我们研究了当lattercan表示严格的纯序数偏好和偏好强度时，将n个不可分割的对象分配给n个Agent的问题。我们提出了基于ARANK的准则，在这样的环境下对偏好强度进行有序的人际比较，而不假设人际间的可比较效用。然后，如果分配是Pareto e s cient，我们将分配定义为强度-e s ci ent，并且当另一个分配将相同的对象对分配给相同的代理对，但以“dirpped”的方式分配时，前者将每个suchpair中通常首选的替代方案分配给更喜欢它的代理。我们表明，当n=3.*圣安德鲁斯大学时，所有1728个专业都存在一个强度-e-cient分配。电子邮件地址:gg26@st-andrews.ac.uk。本文中的主要概念作为其他工作的一部分在2019年6月巴黎经济学院的风险、不确定性和决策会议上提出。1引言本文考虑了当Agent表达他们的顺序偏好以及他们对可用方案的顺序偏好强度时的社会分配问题。特别是，类似于引出代理偏好的方式，我们假定可以通过要求它们回答简单的问题来获得关于它们强度的信息，例如“你更喜欢a而不是B，而不是c而不是D？”。然而，至关重要的是，我们并不认为这些参数一定是可量化的/可量化的。在这样的无信息环境下，我们的重点是当货币转移不可行或被禁止时，将n个不可分割的项目分配给nagents，例如在几个匹配的市场中。因此，我们排除了代理人愿意为其偏好强度的潜在信息来源----偏好和偏好强度信息仍然可用于社会规划者/匹配平台的这种非基本的、非功利的框架提出了一个问题，即如何在手头的问题中使用它来获得一些直观的帕累托信息的重新定义，这也将重新影响代理人的偏好强度。类似于功利主义或其他e-ciency的功利主义观念，这样的重新审视似乎需要人们能够临时进行人际比较。然而，与这些概念不同的是，在实际情况下，人际比较不能基于Agent的效用，而必须依赖于上述有序强度等级中所包含的信息。为此，我们假定，当所有Agent的偏好和强度都是严格的时，可以通过对比不同Agent强度等级中的备选方案对(a，b)的秩/位置来进行这种比较。具体地说，当两个主体i a和j都更喜欢a而不是b，但对(a，b)在i的强度r上比在j的强度r上更高时，我们假设i更喜欢它。在这些有序的、不加权的人际强度比较的基础上，如果分配x是Pareto e}cient，我们说它是强度-e}cient，并且当分配y以“dirpped”的方式将相同的对象对分配给相同的agents对时，即当agents i,j和替代方案a,b的(xi，xj)=(yj,yi)=(a，b)时，则x将每个这样的对中共同喜欢的替代方案分配给更喜欢它的agents。我们证明了在所有1728个严格的IntensityProfires中都存在强度-e}cient分配，这些严格的IntensityProfires对应于n=3的情况。

当n≥5时，然而，2模型有一个由n≥3个不可分对象组成的集合X，可分配给n个个体。假定Agent i≤n有一个较优的强度关系。这可以作为X×X中对上的二元关系或X中元素的四元关系。我们假定π%ii可以用一个偏好强度函数来表示（G erasimou,2020)，即一个映射si:X×X→R，其满足(a，b)^%i(c，d)si(a，b)≥si(c，d)(1a)si(a，b)=-si(b，a)(1b)si(a，b)≥0，si(b，c)≥0=yensi(a，c)≥max{si(a，b)，si(b，c)}。(1c)在n个奇数严格递增变换的意义上，ti:X×X→R也表示π%i，只有当ti=f=si，对于某些f:R→R是奇数[f(-z)=-f(z)]并且在si的e si(X×X)范围内严格递增时，π%ii的偏好强度函数才是唯一的。奇异性保证了斜对称条件(1b)被保留。该条件不失一般性，并为方便起见而假定，因为它意味着a%IB si(a，b)≥0,其中%IB是由^%I.导出的Agenti的优先nce关系。当^%I.承认一个有用的表达式时，得到了(1a)-(1c)的一个显著特例，其中(a，b)^%I(c，d)ui(a)-ui(b)≥ui(c)-ui(d)，ui:X→r+，ui:X→r+。这种特殊情况允许写si(a，b)ui(a)-ui(b)。它是可能的当且仅当(1c)对所有a，b，c∈X加强为加性条件si（a,c)=si（a,b)+si（b,c）（见Gerasimou（2020）及其中的参考文献）。众所周知，当存在这样一个实用函数的Erence表示时，它既不是唯一的，也不是唯一的，因为它既不是唯一的，也不是唯一的，既不是唯一的，也不是唯一的，而是唯一的，既不是唯一的，也不是唯一的，也不是唯一的。相反，它是不变的，非基数和严格递增的转换是依赖于%i的。这一事实的一个含义是，这些效用指数，即使规范化，使它们对所有代理具有相同的范围，也不能解释为精确的测量单位。此外，t o可以表示为(1a)-(1c)中，我们还将假定，在si（a,b)=si（c,d）的意义上，每个^%ii是严格的，当且仅当（a,b)=(c，d)或（a,c)=(b，d)。这个条件意味着没有一个代理能觉察到不同的替代方案对之间的紧张关系。因此，对于偏好的严格条件，它是模拟的。在这样一致的严格性下，我们可以在不丧失一般性的情况下假定每一个π%ii都是用一个标准siin表示的（其意义是:X×X)={-k,...,-2,-1,0,1,2,...,k}，其中kn-是X中不同对的个数。也就是说，每个主体的强度函数都是在围绕零对称的同一组连续整数上的。以a优先于b的对(a，b)为中心，这种规范归一化意味着在这样的对Re上Agents的规范强度函数的值确定了该对在相应Agents的严格强度排名中的等级/位置。它进而允许假定一种新颖的、有意义的偏好强度的人际比较，而不假定个人之间的可比效用，基数，伪基数，或其他。强度profectionle是偏好强度关系的n元组(^%,...,^%n)，每个agent i≤n对应一个。每一个这样的参数对应于一个唯一的标准偏爱强度函数参数s=(s，.，sn)。表1的第二列列出了当n=3,4,5时不同的严格强度关系的数目。这些枚数是由独立的约束求解程序计算的，这些程序可以从作者那里根据要求获得。

第三列列出了这种n的严格强度参数的对应数量。表1：严格强度关系的数量和n的小值的参数。n严格强度关系严格强度参数s3 12 124 384 384 5 92160 92,160我们现在可以陈述本文的中心假设。..,%n）,它是canonicall y，由s=(s,.为了激发这一假设，让我们回想一下，我们关于个体决策者水平的偏好强度的基本模型假设，任何一个agent的强度比较都不能以任何精度超越序数排序水平。现在的问题是，在这种简单/不可量化的强度的假设下，社会规划者/匹配平台是否应该平等地对待这些代理人的强度----非量化的强度排名。特别是，在没有关于代理人i和j如果得到b而不是a将遭受的程度的信息的情况下，如果计划者只知道前者在i的排名中比后者在j的排名中更高，那么她是否应该声明我更喜欢a tob？由于代理人的分离强度命令传达了所有可用的福利相关信息，因此以任何不同的方式吃他们将要求一个似乎难以捉摸的公正。因此，上述假设可以被认为是在这样一个信息环境中进行人际比较的合理基准。我们注意到，上述假设中的偏好密度的规范人际比较可以被看作是标准的“相对功利主义”假设的序数类比，该假设建立在规范的冯·诺伊曼-摩根斯坦效用的个人间比较之上，其范围是每个代理人的单位间隔。Fleurbaey和Zuber(2021)讨论了这种标准化在过去70年中的应用，并提出了一种新的替代方法，也是在基数效用wor ld中，在基数效用wor ld中，贫困线上的边际效用被均衡化了。3强度分配在上一节的同等加权的个人间可比的内部密度假设的基础上，我们现在可以引入以下关于分配的优势和优势的新概念。..,%n,that用（s,....,sn）规范地表示，并且给定两个分配x a d y,对于诱导的严格优先级nce profire(，...,n）,x强度占优y,如果(xi，xj)=(yj,yi)=≈si(xi，xj)≥sj(yj,yi)(2)，且至少有一个不等式是严格的。如果paretoe_cient分配x不是强度控制的，则它是强度-e_cient。因此，a Pareto e？cient a llocation x强度-支配y if,在每一对被x和y“削弱”的代理中，这两个分配都将相同的两个备选方案a和b分配给这对中的两个代理，但以相反的方式这样做，因此，如果分配x和y是Pareto e_cient且x强度支配y，那么在x和y下接受这两个选择的代理人的所有pa ir s中的人际偏好交易总是由更喜欢相关选择的代理人的xin fense来解决，而Pareto e_cient在假定的Pareto e_cient下是相互偏好的代理人）在x下比在y下接受a的代理人更倾向于b.因此，如果分配x和y是Pareto e_cient下是x强度支配y的，那么在x和y下接受这两个选择的代理人的所有pa ir s中的人际偏好交易总是相反的。因此，强度的概念与直观的分配正义原则是一致的。

此外，在一个既不要求代理人的效用是个人之间和个人内部可比的，也不假定代理人之间的货币转移是可行的环境中，这似乎是帕累托e_ciency的重新定义。命题1a强度-e_cience分配存在于每一个严格的强度profireile\\%,\\%,\\%\\on X={a,b,c}下。命题1的证明。设D是由（2）定义的分配的强度-优势关系。相反，假设wdwd。...DwkDw(3)用于Pareto e？cient分配w,...,wkon X:={a,b,c}。注意，由于causen=3，对于任意两个分配wi,wi+1，使得widwi+1对于恰好一个agent l∈{1,2,3}我们必须有wil=wi+1l，对于j,k6=l，wij，wik)=wi+1k,wi+1j)。注意n=3意味着k≤6。注意当k=2时（3）是不可能的，因为D是结构不对称的。假设k=3。鉴于前一段中的评论，我们可以在不丧失一般性的情况下开始写w=(a，b，c)，w=(b，a，c)和w=(b，c，a)。由于魔杖在构造上是不可比的，所以假定wdwiss是矛盾的。现在假定k=4。根据（3）和上述含义，我们可以把w，w，wto和k=3的情况一样，由此得出分配必须满足w=(c，b，a)。与假定的Pareto e-ciency一起，WDW包含s(a，b)>s(a，b)>0；WDWMILS（a,c）>s（a,c）；wDwimpliess(b，c)>s(b，c)；而WDWMILS（a,c）>s（a,c）。由于所有SIA(c)>s(a，c)>s(a，c)=3和s(a，c)=1。然而，如果有后者，则s(a，b)>s(a，b)和s(b，c)>s(b，c)t o都不可能背叛。因此，wDwis公设是矛盾的。其次，假设k=5。如上所述，分配w，..在前两种情况下，win(3)必须是beas，而分配必须满足w=(c，a，b)。这是D-不可比的wby结构，它与公设WDD相矛盾。最后，假设k=6。分配为w，...,win(3).如上，W必须满足W=(a,c,b）。从WDWS中可以看出s(a，c)>s(a，c)，而从WDWS中可以看出(s(a，b)>s(a，b)，而s(b，c)>s(b，c)是WDWD所隐含的。再次回顾每一个siis正则，从这些不等式和WDWDWW所隐含的不等式（如上面k=4的情况）中我们可以推导出:(i)s(b，c)=1是由s(b，c)>s(b，c)和s(b，c)>s(b，c)所隐含的；(ii)s(a，b)=3和s(a，b)=2由s(a，b)>s(a，b)和s(b，c)=1隐含；(iii)s(a，c)=3从(i)及(ii)中取下；(iv)s(b，c)=2从s(b，c)>s(b，c)=1和s(a，b)=3；(v)s(a，c)=1由s(a，b)=3和s(b，c)=2引出；(vi)s(a，b)=3由s(a，b)>s(a，b)=2隐含；(vii)s（b,c)=2是bys（b,c)>s（b,c)=1；(viii)s(a,c)=1f来自(vi)及(vii)的ollows。因此，我们有s=S6=s，其中i=1,3的a B C和a IC IB是三个主体的诱导偏好。然而，由于所有6个po ssible配置都是paretoe cient假设，这种偏好差异是一个矛盾。的确，请注意，我们在这里的标记暗示了tha t w=(a，c，b)是w=(a，b，c)支配的帕累托。由于当n=3时D总是无环的，并且由于分配集是有限的，我们得出结论，在这种情况下，n强度-e-cient分配总是存在的。例举X={a,b,c}并考虑正则强度函数profile(s,s,s）,其中(a，c)=3,s(a，c)=3,s(a，c)=3,s(a，b)=2,s(a，b)=2,s(b，c)=1,s(a，b)=1,s(b，c)=1。这导出了齐次严格偏好profile(，，)，其中a ib icfor i=1,2,3。由于三个代理的偏好是一致的，所以所有六个分配(a，b，c)，(a，c，b)，(b，a，c)，(b，c，a)，(c，a，b)，(c，b，b，a)都是Pareto e-cient，即Pareto e-cient，即Pareto e-cient，即Pareto e-cient，即Pareto e-cient，即Pareto e-cient，即Pareto e-cient，即Pareto e-cient。

现在，由于s(a，b)=s(a，b)=2>1=s(a，b)，分配(b，a，c)和(c，a，b)分别受(a，b，c)和(c，b，a)的强度支配，而且，由于s(b，c)=2>s(b，c)=s(b，c)=1，(a，c，b)和(b，c，a)也分别受(a，b，c)和(c，b，a)的强度支配。后两种分配在强度优势方面是不可比拟的。因此，这些是本项目下的强度-e-cient分配。因此，即使在相同的偏好和几乎相同的强度的例子中，对强度的重新配置也允许丢弃2/3的Pa reto e.cient分配。当n≥5时，4潜在的不存在。表2中关于X={a,b,c,d,e}的严格强度的例子表明，当n≥5时，强度-e的分配并不总是存在的。因此，必须施加额外的限制，以保证在这种情况下的存在。表2：n=5的强度参数，没有强度分配。·············（A\'，)，B\')=代理i=1 2 3 4 510(a，e）(a，e）(a，e）(d，·)(c，·)9(a，d)(a，d)(a，d)8(b，e)(b，e)(a，c)7(b，d)(a，c)(b，d)6(c，c)(b，d)(b，d)5(c，e)(c，d)4(a，b)(c，d)(c，d)3(b，c)(a，b)(d，d)1(d，e)(b，c)1(d，e)(b，c)，特别是，表2显示，对于i=1,2,3来说，试剂1-3具有相同的偏好，但它们的偏好是捕获的bya IB IC ID IES相同的偏好强度顺序是不同的。另一方面，表2中的la st两列被理解为表明代理4和代理5分别更喜欢d和c而不是其他一切。除此之外，这两个主体的偏好和强度对于论证来说是无关紧要的。因此，对应于由（s,....,s）所诱导的偏好的Pareto-e-cient分配是（c,a,b,d,e）{z}s,（c,b,a,d,e）{z}t,（a,b,c,d,e）{z}x,（a,c,b,d,e）{z}y,（b,c,a,d,e）{z}w,（b,a,c,d,e）{z}z。从考虑分配开始。我们有(b，c)>s(b，c)，因此，ZDS。现在考虑allocatio n z。我们有(a，c)>s(a，c)，因此，WDZ。现在考虑分配w。我们有(a，b)>s(a，b)。因此，YDW。现在考虑分配y。我们有(b，c)>s(b，c)，因此，xdy。现在考虑分配x。我们有(a，c)>s(a，c)。因此，TDX。最后，分配T。我们有(a，b)>s(a，b)。因此，SDT。因此，我们得到了强度优势循环dtdxdydwdzdsover所有帕累托分配。因此，不存在强度-e-cient分配。5相关文献我们对分配问题的方法是我们所知道的，这种方法侧重于帕累托e-cient的重新定义，它结合了关于代理人偏好强度的信息，而不假设存在（或要求引出）基数效用函数，例如，通过对彩票的预期效用偏好超过对货币具有准线性兴趣的替代方案。然而，我们认为帕累托是福利经济学和匹配理论的弱规范要求的潜在动机也在这些文献中明确提出，例如Che，Gale和Kim(2013)，Lee和Yariv(2018)和Pycia and-unver(2020)。在这方面，在这些作者的方法和我们的方法之间，一个关键的方法是，我们不使用任何建立在个人之间可比的实用工具上的社会福利聚合方法--否则就是cardinalor--来对分配/匹配进行社会排名。相反，我们的方法假设代理人的有序严格偏好强度关系的人与人之间的可比性--这是通过他们的偏好强度函数的规范化来操作的--并将这种人与人之间的可比性通过ParetoCriterion的强度e-ciency referency来使用。