n×n→ [0, ∞) 满足以下条件：（i）D[q:p]=0当且仅当p=q。关于由最优传输9u（0）u（t）u（0）u（t）图2生成的投资组合。功能生成交易策略的财务直觉。左：市场位移，其中虚线曲线是生成函数的水平集。右图：路径{u（s）}ts的波动率=0，作为累积散度。（ii）它允许（3.12）D[p+p:p]=nXi，j=1gij（p）圆周率pj+O(|p |），其中|p |→ 0，且矩阵G（p）=（gij（p））在p中平稳变化，且严格正定义为（3.13）nXi，对于所有向量v，j=1gij（p）vivj>0∈ RN与n、即v+···+vn=0。如果条件（i）被删除，并且在（3.13）中我们没有严格不等式，我们称D[····]为伪散度。注意，散度在变量p和q中不一定是对称的。

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可人4

2022-6-1 07:59:02

在我们的背景下，这一点从直觉上是清楚的，因为逆转时间的方向几乎总是会导致不同的财务结果。当Φ=eД和Д的欧几里德黑森值分别为严格正定义时，L-散度和Bregmandivencies为真散度（矩阵g见下文（3.14））。定义3.9（一般功能组合构建）。设η={η（t）}∞t=0bea自我融资交易策略，其价值过程为Vη（t），并设Д，g：n→ Rbe功能开启其中g严格递增。如果存在伪散度D[·：·]，我们说η是由φ和标度函数g生成的（3.11）适用于所有市场序列{u（t）}∞t=0。我们将根据第5节中的定义3.9描述功能生成。在结束本节之前，我们简要讨论了分解后的财务直觉（3.11）。分解意味着投资组合相对于市场的表现可归因于两个数量。第一个是通过函数Д（u（t））的变化来衡量的市场位移。它仅取决于市场的起始位置u（0）和当前位置u（t）。请注意，Д（u（t））的变化仅由沿垂直于水平集的φ（u（t））。10 TING-KAM LEONARD WONGIn，尤其是沿着同一水平集的位移，在本图中不可见。（3.11）中的第二项测量了市场的波动性，当市场从u（0）移动到u（t）时，通过D[u（s+1）|u（s）]随时间的总和来测量。直觉上，当且仅当波动性大于市场位移时，功能生成交易策略η的表现优于市场。

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2022-6-1 07:59:05

本着这种精神，可以通过对φ（u（t））和散度项的增长施加条件来构建相对论。在连续时间限制内，散度项-1s=0D[u（s+1）|u（s）]成为根据市场权重的二次变化过程给出的有限变化过程。这源自二次近似（3.12）。特别是，在矩阵符号中，我们有DB，Д[p+p | p]=-1(p） >赫斯（p）(p） +O(|p |），DL，Д[p+p | p]=-1(p） >赫斯И（p）+(^1（p））(^1（p））>(p） +O(|p |），（3.14），其中HessД是欧氏Hessian矩阵。这给出了连续时间设置下的[12，命题4.3]和[6，定理3.1.5]。与最佳运输和信息几何的连接4.1。最佳运输。最佳运输是一个极其广阔和深入的领域。为了简单起见，我们使用离散质量的传输来解释主要思想。（如[18]和[21]所示，结果适用于满足温和条件的广义概率测度的Monge-Kantorovich问题。）为了系统地阐述最佳交通方式，我们建议读者阅读维拉尼的优秀书籍【23，24】。设X，Y为集，c:X×Y→ R是一个成本函数。让x，xN公司∈ X和y，yN公司∈ Y、在这种简化的背景下，（Monge）最优运输问题试图为每个xito分配一些yjso，以最小化总运输成本：minNXi=1c（xi，Yσ（i））。这里的最小化是所有双射（即置换）σ：{1，…，N}→{1，…，N}。利用置换是不相交循环的产物这一事实，不难证明（见[23，练习2.21]）赋值xi→ yi，i=1，N、是最优的当且仅当它是c-循环单调的，即，对于任何i，i，imin{1，…，N}我们有（4.1）mXk=1c（xik，yik）≤mXk=1c（xik，yik+1），其中根据惯例im+1：=i。

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2022-6-1 07:59:08

同样，我们可以定义子集a的c循环单调性 X×Y.在非常温和的条件下（见[23，24]），我们可以证明运输计划的C循环单调性是Monge-Kantorovich问题最优性的有效和必要条件。功能组合生成和最佳运输之间的联系如下。考虑分解（3.3）和（3.7）。如果市场路径满足u（t）=u（0），那么{u（s）}ts=0是n、然后，我们总是有最优运输11Vη（t）产生的投资组合≥ Vη（0）。结果表明，对于适当的代价函数选择，该不等式等价于c-循环单调性。这意味着功能生成的交易策略可以作为某些最优运输问题的解决方案。以下定理摘自【18】和【21】。定理4.1（功能生成和最佳运输）。（i）（乘法生成[18]）设X=nand Y=n、考虑成本函数（4.2）c（p，q）=log（p·q），（p，q）∈ X×Y.假设π是指数凹函数通过（3.1）乘法生成的投资组合图。给定π，定义映射T：n→nby（4.3）T（p）=π（p）/pPnj=1πj（p）/pj，πn（p）/pnPnj=1πj（p）/pj！。那么T的图是c-循环单调的。（ii）（加法生成[21]）改为考虑X=nand Y=Rn，而成本函数（4.4）c（p，v）=p·v，（p，v）∈ X×Y.考虑凹函数通过（3.8）生成的交易策略η。确定交通地图T：n→ Rnby（4.5）T（p）=^1（p）。那么T的图是c-循环单调的。让我们注意到，在定理4.1（ii）中，一旦确定了成本函数，关于c-循环单调性的陈述立即来自Rockafellar定理（见[20，第24节]），该定理描述了凸/凹函数的不同之处。4.2.

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2022-6-1 07:59:11

额外生成的投资组合的几何结构。功能生成的投资组合与信息几何学有关，这是在【19】的多重生成投资组合中首次发现的。在这篇文章中，我们研究了由单纯形上指数凹函数的给定L-散度诱导的几何结构（在[1，第6章]的意义上）nand证明了一个广义的勾股定理。这里我们给出了加法生成的类似物；由于布雷格曼散度的几何学已经得到了很好的研究，这种情况更容易发生。设η为光滑凹函数Дon相加生成的交易策略n、因此HessД是严格的正定义。在第2节讨论的市场模型中，投资组合在每个时间点进行交易。更一般地说，我们可以根据停车时间的增加顺序进行交易。一个重要的财务问题是确定最佳再平衡频率。对于三个时间点的情况，我们可以几何地描述该解。让t<t<t考虑两种实施策略η的方法：（a）仅在t时重新平衡。（b）在t时重新平衡。12 TING-KAM LEONARD WONGThen，在t时，相应的投资组合值为v（a）η（t）- V（a）η（t）=Д（u（t））- Д（u（t））+D[u（t）|u（t）]，V（b）η（t）- V（b）η（t）=Д（u（t））- Д（u（t））+D[u（t）|u（t）]+D[u（t）|u（t）]，其中D=DB，Д是Д的布雷格曼散度。假设V（a）η（t）=V（b）η（t），我们发现方法（b）在[t，t]期间的收益大于方法（a），当且仅当（4.6）D[u（t）|u（t）]+D[u（t）|u（t）]≥ D[u（t）|u（t）]。我们给出了三重态的几何条件（p，q，r）=（u（t），u（t），u（t））∈(n）保持（4.6）。这将根据布雷格曼散度的二重弯曲几何形状进行说明；有关更多详细信息和动机，请参见【1，第1章】。定义4.2（布雷格曼散度几何）。

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2022-6-1 07:59:13

设M=n被视为牙齿（n- 1） -无边界的维光滑流形。（i）（原始坐标）单位映射p=（p，…，pn）∈ M 7→ p=（p，…，pn）称为原始坐标系。（ii）（双坐标）地图p∈ M 7→ p*= Д（p）称为双坐标系。根据勒让德变换的性质，这是一个从M到其范围（也是凸的）的微分同胚。p=φ*（p*) 其中^1*是ν的凹共轭。（iii）（原始测地线）给定p和q，从q到p的原始测地线是直线γ（t）=（1- t）用原始坐标表示时，q+tp。（iv）（双测地线）给定q和r，从q到r的双测地线是直线γ*（t） =（1）- t） q*+ tr公司*用双坐标表示时。（v）（黎曼度量）设u和v相切于nand以主坐标表示，并设p∈ n、 p的黎曼内积由（4.7）hu定义，vip=u>(- HessД（p））v。我们说，如果hu，vip=0，u和v在p处正交。我们说这种几何是双重的，因为p空间中的直线和p空间中的直线*空间给出M上的两个a ffne结构；通过勒让德变换，这两个坐标系是相互对偶的。在[19]中，这种二元结构扩展到对数成本函数，其中勒让德变换采用（4.3）的形式。定理4.3（广义勾股定理）。设p、q和r是不同的点sinn、考虑从q到p的原始测地线γ（t）和对偶测地线γ*（t）从q到r，当且仅当速度向量˙γ（0）和˙γ之间的黎曼角*（0）at q小于π。此外，当且仅当两条测地线在q处正交相交时，等式成立（见图3）。证据参见【1，定理1.2】。

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2022-6-1 07:59:16

关于最优传输13RQP双测地线基本测地线生成的投资组合⊥ 在黎曼度量表下图3。广义勾股定理。这是在主坐标中绘制的，因此原始测地线是一条直线。5、功能组合生成的特征在本节中，我们根据定义3.9对功能组合生成进行了特征描述。在本节中，我们将η定义为功能生成的交易策略，如定义3.9所示。我们假设标度函数g是光滑的，并且对于所有x，g（x）>0。我们还要求g的域包含正实线（0，∞). 此外，我们假设η是非平凡的，因为对于时间t之前的所有市场路径，利润或损失η（t+1）- Vη（t）=η（t）·（u（t+1）- u（t））不是作为u（t+1）函数的相同零。5.1. 缩放功能。我们首先描述了scalefunction的可能形状。提案5.1。尺度函数g仅当具有以下形式之一时，才允许使用非平凡函数生成的交易策略。（5.1）g（x）=cx+Cw，其中c>0和c∈ R、或（5.2）g（x）=堵塞（c+x）+此处为CWC≥ 0，c>0和c∈ R、我们将用几个引理证明命题5.1。首先，我们观察到，分解（3.11）已经暗示了每个时间点的交易策略公式。引理5.2。对于任意切线向量vn（即v+···+vn=0）我们有（5.3）η（t）·v=g（vη（t））ν（u（t））·v。尤其是对于每个i=1，n、我们有（5.4）ηi（t）=g（Vη（t））Dei-u（t）Д（u（t））+Vη（t）。14 TING-KAM LEONARD WONGProof。从（3.11）我们得到等式（5.5）g（Vη（t+1））- g（Vη（t））=Д（u（t+1））- ν（u（t））+D[u（t+1）|u（t）]，适用于u（t+1）的所有值。此外，我们有Vη（t+1）=Vη（t）+η（t）·（u（t+1）- u（t））。现在让u（t+1）- u（t）=δv，δ>0，并计算（5.5）两侧的一阶近似值。

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2022-6-1 07:59:19

由于D[·|·]是一个伪散度，通过（3.12），其一阶近似值消失。计算导数并除以δ>0，我们得到（5.3）。让v=ei-u（t）in（5.4），对于i=1，n、我们得到了显式公式（5.4）。观察到（5.3）在g（x）=x时减少到（3.7），在g（x）=log x时减少到（3.1）。此外，我们注意到交易策略仅取决于u（t）和当前值Vη（t）。放置v=u（t+1）- u（t）在（5.3）中，我们有（5.6）Vη（t+1）- Vη（t）=g（Vη（t））^1（u（t））·（u（t+1）- u（t））。考虑表达式（Vη（t+1））- g（Vη（t））=g（Vη（t）+（Vη（t+1）- Vη（t）））- g（Vη（t））=gVη（t）+g（Vη）^1（u（t））·（u（t+1）- u（t））i）- g（Vη（t））。（5.7）乘以（3.11），等于Д（u（t+1））- ν（u（t））+D[u（t+1）：u（t）]，仅为u（t）和u（t+1）的函数。因此，（5.7）中的表达式不取决于当前投资组合价值Vη（t）。根据这一观察，我们将推导出一个由g.引理5.3满足的微分方程。标度函数g满足三阶非线性ODE（5.8）gg=2（g）。证据设x=Vη（t），设δ=^1（u（t））·（u（t+1）- u（t））。根据（5.7），对于任何δ，表达式（5.9）g（x+g（x）δ）- g（v）不依赖于x。关于x的微分（5.9），我们有g（x+g（x）δ）1.- δg（x）（g（x））- g（x）=0。接下来，我们对δ进行区分（由于η被假定为非平凡的，这可以通过改变u（t+1））：g（x+g（x）δ）g（x）1.- δg（x）（g（x））+ g（x+g（x）δ）-g（x）（g（x））=0。关于最优运输15产生的投资组合，再差一次δ，我们有g（x+g（x）δ）（g（x））1.- δg（x）（g（x））+ g（x+g（x）δ）-g（x）（g（x））-g（x+g（x）δ）g（x）（g（x））=0设置δ=0，我们得到g（x）（g（x））- 2（g（x））（g（x））=0。重新排列，我们获得ODE（5.8）有了微分方程，不难检查以下引理5.4。

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2022-6-1 07:59:22

ODE（5.8）的所有解都可以写成（5.10）g（x）=c+cx或g（x）=clog（c+x）+c的形式，其中ci是实常数。命题5.1的证明。这个命题现在是前面引理的直接结果。常数c的条件确保g严格递增，且其域包含（0，∞). 5.2. 新一代功能性产品。请注意，g（x）=c+cx形式的标度函数对应于相加生成，所以它们不会导致新的投资组合。接下来，我们将展示每个尺度函数g（x）=clog（c+x）+CADMIT是一个函数组合生成。请注意，相加常数C不起作用，可以省略。让我们写出c=α和c=c，其中α>0和c≥ 0是参数。出于（5.4）的动机，我们给出以下定义。定义5.5（（α，C）-生成）。让^1：n→ ∞ 是一个光滑函数，使得eαν在n、（我们称之为α-指数凹函数。）Alsolet Vη（t）>0应固定。由Д生成的交易策略（α，C）是由（5.11）ηi（t）=α（C+Vη（t））Dei定义的过程η（t）-u（t）Д（u（t））+Vη（t），i=1，n、这里的初始值Vη（0）是固定的和任意的。按照引理3.5的方式，很容易验证（5.11）是一种自我融资的交易策略。将（5.11）与（3.1）和（3.8）进行比较，我们发现乘法生成对应于C=0和α=1的情况，加法生成对应于α=C时的极限→ 注意，当C 6=0时，portfolioweights取决于Vη（t）和u（t）。交易策略可以解释如下。通过增加C，我们可以构建比乘法生成的投资组合更具攻击性的投资组合。请注意，我们保留参数α，以便我们可以使用相同的生成函数生成不同的Portfolios。引理5.6（投资组合权重η）。

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2022-6-1 07:59:25

设π（α）为指数凹函数αν多次生成的投资组合过程。如果Vη（t）>0，（α，C）生成的交易策略η的组合权重向量π（t）由（5.12）π（t）给出=η（t）u（t）Vη（t），ηn（t）un（t）Vη（t）=C+Vη（t）Vη（t）π（α）（t）-CVη（t）u（t）。特别是，在每个时间点，η（t）做多乘法生成的投资组合π（α），做空市场投资组合，权重取决于Vη（t）和C.16 TING-KAM LEONARD WONGProof。使用（5.11）直接计算。为了制定路径分解，我们需要n对应于我们的（α，C）代。这种分歧是布雷格曼分歧和L分歧的推广。定义5.7（L（α）-散度）。设ν可微且α指数凹n、 ν的L（α）-散度是函数DL（α），Д[·|·]：n×n→[0, ∞) 定义为（5.13）DL（α），Д[q | p]=αlog（1+α^1（p）·（q）- p））+（Д（q）- ^1（p））。尤其是，它等于α的通常L-散度α的α倍，即DLα，ν[·|·]≡αDL（1），αД[·|·]。引理5.8。假设对于所有α>0非常小的值，ν是α指数凹的。那么，作为α→ 0时，L（α）-散度逐点收敛到Bregman散度：limα↓0DL（α），Д[q | p]=DB，Д[q | p]，p，q∈ n、证明。这源自极限αlog（1+αx）→ x当α↓ 0现在，我们推导（α，C）生成交易策略的承诺路径分解公式。由于投资组合η可能有空头头寸，不幸的是，我们不能保证g（Vη（t））=αlog（C+Vη（t））对于所有t都是很好的定义。然而，只要值的边界低于-C、定理5.9（路径分解）。考虑定义5.5中（α，C）生成的交易策略η。如果Vη（·）>-C、数值过程满足路径分解（5.14）αlogC+Vη（t）C+Vη（0）=Д（u（t））- ^1（u（0））+吨-1Xs=0DL（α），Д[u（s+1）|u（s）]。证据

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2022-6-1 07:59:28

根据（5.11），在每个时间t，我们有αlog（C+Vη（t+1））-αlog（C+Vη（t））=αlogC+Vη（t）+α（C+Vη（t））^1（u（t））·（u（t+1）- u（t））C+Vη（t）=αlog（1+α^1（u（t））·（u（t+1）- u（t））=Д（u（t+1））- Д（u（t））+DL（α），Д[u（t+1）|u（t）]。这将产生所需的分解。注意，在上述证明中，当我们取微分g（Vη（t+1））时，项Vη（t）很好地抵消了- g（Vη（t））。这是因为尺度函数满足微分方程（5.8）。由于L（α）-散度只不过是一个标准化的L-散度，我们可以直接应用[19]中开发的信息几何学来说明由优化运输17F IBMTMT1995 1995 2000 2010 20151.0 1.5 2.0 2.5图4生成的勾股组合。左：单纯形中的市场路径{u（t）}t=0.颜色是根据当前值（u（t））（当t=0时，其在重心处最大）选择的。右：投资组合值Vη（α）（t）的时间序列，从α=0（黄色）到α=1（红色）。等权投资组合的价值以黑色显示。描述三个时间点最优再平衡的定理。更有趣的是，对于给定的指数凹函数，L（α）-散度在L-散度（α=1时）和Bregmandivergence（α=0时）之间引入了一个自然插值。就最优运输而言，我们可以在对数成本函数和二次成本之间进行插值。我们计划在未来的研究中调查这个问题，以及【15】的设置。5.3. 一个实证例子。考虑一个光滑的指数凹函数。对于所有的0<α，它是α指数凹的≤ 1且为凹面（对应于情况α↓ 0). 因此，加法和乘法生成的投资组合都得到了很好的定义。

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mingdashike22

2022-6-1 07:59:31

不幸的是，虽然L（α）-散度是自然插值，但似乎没有一个连接两种基本情况的常数的规范选择。在本小节中，我们考虑参数化族η(α)0≤α≤1式中，η（α）是由Д生成的交易策略（α，α）（因此，当α=0时，它是相加生成的投资组合），并比较它们的经验表现。注意，η（1）不是乘法生成的投资组合，而是更具侵略性的投资组合。在这个实证例子中，我们让n=3，这样我们就可以在单纯形中直观地看到市场的路径. 我们考虑了从1990年1月（t=0）到2017年9月（t=332）美国公司福特、沃尔玛和IBM的（期初）月度股价。我们将价格标准化，以便在t=0时，市场权重位于重心,,. Simplex中市场权重u（t）的路径如图4（左）所示。18 TING-KAM LEONARD Wongt所选的生成函数是交叉熵（5.15）Д（p）=nXi=1log Pi，它以乘法的方式生成等权投资组合π（p）≡ e:=,,.根据（5.11），对于每个α∈ [0，1]交易策略由η（α）i（t）=（1+αVη（t））给出3ui（t）- 1.+ Vη（t）。就投资组合权重而言，我们有π（α）（t）=1+αVη（t）Vη（t）e-1+αVη（t）- Vη（t）Vη（t）u（t）。因此，随着α的增加，投资组合的等权投资组合越来越长。我们还将Vη（0）=1。相应的L（α）-散度由byD（α）[q | p]=αlog1+αnXi=1npi（qi）给出- pi）！-nXi=1nlogqipi。模拟投资组合的值如图4（右）所示。在这一时期结束时，投资组合的价值以α的形式增加，加性投资组合（α=0）的价值最小。有趣的是，一开始情况正好相反。请注意，与金融危机相对应，2008-2009年期间的价值波动很大。

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2022-6-1 07:59:33

为了进行比较，我们还模拟了等权投资组合（即，（α，C）=（1，0））。有趣的是，加法和乘法组合在这里有相似的行为。在此期间，通过使用C的正值做空市场，与加法和乘法投资组合相比具有显著优势。直观地说，当参数α从1减小到0时，发散的影响会从混合变为添加，从分解中可以看出（3.11）。如果散度项在时间上大致呈线性增长（见[9]），则从长远来看，加法组合的表现将低于α>0的组合，至少在φ（u（t））稳定时是如此。从另一个角度来看，额外生成的投资组合可能比短期投资更好。扩展功能生成投资组合的动态优化是一个有趣的问题。致谢作者感谢Ioannis Karatzas教授和Johannes Ruffor教授对手稿的有益评论。参考文献【1】S.-I.Amari。信息几何及其应用。Springer，2016年。[2] A.D.Banner和D.Fernholz。波动稳定市场中的短期相对套利。《金融年鉴》，4（4）：445–4542008。[3] D.G.Booth和E.F.Fama。多元化回报和资产贡献。《金融分析师杂志》，48（3）：26–321992年。[4] L.M.布雷格曼。求凸集公共点的松弛方法及其在凸规划问题求解中的应用。《苏联计算数学与数学物理》，7（3）：200–2171967年。[5] T.M.Cover和J.A.Thomas。信息论要素。John Wiley&Sons，第二届，2006年。关于最优运输产生的投资组合19【6】E.R.Fernholz。随机投资组合理论。斯普林格，2002年。[7] E.R.Fernholz、I.Karatzas和J.Ruf。波动性和套利。arXiv预印本XIV:1608.061212016。[8] R.Fernholz。

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2022-6-1 07:59:36

投资组合生成函数。金融市场定量分析：纽约大学数学金融研讨会论文集，第1卷，344-367页。《世界科学》，1999年。[9] R.Fernholz和I.Karatzas。波动稳定市场中的相对套利。《金融年鉴》，1（2）：149–1772005年。[10] R.Fernholz和I.Karatzas。随机投资组合理论：概述。数字分析手册，15:89–1672009。[11] R.Fernholz、I.Karatzas和C.Kardaras。股票市场的多样性和相对套利。《金融与随机》，9（1）：1–27，2005年。[12] I.Karatzas和J.Ruf。由Lyapunov函数生成的交易策略。《金融与随机》，21（3）：753–7872017。[13] I.Karatzas和S.Shreve。数学金融方法。斯普林格，1998年。[14] H.Nagaoka和S.-i.Amari。光滑概率分布族的微分几何。《METR 82–7技术报告》，东京大学，1982年。[15] 指数凹函数与高维随机投资组合理论。arXiv预印本arXiv:1603.018652016。[16] 在统计流形中嵌入最优传输。arXiv预印本XIV:1708.081482017。[17] S.Pal和T.-K.L.Wong。能量、熵和套利。arXiv预印本arXiv:1308.53762013。[18] S.Pal和T.-K.L.Wong。相对套利的几何学。《数学与金融经济学》，10（3）：263–29320016。[19] S.Pal和T.-K.L.Wong。指数凹函数和一种新的信息几何。《概率年鉴》，即将出版。[20] R.T.Rockafellar。凸分析。普林斯顿的数学里程碑。普林斯顿大学出版社，1997年。【21】A.Vervuurt。通过功能生成构建投资组合。牛津大学博士论文，2016年。【22】A.Vervuurt和I.Karatzas。具有负参数的多样性加权投资组合。《金融年鉴》，11（3-4）：411–4322015。【23】C。

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