上限）在假设（V）中定义。这和（A.1）意味着kA（b k，S）k=OP（rn），由此产生kbа-使用假设（C）（i）k=oP（1）。因此，在（C）（ii）中，kb~n- ~nk≤ ckA（b~n，S）k，概率接近1，这显示了结果。定理4.2的证明。优化计划（4.1）的一阶条件为Γ（bΓ，bS）>va（bΓ，bS）=0，这导致Γ（bΓ，bS）>va（Γ，bS）+Γ（bΓ，bS）>va（Γ，bS）（bΓ- Γ）+Γ（bΓ，bS）>vr=0，其中R=A（bΓ，bS）- A（φ，bS）- Γ（Γ，bS）（bΓ- φ). 然后√n（b）- φ) = - [Γ（bΓ，bS）>VΓ（Γ，bS）]-1Γ（bΓ，bS）>V√nA（英国，英国）- [Γ（bΓ，bS）>VΓ（Γ，bS）]-1Γ（bΓ，bS）>V√根据假设（N）和定理4.1，√nR=OP(√nrn）=oP（1），因此[Γ（bΓ，bS）>VΓ（Γ，bS）]-1Γ（bΓ，bS）>V√nR=oP（1）。我们使用连续映射定理和假设（N）得出结论。2B附录B：Kaplan-Meierestimator的核平滑在本节中，我们讨论假设（C）和（N）的有效条件。如（4.4）所示。我们介绍以下假设和随后的引理。（K） （i）T对allz和W的事件{Z=Z，W=W}有一个连续分布条件。它的条件密度有一个在[0，\'T]上有界的导数；（ii）K是一个有界可微的概率密度函数，它有均值零和有界支撑；（iii）n→ 0;（iv）FrΓechet differentialΓ（Γ，S）是可逆的；（v） 存在ξ>0，其中S（\'T，z | w）/P（z=z | w=w）>ξ∈{z，…，zL}和w∈ {w，…，wK}使得P（Z=Z | w=w）>0。引理B.1在假设（V）、（C）（i）、（C）（ii）、（K）下，如果映射Γ（Γ，S）>VΓ（Γ，S）在[0，\'U]上是可逆的，则BS满足假设（C）（iii），rn=n-1/2和（N）以及第4.4节中的bootstrap近似值√n（b~nb- b~n）弱收敛到与√n（b）- φ).下面的引理构成引理B.1的证明。我们介绍以下符号。

对于h∈ FZ，W，我们定义| | h||∞= 监督∈[0，\'T]，z=z，。。。，zL，w=w，。。。，wK | h（t，z，w）|。还有，对于t∈ [0，\'T]，z=z，zL，w=w，wK，leteS（t | z，w）=RS（t- s|z、 w）K（s）ds。引理B.2过程√n{bS（t，z|w）- pzweS（t|z，w）}和√n（bSb（t，z | w）-bS（t，z | w）），t∈ [0，\'T]，z=z，zL，w=w，wK，弱收敛到相同的平均零高斯过程。证据根据Donsker定理，这个过程√N新西兰，w（t）Yz，w（t）Yz，wYw-P（Y）≤ t、 Z=Z，W=W，δ=1）P（Y≥ t、 Z=Z，W=W）P（Z=Z，W=W）P（W=W）,T∈ [0，\'T]，z=z，zL，w=w，wK，弱收敛于平均零高斯过程。注意，这个过程tobS的映射是哈达玛可微分的，因为它是哈达玛可微分映射的组成部分。实际上，商是Hadamarddi可微的，条件K（v）保证了（4.4）中的Kaplan-Meierestimator映射由Van der Vaart（2000）中的引理20.14产生。作为一个线性算子，包含（4.3）中的核平滑的映射是哈达玛可微分的。最后，产品是哈达玛可区分的。我们得到了这个过程√n{bS（t，z|w）-pzweS（t|z，w）}，t∈ [0，\'T]，z=z，zL，w=w，wK，使用函数增量方法收敛到平均零高斯过程。类似地，使用Van der Vaart和Wellner（1996）的OREM 3.9.11中的自举函数增量法，我们发现√n（bSb（t，z | w）-bS（t，z | w）），t∈ [0，\'T]，z=z，zL，w=w，wK，弱收敛到相同的平均零高斯过程。2 Emma B.3根据假设（K），它认为∈[0，\'T]，z=z，。。。，zL，w=w，。。。，wK | pzweS（t | z，w）- S（t，z | w）|=o√N.证据根据泰勒展开式，当S（·| z，w）的二阶导数在[0，\'T]上有界时，我们有S（T- s|z、 w）=S（t | z，w）+Sst（t | z，w）+O(),在t中一致∈ [0，\'T]，z=z，zL，w=w，支持K。

因此，我们获得了支持∈[0，\'T]，z=z，。。。，zL，w=w，。。。，工作ZS（t）- s|z、 w）- S（t|z，w）- sst（t | z，w）K（s）ds= 监督∈[0，\'T]，z=z，。。。，zL，w=w，。。。，工作Z（S（t）- s|z、 w）- S（t | z，w））K（S）ds= O(),其中，等式的最后一个序列是K的均值为零、有界且有界支撑的结果。这导致了失败∈[0，\'T]，z=z，。。。，zL，w=w，。。。，wK | eS（t | z，w）- S（t | z，w）|=O(),因为s通过假设（K），t（t|z，w）在[0，\'t]上有界。这就产生了这种支持∈[0，\'T]，z=z，。。。，zL，w=w，。。。，wK | pzweS（t | z，w）- S（t，z | w）|≤ 监督∈[0，\'T]，z=z，。。。，zL，w=w，。。。，wK | eS（t | z，w）- S（t | z，w）|=O() = o√N（根据假设（K））。引理B.4在假设（K）下，它认为kbS- Sk∞= OP(√n） 和kbSb-bSk∞=OP(√n） 。证据利用引理B.2和连续映射定理，我们得到了∈[0，\'T]，z=z，。。。，zL，w=w，。。。，wK | bS（t，z | w）- pzweS（t | z，w）|=OP√N.As | bS（t，z | w）- S（t，z|w）|≤ |bS（t，z | w）- pzweS（t|z，w）|+|pzweS（t|z，w）- 第一个结果是引理B.3的结果。kbSb-bSk∞= OP(√n） 是引理B.2的直接推论。2 Emma B.5在假设（K）下，过程√n（bS（t，z | w）-S（t，z | w）），t∈ [0，\'T]，z=z，zL，w=w，wK，弱收敛于平均零高斯过程。证据利用Slutsky定理，引理B.2和B.3以及∈ [0，\'T]，z=z，zL，w=w，wK，bS（t，z | w）- S（t，z | w）=bS（t，z | w）- pzweS（t|z，w）+pzweS（t|z，w）- S（t，z | w），我们得到√n（bS）- S） 弱收敛到平均零高斯过程。2 Emma B.6在假设（K）下，过程√nA（，bS）（u），u∈ [0，\'U]弱收敛于平均零高斯过程。证据引理B.5，√n（bS-S） 弱收敛到平均零高斯过程。

地图h 7→ A（ν，h），h∈ FZ，W是哈达玛可微分的（因为它是线性的），因此，通过泛函三角法，我们得到√n（A（~n，bS）- A（~n，S））=√nA（ν，bS）弱收敛于平均零高斯过程。2 Emma B.7假设（K），Γ（Γ，bS）（u），u∈ [0，\'U]存在并以概率收敛到Γ（Γ，S）（U），U∈ [0，\'U]。同样，如果bаP-→ Γ，然后Γ（bΓ，bSb）（u），u∈ [0，\'U]存在并以概率收敛到Γ（Γ，S）（U），U∈ [0，\'U]。证据我们有b（t，z，w）=bpzwbeS（t，z，w）=bpzwZbSKM（t- s|z、 w）K（s）ds=-bpzwNδXi=1bS（i）h\'KT- Y（i+1）-“K”T- Y（一）i、 其中，Y（i）是非删失观测样本{Yi |δi=1}ni=1，bS（i）=bSKM（Y（i）| z，w），\'K（Y）=RyK（s）ds和Nδ=Pni=1I（δi=1）的ITH阶统计量。这意味着映射t 7→bS（t，z | w）在t中是可微的。因此，映射θ7→ A（θ，bS），θ∈ FZ，在θ上是G^ateaux可微的。通过引理B.4，bS在概率上收敛于S→ A（ν，h），h∈ FZ，W和微分映射都是连续映射，因此，利用连续映射定理，我们得到了这个结果。引导的证据是相似的。2 Emma B.8在假设（K）下，如果B~nP-→ Γ，然后Γ（bΓ，bS）（u），u∈ [0，\'U]存在并以概率收敛到Γ（Γ，S）。此外，如果b k bP-→ Γ，然后Γ（bΓb，bSb）（u），u∈ [0，\'U]存在并以概率收敛到Γ（Γ，S）。证据与引理B.7的证明类似，θ∈ FZ7→ A（θ，bS）是G^ateaux在θ中可微分。通过引理B.4，bS概率收敛于S。映射A和微分映射是连续映射，因此，通过连续映射定理，我们得到了结果。引导的证据是相似的。2 Emma B.9在假设（K）下，A（B~n，bS）-A（φ，bS）-Γ（Γ，bS）（bΓ-~n）=OP（kb~n）-~nk）。此外，A（bаb，bSb）- A（b~n，bSb）- Γ（bΓ，bSb）（bΓb）- b~n）=OP（kb~nb- b~nk）。证据类似于引理B.7的证明，θ7→ A（θ，ν），θ∈ FZ是θ的两倍G^ateauxdi可微。

通过引理B.4，bS以概率收敛于S。映射A和微分映射是连续映射，因此，通过连续映射定理，我们得到了A关于其在（η，bS）中的第一个参数的第二微分，以概率收敛于A关于其在（η，S）中的第一个参数的第二微分，这是由假设（K）（i）限定的。这意味着泰勒展开的结果。引导的证据是相似的。2 Emma B.10在引理B.1的假设下，第4节的自举近似。4的工作原理是√n（b~nb- b~n）弱收敛到与√n（b）- φ).证据引理B.2和B.5，√n（bS）- S） 及√n（bSb）-b）收敛到相同的均值零高斯过程。因此，通过函数Delta方法，A是一个线性映射，√nA（~n，bS）和√n（A（，bSb）- A（φ，bS））用方差算子弱收敛到同一平均零高斯过程Ohm. 利用定理4.1，我们得到了kb~nb-νk=OP（n）-1/2）（（C）（ii）rn=n时持有-1/2在重采样b中，因为引理b.4）和kb~n- νk=OP（n）-1/2). 这意味着kb~nb- b~nk=OP（n）-1/2). 重采样b中优化程序（4.1）的一阶条件为Γ（bΓb，bSb）>va（bΓb，bSb）=0，这导致Γ（bΓb，bSb）>va（bΓb，bSb）+（bΓb，bSb）>VΓ（bΓb，bSb）（bΓb）- bΓ）+Γ（bΓb，bSb）>vr=0，其中R=A（bΓb，bSb）- A（b~n，bSb）- Γ（bΓ，bSb）（bΓb）- b~n）。然后√n（b~nb- b~n）=- [Γ（bΓb，bSb）>VΓ（bΓ，bSb）]-1Γ（bΓb，bSb）>V√nA（b，bSb）- [Γ（bΓb，bSb）>VΓ（bΓ，bSb）]-1Γ（bΓb，bSb）>V√nR=- [Γ（bΓb，bSb）>VΓ（bΓ，bSb）]-1Γ（bΓb，bSb）>V√n（A（b~n，bSb）- A（b~n，bS））- [Γ（bΓb，bSb）>VΓ（bΓ，bSb）]-1Γ（bΓb，bSb）>V√nA（b k，bS）- [Γ（bΓb，bSb）>VΓ（bΓ，bSb）]-1Γ（bΓb，bSb）>V√nR.现在，由引理B.9和kb~nB-b~nk=OP（n）-1/2），我们有√nR=OP（n1/2n）-1） =oP（1），因此[Γ（bΓb，bSb）>VΓ（bΓ，bSb）]-1Γ（bΓb，bSb）>V√nR=oP（1），通过引理B.7和B.8以及假设（V）。

此外，当Γ（bΓ，bS）>va（bΓ，bS）=0时，我们有Γ（bΓb，bSb）>V√nA（bΓ，bS）=（Γ（bΓ，bS）- Γ（bΓ，bS））>V√nA（b k，bS）。现在，由引理B.9和kb~n- νk=OP（n）-1/2），我们有√nA（b k，bS）=√nΓ（Γ，bS）（bΓ- Γ）+OP（1）=OP（1），其中最后一个等式是因为Γ（Γ，bS）=OP（1）byLemma B.7。通过引理B.7和B.8以及假设（V），我们得到[Γ（BΓB，bSb）>VΓ（BΓ，bSb）]-1Γ（bΓb，bSb）>V√nA（b~n，bS）=oP（1）。因此，我们有√n（b~nb- b~n）=-[Γ（bΓb，bSb）>VΓ（bΓ，bSb）]-1Γ（bΓb，bSb）>V√n（A（b~n，bSb）- A（b~n，bS））+oP（1）。让我们用学士学位t（分别为。英国广播公司t） ，在其第一个参数中为B的导数（分别为bSb）。接下来，通过引理B.9，我们得到√n（A（b~n，bSb）- A（b~n，bS））-√n（A（，bSb）- A（φ，bS））=√nΓ（Γ，bSb）（bΓ- φ) -√nΓ（Γ，bS）（bΓ- ~n）+oP（1）=√n（LX`=1英国广播公司t（k（z`，·），z`|wk）（b k（z`，·）- ν（z`，·）））Kk=1-√n（LX`=1学士学位t（k（z`，·），z`|wk）（b k（z`，·）- ν（z`，·）））Kk=1+oP（1）=√n（LX`=1(英国广播公司t（~n（z`，·），z`|wk）-学士学位t（~n（z`，·），z`|wk））（b~n（z`，·）- ν（z`，·）））Kk=1+oP（1）。现在，通过引理B.2，BSB在概率上逼近tobS。由于微分是一个连续映射，我们得到，对于z=z，zL，w=w，工作，英国广播公司t（φ（z，·），z | w）-学士学位t（φ（z，·），z | w）= 作品（1）。这意味着√n（A（b~n，bSb）- A（b~n，bS））-√n（A（，bSb）- A（φ，bS））=oP（1）。因此√n（A（b~n，bSb）-A（b~n，bS））在方差算子下弱收敛于均值为零的高斯过程Ohm. 我们的结论是√n（b~nb-b~n）弱收敛于方差算子为∑>V∑的平均零高斯过程-1∑>VOhmV∑[∑>V∑]-1使用Slutsky定理和引理B.7和B.8。根据定理4.2（由于本节前面的引理，我们可以应用该定理），√n（b）-ν）收敛到相同的高斯过程，从而产生结果。2C附录C：假设（C）（ii）引理C.1的原始条件假设S（·z | w）是两次可微的，并且在[0，\'T]上有界的一阶和二阶导数，那么假设（C）（ii）成立。证据

因为S（·z | w）在[0，\'T]上是两次可微的，所以A（·S）在其第一个参数中是两次可微的。此外，它的二阶导数在F‘U，’tz上有界，因为S（·，z | w）在[0，’T]上有界二阶导数。通过泰勒展开，我们得到存在一个常数>0，对于F\'U，\'TZ，我们有ka（θ，S）- A（~n，S）- Γ（Γ，S）（θ）- ~n）k≤ Hkθ- 作为A（Γ，S）=0，我们得到kΓ（Γ，S）（θ）- ~n）k≤ kA（θ，S）k+Hkθ- 因为S（·z | w）在[0，\'T]上有界导数，所以Γ（Γ，S）在[0，\'U]上有界，因此存在常数H>0，使得hkθ- ~nk- Hkθ- ~nk≤ kA（θ，S）k.通过选择足够小的ν>0，我们得到了，如果kθ- ~nk≤ ν、 Hkθ- ~nk≤ kA（θ，S）k.具有右截尾持续时间结果的非参数工具回归*贾德。beyhum@tse-尤金·皮埃尔·弗洛伦斯神父*让·皮埃尔。florens@tse-尤英格里德·范·凯勒格姆神父。vankeilegom@kuleuven.beNovember23、2020年代补充在线材料。1反例下面是一个反例，表明论文（3.3）中的外部设置不清晰。假设Z和W是二进制的，其中P（Z=1 | W=0）=1/2，P（Z=1 | W=1）=3/4。回归函数的定义为|（u）=u和|（u）=u/2。u的条件分布是这样的，p（u≥ u | Z=0，W=0）=e-UP（U）≥ u | Z=1，W=0）=e-UP（U）≥ u | Z=0，W=1）=e-UP（U）≥ u | Z=1，W=1）=e-u、 请注意~ Exp（1）与W无关，因为Exp（U≥ u | W=0）=P（u≥ u | Z=0，W=0）P（Z=0 | W=0）+P（u≥ u | Z=1，W=0）P（Z=1 | W=0）=e-u+e-u=e-UP（U）≥ u | W=1）=P（u≥ u | Z=0，W=1）P（Z=0 | W=1）+P（u≥ u | Z=1，W=0）P（Z=1 | W=1）=e-u+e-u=e-U*图卢兹首都大学图卢兹经济学院。感谢欧洲研究理事会（2014-2019/ERC第337665号拨款协议）的财政支持。§古鲁汶奥斯塔。

感谢欧洲研究理事会（2016-2021，Horizon2020/ERC赠款协议第694409号）的财政支持。修理你∈ R+。让我们来证明（ν（u），ν（u））>是系统pl`=1S（θ`，z`|wk）=e的唯一解-ufor k=1，k、 如果θ∈ R+是方程组的解，那么lx`=1S（θ`，z`|0）=P（U≥ θ| Z=0，W=0）P（Z=0 | W=0）+PU≥ θ| Z=1，W=0P（Z=1 | W=0）=e-θ+e-2θ，它还认为lx`=1S（θ`，z`|1）=P（U≥ θ| Z=0，W=1）P（Z=0 | W=1）+PU≥ θ| Z=1，W=1P（Z=1 | W=1）=e-θ+e-2θ.因此，以下方程组成立-θ+e-2θ=e-u（S.1）e-θ+e-2θ=e-u、 （S.2）从（S.2）中减去（1/4）×（S.1），我们得到-2θ=e-因此θ=u/2，而θ=u。接下来，让我们假设c=1。取u=3/2和θ*= (1/100, 2)>. 我们将显示min（R0，（θ*), R1，（θ）*)) ≥ 我们有（θ）*)= P（U）≥ θ*∧ 1 | Z=0，W=0）P（Z=0 | W=0）+P（U/2≥ θ*∧ 1 | Z=1，W=0）P（Z=1 | W=0）- E-=E-+ P（U/2）≥ 1 | Z=1，W=0）- E-=E-+E-2.- E-> 0.同样地，它保持r1，（θ*)= P（U）≥ θ*∧ 1 | Z=0，W=1）P（Z=0 | W=1）+P（U/2≥ θ*∧ 1 | Z=1，W=1）P（Z=1 | W=1）- E-=E-+ P（U/2）≥ 1 | Z=1，W=0）- E-=E-+E-2.- E-3/2> 0.所以θ*∈nθ∈ RL+maxL`=1θ`≥ c、 minKk=1Rk，u（θ）≥ 0o。现在让我们展示θ*不属于（~n（3/2）、~n（3/2））>的识别集。如果是这样的话，根据引理3.1，将存在∈ L↑（Z，U）使Rk，u（（)аz`（u））`=1）k=1=0和（)аz`（u））`=1∈ [0，c）适用于所有u∈ R+s.t.（k z`（u））`=1∈ [0，c）水貂=1Rk，u（（)~nz`（u））`=1）≥ 0和（)~nz`（u））`=1/∈ [0，c）适用于所有u∈ R+s.t.（k z`（u））`=1/∈ [0，c）和（kа（3/2），аа（3/2））>=θ*. 因为（ν（u），ν（u））>是Rk的唯一解，对于u，u（θ）Kk=1=0∈ [0,1]，аz（·）将与[0,1]上的аz（·）重合，因为z=0,1。

然后，因为（·）急剧增加，我们会有（3/2）>（1/2）=（1/2）=1/2>θ*, 这是一个传统。S.2模拟使用局部多项式平滑，我们考虑第5.1节的数据生成过程。我们模拟了10000次观测。等于10，即C的支持度的上界。我们在0.01和1.2之间的网格上计算步长为0.01的u的估计量。这一次，一次局部多项式用于平滑生存函数的Kaplan-Meier估计。对于正常密度，使用通常的经验法则来计算带宽。所有结果都是500次复制的平均值。图S.1显示了A（b~n，bS）（u）关于这些问题。A（b~n，bS）（u）在u达到0.9后，Start会略微增加。根据第4.6节的经验法则，我们使用第4节中u低于0.9的估算结果。图S.2显示了估算的回归函数b（·）。在同一张图上，我们还报告了通过反演Nelson-Aalen估计值得出的累积危险度为T（Z=0）的朴素估计值。真正的回归函数被省略了，因为它与我们对图的估计不可区分（除了非常低的u值）。我们还介绍了使用第4.4节中描述的方法，使用200个自举绘图计算的95%置信区间b~n（u）。图S.3包含了这些置信区间的覆盖范围。图S.4和图S.5报告了相同的b~n（·）信息。图S.6和S.7显示了估计的分位数治疗效果和相应的置信区间。分位数1级- E-铀含量从0到0.6。即使u值很低，置信区间的覆盖率也几乎为0.95（bД和bД的u=0.01除外）。