将横截面中的最佳投资组合集合定义为{w*λt}。3、基于遗憾的总结：比较最佳投资组合与目标投资组合的基于遗憾的总结w*t通过阿雷格里特概率分布的阈值分位数，其中遗憾作为一个随机量，由ρ（w）给出puelz、Hahn和Carvalho/基于遗憾的选择4*λt，w*t、 Rt）。该随机变量是稀疏portfoliodecision w的函数*λt，目标投资组合w*t、 以及未来资产回报。期望和概率都是未知量的联合分布（ΘRt，Θt | Rt-1） 其中Rt-1观察到的资产归还数据。灵活地，theregret函数ρ（w*λt，w*t、 Rt）可以是任何指标，它是组合权重和未知量的函数，并且可以使用任何目标组合w*t、 在本文中，我们考虑了稀疏投资组合决策和目标投资组合ρ（w）之间的损失差异*λt，w*t、 Rt）=L（w*λt，~Rt）- L（w*t、 Rt）作为我们的收益衡量标准，符合通常的决策理论定义。现在我们可以看到投资组合稀疏性是如何在动态环境中出现的。由Rt给出的动力学模型~ ∏（Θt）通过步骤2中的预期损失最小化与投资组合决策相互作用。随着时间的推移，迭代步骤3可以得到一系列稀疏的投资组合摘要{w*λ*t} 式中λ*t为selectedsparse决策提供索引。最终，这些稀疏的投资组合摘要选择与我们的“简单投资组合”相关的资产子集。该程序的详细信息将在以下小节中列出。2.1. 基于遗憾的总结的详细信息在下一节中，我们将讨论基于遗憾的总结过程的特殊性。我们专注于扩展方法的第3步，这代表了本文的主要创新点。

仅强调包括步骤1和2的模型规格和安装以及损耗规格；应用部分给出了前两个步骤的详细公式。假设我们已经推断出了一个未来资产回报的模型，给出了观测数据Rt-1由向量Θt参数化的：Rt~ ∏（Θt | Rt-1). 设参数和未来资产回报的后验分布为p（Θt，~Rt | Rt-1). 例如，∏可通过动态均值和方差参数Θt=（ut，∑t）进行参数化。此外，假设我们已经规定了投资者损失函数的效用和复杂性成分：Lλt（wt，Rt）=L（wt，Rt）+Φ（λt，wt）。对于每个投资期t，我们通过优化预期损失函数E[Lλt（wt，￠Rt）]，获得一系列由λtb指示的投资组合决策。基于遗憾的摘要是一种从集合中为每个时间t选择合适的最优决策（即选择λt）的方法，这种选择可以通过使用稀疏遗憾权衡图来可视化。再次回顾遗憾，来自后验分布的▄Rtmargin样本（▄Rt，Θt▄Rt-1） 确定遗憾随机变量ρ（w）的分布*λt，w*t、 Rt）由损失差异给出：ρ（w*λt，w*t、 Rt）=L（w*λt，~Rt）- L（w*t、 Rt），（3）其中w*λtare惩罚参数λtand w的最优稀疏投资组合权重*皮重目标投资组合的权重-投资者希望对Uelz、Hahn和Carvalho/基于遗憾的选择5基准进行的任何投资组合决策。遗憾（3）是一个随机变量，其不确定性是由联合后验分布（ΘRt，Θt | Rt）引起的-1） 从步骤1开始。我们使用后悔随机变量作为稀疏投资组合选择的工具。每个由λtis索引的投资组合决策分配一个数字：πλt=P[ρ（w*λt，w*t、 Rt）<0]（4），这是稀疏投资组合不比密集（目标）投资组合差的概率。

换句话说，πλ是指我不会“后悔”在目标投资组合上投资稀疏λt投资组合的概率。这也可以称为稀疏λtportfolio决策的满足概率。在图（1）中，我们举例说明了损失和损失随机变量之间的联系。该图使用25个被动指数的收益率和下一期“对数累积财富”效用函数构建。这是一个及时的快照，重点是一个稀疏的决策，投资于25个指数中的4个。投资者正在考虑这一决定，而不是她的目标——对所有25个指数进行优化的投资组合。左图显示了分析决策和目标的损失分布。稀疏损耗的概率质量聚集在比目标损耗更大的值上。忽视多元化效益而投资较少的资产“成本更高”（损失更大）。LossDensity稀疏决策目标-0.05 0.00 0.05后悔（损失差异）π稀疏决策-0.04 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10图1。损失（左）和遗憾（右），例如使用25个被动指数的回报。损失由对数累积财富确定。稀疏决策是投资于4个指标的投资组合，由浅色灰色区域表示。目标决策是针对所有25个指数的投资组合优化，并由阴影黑色区域表示。右图所示的遗憾分布表示通过从目标损失中减去稀疏决策损失构建的随机变量。此外，右侧的黑色阴影区域显示π稀疏决策：稀疏决策不比目标决策差的可能性。图（1）中的右图显示了稀疏决策的遗憾分布。

这是通过取稀疏和目标缺失之间的差异来构建的，如等式（3）所示，定义遗憾随机变量。有了遗憾分布，我们可以计算稀疏决策Puelz、Hahn和Carvalho/基于遗憾的选择6不劣于等式（4）给出的目标投资组合的概率–这可以称为稀疏决策的“满意度概率”。图（1）中右侧的黑色阴影区域显示了这一点。该概率越大，解析决策的损失就越接近目标损失。通过做出一个满足称为κ的概率下限的决策，我们能够控制与目标投资组合相同或更好的机会。满意度（无遗憾）概率的下限（κ）意味着上限（1- κ） 关于后悔的可能性。投资者的投资组合决策归结为回答了导言中首先提出的问题：我希望我的简单投资组合不比目标投资组合差多少？随着投资者的时间推移，损失和遗憾分布将不断变化，与分析λt组合决策相关的概率也将不断变化。动态稀疏投资组合决策将这种概率阈值方法扩展到时变框架。

投资者选择满足πλt>κ的投资组合决策t、 确保她持有的投资组合能够满足她在每个投资期的后悔承受能力。λt-通过提高满意度概率（损失差异）排序的决策-0.005 0.000 0.005 0.010●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0.40 0.45 0.50 0.55概率●●E[遗憾]πλt图2。遗憾分布（左纵轴）和πλt（右纵轴），用于在水平轴上从左到右增加πλt值。显示的是300个稀疏投资组合决策，用λt表示。随着满意度概率（πλt）的增加，灰点表示的平均后悔通常会下降。灰色带表示遗憾的20%中心后验可信区间。在图（2）中，我们展示了由λtas索引的遗憾分布（右垂直轴和灰色条）的示例序列，以及满足概率πλt（左垂直轴和开放圆）。

具体而言，我们展示了在对数累积财富效用下300个稀疏决策的遗憾分布，以及与所有可用资产优化的目标投资组合的遗憾分布。最后悔的决定（根据满意度概率）在左边，当你在水平轴上向右移动时，他们会变得不那么后悔。这些稀疏的投资组合决策都非常接近目标决策。因此，相应的遗憾分布将Puelz、Hahn和Carvalho/基于遗憾的选择7徘徊在0左右，πλt徘徊在0.5左右。类似图（2）的探索图有助于选择κ阈值的适当值。在这种情况下，πλt>0.5相当高。一旦规定了时间不变阈值κ，就可以实施动态选择策略。在每个时间t，我们都会看到一组决策，如图（2）所示，并选择稀疏投资组合决策，使其πλt>κ。如果有多个稀疏决策满足阈值，我们可以选择πλt最接近κ的决策。当然，在可接受的稀疏决策中进行选择的最后一步是灵活的。例如，可以在时间t选择一个稀疏决策，该决策与时间t的前一个稀疏决策“接近”（就标准或持有的资产而言）- 1降低与资产买卖相关的交易成本。这些特性将在应用程序部分讨论。3、应用本节分为三个部分。首先，我们描述了一个动态线性模型，该模型用于推断资产回报的时变矩，并完成了该方法的第1步。其次，我们指定了用于选择的损失和结果后悔函数（步骤2和3）。第三，我们使用一组25只被动基金演示了该方法。在演示部分，我们考虑一个简单的示例和一个更实际的研究。3.1.

模型规格和数据我们推断的一般模型参数化了未来资产回报的分布，其平均值和协方差按时间索引：~Rt~ ∏（ut，∑t）。我们提出的方法的一个重要特点是，可以使用任何提供这些时变矩估计的模型。为了证明我们的方法，我们估计了一个动态线性模型（DLM），该模型由Fama和French（2015）提出，他们详细介绍了五个“风险因素”，以及与资产定价相关的未来回报率RFTA。具体而言，我们通过建模p（▄Rt▄RFt）和p（▄RFt），对未来资产收益和要素收益p（▄Rt，▄RFt）的联合分布进行组合建模。根据Harrisonand West（1999）建立的动态线性模型，资产i的未来回报率是未来factorPuelz、Hahn和Carvalho/基于后悔的选择8回报率（| Rit | | RFt）：Rit=（βit）TRFt+它它~ N（0，1/φit），βit=βit-1+智慧，智慧~ Tnit公司-1（0，Wit），βi | D~ Tni（mi，Ci），φi | D~ Ga（ni/2，di/2），βit | Dt-1.~ Tnit公司-1（麻省理工学院-1，Rit），Rit=Cit-1/Δβ，φit | Dt-1.~ Ga（δnit公司-1/2, δdit公司-1/2），（5），其中Wit=1-ΔβΔβCit-1和DTI是时间t之前的所有信息。该模型允许因子系数以及观测值和状态水平方差随时间变化。预先规定的贴现系数δ和Δβ∈ （0.8，1）分别实现观测和状态水平方差的目标。此外，请注意，Cit（βit状态方程的后方差）通过前βit | Dt的矩进行更新-1和提前一步预测分布| Rit | Dt-Harrison和West（1999）的Theorem4.1提供了单变量DLM的一般更新方程。

本书中的表10.4总结了方差贴现特殊情况下的递推关系，提供了所有t和每种资产i的参数{mit，Cit，nit，dit}的后验矩。我们使用以下矩阵正态动态线性模型，用全残差协方差矩阵对五因子未来收益RFt进行建模：RFt=uFt+νtνt~ N（0，∑Ft），uFt=uFt-1+Ohmt型Ohmt型~ N（0，Wt，∑Ft），（uF，∑F | D）~ 西北方向-1n（m，C，S），（uFt，∑Ft | Dt-（1）~ 西北方向-1δFnt-1（公吨-1，Rt，St-1） ，Rt=Ct-1/δc，（6），其中Wt=1-δcδcCt-1、与模型（5）类似，贴现因子δFand和δcinModel（6）的作用相同，即分别允许观测值和状态水平方差的时间变化。（6）的另一个好处是∑FTI是一个完整的残差协方差矩阵。在Harrisonand West（1999）的指导下，对模型（5）和（6）背后的直觉进行了详细阐述，方差贴现的目的是提供一种自然的方法，在保持序列更新的共轭性的同时，从后到前的方差。例如，考虑模型（5）中精度的后验值：φit-1 | Dt-1.~ Ga（nit-1/2，dit-1/2）。（7） Puelz、Hahn和Carvalho/基于遗憾的选择9构建p（φit | Dt-1） ，我们希望保持Gamma形式，使其与由一步预测分布给出的▄Rit的似然函数共轭。一种合理的方法是保留分布的平均值（7），但通过贴现自由度参数nt来反映方差-1.→ δnt公司-1、然后优先级分布变为：φit | Dt-1.~ Ga（δnit公司-1/2, δdit公司-1/2）。（8） 从分布（7）移动到（8）增加了之前表示的“信息丢失”的分散性，其特征是在Dt中缺少完整信息的情况下向前移动到时间t-1.

剩余的贴现因子δβ、δC和δFinModels（5）和（6）为各自的随机过程提供了类似的方差波动。方差贴现学习的极限行为对应于过去给值进一步赋予的指数加权历史数据的权重越来越小（见Harrison and West（1999）第10.8.2-3节）。较大的贴现系数对应于衰减较慢的权重，表明参数的时间序列变化较慢。贴现系数越小，本质上意味着我们估计参数所需的数据越少，因为人们认为序列的波动速度更快。因此，贴现因子的选择相当于为与预测当前参数相关的先前数据选择衰减权重。模型（5）和（6）共同构成了未来资产和要素收益联合分布的时变模型：p（~Rt，~RFt）=p（~Rt | | | RFt）p（~RFt）。正如Harrison和West（1999）所详述的那样，它们是贝叶斯模型，在每个时间t，所有参数的后验分布都很接近，并且没有MMC便于快速更新和不确定性表征，这是我们基于遗憾的投资组合选择程序的必要组成部分。在这些模型下，我们得到以下平均值和协方差结构：|t=βTtuFt，∑t=βt∑FtβTt+ψt，（9）其中β皮重的第i列是资产i的系数，βit。此外，ψtisa对角线矩阵，第i个元素ψtii=1/φit。参数Θt=（ut，∑t）是程序步骤2的输入。3.1.1. 数据和贴现因子选择我们使用ETFDB 25只交易量最大（即流动性最强）的股票基金的数据。com作为我们的可投资资产。这是证券价格研究中心（CRSP）数据库1992年2月至2016年5月的月度数据（CRSP，1992-2016）。

如果该基金的成立日期在1992年之后，我们将其回报数据填入其法定跟踪的指数。表（1）显示了基金名称、股票代码和样本统计信息。有关Fama French五个因子的报告可从Ken French网站上公开提供的Peelz、Hahn和Carvalho/Re悔选10数据库中获得。我们从10年的数据开始训练模型，并于2002年2月开始形成投资组合。基金名称股票收益率（%）St.Dev.（%）SPDR道琼斯工业平均指数DIA 8.06 14.15SPDR标准普尔500 ETF SPY 7.46 14.34SPDR工业选择板块XLI 9.19 16.49古根海姆标准普尔500等重ETF RSP 9.37 15.92 IShares MSCI新兴市场EEM 6.06 22.78 IShares MSCI EAFE EFA 3.94 16.43 IShares MSCI德国EWG 6.82 22.23 IShares MSCI日本EWJ 0.22 19.28 IShares MSCI英国EWU 4.6315.88iShares摩根士丹利资本国际韩国上限EWY 9.46 36.78iShares摩根士丹利资本国际欧元区EZU 6.00 19.85iShares标准普尔500价值IVE 7.36 14.95iShares核心标准普尔500 IVV 7.48 14.34iShares Russell 1000 IWB 8.22 14.00iShares Russell 1000价值IWD 8.10 14.26iShares Russell 1000增长IWF 7.63 14.56iShares Russell 2000 IWM 8.00 18.76iShares Russell 2000价值IWB 7.78 18.67iShares Russell 2000增长IWO 6.63岁22.14iShares Russell中等市值增长IWP 8.52 19.98iShares Russell中等市值IWR 9.52 15.96iShares Russell 3000 IWV 7.52 14.61iShares美国房地产IYR 9.32 19.12iShares美国科技IYW 11.64 26.09iShares标准普尔100 OEF 7.32 14.61表1。用于实证研究的交易所交易基金（ETF）列表。还显示了股票代码，并在其采样周期内实现了回报和标准差（年化）。我们程序的第一步是指定和推断资产回报模型。对于我们的实证分析，我们使用模型（5）和（6）。

因子系数和因子均值过程的贴现因子设置为δc=δβ=0.9925，我们考虑时变剩余方差δF=δ= 0.97. 财务文献中充分记录了时变残差方差的证据（例如，参见Ng（1991））。选择贴现因子是为了在指数加权移动窗口中包含足够数量的数据。当δ=0.9925（0.97）时，过去八（三）年的数据占今天数据的一半。我们要求因子系数和平均过程的衰减更低，因为需要更多的数据来学习这些参数，而不是剩余波动率。3.2. 损失和遗憾说明我们考虑由N项资产的投资组合决策的负对数累积回报定义的损失函数。回顾损失函数的一般形式：Lλt（wt，~Rt）=L（wt，~Rt）+Φ（λt，wt），定义：L（wt，~Rt）=- log1+NXk=1wktRkt！，(10)http://mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/ken.french/Puelz，Hahn和Carvalho/基于遗憾的选择11损失效用（10）可被视为Kelly投资组合标准（Kelly Jr，1956）的一个版本，其中投资者的偏好涉及投资组合增长率。复杂性函数Φ（λt，wt）在下面的两个示例中分别指定。投资组合决策wt现在可以使用L（wt，~Rt）给出的负对数累积回报偏好进行评估。然而，为了找到这些投资组合决策，我们必须首先优化损失预期（10）。

我们分两步来实现这一点：首先，我们使用二阶泰勒展开来近似损失，其次，我们在所有未知量上取期望值，并针对每个λt进行优化。在Rising和Wyner（2012）的工作之后，我们考虑了一种方便的二阶泰勒近似L（wt，~Rt）≈初始损耗（10）的L（wt，Rt）扩展约为w=~ 0：L（wt，Rt）=NXk=1NXj=1wktwjtRktRjt-NXk=1wktRkt，（11），其中我们将包括惩罚函数在内的近似损失写为Lλt（wt，Rt）=L（wt，Rt）+Φ（λt，wt）。近似预期损失E[Lλt（wt，~Rt）]写为：E[Lλt（wt，~Rt）]=ENXk=1NXj=1wktwjtRktRjt-NXk=1wktRkt+Φ（λt，wt）. （12） 具有后验分布（Θt，~Rt | Rt-1） 在步骤1中，我们可以实现预期。我们在（~Rt | t，Rt）上积分-1） 然后是（Θt | Rt-1） 获得综合近似损失函数：Lλt（wt）=E[Lλt（wt，ΘRt）]=EΘ第Lλt（wt，ΘRt）ii=EΘtwTt∑nctwt- wTtut+Φ（λt，wt）=wTt∑nctwt- wTtut+Φ（λt，wt），（13），其中上划线表示平均u和非中心二阶矩∑nct的后均值。非中心二阶矩根据方差计算为∑nct=∑t+utuTt。损失函数（13）可以在每个时间t的λt值范围内最小化。在接下来的小节中，我们将使用该模型和数据进行两次分析。首先，我们讨论一个简单的无监督示例来演示基于后悔的选择过程。其次，我们提出了一个深入的实际案例研究。3.3。简单示例：总风险敞口有限的投资组合决策在本节中，我们提供一个简单示例，演示基于收益的选择的主要组成部分。我们通过将复杂度函数指定为权向量的范数：Φ（λt，wt）=λtkwtk来完成损失函数（2）。

复杂性函数通过将基于Puelz、Hahn和Carvalho/遗憾的选择12的绝对值相加来衡量决策的总风险敞口，每个位置：kwtk=∑i | wit |。具有较大绝对值分量的决策将评估为较大的“标准”。惩罚参数λt通过放大损失函数中的惩罚直接对应于单个投资组合决策。近似损失函数（13）现在是凸函数，可以写成：Lλt（wt）=wTt∑nctwt- wTtut+λtkwtk。（14） 损失函数（14）很容易通过各种软件包进行优化，详情请参见附录（a）。考虑到计算的便利性，它具有一些值得注意的重要特性。首先，损失（14）不需要列举决策；它可以在λt的范围内快速最小化。这样，它是一种解决sparseportfolio选择问题的“无监督”方法。其次，λtnow除了将决策指数化外，还有明确的含义。由于它是复杂性函数的乘积，较大（较小）的λtwill通常对应于较稀疏（密集）的投资组合决策。方便地，这显示了基于遗憾的过程在选择具有时变输入的优化问题中的调整参数方面的有用性。

资产回报数据的动态特性使得使用i.i.d.抽样测试和训练分割的传统交叉验证方法不合适。λt-按满意度概率递增排序的决策- 2002年3月汇率（亏损差额）0.000 0.005 0.010 0.015●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0.40 0.42 0.44 0.46 0.48 0.50概率●●E[遗憾]πλt图3。遗憾分布（左纵轴）和πλt（右纵轴），用于在水平轴上从左到右增加πλt值。显示了2002年3月由λt索引的300个稀疏PortfolioDecision。随着满意度概率（πλt）的增加，灰点表示的平均后悔通常会下降。灰色带代表遗憾的20%中心后可信区间。我们在每次t的λtand范围内优化损失函数（14）。具体而言，我们考虑了从最稀疏的“一项资产决策”到λt=0决策的500个λt值。

后一个决策称为未启用的Kelly最优组合，并在所有可用资产中放置非零权重。这被用作目标决策，因为总风险敞口没有限制，也将被称为密集投资组合。Puelz、Hahn和Carvalho/基于遗憾的选择13我们还将所有决策规范化为一个决策，并允许资产中的多头和空头头寸。我们将所有决策正常化，以便投资者既不借贷也不投资于无风险（现金）利率。相反，她完全投资于风险资产组合。换言之，将wcash和wrisky分别表示为财富在现金和风险资产（ETF）中的百分比，wcash+wrisky=1将始终保持不变，本文考虑了wrisky=1的情况。在每个时间点，投资者希望从500个由λt索引的稀疏决策中进行选择。这可以通过首先计算所考虑的500个决策中的每个决策的相应满足概率πλt，然后选择一个满足和预先规定的阈值κ来实现。回想一下，πλ在（4）中定义为遗憾（相对于致密目标）小于零的概率。公式（10）中规定的效用是下一个周期的对数累积高度。图（3）显示了2002年3月300项稀疏决策的横截面后悔分布（左纵轴）和满足概率πλt（右纵轴）。按照基于遗憾的程序的规定，投资者使用此信息选择投资组合。满意度概率范围为0.4至0.5，表明该投资期间的决策都非常相似。在该图的指导下，我们选择κ=42.5%的阈值来构建所选投资组合的示例序列。一旦选择了静态阈值，我们就可以遍历选择过程。

每次t时，投资者都会面临由图（3）所示横截面图提供的事前后悔信息，并选择满足阈值κ的投资组合。一旦构建了决策序列，我们就可以了解遗憾分布是如何随时间变化的。图（4）精确地显示了所选决策的遗憾是如何随着时间的推移而演变的。此示例演示了遗憾的平均值（黑线）和方差（围绕阴影黑色区域）如何发生显著变化。请注意，遗憾接近于零，在大多数时间段内变化很小。然而，围绕2009年的金融危机，平均值先上升后下降到零以下，方差增加。当后悔为负时，稀疏投资组合决策的效用大于稠密投资组合决策的效用。在2009年不久的危机期间，稀疏的投资组合决策似乎比密集的投资组合更受青睐（以事前投资者效用衡量）。尽管如此，均值的下降伴随着方差的增加，这提醒投资者要警惕自己后悔评估的准确性。Puelz、Hahn和Carvalho/基于遗憾的选择14-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6遗憾（损失差异）20022003200420520062007200820092010201120122013201420152016图4。由κ=42.5%阈值给出的稀疏长/短portfoliodecision的事前后悔分布与未实现Kelly最优目标的演变。线表示平均遗憾，周围区域表示以60%可信区间为中心的演化。3.4. 案例研究：从大量列举的决策中进行选择以下案例研究的目的是为普通投资者展示基于后悔的投资组合选择。我们假设我们的投资者希望持有一只broadmarket基金（SPY）和几只其他基金的多元化头寸。

此外，我们考虑一种情况，即投资者不能在基金中持有负面头寸；i、 例如，禁止卖空。因此，我们只考虑正权重的决策：wt≥ 0t、 对于q<N基金的稀疏投资组合，我们使用以下规则为LaymaniInvestor构建了一组投资组合决策：1。≥ 该投资组合的25%投资于SPY，这是一家追踪指数的广泛市场基金，由市值最大的500家美国公司组成。2.≥ 25%的投资组合在q- 1以下非市场基金：q- 1非市场基金各有权重≥q-1%。我们考虑两支、三支、四支和五支基金的投资组合，所有这些基金都包括SPY。这些稀疏投资组合中的每一个都是以未实现的Kelly最优损失为目标（损失（13），不含复杂度函数）和上述定义的约束条件进行优化的。由于我们的数据中有24只基金，不包括SPY，所以以这种方式枚举决策会导致∑i=1我= 12950个稀疏投资组合可供选择。稀疏决策的枚举意味着一个复杂性函数，用于衡量投资组合中包含的基金的数量或心性。由于复杂性函数现在隐式存在于稀疏枚举中，因此λtma可以被认为是每个可能的投资组合决策的方便索引。如初始示例所示，我们必须指定一个目标决策，然后定义等式（3）中定义的遗憾随机变量。我们考虑了两个Puelz、Hahn和Carvalho/遗憾选择的15个目标，分别位于稀疏度谱的两端，用于实证分析。1、密集目标：未实现的Kelly最优决策；针对所有可用资产进行优化的投资组合。将Kelly最优决策定义为w*t=arg最小值≥0L（wt），其中L（wt）=E[L（wt，~Rt）]=wTt∑nctwt- wTtut；在没有罚函数的情况下的最优决策。

这与上述“惩罚”示例中使用的目标相同，现在对权重进行了正约束。2、稀疏目标：市场；由一项代表金融市场广泛敞口的资产组成的投资组合。我们选择间谍作为市场基金。每一个目标的选择都会让投资者从截然不同的角度来分析投资组合选择。在目标密集的情况下，投资者希望做出一个稀疏的投资组合决策，该决策（就遗憾而言）接近于涉及所有可能基金的潜在无法实现的决策。稀疏目标将此方法置于其头部。在这种情况下，稀疏目标法将告知投资者在从广泛市场基金多元化方面的额外优势（如有）。πλt- 2002年3月频率0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.650 500 1000 1500 2000 2500作为targetSPY作为Target的密集投资组合图5。两个目标决策的满足概率直方图（πλt）：denseportfolio（黑色）和SPY（即稀疏目标，灰色）。所示为2002年3月的投资期，是所有12950个枚举稀疏决策的分布。12950个稀疏决策中的每一个都具有满足目标的概率（πλt），可以通过在每个时间点使用方程（3）和（4）以及模型（5）和（6）给出的未来收益分布进行模拟轻松计算。在图（5）中，我们显示了2002年3月所有12950个稀疏决策的满意度概率直方图。与图（2）相关的是，对应于右纵轴的满意度概率以直方图形式显示，现在针对各种目标。与密集（间谍）目标相对的概率以黑色（灰色）显示。密集目标是所有25只基金的密集投资组合优化。

Puelz、Hahn和Carvalho收集了对这种密集投资组合决策的满意度/基于遗憾的选择16与间谍投资组合决策相比，概率更小。当然，与单一基金的稀疏投资组合相比，与分散的密集投资组合相比，满意度会明显降低。图（5）有助于正确选择后悔阈值κ。在下一期累积财富效用下进行评估时，所有仅长期投资组合决策都是相似的。因此，遗憾（损失差异）通常会被收集到接近于零的舍入值，而满意概率将被收集到接近于0.5的舍入值。

作为下一步，我们选择一个κ并给出稠密目标和间谍目标的结果动态投资组合决策。日期SPY EZU EWU EWY EWG EWJ OEF IVV IVE EFA IWP2003 25 75--58--8.3--8.32004 25 75--43--20--6.2--25 75--25--6.2--13--8.3--2006 62 75--6.2--19--12--2007 75--25--8.3--8.32008 44 75--12 8.3 13 21--26--2009 30 45--6.2--41 - - - - 34 - - 17 21 6.3 2010 75 55 - - - - 8.3 - - - - - - - - 26 - - - 11 8.3 2011 58 57 - - 25 - - - - - - - - - - 26 - - - - 8.3 2012 29 25 8.3 - - - - - - - 54 - - 56 - 6.2 - - - - - 2013 34 25 - - - - - 6.2 - 6.2 49 - - 56 - - - - - - 8.3 2014 25 75 - - - - - - - - 37 - 26 - - - - - 6.2 - - 2015 45 25 - - - - - - - - 39 36 - 27 - - 8.3 - - 6.2 8.3 2016 35 75 - - - - - - - - 40 - - - 17 - -8.3-8.3 8.3 8.3日期IWR IWF IWN IWM IYW IYR RSP EEM IWO IWW2003----8.3----8.3----8.3----2004----12----12----6.2----2005----8.3----8.3 30----2006----6.3----6.2----12----2007----8.3----2008----2009----2010---------8.3 8.3----2011----8.3 8.3----8.32012----6.2----8.3----6.32013----8.3----6.3----2014 6.2----12----2015----6.2----2016----表2。δF=δ的DLM（5）和（6）的稀疏投资组合决策（百分比）= 0.97，δc=δβ=0.9925。所示为两个目标的选定投资组合决策：密集投资组合（左栏为白色）和SPY（右栏为灰色）。

请注意，虽然投资组合每月更新，但为了简洁起见，显示了年度权重。在这种动态投资组合选择中，两个目标的regretthreshold都是κ=45%。我们在表（2）中显示了密集型（在所有基金中优化的投资组合）和稀疏型（灰色列中仅为py的投资组合）目标决策的κ=45%阈值的选定稀疏决策。这些决策中的每一项都具有这样的特性，即在每个时间点，投资于该决策相对于各自目标的满意度概率至少为45%。投资组合每月更新一次；为了简洁起见，该表显示了年度权重。对于每个目标，有许多决定将满足该阈值（例如，参见图（5）中概率质量大于0.45）。在这种情况下，我们添加了flexibilitypuelz、Hahn和Carvalho/遗憾型选择17，其中稀疏的选择决定。我们构建稀疏决策，以便每月选择或移除atmost one基金。例如，如果t时的当前投资组合具有SPY、OEF和IVV，则t+1时的两个可接受投资组合可能包括SPY、OEF、IVV和EWG或SPY和OEF基金，它们也都满足κ阈值。在表（2）中，与密集投资组合目标的稀疏决策相比，间谍目标的稀疏决策在交易期间具有更大的分配。此外，它对美国技术部门基金IYW也有一致的分配。相比之下，密集目标的稀疏决策通常会对日本股票专用基金EWJ进行重大分配。图（6）显示了表（2）中所示稀疏决策的遗憾分布的演变。这些线是预期的遗憾，周围区域对应于居中的60%后可信区间。

两项决策的预期回报率都接近于零，大多数投资期的预期回报率都略高于零；这是通过构造实现的，因为我们选择在每个时间点满足κ=45%阈值的稀疏决策。总的来说，这些决定不会带来太多遗憾。事实上，许多列举的长期决策在下一个时期的对数财富效用方面是相似的。-0.04-0.02 0.00 0.02 0.04遗憾（亏损差额）2002200320042052006200720082009201020112012201320142152016目标公司的密集投资组合如图6所示。表（2）中稀疏决策的事前后悔分布相对于两个目标的演变：密集投资组合（黑色）和间谍（灰色）。平均遗憾由线表示，周围区域代表以60%可信区间为中心的演化。图（6）中遗憾分布的方差在投资期间发生了显著变化。开始时“denseportfolio作为目标”的对数累积财富差异范围很大(~ 累积高度刻度为0.98至1.02）。当稀疏决策与稠密投资组合非常接近时，稠密目标的稀疏决策在2005年前后方差崩溃。请注意，以SPY为目标Puelz、Hahn和Carvalho/基于遗憾的选择18的稀疏决策的遗憾方差通常小于密集目标决策。

由于所有枚举决策都将至少25%的投资组合分配给了间谍（目标本身）和其他多样化头寸，因此遗憾的不确定性应该更小，这是很直观的。以间谍为目标的稀疏决策的遗憾演变揭示了另一个问题：是否存在分配给其他基金的多元化利益？在12950个稀疏的决定（包括多达四个非间谍基金）中进行选择，预期的遗憾似乎基本为零（参见图（6）中的灰色线）。该分析表明，在对数累积财富效用下，考虑到本节开头定义的大量枚举决策，从事前角度来看，最好的稀疏决策可能是SPYitself！对于表（2）中显示的稀疏决策，可以研究其他指标（如投资组合夏普比率）的事前演变。夏普比率不是绝对值，因为它不是未来收益率的函数。然而，它是模型参数的函数，其不确定性以后验分布为特征。具体而言，确定预测投资组合夏普比率：SR（wt，Θt）=wTtut/（wTt∑twt）1/2，ρSR（w*λt，w*t、 Θt）=SR（w*t、 Θt）- SR（w*λt，Θt），（15），其中ρSR（·）是预测性的，即模型参数上的未来返回rtcondition被积分出来。该投资组合指标不同于Kellycriterion损失，因为它侧重于投资组合预期收益率和方差的比率。它可以作为一种探索性工具，伴随着基于后悔的投资组合选择。-0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6夏普比率的差异20022003200420520062007200820092010120122013201420152016作为targetSPY作为target的密集投资组合图7。

表（2）中稀疏决策的事前“年化夏普比率差异”分布相对于两个目标的演变：密集投资组合（黑色）和间谍（灰色）。平均遗憾由线条表示，周围区域代表演变中心60%后可信区间。Puelz、Hahn和Carvalho/基于后悔的选择19我们以探索性的方式利用这种“夏普比率差异”分布，如图（7）所示，以年为单位。夏普比率差异的演变类似于图（6）中的遗憾。在这种情况下，夏普比率的较大正差异意味着所选稀疏决策与目标决策相比具有较小的回报风险权衡。与间谍目标的稀疏决策相比，密度目标的稀疏决策具有更大的方差和围绕更大正值的趋势。这些特征的基本原理是相似的：枚举稀疏决策被构造为包含间谍，因此稀疏决策和间谍目标决策的夏普比（如损失）通常很接近。在2009年左右的金融危机之后，两个稀疏决策的夏佩尔蒂奥差异稳定在较低的值。3.4.1. κ发生变化时会发生什么？动态投资组合决策的选择将根据后悔阈值κ发生变化。在图（8）中，我们展示了对于使用间谍目标的选定稀疏决策，夏普比率（按年计算）的预期后悔和差异是如何变化的。对于使用三个κ阈值构建的稀疏决策，显示了这些度量的演变：κ=45%（黑色）、50%（深灰色）和55%（浅灰色）。