让我们通过观众中每对信念的绝对差之和π（u）=n来衡量这种极化-1Xi=1nXj=i+1 |η（u，βi）- η（u，βj）|（6）对于任何u∈ [0,1].提议5。在Sender的最优信息策略下，导致提案实施的信号也会在选民之间产生最大的两极分化。证据参见附录E。为了建立这种情况的直觉，莱特首先指出，在我们的模型中，信念极化和行动极化密切相关。投票支持提案实施的代理人向上扭曲了他们的信念，而投票支持现状的代理人向下扭曲了他们的信念。因此，我们可以看到，对于行动极化最大的一些信念，应该附加最大信念极化，也就是说，对于（n+1）/2个代理单向投票，其余（n+1）/2个代理单向投票的一些信念- 1） /2正在以另一种方式投票。任何情况都是如此∈ [uW（βm-1） ，uW（βm+1）[由于真诚的投票，选举结果总是与后验信念下的中位数投票人的投票一致。因此，发送者的间接效用为v（u）=1u≥ uW（βm）a，适用于任何u∈ [0,1]. 在{0，uW（βm）}上支持发送方的最佳信息策略∈ ]0,1/2[，在{u}上∈ ]uW（βm），1[.导致提案实施的后验uW（βm）属于区间[uW（βm-1） ，uW（βm+1）[因此，在任何偏好分布的极化最大化的信念附近。当这种分布围绕中间选民对称时，极化正好在该区间的中点处最大化，即uW（βm）。我们将在下面第5.3节中用3个vot设置来说明命题5。

下面是uW（β）uW（β）uW（β）η（uW（β））η（uW（β））η（uW（β））oooouη（u）图6：选民对ρ=2、β=1/4、β=1/2和β=3/4的信念扭曲。极化等于π（u）=2（η（u，β）- η（u，β），在uW（β）=1/2时最大。在不同的贝叶斯后验概率uW（βi）下，一厢情愿的瘦国王会使选民从不赞成转变为赞成。发送方的最佳信息策略τ是使中位数选民投票赞成的概率最大化的策略。也就是说，supp（τ）={0，uW（βm）}和uW（βm）=1/2是由概率τ=uW（βm）/um诱导的∈ ]0，uW（β）[和supp（τ）={u}∈ ]uW（β），1[。让我们现在转向极化。首先，在第5.3节中很容易看到π（u）=2η（u，β）- η（u，β）×对于任何u∈ [0,1]，因为到中值置信度的距离加起来等于η（u，β）- η(u,β).因此，有必要检查η（u，β）的位置- η（u，β）最大化。很自然，当发送方诱导的后验信念介于uW（β）和uW（β）之间时，极化最大化。特别是，在后验信度uW（β）=1/2时，它正好最大化，这正是后验信度发送者在其最优策略下获得提案批准的诱因。命题5表明，当选民的党派偏好在中位数周围对称分布时，本例中形成的直觉通常是有效的。换言之，理性的发送者试图最大化批准的可能性，作为一种外部性，会在心怀希望的选民中引发最大的信仰两极分化。

这一结果不同于研究信念可能异质性的文献，这是由于有意识地试图说服他人，而说服往往侧重于信息获取的差异所引起的两极分化。我们的模型为极化的上升提供了另一种机制，这种机制基于非自愿的信念：当发送者的信息受到有动机的解释时，发送者可以非自愿地诱导极化，而当发送者的策略涉及以中间偏好为目标的代理时，这种极化可能不会特别大。6结论在本论文中，我们研究了在一个有愿望的接受者在场时的最佳说服。通过将一厢情愿建模为一个最佳权衡预期效用收益和扭曲信念成本的过程，我们描述了虚假信念和贝叶斯信念之间的对应关系，强调了这种信念形成过程所需的特殊性。特别是，我们表明，一厢情愿会影响行为，导致一些行为受到青睐，因为它们是在更大的信念基础上采取的。这对信息的战略设计具有重要意义，因为它在偏好和信息决定行为的方式上增加了一些细微差别。具体地说，我们认为，在一厢情愿的情况下，当说服旨在诱导有风险但可能产生巨大回报的行为时，说服会更有效，而当说服旨在诱导更谨慎的行为时，说服会更有效。我们使用这个模型来说明为什么信息披露在诱导预防性健康行为方面似乎不如预期有效，而在诱导可疑的金融投资方面却比预期更有效。

一厢情愿的想法为偏好提供了一条渠道，让人们可以干预心理形成，这就提出了这样一个问题：在一个群体中，我们可以观察到什么样的信念两极分化？在这个群体中，代理人可以获得相同的信息，但他们的偏好不同。我们在一个应用程序中表明，对提案的批准感兴趣的信息设计师将以These Arieli和Babichenko（2019）为最佳目标，对多个接收者的私人说服进行一般性考虑，投票申请见Chan等人（2019）。中位数选民在选择信号结构时，作为一种外部性，每当提案获得批准时，都会在选民中引起最大程度的两极分化。一些研究已经调查了一厢情愿对战略互动结果的影响（参见，Yildiz，2007；Banerjee等人，2020；Heller and Winter，2020）。进一步研究个人偏好可能影响信息处理的方式，以及这些方式如何影响非战略和战略环境中的社会现象，如信念两极分化，似乎是未来研究的方向。参考文献Abeler，J.，Becker，A.，和Falk，A.（2014）。关于虚假成本的代表性证据。《公共经济学杂志》，113:96-104。Abeler，J.，Nosenzo，D.，和Raymond，C.（2019年）。喜欢讲真话。《计量经济学》，87（4）：1115-1153。阿克洛夫，G.A.和狄更斯，W.T.（1982）。认知失调的经济后果。《美国经济评论》，72（3）：307-319。6 Lonso，R.和C–mara，O.（2016）。说服选民。《美国经济评论》，106（11）：3590-3605。426Arieli，I.和Babichenko，Y.（2019年）。私人贝叶斯说服。《经济理论杂志》，182:185-217。巴巴德，E.（1995年）。准确的知识能减少选民对选举结果的一厢情愿吗？《心理学杂志》，129（3）：285-300.426Babad，E。

(1997). 选民的一厢情愿：动机和认知影响。《国际舆论研究杂志》，9（2）：105-125。巴巴德，E.，M.希尔和O\'Driscoll，M.（1992年）。影响一厢情愿和选举结果预测的因素。《基础与应用社会心理学》，13（4）：461-476。巴巴德，E.和凯茨，Y.（1991）。一厢情愿的想法。应用社会心理学杂志，21（23）：1921-1938。S.班纳吉、J.戴维斯和N.冈迪（202 0）。在协调游戏中有动机的信念。SSRN电子杂志。30Bénabou，R.（2015年）。动机信念的经济学。《政治经济评论》，125（5）：66 5–685。6Bénabou，R.和Tirole，J.（2002年）。自信和个人动机。《经济学季刊》，117（3）：871–915.5，6Bénabou，R.和Tirole，J.（2004）。意志力和个人规则。《政治经济学杂志》，112（4）：848-886。Bénabou，R.和Tirole，J.（2006年）。对公正世界和再分配政治的信仰。《经济学季刊》，121（2）：699-746。6Bénabou，R.和Tirole，J.（2011年）。身份、动机和禁忌：作为资产的信仰*。《经济学季刊》，126（2）：805-855。6Bénabou，R.和Tirole，J.（2016）。注意经济学：信仰的生产、消费和价值。《经济展望杂志》，30（3）：141–164.2，6本杰明，D.，博多克里德，A.，和拉宾，M.（2019）。基本利率忽略：基础和影响s.Benjamin，D.J.（2019）。概率推理错误和判断偏差。《行为经济学手册：应用与基础2》，第二卷，第二章，第69-186页。Elsevier B.V.2，5 Bergemann，D.和Morri s，s.（2016）。信息设计、贝叶斯说服和贝叶斯相关均衡。《美国经济评论》，106（5）：586-591。伯格曼D.和莫里斯S.（2019年）。

信息设计：一个统一的视角。经济文献杂志，57（1）：44-95。Beshears，J.，Choi，J.J.，Laibso n，D.，和Madrian，B.C.（2018）。行为家庭金融学。《行为经济学手册：应用和基础1》，第3章，第177-276页。Elsevier B.V.Bracha，A.和Brown，D.J.（2012年）。情感决策：乐观主义理论。《游戏与经济行为》，75（1）：67–80.5，9 Broniatowski，M.和Keziou，A.（2006）。符号测度集上φ-发散的最小化。匈牙利数学科学研究院，43（4）：403–442。Brunnermeier，M.K.和Parker，J.A.（2005）。最佳预期。《美国经济评论》，95（4）：1092-1118.5，6 Caplin，A.and Leahy，J.（2001）。心理预期效用理论与反保守情绪。《经济学季刊》，116（1）：55-79。Caplin，A.和Leahy，J.（2019年）。一厢情愿的瘦国王。NBER工作文件系列。Carlson，R.W.，Maréchal，M.A.，Oud，B.，Fehr，E.和Crockett，M.J.（2020年）。激励我记住自己的决定。《自然通讯》，11（1）：2100。Chan，J.，Gupta，S.，Li，F.，和Wang，Y.（2019年）。关键的说服力。《经济学学报》，180:178-202。钱德拉，A.，汉德尔，B.，和施瓦茨坦，J.（2019）。行为经济学和医疗保健市场。《行为经济学手册：应用与发现》第2卷第6章，第459-502页，编辑：伯恩海姆，B.D.，德拉维尼亚，S.和莱布森，D。Elsevier B.V.Chew，S.H.，Huang，W.，和Zhao，X.（2020年）。有动机的错误记忆。《政治经济杂志》，128（10）：3913-3939。库茨，A.（2019年）。测试信念偏差模型：一个实验。《游戏与经济行为》，113:549–565.2，6de Clippel，G.和Zhang，X.（2020）。非贝叶斯预测。工作文件。5Dizdar，D.和Kováˇc，E.（2020年）。

线性预测问题强对偶性的一个简单证明。《游戏与经济行为》，122:407–412。2.4Dupas，P.（2011年）。发展中国家的健康行为。《经济学年鉴》，3（1）：425–44 9。3Dupuis，P.和Ellis，R.S.（1997）。大偏差理论的一种收敛方法。威利。38Dworczak，P.和Martini，G.（2019年）。优化说服的简单经济学。政治经济学杂志，127（5）：1993-2048。M.伊根、G.马特沃斯和A.塞鲁（20-19）。金融顾问不当行为市场。政治经济学杂志，127（1）：233-29 5。Eliaz，K.，Spiegler，R.，和Thysen，H.C.（2021a）。用内在的错误信念说服他人。《欧洲经济评论》，134:103712。Eliaz，K.，Spiegler，R.，和Thysen，H.C.（2021b）。战略解读。《经济理论杂志》，192:105192。Engelman n，J.，Lebreton，M.，Schwardmann，P.，van der Weele，J.J.，和Chang，L.-A.（2019年）。预期的焦虑和一厢情愿。SSRN Electronic Journal.2，6Ettinger，D.和Jehiel，P.（2010年）。欺骗理论。《美国经济杂志：微观经济学》，2（1）：1-20。埃克斯利，C.a和凯斯勒，J.（2019）。动机错误。NBER工作文件系列s.12Eyster，E.（2019年）。战略推理中的错误。《Beh avioral Economics手册：应用和基础2》第2卷第3章第187-259页。Elsevier B.V.Ganguly，A.和Tasoff，J.（2017）。幻想与恐惧：对信息的需求和未来的消费效用。管理科学，63（12）：4037-4060。Gentzkow，M.和Kamenica，E.（201 4）。昂贵的说服。《美国经济评论：论文与论文集》，104（5）：457-462。18Gentzkow，M.和Kamenica，E.（2016年）。罗斯柴尔德·斯蒂格利茨的贝叶斯说服方法。《美国经济评论：论文与论文集》，106（5）：597-601。24 R.戈尔曼、D.哈格曼和G.洛文斯坦（2017年）。避免信息泄露。经济文献杂志，55（1）：96-135。6Golman，R.，Loewenstein，G.，Moene，K.O.，和Zarri，L.（2016）。这种偏好有助于协调。《经济展望》杂志，30（3）：165-188。6 Hagenbach，J.和Koessler，F.（2020年）。粗俗而有见地的低俗言辞。游戏与经济行为，124:105-121。汉森，L.P.和萨金特，T.J.（2008）。健壮性。普林斯顿大学出版社。9Heg-er，S。A.和帕帕·乔治，N.W.（2018）。我们应该完全开一家餐厅：乐观主义和过度自信如何影响信念。经济心理学杂志，67（7月）：177-190。Y.海勒和E.温特（2020年）。有偏见的信念平衡。《美国经济杂志：微观经济学》，12（2）：1-40。伊万诺夫，M.（2020年）。贝叶斯说服机制中的最优单调信号。经济理论。第24页，第25页（2020年）。基于回报的信念扭曲。《经济杂志》，130（629）：1416-1444。卡米尼卡，E.（2019年）。贝叶斯说服和信息设计。经济学年鉴，11:249-272。Kamenica，E.和Gentzkow，M.（2011）。贝叶斯说服。《美国经济评论》，101（6）：2590-2615。5克莱因

经济文献杂志，55（1）：96-135。6Golman，R.，Loewenstein，G.，Moene，K.O.，和Zarri，L.（2016）。这种偏好有助于协调。《经济展望》杂志，30（3）：165-188。6 Hagenbach，J.和Koessler，F.（2020年）。粗俗而有见地的低俗言辞。游戏与经济行为，124:105-121。汉森，L.P.和萨金特，T.J.（2008）。健壮性。普林斯顿大学出版社。9Heg-er，S。A.和帕帕·乔治，N.W.（2018）。我们应该完全开一家餐厅：乐观主义和过度自信如何影响信念。经济心理学杂志，67（7月）：177-190。Y.海勒和E.温特（2020年）。有偏见的信念平衡。《美国经济杂志：微观经济学》，12（2）：1-40。伊万诺夫，M.（2020年）。贝叶斯说服机制中的最优单调信号。经济理论。第24页，第25页（2020年）。基于回报的信念扭曲。《经济杂志》，130（629）：1416-1444。卡米尼卡，E.（2019年）。贝叶斯说服和信息设计。经济学年鉴，11:249-272。Kamenica，E.和Gentzkow，M.（2011）。贝叶斯说服。《美国经济评论》，101（6）：2590-2615。莱纳，A.，摩尔多瓦，B.，和斯特拉克，P.（2021年）。极限点和多数：经济应用。《计量经济学》，89（4）：1557-1593。24Kolotilin，A.（2018）。最优信息披露：一种线性规划方法。理论经济学，13（2）：6 07–635。Kremer，M.，Rao，G.，和Schilb ach，F.（2019年）。行为发展经济学。InBernheim，B.D.，DellaVigna，S.，和Laibson，D.，编辑，《行为经济学手册：应用和基础2》，第5章，第345-458页。Elsevier B.V.Krizan，Z.和Windschitl，P.D.（2009）。憧憬未来：欲望是否会影响乐观？《社会与人格心理学指南针》，3（3）：227-243。昆达，Z.（1987）。动机推理：自我服务的产生和因果理论的评价。

《个性与社会心理学杂志》，53（4）：636-647.2，Z昆达6号（1990年）。有动机的推理。《心理快报》，108（3）：480-498.2，6Le Yaouanq，Y.（2021年）。投票模式中的动机认知。工作文件。4Lerman，C.，Hughes，C.，Lemon，S.J.，Main，D.，Snyder，C.，Durham，C.，Narod，S.，andLynch，H.T.（1998）。你不知道的事情可能会伤害你：拒绝基因检测的BRCA1和BRCA2相关家庭成员的不良心理影响。临床肿瘤学杂志，16（5）：1650-1654。Levy，G.，Moreno de Barreda，I.，和Razin，R.（2018年）。说服与忽视。工作文件。5利普诺夫斯基，E.，马蒂维特，L.，和魏，D.（2020年）。注意力管理。《美国经济评论：洞察》，2（1）：17-32。19洛文斯坦G.（1987年）。预期和延迟购买的估价。《经济日报》，97（387）：666-684。Mayraz，G.（2011）。一厢情愿的墨迹。SSRN电子杂志。2Mijovi\'c-Prelec，D.和Prelec，D.（2010年）。自我欺骗作为自我标志：一个模型和实验证据。英国皇家学会哲学学报B：生物科学，365（1538）：227-240。穆莱纳坦，S.，诺思，M.，和S choa r，A.（201 2）。金融咨询市场：一项审计研究。技术报告，国家经济研究局，马萨诸塞州剑桥。Mullainathan，S.，Schwartzstein，J.，和Shleifer，A.（2008）。粗俗的思考和说服*。《经济学季刊》，123（2）：577-619。Oster，E.，Shoulson，I.，和Dorsey，E.R.（2013）。最佳预期和医学检测：来自亨廷顿病的证据。《美国经济评论》，103（2）：804-830。巴尼克，M.J.（1993）。凸分析基础。多德雷赫特的斯普林格·尼思·埃尔兰。索塞特，C.和维尔瓦尔，M.C.（2019年）。在独裁者游戏中激发记忆。游戏与经济行为，117:25 0–275。施瓦德曼，P.（2019）。

积极的健康风险否认和预防性健康护理投资。健康经济学杂志，65:78-92。3Strzalecki，T.（2011）。乘数偏好的公理基础。《计量经济学》，79（1）：47-73。9Thaler，M.（2020年）。“假新闻”效应：通过对新闻的信任，实验性地识别动机推理。SSRN电子杂志。新泽西州韦恩斯坦426号（1980年）。对未来生活事件不切实际的乐观。《个性和社会心理学杂志》，39（5）：806-820。Yildiz，M.（2007）。战略环境中的一厢情愿。《经济学研究回顾》，74（1）：319-344。附录A命题1LetΘbe any Po lish space and let的证明（Θ）是Θ上具有Borelσ-代数的概率测度集，设Cb（Θ）是Θ上有界连续和Borel可测实值函数的集合。对于任何η，u∈ （Θ），通过应用Donsker Varadha n变分公式（seeDupuis and Ellis，1997，引理1.4.3），我们得到了c（η，u）=supu（a，·）∈Cb（Θ）ZΘρu（a，θ）η（dθ）- lnuZΘexpρu（a，θ）、u（dθ）。（7） 将Legendre-Fenchel对偶式转化为变量等式y（7）（见Dupuis-andEllis，1997，命题1.4.2），我们得到lnuZΘexp→ρu（a，θ）×u（dθ）¨=su pη∈（Θ）ZΘρu（a，θ）η（dθ）- C（η，u）。（8） 因此，对于任何a，我们都有ψa（u）=ρlnuZΘexp→ρu（a，θ）×u（dθ）∈ A、 任何u∈ （Θ）和任何ρ∈ R*+. 此外，通过概率测度ηa（u）唯一地获得了上确界不等式（8）∈ （Θ）定义为ηa（u）Θexp=RΘexpρu（a，θ）、u（dθ）RΘexpρu（a，θ）、u（dθ），适用于任何Borel集（再次参见Dupuis和Ellis，1997年，命题1.4.2）。事实上，我们可以把结果推广到Kullback-Leibler散度之外。定义η和uasDа（η| |u）=ZΘudηdu（θ）¨u（dθ）之间的差异，式中：R→ R+是一个适当的、封闭的、凸的、本质光滑的函数，例如φ（1）=0，并且它的域是端点a<1<b的区间（可以是有限的，也可以是有限的）。

让我们也来定义а的勒让德-芬切尔共轭物，表示为а*, 由*（y） =maxx∈Rx y- 对于任何y∈ R.那么，以下命题成立。提议6。对于任何θ，受试者的信念由后u下的动作a所激发，唯一满足а′udηdu（θ）¨=ρu（a，θ）∈ Θ，任何a∈ A和任何∈ （Θ），而接受者的最佳心理回报等于ψa（u）=ρZΘ*ρu（a，θ）×u（dθ），对于任何a∈ A和任何∈ (Θ).证据这个命题是Broniatowski and Keziou（2006）定理4.4的直接应用。B对首选结果过于乐观a∈ A和l表示（可测量的）一组状态，使得ΘA=argmaxθ∈Θu（a，θ）。定义δ（a，θ）=u（a，θ）- u（a，θ）*) 对于所有θ和一些θ*∈ Θa.注释ηa（u）（Θa）可表示为：ηa（u）（Θa）=ZΘaexp→ρu（a，θ）、u（dθ）ZΘexp→ρu（a，θ）、u（dθ）=u（Θa）u（Θa）+ZΘaexp（ρδ（a，θ））u（dθ）。让我们定义任意ρ的函数h（ρ）=u（Θa）u（Θa）+ZΘaexp→ρδ（a，θ）×u（dθ）∈ R*+.首先，注意h（0）=u（Θa）。此外，根据莱布尼兹积分规则，我们有h′（ρ）=-u（Θa）ZΘ\\Θaδ（a，θ）exp.ρδ（a，θ）×u（dθ）≥ 0表示任何ρ∈ R*+, 因为δ（a，θ）≤ 最后，我们还有limρ→+∞h（ρ）=1。因此，通过贝叶斯后验概率u（Θa），p分期付款最大化的概率在下方增加，并从下方收敛到1。因此，WishfullReceiver总是比Bayes事件对Θatha施加更多的概率质量，并且当ρ变大时，该状态以概率1持续到Θa。C证明引理1让我们研究信念阈值u的性质是ρ和回报的函数。首先，让我们定义函数uW（ρ）=exp（ρu）- exp（ρu）exp（ρu）- exp（ρu）+exp（ρu）- exp（ρu）。对于任何ρ∈ R*+.

为了避免注释负担，我们在证明中省略了上标W。我们可以通过应用l\'H^opital的规则Limρ来确定u（ρ）在0处的极限→0u（ρ）=limρ→0uexp（ρu）- uexp（ρu）uexp（ρu）- uexp（ρu）+uexp（ρu）- uexp（ρu）=u- uu- u+u- u=uB。因此，每当失真成本变得非常高时，我们都会使用贝叶斯接收机。乘以exp(-ρu）在u（ρ）的分子和分母r处，我们得到u（ρ）=1- exp（ρ（u）- u） ）1- exp（ρ（u）- u） ）+exp（ρ（u）- u） )- exp（ρ（u）- u） ）。因此，uWat单位的极限仅取决于u的符号- uas，根据假设，美国- u<0和u- u<0。因此，limρ→+∞u（ρ）=1时- u<0和limρ→+∞u（ρ）=0时- u> 0。最后，在u=uwe-havelimρ的情况下→+∞u（ρ）=limρ→+∞1.- exp（ρ（u）- u） ）2- exp（ρ（u）- u） )- exp（ρ（u）- u） ）=。现在让我们检查函数的变量。在对ρ和重新排列项进行微分后，可以注意到u（ρ）的导数必须验证以下具有变化系数u′（ρ）=α（ρ）u（ρ）（1）的逻辑微分方程- u（ρ）），其中α（ρ）=uexp（ρu）- uexp（ρu）exp（ρu）- exp（ρu）-uexp（ρu）- uexp（ρu）exp（ρu）- exp（ρu），对于所有ρ∈ R*+, 与初始条件u（0）=uB一起。因此，α完全精确表示u（ρ）的变量。让我们研究函数αdefinedon R的性质*+. 首先，仍然应用l\'H^opital法则，它的极限由Limρ给出→0α（ρ）=u-U- （u）- u） =（u）- u） andlimρ→+∞α（ρ）=u-u=umax。其次，在重新排列项之后，其导数由α′（ρ）=（u）给出- u） cosh（ρ（u）- u） )- 1.-（u）- u） cosh（ρ（u）- u） )- 1，对于任何ρ∈ R*+, 其中cosh是由cosh（x）=ex+e定义的双曲余弦函数-x、 对于任何x∈ R.注释定义为f（x）=xcosh（ρx）的函数- 1（9）是严格减少的*+. 因此，我们得到了α′（ρ）<0，因此严格地减少了所有ρ∈ R*+只要你- u> u- U

因此，当且仅当u6=uandu6=u时，α始终是严格单调函数。因此，对于所有ρ，不包括u=uandu=usoα′（ρ）=0和u（ρ）=ub的极端情况∈ R*+, 出现了三种有趣的情况，所有这些都在图7中描述了不同的支付矩阵：（i）如果umax<0，函数α对任何ρ都有一个常数符号∈ R*+当且仅当u<u时，在这种情况下，uWis严格地从uBto减少到0。在u>u的情况下，α具有不同的sig n，因此从u波段开始的uWstarts依次严格增加，并朝着0严格减少。（ii）如果umax=0，函数α对任何ρ都有一个常数符号∈ R*+. 在这种情况下，当且仅当u>u时，函数α从uBto严格增加到1/2。（iii）如果umax>0，函数α对任何ρ都有一个常数符号∈ R*+当且仅当u>u时，在这种情况下，uw严格地从ub增加到1。在u<u的情况下，α有一个干燥符号，因此从u带开始的uW部分依次严格减少，并严格增加到1。因此，如果ρ中的μW是非单调的，则总是存在一些ρ>0，例如μW（ρ）=μB。这就是证明的结论。umaxραu>uand u>uu<uand u>uu<uand u<uρuB′uB′uBρW（a）在umax<0时起α和uW的作用。当umax=0时，umaxραu>uu<uuB1/2uB′ρuW（B）函数为α和uW。当umax>0时，umaxραu>uand u>uu>uand u<uu<uand u<uρuB′uB′uBρW（c）函数为α和uW。图7：不同支付材料（uθa）a，θ的函数α和uw∈A×Θ。当命题2假设|Θ| n的uW<uB.D证明为2时，一厢情愿的接受者青睐动作a=1≤ N≤ ∞.

我们想证明这一点B Wif，且仅当支付矩阵（u（a，θ））（a，θ）∈对于每对状态θ，θ′，A×Θ和愿望ρ至少验证了表1中的属性（i）、（ii）或（iii）中的一个∈ Θ.极限点表示乐队首先，请注意邦德R|Θ|中的两个凸多面体由Ba=(Θ)∩(u ∈ R |Θ|：a′∈ A、 Xθ∈Θu（a，θ）u（θ）≥Xθ∈Θu（a′，θ）u（θ）），以及Wa=(Θ)∩(u ∈ R |Θ|a′∈ A、 Xθ∈Θexp→ρu（a，θ）×u（θ）≥Xθ∈Θexp→ρu（a′，θ）×u（θ））。布景邦德Baare thu在R |Θ|中的紧凸集，有很多极值点。现在，让我们来描述乐队W、 Foranyu∈ R |Θ|，定义方程式b·u=b，u的系统≥ 0andAW·u=b，u≥ 0b=uB（θ）。。uB（θn）1。。。1.,安达布=uW（θ）。。uW（θn）1。。。1.,是2×n矩阵，其中uB（θ）=u（1，θ）-u（0，θ）和uW（θ）=exp（ρu（1，θ））-exp（ρu（0，θ））对于任何θ∈ Θ，和b=.在下列情况下，我们总是假设（uB（θ））θ∈Θ和（uW（θ））θ∈Θ是这样的：秩（AB）=秩（AW）=2。让我们回顾一些数学预科。定义2（基本可行解决方案）。设θ，θ′∈ Θ可以是任何一对状态。向量*AB·u=b（分别为AW·u=b）、u≥ 0，对于θ，如果AB·u*= b（分别为AW·u=b），u*(θ),u*（θ′）>0和u*（θ′）=0表示任何θ′6=θ，θ′。引理2（凸多面体的极值点表示）。向量∈ R |Θ|是凸多面体的一个极值点B（分别为。B） 当且仅当u是AB·u=B的基本可行溶液，u≥ 0（分别为AW·u=b，u≥ 0).证据SeePa nik（1993）定理8.4.1。因此，要找到B、 我们只需要解方程组u（θ）uB（θ）+u（θ′）b（θ′）=0u（θ）+u（θ′）=1u（θ），u（θ′）≥ 0（10）对于任何一对状态θ，θ′。当u（θ）=0或u（θ′）=0时，（10）的解由狄拉克测度Δθonly i f uB（θ）给出≥ 0

表示这种信念的集合。然后，集合EBT对应于退化信念集合，在该集合下，Bayesian接收者将采取行动a=1。现在，如果u（θ），u（θ′）>0，那么（10）的解由uBθ，θ′=u（0，θ′）给出- u（1，θ′）u（0，θ′）- u（1，θ′）+u（0，θ）- u（1，θ）。这种信念正是在δθ和δθ′之间的单纯形边缘上的信念，贝叶斯决策者在动作a=0和a=1之间是无关紧要的。表示这些信念的集合。因此，我们有了Ext(B） =EB∪ IB.这相当于假设各州之间的回报不是恒定的。按照相同的程序，将EW给出的Wis∪ IW，其中Ew是退化信念的集合，其中uW（θ）≥ 0和iw是一组置信度uWθ，θ′（ρ）=exp（ρu（0，θ′）- exp（ρu（1，θ′）exp（ρu（0，θ′）- exp（ρu（1，θ′）+exp（ρu（0，θ））- exp（ρu（1，θ）），对于任何θ，θ′∈ Θ. 现在，应用Krein-Milman定理，我们可以说明B=co-EB∪ IBc和W=co-EW∪ 信息工作能力。假设收益矩阵（u（a，θ））（a，θ）∈A×Θ和愿望ρ验证引理1中每对状态θ，θ′的至少一个性质（i）、（ii）或（iii）∈ Θ.因此，对于任何θ，θ′，我们都有uWθ，θ′（ρ）>uBθ，θ′∈ Θ. 这意味着IB W、 sin-ceaction a=1在单纯形的每一条边上都有一个如愿以偿的接收者。此外，EB=EW这三个变量都是令人满意的。因此，由于B可以写成EB中p o INT的凸组合∪ IB W、 因此B W.必要性。现在假设B W

因此，对于任何θ，θ′，我们都有uWθ，θ′（ρ）>uBθ，θ′∈ 这意味着（u（a，θ））（a，θ）∈对于每对状态θ，θ′，A×Θ和愿望ρ至少验证了表1中的属性（i）、（ii）或（iii）之一∈ Θ.E命题5的证明首先，请注意，我们总是可以按β的升序对投票者进行索引，例如η（u，βi）≥ ηj（u）表示所有u∈ （Θ）每当i<j，使得π（u）=n-1Xi=1nXj=i+1η（u，βi）- η（u，βj）确实代表了每对信念之间的绝对差异。现在，请注意，总和可以按以下方式重新排列：π（u）=n-1Xi=1nXj=i+1η（u，βi）- η（u，βj）=（n- 1） η（u）+（n）- 2 )η(u) - η（u）+·+n- 1η（u，βm）-N- 1η（u，βm）+··+η（u，βn）-1) - （n）- 2） η（u，βn）-1) - （n）- 1） ηn（u）=mXi=1（n+1- 2i）（η（u，βi）- η（u，βn+1）-i） ），任何情况下∈ [0,1]，其中m=（n+1）/2。也就是说，我们可以用距离中位数相等的选民之间的信仰差异来表达。为了证明这是真的，我们首先需要意识到，每一种信念似乎都是正确的-1次不等式（6）（因为每个信念与另一个信念配对一次）- 1）信仰）。中位数以下选民的信念往往是积极的而不是消极的（第一个选民的信念在所有配对中都是积极的，第二个选民的信念在所有配对中都是积极的，除了与第一个选民的配对，等等），而中位数以上选民的信念往往是消极的而不是积极的。如果我们重新排列总和的项，以便配对对称选民，则项（η（u，β）-ηn（u））出现-1倍，而术语（η（u）-η（u，βn）-1） ）出现在-3次，然后离开- 1倍η（u）出现在方程式（6）中，n-其中2个是正的，1个是负的（η（u，βn）正好相反）-1)). 我们可以继续对所有对称选民进行同样的推理，并得出上述π（u）的公式。

还要注意的是，中间选民的信念是以相同的速率加和减的，因此在我们衡量两极分化时，它并不重要。考虑任何一对对称的选民的信念之间的关系-η（u，βn+1）-i） 因为我∈ {1，…，m}。考虑到我们的对称性假设，这两个代理是一个重新对称的ic，因此βi=1- βn+1-i、 当代理i向上扭曲其信念，并且代理N+1时，如果想要证明这些成对距离中的任何一个都是最大的，这是不可靠的- 我正在向下扭曲它的信念。当我∈ [uW（βi），uW（βn+1-i） ]。首先，在这样一个区间内对称信念之间的距离可以重写为η（u，βi）- η（u，βn+1）-i） =uexp（ρβi）uexp（ρβi）+（1）- u)-uu + (1 - u）exp（ρβi）。无论如何，我∈ {1，…，m}和u∈ [uW（βi），uW（βn+1-i） ]。其次，通过在这个时间间隔内获取一阶条件并重新排列，我们得到u+（1）- u）exp（ρβi）uexp（ρβi）+（1- u）=1，使得对称信念之间的差异在u=uW（βm）=时唯一地最大化，对于任何i∈ {1，…，m}，βi∈ ]0,1[和任何ρ∈ R*+. 因为uW（βm）=arg maxu∈[0,1]η（u，βi）- η（u，βn+1）-i） 无论如何，我∈ {1，…，m}，我们得到uW（βm）=arg maxu∈[0,1]π（u），这是证明的结论。为了证明命题4，我们首先定义函数ψ（z）=1- F（z）zθzexp（ρθ）F（θ）dθ，对于任何z∈ [θ，θ]并采用ψ（θ）=exp（ρθ）的约定。不难看出ψ是从ψ（θ）=^x<1t到ψ（θ）=exp（ρθ）的连续严格递增函数。类似地定义函数ψ（z）=1- F（z）zθzθF（θ）dθ，对于任何z∈ [θ，θ[和ˋ（θ）=θ.aga in，不难证明ˋ是从ˋ（θ）=^m<0到ˋ（θ）=θ的连续且严格递增的函数。由于ψi严格递增，因此有必要证明ψ（θB）>1=ψ（θW）证明θW<θB。

应用Jensen不等式，可以得出任意z的ψ（z）>exp（ρφ（z））∈ ]θ、 θ[，其中严格不等式来自z 7的严格凸性→exp（ρz）与F的非简并性。特别是，Jensen的不等式在θ和θ处相等，但根据中间值定理，θB（以及θW）必须位于开区间]θ，0[。因此，我们有ψ（θB）>1，因为ψ（θB）=0，θB6=θ，θ。