当（18）和（19）中的最后一行被发现时，由c非正则ens emble所刻划的统计均衡也是我们的。3.3大正则系综在Park和Newman分布中是s tandard Gibbs分布的一个特例，在标准线上，大正则扩张可以是任意的。这里有必要再次强调ag的个数N与网络的体积有关，即V=O(N)等于物理系统的体积V。我们假设Gand Gare仍然是（准）孤立的分量。我们观察到Park和Newman没有显式地导出巨正则配分函数，尽管他们隐式地使用它来求解th eir模型。即使它们不包括化学势，它们的结果也是正确的，因为正如[22]中所强调的那样，后者总是可以通过Gibbs分布（27）吸收在一个较大的系统G的能量项中，但现在链接可以在两个体积V，V之间移动。G的配分函数Z是zg(L,V,T)=xge-h(G)T=(28)=lxl=0xge-h(G)txge-h(G)T。按照统计力学[26]中通常的推导方法，我们可以将配分函数写成如下Z=e-ft。（29）其中F是自由亥姆霍兹能的类似物:F=e-ts，(30)借助（27）和（29）,我们设置了μ=fl-v，T，P=-fv-l，T，并引入了fugacityz=expμT.然后，经过一个泰勒展开，我们得到了巨正则配分函数:q(z,V,T)∞xl=0zlzg(L,V,T)，(31)，其中下标\'1\'是（31）中的dr opp e d。此外，下面的标准关系仍然存在：log Q=p VT(32)L=z zlog Q，(33)对于玻尔兹曼气体，这些关系允许立即导出状态方程VT=L.事实上，在这种情况下我们有L=log Q（见附录）。3.4可逆变换在热力学中，状态方程规定了哪些状态变量(T，P，V，L)的组合与所考虑的系统的最大熵值，即与宏观熵值密切相关。因此，理论上可以使系统沿着这些组合运动，即不离开宏观平衡。在我们的情况下，P不是独立确定的，所以状态方程总是被充分利用。通过类比，我们仍然可以想到改变顶点数N（即V）的转数。举个例子，如果顶点代表一个银行系统，那么这个系统可能会因两个或多个银行的合并或一些银行的失败而变得复杂。B y等式(16)，相反，交换可以通过改变链路的数量L来获得。从开放经济系统的角度来看，ofL的一个变体有一个明确的解释，它代表了商品的链路内或链路外。那么，我们自然应该想知道可逆转换的经济含义是什么，即当(T，V，L)ar e发生变化时，我们是否保持不变。为了回答这个问题，我们需要考察独立状态变量(T，V，L)在constr(20)-(21)上的变化。很明显，任何变化都打破了约束(20)-(21)，因此很可能获得保持经济平衡的可逆变换。4真实市场本节我们应用上面介绍的统计系综，特别是大正则系综，来研究温度在网络e的经济解释中的作用。众所周知的Sonnenschein-Mantel-Debreu(SMD)定理指出，对于任何价格变量pi的集合，i=1。...M和价格e-ects(pi)的矩阵，存在一个交换生态，即这些价格向量为均衡价格向量，均衡时的价格e-ects由该矩阵给出。

对这一结果的标准解释是，我们不能被普莱斯提供的经验证据所证伪。在不与SMD theo rem相矛盾的情况下，我们表明，我们对r e spect的市场营销进行了高度限制。然后r eal mar ket counturations可以证伪WE,使WE成为一个可检验的理论。对此，(31)中定义的grand ca非配分函数可以改写为:z=xg∈gexp(μlg-hg)/t，(34)其中LGis是G中的链数。图G的概率由:pg=zexp(μlg-hg)/t(35)G的能量（哈密顿）函数由eq给出。(16):Hg=xijπijwij(36)在下面我们推广了[27]关于T→∞和T→0两种极限情形的结果。我们首先研究了T→∞的极限:limt→∞pg=z-1=g-1(37)即。系综中的所有图都具有相同的概率。我们可以把这个极限看作是Sonnens chein-Mantel-Debreu定理的等价性。事实上，在这个极限下，不能从系综GW EM中高概率地导出市场指数G。在低温极限T→0中，我们得到了一个以最可能指数G*为中心的delta分布:limT→0 pg*=1(38)limT→0 pg6=G*=0(39)G*是由下面的最大化问题得到的:G*=argmax(μlg-hg)(40)现在让我们看看在这两个精确结果之间对T插值b e会发生什么。我们将依赖于枚举随机图抽样。采样尺寸为10。我们假设πijGaussian iid变量为πij=1，标准d偏差σ=0.5。对T=20，50，100的结果编码在图中。1表示对于一个规定的温度，图的数目a s是它们相关概率的函数。概率是写在情商中的大规范。（35）。可以看出，在这两种情况下，图的小子集具有较高的似然性，而大多数图的概率都可以忽略不计。ForT=10，概率开始在图中更均匀地上升。考虑到更高的温度值，这种行为甚至是清晰的（面板(d)）。对于这些较高的温度，所有的图都“崩溃”到10-5的概率，这是由数据抽样所允许的。从这个练习中，我们发现T的值对Walrasia模型的预测能力有关键的影响：T越小，在文献中不能排除的市场数据的数量就越多，图温度的概念在[27]中已经被引入了一段时间，在agrand canonical en Semble中。此外，在[28]中，我们用图的发光性质研究了复杂网络的温度:0.0020.0040.0060.0080.010probability1.10.100.1000.10000.1000.100000.图=20(a)0.00010.00020.00030.0004probability1.10.100.10000.10000.00008probability0.000020.000040.000060.00008probability0.102(c)5.10-60.000010.0000150.00002 probability1.10.100.1000.10000.10000.103(d)图。1：对于T=20,50,100,1000，给定概率的图的个数。W.H.P.来自GW Emensemble。实际上，一般不必考虑状态的分布，而只需考虑不可忽略概率的分式，正如我们所看到的，这在T上是十分重要的。为了研究这种依赖关系，我们对Ij-分布进行了一个基于图的几何尺寸的数值计算。对于每个回火T，我们以不小于1/S的概率计算状态的分数，其中S是样本量。假设L=10进行的一个nalysisis。图2中总结了两种参数选择的结果（均匀分布和高斯分布）和三种参数选择的结果。我们看到我们的previousarguments被这些结果所修改。t0.20.40.60.81.0 statesfig的分数。2：状态的分数（样本量S=10)a等于给定的概率，是T的函数。

上面的曲线是ijuniformly分布和μ=10，蓝色曲线是ijuniformly分布和μ=10，而黑色虚线曲线是ijuniformly分布和μ=10。现在我们想用同样的方法来处理真实的ma rkets。为此，我们使用e-MID提供的银行间信贷交易数据，这是欧元区和美国唯一的电子银行间市场。根据欧洲中央银行的数据，在危机（这是我们考虑的时期）之后，欧元区无担保货币市场总成交量的17%。该平台的一个显著特点是它是集中和完全自由交易的，交易在期限、利率、数量和时间方面都是公开的。买卖商品以银行的身份出现在平台上，这样市场参与者就可以选择他们的对手方。更多细节见[29]。特别是，我们使用了市场参与者之间交易数量r的数据，这些数据在r个维护周期内的时间聚合。这些对应于一个日历月，即。大约23个交易日，这是用来计算最低准备金要求的时间框架，这是银行资产负债表的基础。特别是，我们为我们的测试选择了与2005年1月对应的MaintenancePerio，用于下面的reaso NS。在这一时期，利率是稳定的，其特点是离散性有限，因为隔夜贷款被认为是安全的，而不对称信息，如银行的财务状况，对市场参与者来说不是一个显著的关注[30]。在这些条件下，我们不能事先忽视市场非均衡和信贷配置是以供求为唯一基础的假设，即银行间市场可以是上述意义上的瓦尔拉西亚市场。事实上，如果信贷利率是基因反弹spe不是集中的，直接的价格（即利差）会影响信息不对称和交易成本，在这种情况下，我们观察到一个单一的价格（除了小的利率），因为在那个时期的银行间利率实际上与政策利率相同。此外，随着时间的推移，利率的稳定性表明，在供给和需求之间没有明显的不平衡，否则就需要调整信贷定价。这种戏剧性的调整确实发生在危机开始时，当时银行间利率开始与政策利率明显不同，一些银行被迫支付更高的利差，如果不是被排除在市场之外的话。2005年1月的e-MID市场涉及165家银行，共进行8705笔交易，而连接银行的边缘数量（二元链接）为2300个。在我们的分析中，银行的实力是由其在某一期间进行的借款或借款交易的数量来表示的。不考虑实际交易量（即贷款金额）的选择是一种保守的选择。事实上，熵最大化的内在原理倾向于不响应真实市场数据稀疏性的densemarket con ns[33,34,19]，使用体积，即大的r值，将产生不太真实的零模型。我们分析的关键步骤是通过观察真实网络的强度分布从数据中估计T。正如我们在附录中解释的那样，我们可以用描述这些分布的参数之一来识别T。然后，我们需要将所考虑的网络的强度分布和强度分布调整为某个候选概率密度。利用文献[31]的方法，我们用对数似然比检验了一组备选方案，得到了对数正态分布（表1)LLR xω对数正态分布vs Pareto 40.69***98.43***对数正态分布vs trunc。Pareto 5.37 37.23***对数正态vs指数31.03***8.67对数正态vs拉伸exp。

表1：对数似然比我们做出保守的选择，选择两个值中较大的一个来进行练习。为了得到能量的分布，我们按以下步骤进行。我们计算了EQS中引入的参数μ、λ和ρ.（18）-（19）使用以下关系式hips（见附录）:μ=yenT ln LλI=yenT ln XIθI=yenT lnωIWE立即得到μ=yen0.75×log(8,705)=yen6.82。关于λ和θ，我们得到两个近似正态的变量（图4，面板(a)-(b))。λ的标准差由σxσω=1.29给出，正如我们从e q中所期望的那样。（60）。能量的分布（图(c)也是正态分布，100101102x10-11001-f(x-1)σ=1.72μ=3.11 datafit(a)强度(x)100101102x10-11001-f(x-1)σ=1.33μ=3.26 datafit(b)外强度(ω)图。3：优势对数回归，e-MID市场（2005年1月）见图。5在具有相同参数的正态分布能量的c ase o f中，我们挑选出具有不可忽略概率的图的分数。4，(c)小组。我们认为，这个系统非常接近于e-MID市场对更高温度的行为。我们还看到，在估计的温度（垂直虚线）下，这个分数非常小，即Walrasianmodel具有高度的预测性。我们要测试的无效假设ISH:GEMID∈GW EM(41)在这个比较中，我们在帕累托分布的最大似然估计中设置xmin=1，因为我们希望获得所有数据的一个正式分布，并且仅针对右尾的值n ot。-5-4-3-2-1 000.000.050.100.150.200.250.300.35σ=1.29μ=-2.34(a)λ-5-4-3-2-1 000.000.050.100.150.200.250.400.45σ=1.00μ=-2.45(b)θ-10-8-6-4-2 000.000.050.100.150.200.350.400.45σ=1.00μ=-2.45(b)θ-10-8-6-2-2 000.000.050.100.150.200.25σ=.4：参数的正常分布，e-MID市场（2005）0.5 1 5 10 50 100 t0.00010.0010.0030.0050.0080.010.015国家银行间信贷e-MidNormalfig的分数。5：在给定概率之上的状态分数（样本量M=10)作为t的函数。红曲线是由e-mid信贷市场的能级分布得到的，而黑曲线是以图中相同的参数正态分布的。4，(c)小组。为了验证这一假设，我们将GEMID中观测到的二元链路的数目l=2，300与e nsemble GW EM中的l分布进行了比较。在Boltzmann情形下，由于wijfor G∈GW服从参数λij=xiωj/L的泊松分布，该网络的拓扑由参数pij=1-exp(-λij)的Bernoulli变量aij给出。我们对这类二随机网络的样本进行了模拟，得到链路的分布近似正态分布（见图6）。在给定参数的情况下，Gemidis中链路数的Z得分为33.89。因此，空假设显然被r弹出了。这个结果是gene ral，在这个意义上，任何其他具有相同数量的链接l的市场代码都将产生s ame结果。我们观察到，尽管G∈GW EMis的期望密度高于实际密度(0.13vs0.08)，但该系综中最有可能的网络结构并不显示一个完整的拓扑。5讨论Samuelson表示，经典热力学和效用理论之间仅存在形式上的数学类比[32]。这种类比基于约束优化的数学工具，它分别应用于熵和个体效用函数。最近，其他作者进一步推进了这一平行[2]。有趣的是compa re3450 3500 3550 3600 3650 37000.0000.0020.0040.0060.0080.0100.012σ=37.23μ=3561.76 fig。

6:L在Boltzmann网络样本中的分布。他们的方法与我们在本文中提出的方法。从方法论的角度看，它们是相互关联的：前者利用效用与熵的平行关系，从而使新的效用理论与经典热力学相互关联；后者则利用我们对市场行为的不确定性，将物理理论引入一般平衡理论，进而用美国的物理方法导出热力学。我们的方法更类似于[25]的方法，提出了一个市场的统计平衡理论。文[25]利用最大熵原理引入了Mar-Ket平衡的概念。在这个框架中，经济主体并不一定要选择他们的最优配置，而是在m种商品的可供选择的、福利改善的、净需求向量中随机选择。本文利用最大熵原理研究了a在净交易集Z上的分配。[25]中的净需求向量，一旦与禀赋相加，就代表了单个市场交易发生后的分配。在本文中，我们把注意力集中在给定均衡分配条件下的最大熵分布上。这种描述也适用于[25]意义上的统计均衡，因为后者为每一个市场分配了唯一的分配。引入多级或多路网络的概念，可以实现我们的框架对多个市场的推广[24]。特别地，我们可以把m市场看作满足[25]分配的一组统计独立的网络，这些分配现在取代了Walrasian最优分配。证交会的所有论据。4仍然适用，我们开始看到，这种较弱的经济平衡在市场控制方面的限制并不比我们少。特别是，它仍然倾向于密集而不是稀疏的控制。因此，我们的结果不仅适用于我们，甚至适用于弱均衡，只要分配是唯一控制交易的变量。6结论我们始于SEC。3.在一般均衡理论中，通过引入等概然性，我们陈述了市场结构的统计表示的构成要素。这提供了一个复杂网络的自然链接，特别是图和热力学变量之间的明确联系，这是微观经济理论的核心。作为应用程序，在SEC。4我们给出了“能量”的简单表达式，并给出了给定条件下的系综概率。此外，我们还比较了一个真实市场（e-MID银行间信贷市场）和一个具有正态分布的交易系统的行为。结果发现，除了温度较高的情况外，具有不可忽略概率的状态的数目都接近正态分布的情况。我们还发现，在估计的温度下，具有不可忽略概率的状态所占的比例是最小的。我们的方法的主要教训是，为了刻画经济均衡，必须只考虑市场拥塞的数量。这使得我们对于它的经验含义是一个高度限制性的理论。事实上，我们拒绝了Observede-mid-cre dit市场组合是一个we的无效假设。因此，我们得出的结论是，我们是经验性的，对市场规则具有高度的限制性。相反，根据对著名的Sonnenschein-Mantel-Debreu定理的标准解释，我们不能被price提供的经验证据所证伪。

节点变量，如强度或程度，通常可以解释真实市场规则的所有适当联系。这一观察结果与解决实际网络估计问题的网络模型[22,33,34,19]相一致，例如，银行间市场表现出非平凡的高阶拓扑性质，如高互易性、低群集性[35]、社区结构[36]、s trength degratories[34]和Preferencialization[30]，这些性质不能从与我们相关联的加权Con Government模型中推导出来。除了分配这是我们唯一相关的变量之外，还必须引入其他变量，以获得一个现实的市场理论。致谢：我们非常感谢朱利亚·伊奥里为我们提供的e-MID数据。我们感谢这位编辑和一位匿名评论者的建设性意见，这些意见帮助我们改进了手稿，并适用于通常的免责声明。附录本附录介绍了如何计算三种理想气体体系的网态量的巨正则配分函数。Le T从计算有向费米子（即二元）网络的Q开始。由于L=pi6=jaij，大配分函数读到（回忆β=T):q(z,V,T)=n(n-1)xl=0zlzg(L,V,T)=x{aij}eβ(μl-h)(42)=x{aij}ePi6=jβ(μ-ij)aij=(43)=yi6=jh1+eβ(μ-ij)i。（44）在通常的wayhaiji=-β-Ijlog Q(45)=Eβ(μ-Ij)1+Eβ(μ-Ij)，(46)中得到了期望占用数haiji，这与Park和Newman对T=1的结果一致。在Bosonic（加权）情况下，与（44）相反，我们有q(z,V,T)=yi6=j1-eβ(μ-ij)。（47）表达式(47)giveshwiji=Eβ(μ-ij)1-Eβ(μ-ij)，(48)，即网络的玻色-爱因斯坦分布。最后，对于一个Boltzma nn（加权）网络，考虑到W(G)=qi6=jwij！，我们有[33]:q(z,V,T)=yi6=jexpheβ(μ-ij)i。（49）andhwiji=eβ(Ω-πij)(50)我们指出，玻尔兹曼气体的网络模拟，即wijare泊松变量，在文献中通常被忽略或引入了临时假设[37]。很容易看出，利用c约束(20)-(21)，在这种情况下，我们得到了以下显式的ME解[38]:hwiji=ωixjli,j=1,。..,N(51)从这个解中我们可以得到参数μ，λi，θi:μ=-t ln lλi=-t ln xiθi=-t lnω的值。因此，我们可以将这些参数的概率分布与相关的可观测项（即强度）的概率分布联系起来。我们的lso观察到具有相同强度值的节点也具有相同的参数值。我们可以通过观察haijiλi=haijiθj=βhaiji[Haiji-1]<0(52)hwijiλi=hwijiθj=-βhwiji[hwiji+1]<0(53).从xjeβ(μ-λi-θj)1±eβ(μ-λi-θj)=xjeβ(μ-λh-θj)1±eβ(μ-λi-θj)1±eβ(μ-λh-θj)(μ-λh-θj)(μ-λh-θj)(μ-λh-θj)(μ-λh-θj)(54)我们可以看出，如果λi6=λh，则相等（不幸的是，在Bosonic和Fermionic情况下，我们不能显式地写下强度和参数之间的函数依赖关系。相反，在玻尔兹曼情况下，我们可以从约束的分布导出参数的分布，至少在某些情况下是这样。为此，在下面和在SEC。4我们总是参考玻尔兹曼系统。文献[27]的作者证明，如果ρ(w)=(γ-1)W-γdW，则φ=T ln w在玻尔兹曼系统中呈指数分布:ρ(φ)=γ-1texp-φγ-1T dφ(55)。他们进一步观察到，通过设置T=γ-1，我们可以使ρ(φ)与T无关。用这种方法，我们得到了φ的概率密度恢复，因此具有一般性，即只要ρ(w)在Pareto分布族中，ρ(φ)由T的变分而成。然后，我们可以设想一个简单的过程，从ρ(w)估计T，因为我们可以估计γ从数据。

这个论证要求我们在强度为整数的情况下对ρ(w)作c连续近似。我们可以把它推广到其他密度，比如ρ(w)=wσ√2πexp-(Lnw)2σdw。在这种情况下，通过对变量进行代换，我们得到ρ(φ)=σT√2πexp-φ2(σT)dφ(56)，通过设置T=σ-1，我们得到φ是像标准正态变量一样分布的。[27]的作者在对称情况下发展了他们的论点。在非对称ic/有向情况下，我们面临着ρ(ω)和ρ(x)两种强度分布。假定两者都来自同一个族(Pareto)，但都有不同的参数（分别为γω和γx)，我们可以设ρ(λ)=exp(λ)(λ60)为t=γx-1。然后我们得到(θ6)ρ(θ)=γω-1texpθγω-1T dθ(57)=γω-1γx-1expθγω-1γx-1dθ(58)在对数正态情况下，假设T=σ-1x，我们得到ρ(λ)=√2πexp-λdλ(59)ρ(θ)=σωσ-1x√2πexp-θ2σωσ-1x×2πexp-θ1×dθ(60)参考1。Samuelson,P.：经济学（McGraw-Hill,New York,1970年，第8版）。Smith,E.和Foley D.K.：经典热力学与经济一般均衡理论，《经济动力学与控制学报》32,7-65（2008）3。Rawlings,P.K.：Reguera,D.,Reiss H.：Pareto定律的熵基础，物理学A 343,643-652（2004）4.Yakovenko,V.M.：“货币概率分布的统计力学方法”，邀请HeinerGanssmann编辑的《货币理论的新方法：跨学科观点》一章。Banerjee,A.,Yakovenko,V.M.：不等式的普遍模式，新物理学报12,075032（25页）（2010）6.Yakovenko,V.M.,Rosser,J.B.：学术讨论会：货币、财富和收入的统计力学，Mod.Phys修订版。81，1703-1725(2009)7。Saslow,W.M.：经济学对热力学的研究。J.Phys。67（12）,1239-1247（1999）8。J.L.McCauley,J.L.：经济学和政策中的热力学类比：市场的不稳定性，物理杂志A329，199-212(2003)9。麦考利，J.L.：对经济物理学中令人担忧的趋势的回应？，《物理学》A371，601-609(2006)10。Dragulescu,A.A.,Yakovenko V.M.：货币统计力学，EUR。菲斯。J.B 17,723-729（2000）11。Dragulescu,A.A.,Yakovenko V.M.：英国和美国财富和收入的指数和幂律概率分布，Physica A 299,213-221（2001）12。Dragulescu,A.A.,Yakovenko V.M.：美国收入指数分布的证据，欧洲物理学杂志。J.B 20,585.589（2001）13。《社会阶层的剩余理论与个人财富的大小分配》，Socialforces65,293-326（1986）14。Bennati,e.：Un metodo di simulazione statistica per l\'analisi della distribuzione del reddito,Rivista Internazionale di Scienze Economiciche e Commerciali 35,735-756（1988）15.Garibaldi,U.S.calas,E.：经济物理学中的有限概率方法，剑桥大学出版社，剑桥大学（2010）16.Viaggiu,S.,Lionetto,A.,Bargigli,L.,Longo,M.：货币和债务的统计集成，Physica A391/21,4839-4849（2012）17。上C：评估银行间市场传染危险的模拟结果，《金融稳定杂志》7,111-125（2011）18。Chinazzi,M.,Fagiolo.,G.：系统风险、传染和金融网络：一项调查。LEM论文系列2013/08，经济和管理实验室，圣安娜高级研究学院，意大利比萨（2013）19。Mastromatteo,I.,Zarinelli,E.,Marsili,M.：系统风险稳健估计的fignancial n etwork的重建，统计力学杂志：理论与实验，第P03011（2012）20期。Fagiolo,G.，Squartini,T.，Garlaschelli D.：Null Mod els of Economic Networks：The Case of The WorldTrade Web,Journal of Economic Interaction and Coordination,8（1）：75-107（2013）21。Park,J.N.ewman,M.E.J.：因特网和其他网络中度相关关系的起源，物理学。Rev.E 68,026112(7pp)(2003)22。

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