右删失时长的非参数工具回归

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收藏 2022-04-24

英文标题：
《Nonparametric instrumental regression with right censored duration
  outcomes》
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作者：
Jad Beyhum (KU Leuven), Jean-Pierre FLorens (Toulouse School of
  Economics), Ingrid Van Keilegom (KU Leuven)
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最新提交年份：
2020
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分类信息：

一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Statistics Theory 统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Economics 经济学
二级分类：Econometrics 计量经济学
分类描述：Econometric Theory, Micro-Econometrics, Macro-Econometrics, Empirical Content of Economic Relations discovered via New Methods, Methodological Aspects of the Application of Statistical Inference to Economic Data.
计量经济学理论，微观计量经济学，宏观计量经济学，通过新方法发现的经济关系的实证内容，统计推论应用于经济数据的方法论方面。
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一级分类：Quantitative Biology 数量生物学
二级分类：Quantitative Methods 定量方法
分类描述：All experimental, numerical, statistical and mathematical contributions of value to biology
对生物学价值的所有实验、数值、统计和数学贡献
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一级分类：Statistics 统计学
二级分类：Statistics Theory 统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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英文摘要：
  This paper analyzes the effect of a discrete treatment Z on a duration T. The treatment is not randomly assigned. The confounding issue is treated using a discrete instrumental variable explaining the treatment and independent of the error term of the model. Our framework is nonparametric and allows for random right censoring. This specification generates a nonlinear inverse problem and the average treatment effect is derived from its solution. We provide local and global identification properties that rely on a nonlinear system of equations. We propose an estimation procedure to solve this system and derive rates of convergence and conditions under which the estimator is asymptotically normal. When censoring makes identification fail, we develop partial identification results. Our estimators exhibit good finite sample properties in simulations. We also apply our methodology to the Illinois Reemployment Bonus Experiment.
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Nonparametric_instrumental_regression_with_right_censored_duration_outcomes.pdf
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mingdashike22

2022-4-24 14:44:28

具有右截尾持续时间结果的非参数工具回归*贾德。beyhum@kuleuven.beJean-皮埃尔·弗洛伦斯和让·皮埃尔。florens@tse-euIngrid Van Keilegom神父。vankeilegom@kuleuven.beNovember本文分析了离散治疗Z对持续时间T的影响。治疗不是随机分配的。混淆问题使用一个解释处理的离散仪器变量来处理，且与模型的误差项无关。我们的框架是非参数的，允许随机右删失。该规范产生了一个非线性反问题，平均处理效果来自其解。我们提供了依赖于非线性方程组的局部和全局识别属性。我们提出了一种求解该系统的估计方法，并推导了收敛速度和估计量渐近正态的条件。当审查导致识别失败时，我们会得出部分识别结果。我们的估计器在模拟中表现出良好的有限样本特性。我们还将我们的方法应用于伊利诺伊州再就业BonuseExperiment。关键词：持续时间模型；内生性；工具变量；不可分离性；部分识别。*古鲁汶奥斯塔。这项工作是在图卢兹经济学院（Universit’eToulose Capitole）进行的。感谢欧洲研究理事会（2014-2019/ERC赠款协议第337665号）的财政支持。§图卢兹国会大学图卢兹经济学院。Jean-Pierre Florens承认法国国家研究局（ANR）在未来投资项目（Avenir投资公司，ANR-17-EURE-0010）下提供的资金。¨古鲁汶奥斯塔。欧洲研究理事会的财政支持（2016-2021年，Horizon2020/ERC授权协议编号：。

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大多数88

2022-4-24 14:44:34

谨此致谢。1导言本文的目的是分析当治疗结果是一个可能通过审查观察到的持续时间时的治疗模式。设Z为治疗水平，结果为持续时间T，取决于Z和随机元素U。如果治疗是随机分配的，则模型由T的条件分布形式化。然而，在许多情况下，Z的分配机制并不独立于U，因此条件分布将混合治疗和分配机制的影响。在计量经济学文献中，我们面临着一个常见的内生性问题，而不是特定于持续时间模型。本文的特点是引入了随机权限审查机制。审查持续时间仅适用于审查观察。我们使用一个工具变量W来解决内生性问题，该工具变量W独立于U，且充分依赖于给定U的Z。该模型是非参数且不可分离的。通过只考虑Z和W都是绝对且非动态的情况，问题得以简化。这避免了反演的不适定性和函数参数的正则性假设问题。在一些常见的完备性条件下（见Chernozhukov和Hansen（2005）和F`eve等人（2018）），我们在参数空间的子集中获得了T对Z的分位数回归函数的点识别，但在该集合之外，我们只能识别参数空间的区域。由于估计算子范围的限制，反问题解的这种非唯一性似乎是全新的。治疗对持续时间、存活概率和危险率的分位数的影响可通过分位数回归函数得出。

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kedemingshi

2022-4-24 14:44:40

由于我们做出了秩不变性假设（见Chernozhukov和Hansen（2005）和W–uthrich（2020）），确定的治疗效果涉及整个人群，而不仅仅是编者的子集。我们提出了一种通过求解非线性反问题来估计T对Z的分位数回归函数的策略（参见Dunker等人（2014）和Cazals等人（2016））。给出了估计量渐近正态的充分条件。给出了基于bootstrap方法的推理结果。我们的估计程序在模拟中表现出良好的有限样本特性。我们将我们的方法应用于伊利诺伊州再就业奖金实验数据。这项工作借鉴了非参数工具回归文献（Darolleset al.（2011）和Chernozhukov and Hansen（2005））。我们扩展了传统的框架，通过使用一个特定的条件矩方程来允许截尾，如果T的支持包含在Cgiven Z，W的支持中，则可以在随机右截尾下估计该条件矩方程。当最后一个条件失效时，回归函数仅被部分识别（Manski（1990）和Manski（2003））。如Andrews和Shi（2013）所述，识别集的特征是条件矩等式和不等式的混合。还要注意的是，工具变量并不是计量经济学中为解决非参数内生性问题而开发的唯一方法，例如，参见控制函数法（Neweyet al.（1999））或g演算（Imbens and Rubin（2015））。本文是关于审查下的项目评估的文献。一些论文引入了“匹配假设”（条件随机化），假设治疗的分配在条件上独立于给定一组观察变量的结果（见Van den Berg et al.（2016，2010）和Sant\'Anna（2016））。

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nandehutu2022

2022-4-24 14:44:46

相比之下，Abbring和Van den Berg（2003年、2005年）指定了一个结构模型，该模型涉及可分性假设和解释治疗内生性的未观察到的异质性术语。与本文相反，他们的方法要求计量经济学家拥有两个影响持续时间和结果的外生连续回归。与我们的研究类似，其他研究也引入了一个工具变量来解决内生性问题。Chernozhukov等人（2015）考虑了一个半参数框架，在此基础上，与本文的情况相比，该处理是连续的，并且观察到截留持续时间。他们提出了一个估计器，并给出了该估计器持续估计整个人口的分位数回归函数的条件。生物统计学领域的研究（Tchetgen等人（2015）、Li等人（2015）和Chan（2016））研究了带有工具变量的加性风险模型。在我们的框架中，不需要这样的附加消耗。一些论文关注的是治疗和仪器变量都是二元的情况。Frandsen（2015年）、Sant’Anna（2016年）、Blanco等人（2019年）提出了一个单调假设，表明没有定义（见Angrist等人（1996年））。与我们不同的是，这些文章对本地平均处理对编者群体的影响感兴趣，由于这种单调性假设，他们能够对这些影响进行估计（见W–uthrich（2020））。相反，通过秩不变性假设，我们可以直接估计整个人口的分位数回归函数。我们的论文与Frandsen（2015年）和Sant’Anna（2016年）之间的另一个不同之处在于，后者的论文先估计了反事实累积分布函数，然后再将其倒置，以获得量化处理效果的估计值。

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大多数88

2022-4-24 14:44:52

这个反转过程需要我们不做的规律性假设。与我们的论文不同，Frandsen（2015）观察到了审查持续时间。Blancoet al。（2019）考虑相同的二进制设置，但允许选择和内源性删失。利用主分层，它确定了分位数处理效果的界限。最后，在二元处理和二元工具变量设置中，Bijwaard和Ridder（2005）研究了一个半参数可分离模型，其中控制组完全符合。本文的组织结构如下。第2节研究了模型规格。识别结果见第3节。第四节介绍了估计理论。第5节描述了我们的模拟和经验应用。所有的技术细节都被推迟到附录A、B和C。我们在第6.2节中得出结论：模型让我们考虑以下模型：t=（z，u）＝z z（u），（2.1）其中T∈ R+，Z是一个带有支持{Z，…，zL}的范畴处理，U具有单位指数分布，而φ属于L↑（Z，U），从{Z，…，zL}×R+到R+的映射集，关于（Z，U）的分布是平方可积的，并且在第二个参数中严格递增和可微。变量W是一个支持{W，…，wK}的范畴工具变量，它独立于U。我们假设U（Z，W）的分布是连续的。请注意，我们的模型与计量经济学中通常的不可分离IV模型相同，只是U遵循指数分布而不是均匀分布，这在持续时间模型中更为自然（持续时间的累积风险遵循这种分布）。U分布的这种标准化对于获得识别是必要的。

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能者818

2022-4-24 14:44:58

请注意，由于U在[0,1]上的分布不均匀，因此对а的了解等同于对T的反事实分位数函数的了解以及两种情况的不同。特别是对于z∈ {z，…，zL}andu∈ R+，νz（u）是1-E-u-治疗水平z持续时间的潜在结果分位数，即μz（u）。变量U既代表事前未观察到的异质性，即在持续期之前个体之间的差异，也代表持续期期间发生的事后电击。持续时间被随机变量C右删失，支持度为R+，我们观察到Y=min（T，C），Z，W和δ=I（T≤ C）。我们假设C独立于给定的T（Z，W）。主要关注的对象是回归函数。许多感兴趣的量可以从ψ中得到。首先，对于U=U的个体，从ZT到ZF治疗变化的分位数治疗效果（QTE）∈ R+，ν（z，u）- ~n（z，u）。请注意，这是1的QT-E-u分位数。然后是治疗效果从zto z，e[~n（z，U）变化的平均治疗效果- ν（z，U）]。还考虑生存概率p（*（z，u））≥ t）和危险率P（φ（z，U）≤（t）t/P（φ（z，U）≥ t）在t∈ R+表示Z=Z。为了进一步说明其相关性，让我们提供两种不同的特征：一种是T的条件生存函数，另一种是T的条件风险率。首先，由于美国的排除限制⊥⊥ 对于U具有指数分布这一事实，（ηz`（U））L`=1是θ=（θ`）L`=1的下列方程组的解∈ RL:LX`=1S（θ`，z`|wk）=e-ufor k=1，K、 u∈ R+，（2.2），其中S（t，z | w）=P（t≥ t、 Z=Z | W=W）。

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能者818

2022-4-24 14:45:06

实际上，LX`=1S（~nz`（u），z`|wk）=LX`=1P（T）≥ ~nz`（u），z=z`|W=wk）=LX`=1P（~nz`（u）≥ ~nz`（u），z=z`|W=wk=LX`=1P（u）≥ u、 Z=Z`|W=wk=P（u）≥ u | W=wk=e-u、从现在起，我们假设S在其第一个参数中是可区分的。关于第二个特征，在下一个引理中，我们用条件危害函数重新表示我们的模型。后者在持续时间模型中更为常见。引理2.1假设T=~n（Z，U），U和W是独立的，U~ Exp（1），并且存在给定z=z，w=w的T的密度f（·| z，w）。那么，LX`=1Z|z`（u）h（s|z`，w）p（z`|T≥ s、 w）ds=u，其中h（t | z，w）=f（t | z，w）/s（t | z，w）是给定的t的危险函数z=z，w=w（s是相应的生存函数），p（z | t）≥ t、 w）=P（Z=Z | t≥ t、 W=W）。附录A给出了证明。为了得出识别结果，我们使用了表征（2.2）。3识别3。1精确识别与部分识别在本节中，为了简单起见，我们假设给定Z=Z，W=W的C分布的支撑（可能是有限的）上界不依赖于Z∈{z，…，zL}和w∈ {w，…，wK}我们用c来表示这个上界。例如，当c和（T，Z，w）是独立的时，就会出现这种情况。在我们的经验应用中，所有大于26的持续时间都会被审查，而其他的则不会。由于审查，S只在[0，c]×{z，…，zL}×{w，…，wK}上识别。我们介绍了以下引理，该引理在可观测方面刻画了φ。引理3.1对于k=1，K、设Rk，u（θ）=PL`=1S（θ）`∧ c、 z`| wk）- E-u、以下结论：（i）如果（φ（z`，u））L`=1∈ [0，c）L，然后（φ（z`，u））L`=1∈nθ∈ [0，c）LRk，u（θ）=0表示所有k=1，击倒取胜（ii）如果（φ（z`，u））L`=1/∈ [0，c）L，然后（φ（z`，u））L`=1∈nθ∈ RL+Lmax`=1θ`≥ c、 Kmink=1Rk，u（θ）≥ 0o。证据第（i）部分已在上一节中证明，因此我们仅证明（ii）。

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大多数88

2022-4-24 14:45:13

我们知道pl`=1S（~n（z`，u），z`|wk）=e-u、注意，S（·，z | w）对于任何z=z`，zLandw=w，工作。因此，LX`=1S（~n（z`，u）∧ c、 z`| wk）≥LX`=1S（~n（z`，u），z`|wk）=e-u、我们利用引理3.1推导出引理中提到的两种不同情况下的识别结果。设u=arg min`∈{1，…，L}~n-1z`（c）（如果[0，c]中包含了对T的支持，那么we setu=∞). 在第3.2节中，我们讨论了[0，u]上的精确识别，∞) （如果u=∞), 仅部分识别了一部分。在第3.3节中，我们展示了如何使用引理3.1（ii）获得一个外部集，该外部集与识别的（z`（u））L`=1的集合相匹配。我们还将讨论为什么引理3.1（ii）中的集合不是一般意义上的（νz`（u））L`=1的识别集合。最后，第3.4节得到了一个比引理3.1（ii）在一个特殊情况下推导出的更小的外部集合（k z`（u））L`=1，它嵌套了我们的经验应用。3.2准确识别在本小节中，我们将讨论[0，u]上的识别↓, 从R+×{z，…，zL}×{w，…，wK}到R+的一组映射，它们在第一个参数中是连续且递减的。我们知道φ属于方程A（φ，S）=0，（3.1）的解集，其中A是来自L的算子↑（Z，U）×FZ，W↓从[0，u）到Rkuch的一组映射∈ L↑（Z，U），eS∈ FZ，W↓你呢∈ [0，u]、A（e~n，eS）（u）=LX`=1eS（e~nz`（u），z`|wk）- E-UKk=1。如果∈ FZ，W↓因此，在第一个论点中，对于所有的eа∈ L↑（Z，U），我们定义了Γ（eΓ，eS），A在点（eΓ，eS）的第一个参数中的FrΓechet导数。3.2.1局部识别在较弱的假设下，可以证明系统（2.2）在Γ的邻域中具有唯一的解决方案。这是本地识别结果。

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kedemingshi

2022-4-24 14:45:19

初始参数在点（φ，S）处的Fr’echet导数如下所示：Γ（Γ，S）（u）k`=-F~nz`（u），z`|wk.同样，设g（z | u，w）=P（z=z | u=u，w=w），并设g（u）是K×L矩阵，使得gk`（u）=g（z`|u，wk）。我们做出以下假设：（1）对于所有∈ R+，排名（G（u））≥ L.注意，这个假设相当于条件完整性条件：E（g（Z，U）| W=W，U=U）=0表示所有的W，U==> 对于所有的g:{z，…，zL}×R+7，g=0→ R.后一种假设（这意味着K≥ 五十），使我们能够显示模型的本地标识。定理3.1在假设（L）和假设（φz`（u））L`=1的情况下∈ [0，c）L，该模型是局部识别的，即- φ) ≡ 0表示~n∈ L↑（Z，U），然后≡ φ.证据WriteLX`=1（kz`（u）- ~nz`（u））f~nz`（u），z`|wk=LX`=1z`（u）- z`（u）|z`（u）g（u，z`|wk），（3.2）前提是z`（u）6=0，其中g（u，z`|wk）=z`（u）f~nz`（u），z`|wk. 作为g（u，z`|wk）=e-ug（z`|u，wk），当且仅当ifLX`=1z`（u）时，（3.2）等于零- ~nz`（u）~nz`（u）g（z`|u，wk）=0<=> G（u）~nz`（u）- ~nz`（u）~nz`（u）L`=1=0，因此根据假设（L）得出≡ φ. 2在我们的经验应用中，提供一些关于假设（L）的直觉是有用的。如果Z是一个二元治疗指示剂，W是一个二元仪器，那么矩阵G（u）对应于toG（u）=P（Z=0 | u=u，W=0）1- P（Z=0 | U=U，W=0）P（Z=0 |U=U，W=1）1- P（Z=0 | U=U，W=1）！。因此，假设（L）满足当且仅当且仅当所有U的ifP（Z=0 | U=U，W=0）6=P（Z=0 | U=U，W=1）∈ R+，即仪器改变任何U值的处理概率。这与Dunker等人（2014）中的示例1类似。3.2.2全局识别我们继续进行全局识别。目的是找到系统（2.2）具有独特解决方案的条件。我们的陈述借鉴了F`eve等人（2018）的附录A。

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mingdashike22

2022-4-24 14:45:25

考虑W上有条件的（u，z）的密度。该密度在一个函数的方向上受到扰动，并且扰动量的特征是参数u>0:gu，如果ν（z，u）+u（z，u），z | w.这里，f（t，z | w）=-滴滴涕（t，z | w）。我们做出以下假设：（G）IfREguρu（Z，U）|U=U，W=Wdu=0表示所有u，w，然后ρu≡ 0，对于任意函数ρu：{z，…，zL}×R+7→ R.假设（G）相当于Z的强条件完备性，假设U和W在Chernozhukov和Hansen（2005）中引入，并在F`eve等人（2018）中研究。在这个假设下，我们现在可以展示我们模型的全局识别。定理3.2在假设（G）下，φ在[0，u]上是全局识别的，在这个意义上，ifA（△φ，S）≡ A（~n，S）表示∈ L↑（Z，U），然后≡ φ.我们参考F`eve等人（2018年）的附录A，以在持续案例中证明这一结果。对离散情况的适应是即时的。3.3部分标准杆数在本节中，我们考虑u的点态识别。∈ [u，∞). 在这种情况下，由Lemma3。1，我们知道（ψz`（u））L`=1∈nθ∈ RL+Lmax`=1θ`≥ c、 Kmink=1Rk，u（θ）≥ 0o。（3.3）这是识别集的外部集，引理3.1（ii）因此构成部分识别结果。这套外套不锋利。第3.4节解释了如何在退化的特殊情况下获得更相似的外集，其中L=K=2，S（t，1 | 0）=0表示allt∈ R+。（3.3）不尖锐的事实并不是由于给定夫妇（z，w）的S（·z，w）为零的这种特殊情况∈ {z，…，zL}×{w，…，wK}。事实上，在一般设置中，对于z和w的所有值，S（·，z | w）都不是零，我们在补充材料反例中给出了（3.3）不是识别集的情况。

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可人4

2022-4-24 14:45:32

这个反例表明，（3.3）不是一个尖锐集的一个原因是，它没有考虑到φ的单调性和可微性约束。现在让我们讨论如何将这个外部集合计算为区间乘积的有限并集。我们考虑了L＝2的情形。在这种情况下，根据集合{θ的形状，集合可以采用以下四种形状∈ RL+|水貂=1，。。。，KPL`=1S（θ`，z`|wk）=e-u} 除了[0，c）×[0，c）-[0，\'\'θ]×[c，∞) ∪ [c，∞) ×[0，\'θ][c，∞) ×[0，\'θ][0，\'θ]×[c，∞)对于大约0≤θ,θ≤ c、有关图形说明，请参见图1。让我们解释一下如何获得图1。取θ∈ R+在[0，c]之外，因为S（·∧c、 z | w）在[c]上，∞), θ属于外集当且仅当（θ+（c- θ） I（θ>ccR+×c，∞) ∪ [c，∞) ×R+cc[0，\'θ]×c，∞) ∪ [c，∞) ×[0，°θ]cc[c，∞) ×[0，\'θ]cc[0，\'θ]×[c，∞)图1。四种不同情况下的外部集合（蓝色）和集合{θ∈RL+|水貂=1，。。。，KPL`=1S（θ`，z`|wk）=e-u} （红色）。c），θ+（c）- θ） I（θ>c））在外部集合中。因此，我们需要检查θ的值→ [0，c）×{c}上的minKk=1Rk，u（θ）∪ {c} ×[0，c）来计算外部集合。让我们从[0，c）×{c}开始(·∧c、 z | w）是递减且连续的，[0，c）×{c}中minKk=1Rk，u（θ）的对集（θ，c）≥ 0形成线段[0，\'θ]×cwhere\'θ∈ [0，c]或空集。首先，我们考虑后一组是NuntType的情况。因为S（·）∧ c、 z | w）在[c]上，∞), [0，\'θ]×[c，∞) 属于外部设置。如果集合为空，[0，c）×c，∞) 不属于外部设置。然后，在{c}×[0，c）上应用相同的过程。

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大多数88

2022-4-24 14:45:39

最后，如果minKk=1Rk，u（（c，c）>）≥ 0，[c，∞) ×[c，∞) 也适用于外部设置。接下来，我们通过一个递归参数，解释如果已知如何在维度L中找到识别集，如何在维度L中找到识别集-1.请注意，在L维中，我们可以从第一个坐标θ开始，并指定剩余L的识别集- 1坐标。如果选择的集合不是空的，则应通过让θ属于[c]来推断，∞). 该程序应通过在每一时间点上选择一个坐标重复L次，最后应选择所有获得集合的并集。3.4特殊情况我们用L=K=2和P（Z=Z | W=W）=0的特殊情况来结束对识别的讨论。我们有一个形式为（S（θ，z | w）=e的三角形方程组-uS（θ，z | w）+S（θ，z | w）=e-u、（3.4）这个特定的设置对应于我们的经验应用。在这种情况下，如果（φz`（u））L`=1/∈[0，c）Land系统（2.2）有一个唯一的解决方案（对于这样一个三角形系统，当S严格递减且连续时会发生），可以得到一个比nθ更小的外部集∈ RL+Lmax`=1θ`≥ c、 Kmink=1Rk，u（θ）≥ 0o。我们需要考虑两种情况。首先，如果φz（u）<c，那么θ=φz（u）是（3.4）的第一个方程的（唯一）解。然后，可以将该值插入第二个方程中，该方程只包含θ。如果这个方程有解，它应该是φz（u），我们完成了。如果没有解决方案，则识别集包含所有对（φz（u），θ）和θ≥ c、在第二种情况下φz（u）≥ c、然后，第一个方程没有解，我们需要解不等式组（S（c，z | w）≥ E-uS（c，z | w）+S（θ）∧ c、 z | w）≥ E-u、这将导致识别集[c，∞) ×[0，\'θ]，其中\'θ是θ的最大值∧ c、 z | w）≥ E-U- S（c，z | w）。

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nandehutu2022

2022-4-24 14:45:45

上述两种情况的图示见图2。请注意，θ可以等于in finity，这意味着图2第二部分中矩形的高度可以大于c.аz（u）ccIfаz（u）<ccаθcIfаz（u）≥ 图2。两种不同情况下的外部设置（蓝色）。根据方程组（2.2）中缺少哪些项，可以考虑其他特殊情况。然而，它们需要个案分析，我们在这里不再进一步阐述。4.估计。1估计过程，我们考虑I.I.D样本的大小n，{ Yi，Zi，Wi，δi} Ni＝1的估计。我们假设我们有一个估计值，可以满足以后指定的属性。第4.5节讨论了B的选择。让‘U’∞ 是我们希望估计的上限。让我们也“T”∞ 是max`=1的上界，。。。，L~n（z`，U）。设K是从[0，\'U]到Rk的映射集，F\'U，\'TZ={F:{z，…，zL}×[0，\'U]7→ [0，\'T]}。我们将做出假设，保证BS始终在[0，\'T]上估计S，并且系统（2.2）在F\'U，\'TZ中有唯一的解决方案。这意味着，我们在（k z`（u））L`=1的情况下是隐含的。我们引入了进一步的符号。为了你∈ [0，\'U]，设V（U）为正定义的K×K加权矩阵。对于K×K矩阵V和向量V∈ RK，我们定义kvk=√v> v和kvk\'v=√v> 那么，对于g来说∈ K、我们介绍了kgk=R’Ukg（u）kdu，KKKV=R’Ukg（u）kV（u）du。为了f∈ 我们使用kf k=supu∈[0，\'U]k（f（z`，U））L`=1k。当我们写一个随机过程R是OP（an）或OP（an）时，我们的意思是kRk=OP（an）或kRk=OP（an）。现在，让我们来定义估算值b~n∈ arg minθ∈F\'U，\'TZA（θ，bS）V.（4.1）4.2一致性我们引入以下假设：（V）对于∈ [0，\'\'U]，V（U）的特征值在U中从上到下一致有界。

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kedemingshi

2022-4-24 14:45:51

界限是严格的正常数。（C）（一）全体 > 存在ν>0，使得infθ∈F\'U，\'TZ:kθ-~nk≥νA（θ，S）五、≥ ;（ii）存在ν，c>0，使得对于任何θ∈ F\'U，\'tzkθ- ~nk≤ ν、 kθ- ~nk≤ ckA（θ，S）k；（iii）存在（rn）n，一个实值序列，使得rn→ 0和supt∈[0，\'U]，z=z，。。。，zL，w=w，。。。，工作bS（t，z | w）- S（t，z | w）= OP（注册护士）。假设C（i）和C（ii）是与目标函数a的形状有关的条件，它们确保[0，\'\'U]中方程组（2.2）有唯一的解，因此，程序（4.1）有唯一的最小值，ifbS充分估计了S。我们可以建立C（ii）的原始条件，包括假设S关于其第一个参数的两个初始导数一致有界于[0，\'T]（见附录C中的LemmaC.1）。假设（C）（iii）意味着选择的“T”低于所有z上C的支撑上界的最小值∈ {z，…，zL}和w∈ {w，…，wK}这样P（Z=Z | w=w）>0。我们证明了下面的定理。证明见附录A。定理4.1在假设（V）和（C）下，我们有kb~n- ~nk=OP（rn）。该定理表明，bа的收敛速度与bаinsup范数的收敛速度相同。

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大多数88

2022-4-24 14:47:27

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