两个图中的黑线对应于图（6）和（7）中的“间谍为目标”路径，现在与其他κ选择相比较。由于κ是满意度概率的下界，增加此下界将导致动态稀疏决策，遗憾通常较小。换言之，如果投资者希望对更高的概率感到满意，则应选择“较低的遗憾”——稀疏决策序列。图（8）展示了当间谍是目标时的情况。较大的κ通常会导致较小的预期梯度和夏普比率路径的差异。κ=55%的稀疏决策导致了预期的遗憾和夏普比率的差异，从2002年到2016年，夏普比率大多为负值，这表明在这一高满意度阈值下，有间谍和多元化基金的投资组合可能比只进行间谍更为可取。然而，这些预期差异仍然接近零且很小，尤其是对于预期后悔的演变而言。Puelz、Hahn和Carvalho/基于遗憾的选择20-0.008-0.004 0.000 0.002 0.004预期遗憾（损失差异）2002200320042052006200720082009201020112012201320142152016-0.3-0.2-0.1 0.0 0.1 0.2夏普比率κ=45%κ=50%κ=55%的预期差异图8。以间谍为目标的稀疏决策的预期后悔（左）和预期夏普比率差异（右）。这些指标显示了三个遗憾阈值（满足概率的下限）：κ=45%（黑色）、50%（深灰色）和55%（浅灰色）。请注意，随着满意度的下限增加，所选稀疏决策的预期后悔和差异夏普比率都会下降。3.4.2. 不使用效用的枚举决策目前考虑的枚举决策是通过优化综合近似损失来构造的。

投资者可能更愿意构建决策，而不考虑效用和统计模型。等权重投资组合（其中N项资产的权重均为1/N）就是“效用不可知”决策的一个例子。金融从业者经常提倡这一决策，因为它在不涉及统计模型和优化程序中的错误方面具有样本外的性能和纯度（DeMiguel、Garlappi和Uppal，2007）。基于遗憾的程序也可以很容易地适应具有这些特征的一组决策。在下面的分析中，我们考虑一组稀疏枚举的等权重投资组合，最多包含四只基金。这等于∑i=1我= 在每个时间点，有15275项决策需要选择。我们选择“密集1/N”投资组合作为目标决策。这一目标在25只基金中各投资4%。为了与之前的分析不一致，我们考虑选择κ=45%。普尔茨，Hahn和Carvalho/基于遗憾的选择21日期SPY DIA EZU EWU EWY EWY OEF EEM IVE EFA IWP IWR IWF IWO IWM IYW XLI2003-----25 25----25 2004----33 33 33----33----33----33 2005----25----25----25----25----25----25----25----2009-33----33----33 2010年----33年----33年----33年----33年----33年----2012年----33年----33年----33年----2014年----33年----33年----33年----2015年----25年----25年----25年----25年----33年----33年----33年----表3。δF=δ的DLM（5）和（6）的稀疏投资组合决策（四舍五入百分比）=0.97，δc=δβ=0.9925。每个时间点代表一个相等的加权投资组合和相应的λtsuch，决策满足κ=45%阈值。

目标决策是所有25只基金的等权重投资组合，也称为密集1/N投资组合。请注意，尽管投资组合每月更新一次，但显示年度权重是为了简洁。所选投资组合决策的权重如表（3）所示。在κ=45%的阈值下，所有投资组合都包括三只或四只基金，投资组合决策在整个投资期间都持续暴露于EWJ（日本股票）和IYW（技术）的风险。这种等权投资组合选择方法具有创新性和重要的特点，应予以强调。虽然传统的“1/N”方法完全忽略了投资者对未来资产回报的效用和模型，但基于后悔的方法仍然可以兼顾这两个方面。决策本身可能在没有考虑效用或模型的情况下构建，但遗憾的表征必须涉及效用和模型。遗憾是通过目标决策和稀疏决策之间的效用差异来计算的，它是一个随机变量，可以使用未来资产回报模型来模拟。无论投资者考虑的是哪一套决策，效用和模型在基于后悔的选择程序中始终起着至关重要的作用。3.4.3. 事后决策分析在本节中，我们考虑表（2）和表（3）中列出的三个稀疏PortfolioDecision相对于其目标决策的实现性能。我们在表（4）中给出了六项决策的抽样统计数据。所示为年度夏普比率、收益标准差和平均收益。密集目标的稀疏枚举决策与密集目标的性能类似。

令人欣慰的是，这一稀疏决策是一个动态投资组合，分配给市场（SPY）和最多四个其他多元化头寸，其样本外表现可与每次优化的密集投资组合总共25只基金相媲美。Puelz、Hahn和Carvalho/基于遗憾的选择22样本外统计Sharperatios。d、 meanreturnsparse枚举-稠密目标为0.40 14.98 6.02稠密目标为0.45 14.41 6.47稀疏枚举-间谍目标为0.43 14.65 6.28SPY0.43 14.63 6.28稀疏EW枚举-稠密目标为1/N 0.49 16.71 8.15稠密目标为1/N0.44 16.47 7.32表4。比较2002年2月至2016年5月投资期间考虑的六种投资组合策略的样本外统计数据。所有统计数据均按年度比例呈现。“EW”指等权投资组合决策。间谍目标的稀疏枚举决策同样有趣。由于间谍目标本身是一个稀疏决策，将其与选定的稀疏决策进行比较，可以洞察人们是否应该多元化，不再只投资于市场。表（4）第三行和第四行显示的样本外性能与稀疏枚举决策和间谍的性能相似。即使在考虑了12950项包含最多四只非间谍基金的稀疏决策后，间谍之外的风险敞口的多元化收益也微不足道。事先做出的决定比45%概率的间谍更好，结果证明事后几乎没有帮助。请注意，此结论与下一个周期的累积财富效用有关。未来的工作将包括考虑其他效用，并比较它们的选择和事前/事后分析的差异。虽然稀疏最优策略的性能均低于其目标，但稀疏加权策略的性能略优于其密集1/N目标。如表（4）第五行和第六行所示。

有趣的是，它的样本外性能甚至超过了表中第1行和第3行所示的稀疏最优性能。讨论本文提出了一种基于投资者特定后悔容忍度的投资组合选择新方法。由预期投资组合增长率定义的损失函数与将统计推断与稀疏动态投资组合选择分离的新程序结合使用。我们使用交易所交易基金的aset来说明这个过程。在分析了两个目标决策后：（i）所有可用资产的denseportfolio，以及（ii）由单一市场基金组成的投资组合，我们发现从效用角度来看，选择的稀疏决策与其目标相差不大；特别是考虑到不确定性之后。这一发现持续暴露，各种稀疏决策在风险调整收益率（或夏普比率）基础上的表现与其目标决策类似。该程序为投资组合选择提供了一种新方法。虽然传统方法通常侧重于仔细建模参数或用于计算投资组合权重的优化程序，但基于遗憾的选择通过分析遗憾随机变量将两者结合起来。然后，在一个由Corpopuelz、Hahn和Carvalho/后悔选择23评估投资者效用不确定性的框架内，对本质上节俭的投资组合决策进行评估。未来的研究领域包括替代公用事业规范。两个相关的例子是：（i）合并费用和（ii）最小化交易成本。在每种情况下，都可以考虑损失函数（10）的一种变体。基金的费用可直接纳入未来回报向量。例如，假设所有基金的费用比率向量（收取的费用占管理总资产的百分比）由τ给出。

损失函数中的未来收益向量可以通过τ进行调整，以反映投资者对费用的敏感性：L（wt，~Rt）=- log1+NXk=1wkt（▄Rkt- τk）！，（16） 其中▄Rkt- τkis基金k的净投资回报。对交易成本的敏感性可以通过修改复杂性（惩罚）函数Φ进行类似的解释。这可以通过惩罚时间上连续权重向量的差异来实现，wt-wt公司-1、惩罚函数示例如下：Φ（λt，λt，wt）=λtkwtk+λtkwt- wt公司-1k。（17） 这种惩罚旨在鼓励投资组合中的稀疏性以及随时间推移的缓慢流动，以避免频繁买卖资产。这是一个有趣的挑战，因为必须选择两个惩罚参数（λ和λt）。这正是基于遗憾的框架的优点所在。由这两种惩罚指数所索引的投资组合决策可以映射为可消化的单一后悔概率。然后，可以在这个直观的“遗憾空间”中选择合适的{λt，λt}对。本节其余部分将后退一步，讨论基于遗憾的投资组合选择的模块化和重要特征。该方法的目的是通用的——选择用于经验分析的特定损失、模型和数据集只是为了演示该程序在实践中的工作方式。主要成分是：（i）表征投资者偏好的效用函数，（ii）衡量投资组合决策“简单”程度的复杂函数，（iii）统计模型，以及（iv）投资者的后悔容忍度；遗憾被定义为效用差异。

遗憾容忍度通过回答以下问题将前两个基本要素缝合在一起：投资者如何看待自身效用和投资组合复杂性之间的权衡？使用统计模型（原语三）确定的效用和后验分布，可以构建一组惩罚参数{λt}和后悔概率之间的映射（如图（2）中右纵轴所示）。然而，这还不够。由λt索引的投资组合决策集合必须归结为一个。第四个原语通过设置后悔概率的上限来实现这一点；选择满足此上限的投资组合。通过合并这四个基本要素，这种方法的主要（也是令人惊讶的）特征是静态后悔阈值产生了一系列动态投资组合决策，每个投资周期一个。Puelz、Hahn和Carvalho/基于遗憾的选择24附录A：惩罚优化在本节中，我们展示了如何最小化以下形式的惩罚损失函数：Lλt（wt）=wTt∑twt- wTtut+λtkwtk。（18） 完成wt中的平方，去掉不涉及portfolioweights的项，并定义∑t=LtLTt，我们将损失函数的前两项重写为l-范数：lλt（wt）=wTt∑twt- wTtut+λtkwtk∝（重量- Σ-1tut）t∑t（重量- Σ-1tut）+λtkwtk=（wt- L-TtL公司-1tut）TLtLTt（重量- L-TtL公司-1tut）+λtkwtk=LTt（重量- L-TtL公司-1tut）TLTt（重量- L-TtL公司-1tut）+ λtkwtk=LTtwt公司- L-1tut+ λtkwtk。（19） 兴趣优化写为：minwt≥0LTtwt公司- L-1tut+ λtkwtk。（20） 优化（20）现在以标准稀疏回归损失函数的形式出现，（Tibshirani，1996），带有协变量、LTt、数据、L-1tut，回归系数，wt。

我们可以使用现有软件方便地优化（20），例如Friedman、Hastie和Tibshirani（2010）的glmnetpackage。Puelz，Hahn和Carvalho/基于遗憾的选择25参考Carvalho，C.M.，West，M.等人（2007）。动态矩阵变量图形模型。贝叶斯分析2 69–97。CRSP（1992-2016）。证券价格研究中心。沃顿研究数据服务公司。DeMiguel，V.、Garlappi，L.和Uppal，R.（2007年）。最优与朴素的多元化：1/N投资组合策略的效率如何？《金融研究评论》22 1915-1953年。Fama，E.F.和French，K.R.（2015）。五因素资产定价模型。《金融经济学杂志》116 1–22。Friedman，J.、Hastie，T.和Tibshirani，R.（2010）。正则化路径通过坐标下降生成一般化线性模型。统计软件杂志33 1。Gron，A.、Jorgensen，B.N.和Polson，N.G.（2012）。最优投资组合选择和随机波动率。商业和工业中应用的随机模型28 1–15。Hahn，P.R.和Carvalho，C.M.（2015）。贝叶斯线性模型中的解耦收缩和选择：后验总结视角。美国统计协会杂志110 435–448。Harrison，J.和West，M.（1999年）。贝叶斯预测与动态模型。斯普林格。Irie，K.和West，M.（2016）。多步骤投资组合决策优化的贝叶斯仿真。arXiv预印本arXiv:1607.01631。Jacquier，E.和Polson，N.（2010）。portfolioselection中基于模拟的估计。Johannes，M.、Korteweg，A.和Polson，N.（2014）。顺序学习、可预测性和最优投资组合回报。《金融杂志》69 611–644。Kelly Jr，J.L.（1956年）。信息率的新解释。InformationTheory，IRE交易2 185–189。Markowitz，H.（1952年）。投资组合选择*。《金融杂志》7 77–91。Ng，L.（1991年）。

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