修改了Babii和Kumar（2020）的规范：定义f3c（x）=C（x+x），f3t（x）=f3c（x）+θ。我们有| f3q（x）|≤ C和| f3q（x）|=所有x的3C/2∈ [-1,1]和q∈ {t，c}。我们还有| f3q（0）|=C/4和| f3q（0）|=0.4。0时的非零一阶和二阶导数：定义F4c（x）=C（（3x+1）1/3- 1） ，f4t（x）=-f4c(-x） +θ。我们有| f4q（x）|≤ C、 和| f4q（x）|≤ 2C代表所有x∈ [-1,1]和q∈ {t，c}。我们还有| f4q（0）|=C和| f4q（0）|=2C。席~ 统一(-1.1）恒定方差C为小设计1是是是是设计2否是设计3是否是设计4否否设计5是是节点设计6否是节点设计7是否节点设计8否否值得注意1：模拟设计规格F=ff=FLENGHT:RBC最小最大长度：RBC最小最大RBC/MM覆盖RBC/MM覆盖覆盖设计1.094 0.925 0.968 1.097 0.924 0.942设计2 1.112 0.938 0.979 1.1150.941 0.949设计3 1.082 0.926 0.968 1.085 0.924 0.942设计4 1.099 0.936 0.979 1.103 0.940 0 0.950设计5 1.128 0.925 0.919 1.148 0.930 0 0.945设计6 1.137 0.938 0.934 1.162 0.941 0.951设计7 1 1 1 1 1.117 0.926 0.920.920.920.920.920.920.945设计8 1 1 1 1 1.125 0.936 0.930.930.930.931.930.930.930.931与最小可测红细胞最大值的比较；F∈ {f，f}对于运行变量，我们考虑席~ 统一(-1, 1）和席~ 2×β（2,2）-1.后者被Babii和Kumar（2020）使用，并提供了更多关于切割的观察结果。最后，我们考虑了同一性和异方差设计，即（x）＝1和（x）＝ω（x）/ω（0），其中χ（x）是标准的正规PDF。样本大小为n=500。附录D中的图4提供了四个回归函数的曲线图。我们基于局部常数核回归估计条件方差，其中初始带宽是根据Silverman的经验法则选择的。

这是为了避免使用基于局部线性回归的带宽选择方法，以确保我们提出的方法在二阶导数非常大的情况下仍然有效。根据估计的条件方差计算估计量后，我们按照阿姆斯特朗和科尔斯的ar（2020b）构造CI，他们使用简单的方法通过^σ（xi）=JJ+1yi估计方差-JJXi=1yj（i）！，对于某些固定的J，其中J（i）表示与i最近的观察指数（具有相同的治疗状态）。它们实现中的默认值是J=3，我们遵循这个值。词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇词汇覆盖覆盖范围覆盖范围范围范围范围范围覆盖范围范围范围范围范围范围范围范围覆盖覆盖范围范围范围设计1 1 1 1 1.1.1.1.1.1.1.1.0 0 0 0 0.0.0.0 0.0.0.0.0.9 0.0.9 0.9 0.0.9 0.9 0.9 0.9 0.0.9 0.9 0.0.9 0.9 0.0.0.0.920.0.9 0.0.9 9 9 9 9240.9611.1070.924 0.930设计8 1.099 0.936 0.971 1.119 0.933 0.947表3：红细胞和最大极小值之间的比较；F∈ {f，f}5.1极大极小过程首先，我们研究第3节中描述的极大极小过程的性能。我们考虑了在运行变量、方差函数和C（1）值上的二元组合，即均匀或β分布，2）方差函数由Si-×S-（x）或Sig-×Sigi（x）（其中席夫＝1/4）给出，3）C的真值是小（C＝1）或大（C＝3）。对于极大极小双边CI，我们考虑的情况下，我们正确地指定在所有情况下，设置C＝3的Telipschitz常数。结果通过1000次重复计算得出。表1给出了每种设计的定义。我们通过与Calonico等人（2015）的稳健偏差校正（RBC）程序进行比较，来衡量minimax程序的性能。

我们报告RBC和minimax程序之间CI平均长度的比率，以及它们各自的覆盖概率。对于鲁棒性偏差校正程序，我们使用RDR包提供的默认实现。表2和表3显示了结果。对于每个回归函数，第一列显示CI长度的比率，第二列和第三列显示RBC和极小极大过程的覆盖概率。尽管最小最大CI比RBC CI短，但最小最大CI的覆盖概率比RBC CI更接近标称水平。然而，这里的长度比较不应被解释为我们的程序优于theRBC方法，因为长度对C的选择和真实回归函数的形式很敏感。相反，正如我们到目前为止所讨论的，相对优势1。01.11.21.31.40.5 1.0 1.5 2.0实际长度比：f=f1AdaptiveMinimax1。01.21.41.61.80.5 1.0 1.5 2.0实际长度比：f=F2自适应最小值1。01.21.41.61.80.5 1.0 1.5 2.0实际长度比：f=F3自适应最小值1。01.21.40.5 1.0 1.5 2.0真实CExcess长度比：f=F4AdaptiveMinimax图2：单侧CIS的性能比较我们的程序使用了更透明的函数空间，并结合了回归函数的单调性。5.2自适应过程下一步，我们将单边CI的性能与两个基准进行比较，即minimax和oracle单边CI。我们考虑回归函数f，…改变C的值∈ [Cl，Cu]这决定了它们的平滑度。Foreach C∈ [Cl，Cu]，oracle程序适用于单个Lipschitz常数C，因为如果我们知道真实的Lipschitz常数，这在实践中是不可行的。

另一方面，minimax过程适用于最大Lipschitz常数Cu；如阿姆斯特朗和科尔斯的ar（2018a）所示，当我们没有单调性时，这个过程几乎是最优的（在可行的过程中）。oracle和minimax过程都考虑了单调性。我们取（Cl，Cu）＝（1/5，2），只考虑设计1。对于自适应过程，我们取（C，C）=（1/5，1）。我们期望自适应程序的性能将优于C∈ [1/5,1]高于C∈ [1, 2].图2显示了与oracle过程相比，minimax和adaptive CI的相对多余长度。首先，我们注意到自适应CI最多比oracle过程长30%，而minimax CI有时比oracle过程长83%。其次，对于f=fand和f=f的情况，自适应CI有时甚至比oracle还要短。这是因为这种回归函数在x=0附近的导数比C小，尽管它们的最大导数在全局范围内是C。这表明自适应CI适应回归函数的局部平滑度，这是使用自适应程序的另一个优点。6实证说明在本节中，我们回顾了Lee（2008）的分析。运行变量席∈[-100，100]是民主党在每次选举中获胜的差距，以及结果∈ [0，100]是民主党在下次选举中的投票份额。这种待遇是民主党的现任职务，其削减系数为0。因此，积极的待遇效应表明现任候选人有选举优势。这一实证应用很好地证明了本文所考虑的条件。从单调性来看，假设一个政党的投票份额比该政党之前的平均投票份额增加是合理的。

此外，对于利普希茨的连续性而言，上一次选举的投票份额增加一个单位，可以预测下一次选举的投票份额增加不超过一个单位。这反映了一个观点，即上一次选举的选票份额是衡量一个政党在当前选举中受欢迎程度的一个嘈杂指标。因为XI是投票差额而不是投票份额，所以将其转换为C=1/2。图3描绘了根据我们的minimax优化程序为不同的C值构建的CI∈ [0.4,1]，其中包括我们的首选规格C=1/2。我们还包括使用Calonico等人（2015）的稳健偏差校正方法的CI，以及使用Armstrong和Koles\'ar0中的二阶导数界限的极小极大CI。02.55.07.510.012.50.4 0.6 0.8 1.0利普希茨常数（C）选举优势（%）适应性优势-极大极小二-SideDrbC图3:Lee（2008）的例子。红线（Minimax双面）绘制了我们的Minimax最优CI，而蓝线（RBC）和绿线（AK）分别绘制了使用Calonico等人（2015）和Armstrong及Koles\'ar（2018a）的方法构建的CI。紫色线（自适应单侧）用C=∞. 垂直虚线表示C=1/2，这是我们的首选规格。（2018a）。对于后者，二阶导数的界限设置为M=1/10，这是他们在实证分析中使用的最大界限。所有CI的名义覆盖率为0.95。[3.44,8.38]和[2.95,8.96]分别给出了通过稳健偏差校正和二阶导数界获得的CI。与其他方法相比，我们的CI具有更大的下限和上限。特别是，对于我们的首选规格C=1/2，CI由[5.03,9.66]给出，这意味着与其他推断方法相比，现任者的选举优势可能更大。

在这种情况下，我们的CI也相对较短。对于同一数据集，Babii和Kumar（2020）给出的CI为[6.6,26.5]，其上限比其他程序更大。如上所述，由于Lipschitz常数C有一个明确的解释，因此改变Lipschitz常数值的灵敏度分析在加强推理结果的可信度方面尤其有用。具体来说，我们可以计算平滑度参数的大小，在该参数下在职人员的影响变得显著。当C大于16时，我们的极小极大CI包含0。第一个导数界限C=16大致意味着上一次选举投票份额增加一个单位，可以预测下一次选举投票份额增加32个单位，这是一个相当大的数字。因此，我们得出结论，在未知回归函数的一组合理假设下，在职影响的显著性是稳健的。考虑到这里考虑的各种CI都是从回归函数的不同假设中获得的，看看我们能在最小假设下推断出RD参数是一个有趣的练习。为此，我们构造了一个自适应单边CI，它保持覆盖所有单调函数。第4.1节中的讨论意味着我们可以在这种经验环境下构建一个自适应的上CI。我们采用（C，C）=（0.1，0.5），反映了trueLipschitz常数可能小于0.5的信念。为了使单侧CI与其他双侧CI具有可比性，将上限CI的标称覆盖概率设置为0.975，所得上限为10.52%。

虽然该上限CI保持所有单调函数的平均值，但由此产生的上限并不明显大于其他CI的上限，这反映了上限CI的自适应性质。7结论在本文中，当回归函数假设为单调且具有有界一阶导数时，我们提出了一个极小极大双边CI和一个自适应单边CI。我们证明了我们的程序在易于解释的条件下实现了均匀覆盖，并且可以用来构造具有极大极小最优长度的双边CI，或者构造其多余长度适应未知回归函数平滑度的单边CI。我们发现有两个扩展很有趣。模糊RDD。在各种RDD应用中，对治疗状态的遵从性只是部分。因此，有兴趣将我们的方法扩展到模糊RDD设置，例如，通过对治疗倾向p（x）=p（ti=1 | xi=x）进行单调性和Lipschitz连续性假设，其中，Ti是个体i的治疗指标。该方法将使用Armstrong和Koles\'ar（2020b）以及Noack和Rothe（2020）的二阶导数边界，对模糊RDD的最小最优方法进行补充。威特凯特。在multi-score RDD中，Imbens and Wager（2019）建议估算不同边界点上条件治疗效果的加权平均值，以使推断更精确。由于加权平均参数是回归函数的线性函数，我们也可以调整我们的框架来对参数进行推理。另一方面，封闭形式的解决方案可能不存在，在我们的设置下，如何计算构建加权平均参数的置信区间似乎是一个有趣的研究问题。参考阿姆斯特朗，T。

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注意到LRDF- LRDf=（f2，t（0）- f2，c（0））- （f1，t（0）- f1，c（0））=（f2，t（0）- f1，t（0））+（f1，c（0）- f2，c（0）），ω（δ；c，c）通过求解以下问题得到：supf1，t，f1，c，f2，t，f2，c（f2，t（0）- f1，t（0））+（f1，c（0）- f2，c（0））s.t.nXi=1{xi∈ Xt}f2，t（xi）- f1，t（xi）σ（xi）+{xi∈ Xc}f1，c（xi）- f2，c（xi）σ（xi）!≤ δ、 f1，t，f1，c∈ ∧+，V（C），f2，t，f2，C∈ ∧+，V（C）。利用ωt（δt；C，C）和ωC（δC；C，C）的定义，以及引理A.1，我们可以写出ω（δ；C，C）=supδt≥0，δc≥0，δt+δc=δωt（δt；c，c）+ωc（δc；c，c），从而得出结论。引理A.3。给出一些（C，C）∈ R+和δ≥ 0，写入δ*t:=δ*t（δ；C，C），δ*c:=δ*c（δ；c，c）。然后，我们可以找到F*δ、 1，f*δ,2∈ F（C）×F（C），满足以下三个条件：（i）LRDf*δ,2-LRDf*δ、 1=ω（δ；C，C），（ii）F*δ,2-F*δ,1σ= δ、 （iii）当我们写作时*δ、 2=f*δ、 2，t{x∈ Xt}+f*δ、 2，c{x∈ Xc}f*δ、 1=f*δ、 1，t{x∈ Xt}+f*δ、 1，c{x∈ Xc}，F*δ、 1，t，f*δ、 2，t∈ F（C）×F（C）和F*δ、 1，c，f*δ、 2，c∈ F（C）×F（C）满意度*δ、 2，t- F*δ、 1，t=[ωt（δ*TC、 C）- Ck（x）V+k- Ck（x）V-k] +（22）f*δ、 1，c- F*δ、 2，c=[ωc（δ*CC、 C）- Ck（x）V-K- Ck（x）V+k]+，（23）f*δ、 1，t（0）+f*δ、 2，t（0）=ωt（δ*TC、 C）（24）f*δ、 1，c（0）+f*δ、 2，c（0）=ωc（δ*CC、 C）、（25）和F*δ、 2，t- F*δ、 1，tF*δ、 1，t+f*δ、 2，t=F*δ、 2，t- F*δ、 1，t（ωt（δ）*TC、 C）+Ck（x）V+k- Ck（x）V-k） （26）F*δ、 1，c- F*δ、 2，cF*δ、 1，c+f*δ、 2，c=F*δ、 1，c- F*δ、 2，c（ωc（δ）*CC、 C）+Ck（x）V+k- Ck（x）V-k） 。（27）证据。Kwon和Kwon（2020）表明如果我们*δ、 1，t（x）=Ck（x）V+k如果C≤ Cmin{ωt（δt，C，C）- Ck（x）V-k，Ck（x）V+k}否则，f*δ、 2，t（x）=max{ωt（δt，C，C）- Ck（x）V-k，Ck（x）V+k}如果C≤ Cωt（δt，C，C）- Ck（x）V-k否则，我们必须F*δ、 1，t，f*δ、 2，t∈ F（C）×F（C）这些函数求出q=t，C=C和C=C的（21）。

同样，如果我们*δ、 1，c（x）=max{ωc（δc，c，c）- Ck（x）V-k，Ck（x）V+k}如果C≤ CωC（δC，C，C）- Ck（x）V-k否则f*δ、 2，c（x）=Ck（x）V+k如果C≤ Cmin{ωc（δc，c，c）- Ck（x）V-k，Ck（x）V+k}否则F*δ、 1，c，f*δ、 2，c∈ F（C）×F（C），这些函数解（21）的q=C，C=C和C=C。然后，这个引理陈述中的方程（22）-（27）遵循上述公式和引理A.2。引理A.4。给出一些（C，C）∈ 兰德δ≥ 0，设ω（δ；C，C）=Δω（δ；C，C）和写δ*t:=δ*t（δ；C，C），δ*c:=δ*c（δ；c，c）。那么，我们有ω（δ；C，C）=δPxi∈Xt[ωt（δ）*TC、 C）- Ck（x）V+k- Ck（x）V-k] +/σ（xi）=δPxi∈Xc[ωc（δ）*CC、 C）- Ck（x）V-K- Ck（x）V+k]+/σ（xi）。证据注意f∈ F（C）意味着F+z∈ F（C）对于任何z∈ R和C≥ 0.此外，让ιt（x）：={x∈ Xt}，我们有LRD（ιt）=1。然后，Armstrong和Koles\'ar（2016）中的引理B.3暗示ω（δ；C，C）δ=Pni=1F*δ、 2（xi）- F*δ、 1（xi）{x∈ Xt}/σ（xi）=Pxi∈XtF*δ、 2，t（xi）- F*δ、 1，t（xi）/σ（xi），其中f*δ、 j（xi）和f*δ、 j=1，2的j，t（xi）如引理A.3所定义。然后，使用引理A.3中的（22），我们得到这个引理陈述中的第一个等式。同样，如果我们定义ιc（x）=-{x∈ Xc}，我们有LRD（ιc）=1，Armstrong和Koles\'ar（2016）中的引理B.3意味着ω（δ；c，c）δ=Pxi∈XcF*δ、 1，c（xi）- F*δ、 2，c（xi）/σ（xi），其中f*δ、 j=1，2的j，c（xi）如引理A.3所定义。然后，在Lemma中使用（23）。在这个引理的陈述中，我们得到了第二个等式。引理A.5。给定一对（C，C），使得≥ C≥ 0，对于δ>0的部分，写δ*t:=δ*t（δ；C，C），δ*c:=δ*c（δ；c，c），和ht，δ=ω*t（δ，C，C）·C、 C, hc，δ=ω*c（δ，c，c）·C、 C.那么，我们有XXI∈XtK（xi，ht，δ）/σ（xi）=（δ）*t/ω*t（δ，C，C）），Xxi∈XcK（xi，hc，δ）/σ（xi）=（δ）*c/ω*c（δ，c，c））。证据

使用引理A.3中的符号，我们可以写出Xi∈XtK（xi，ht，δ）/σ（xi）=（ω）*t（δ，C，C））Xxi∈XtF*δ、 2，q（xi）- F*δ、 1，q（xi）/σ（xi）。现在，根据f的定义*δ、 1，和f*δ、 2，t，我们有PXI∈XtF*δ、 2，t（xi）- F*δ、 1，t（xi）/σ（xi）=δ*2t，它给出了这个引理的第一个方程的期望结果。第二个等式来自类比推理。A.2主要结果的证明引理的证明4.1。考虑一个较低的CONDENCE区间[C，∞) ∈ Lα（C）。然后，阿姆斯特朗和科尔斯ar（2018a）的定理3.1暗示了SUPF∈F（C）E[LRDf- ^c]≥ ω（z1）-α、 C，C），当假设1成立时。同样的定理也暗示存在[^c，∞) ∈Lα（C）使得它正好达到上面的下限。因此，仍然需要分析ω（z1）的条件-α、 C，C）被某个A（C）所限定。引理A.2意味着我们可以写出ω（z1）-α、 C，C）=ωt（δ*t、 C，C）+ωC（δ）*c、 c，c），其中（δ*t、 δ*c） solvesupδt≥0，δc≥0，δt+δc=z1-αωt（δt，C，C）+ωC（δC，C，C）。由于引理A.1，bt=ωt（δ*t、 C，C）解决方案xi∈Xt[bt- Ck（xi）V+k- Ck（xi）V-k] +/σ（xi）=（δ）*t） 。（28）我们首先考虑苏。定义文本：=(-∞, 0]d∩ Xt。注意，对于任何givenb∈ R、 我们有XXI∈Xt[b- Ck（xi）V+k- Ck（xi）V-k] +/σ（xi）≥二十一∈Xt[b- Ck（xi）V+k- Ck（xi）V-k] +/σ（xi）。因此，给定一些δt≥ 0，如果bt=bt（δt）sxxi∈Xt[bt- Ck（xi）V+k- Ck（xi）V-k] +/σ（xi）=δt，bt≥ ωt（δt，C，C）将保持不变。这意味着ωt（δ*t、 C，C）≤ ωt（z1）-α、 C，C）≤ bt（z1-α） ，其中第一个不等式是由于δ*T≥ 0, δ*C≥ 0和（δ）*t） +（δ）*c） =z1-α. 请注意，席∈ XTXXI∈Xt[bt- Ck（xi）V+k- Ck（xi）V-k] +/σ（xi）=Xxi∈Xt[bt- Ck（xi）V-k] +/σ（xi），假设V={1，…，d}。这意味着bt（z1-α） 是数据和C的函数。同样，如果我们定义Xc:=0，∞)D∩ Xc，bc=bc（δc）是toXxi的解∈Xc[bc- Ck（xi）V+k]+/σ（xi）=δc，bc（z1）-α） 是数据和C的函数。

因此，我们可以设置A（C）=bt（z1-α） +bc（z1）-α).接下来，让我们考虑必要性。首先，假设(-∞, 0]d∩Xt=. 那么，由于（28）中求和的每一个单位都依赖于C，增加C必然会增加bt的大小。因此，ω（z1）-α、 C，C）不能由一个独立于C的项来限定。同样的推理适用于[0，∞)D∩ Xc=, 对于V（{1，…，d}）的情况，这是定理3.1的证明。首先，给出一些δ≥ 0，考虑优化问题ω（δ；c）：= SUPF∈F（C），F∈F（C）LRDf- LRDfs。TF- fσ≤ δ. （29）更准确地说，只有当δ*t、 δ*c> 0，且仅当轴上没有观测时。当n足够大，且运行变量具有连续分布时，这些情况可以忽略。将（29）的解表示为F*δ、 1，f*δ,2. 定义（δ）：=ω（δ；C，C）δnXi=1F*δ、 2（xi）- F*δ、 1（xi）易（xi）-ω（δ；C，C）2δnXi=1“F*δ、 2（xi）- F*δ、 1（xi）F*δ、 1（xi）+f*δ、 2（xi）σ（xi）#+LRDF*δ、 1+f*δ,2.在这些定义下，我们可以展示eL（δ）= ω（δ；C，C）supf∈F（C）偏差eL（δ）=（ω（δ；C，C）- Δω（δ；C，C））。定义χ（δ）=cvαsupf∈F（C）偏差eL（δ）sdeL（δ）· sdeL（δ）.然后，Donoho（1994）的结果表明，minimax a ffine最优CI为givenbyheL（δ）- eχ（δ），eL（δ）+eχ（δ）i，当选择δ使eχ（δ）最小化时。因此

如果我们能证明1）eL（δ）与BLMM的形式相同，2）sd的形式相同，那么就证明了这一点eL（δ）和SUPF∈F（C）偏差eL（δ）并以（11）的形式给出。对于第一个声明，请记住，我们可以为j=1，2f写作*δ、 j（x）=f*δ、 j，t（x）{x∈ Xt}+f*δ、 j，c（x）{x∈ Xc}。因此，我们havel（δ）=ω（δ；C，C）δXxi∈XtF*δ、 2，t（xi）- F*δ、 1，t（xi）易σ（xi）=-ω（δ；C，C）δXxi∈XcF*δ、 1，c（xi）- F*δ、 2，c（xi）易（xi）-ω（δ；C，C）2δXxi∈Xt“F*δ、 2，t（xi）- F*δ、 1，t（xi）F*δ、 2，t（xi）+f*δ、 1，t（xi）σ（xi）#+ω（δ；C，C）2δXxi∈Xc“F*δ、 1，c（xi）- F*δ、 2，c（xi）F*δ、 1，c（xi）+f*δ、 2，c（xi）σ（xi）#+f*δ、 1，t（0）+f*δ、 2，t（0）-F*δ、 1，c（0）+f*δ、 2，c（0）。定义英语（δ）=ω（δ；C，C）δXxi∈XtF*δ、 2，t（xi）- F*δ、 1，t（xi）易（xi）-ω（δ；C，C）2δXxi∈Xt“F*δ、 2，t（xi）- F*δ、 1，t（xi）F*δ、 2，t（xi）+f*δ、 1，t（xi）σ（xi）#+f*δ、 1，t（0）+f*δ、 2，t（0），andeLc（δ）=ω（δ；C，C）δXxi∈XcF*δ、 1，c（xi）- F*δ、 2，c（xi）易（xi）-ω（δ；C，C）2δXxi∈Xc“F*δ、 1，c（xi）- F*δ、 2，c（xi）F*δ、 1，c（xi）+f*δ、 2，c（xi）σ（xi）#+f*δ、 1，c（0）+f*δ、 2，c（0），我们可以看到el（δ）=eLt（δ）-eLc（δ）成立。现在，使用引理A.3中的方程（22）、（24）和（26），以及引理A.4中ω（δ；C，C）δ的第一个表示，我们得到Elt（δ）=Pxi∈Xt[ωt（δ）*TC、 C）- Ck（x）V+k- Ck（x）V-k] +yi/σ（xi）Pxi∈Xt[ωt（δ）*TC、 C）- Ck（x）V+k- Ck（x）V-k] +/σ（xi）-二十一∈Xt[ωt（δ]*TC、 C）- Ck（x）V+k- Ck（x）V-k] +Pxi∈Xt[ωt（δ）*TC、 C）- Ck（x）V+k- Ck（x）V-k] +/σ（xi）×ωt（δ*TC、 C）+ck（x）V+k- Ck（x）V-k） /σ（xi）+ωt（δ）*TC、 C），=Pxi∈XtK（xi/ht）yi/σ（xi）Pxi∈XtK（xi/ht）/σ（xi）+at（δ）。类似地，对于lc（δ），使用引理A.3中的方程（23）、（25）和（27），以及引理A.4中ω（δ；C，C）δ的第二种表示，我们可以得到elc（δ）=Pxi∈XcK（xi/hc）yi/σ（xi）Pxi∈XcK（xi/hc）/σ（xi）+ac（δ），这证明了El（δ）与BLMM具有相同的形式。接下来，对于关于标准偏差和最坏情况偏差的第二种说法，有必要显示ω（δ；C，C）=δ/（Cht（δ））Pxi∈XtK（xi/ht（δ））/σ（xi），ω（δ；C，C）=C（ht（δ）+hc（δ））。首先，第一个等式来自引理A.4。

接下来，ω（δ；C，C）=ωt（δ*t（δ；C）；C） +ωC（δ）*c（δ；c）；C） 根据引理A.2得出，这意味着第二个等式，从而得出结论。定理4.2的证明。给一些f∈ F（C）和j∈ {1，…，J}，我们可以写LRDf<^cLτ（Cj）= Pf^cLτ（Cj）- LRDf>0= Pf^cLτ（Cj）- LRDfω（z1）-τ、 C，Cj）>0= Pf^cLτ（Cj）- LRDfω（z1）-τ、 C，Cj）+z1-τ> z1-τ≡ PfeVj，τ>z1-τ,式中ω（z1）-τ、 C，Cj）的定义见定义CIL（τ）：=max1≤J≤J^cLτ（Cj），∞,我们有LRDf/∈ CIL（τ）= Pfj s.t.LRDf<^cLτ（Cj）= Pfmax1≤J≤JeVj，τ>z1-τ.现在，我们想找到τ的最大值，比如supf∈F（C）Pfmax1≤J≤JeVj，τ>z1-τ≤ α、 （30）因此满足覆盖要求。首先，很容易看出这一点eV1，τ。。。，eVJ，τ具有多元正态分布。接下来，注意max1的分位数≤J≤JeVj，τ在每一个EfeV1，τ。。。，EfeVj，τ。此外，方差和协方差eV1，τ。。。，eVJ，τ不要通过构造^cLτ（Cj）来依赖于真正的回归函数f。这意味着max1的分位数≤J≤JeVj，τ小于MAX1的值≤J≤VJ，τ，其中（V1，τ，…，VJ，τ）具有多元正态分布，平均值由EVj给出，τ=supf∈F（C）EfeVj，j=1时的τ。。。，J、 用相同的协方差矩阵eV1，τ。。。，eVJ，τ. 因此，如果我们取τ，那么z1-τ是1- MAX1的α次分位数≤J≤JVj，τ（30）是令人满意的。因此，仍需证明（Vj，τ）Jj=1是一个具有零均值、单位方差和协方差的多变量非线性分布，如（16）所示。对于平均值，通过定义^cLτ（Cj），我们得到了supf∈F（C）Ef^cLτ（Cj）- LRDf= -z1-τsd（bLτ（Cj））=-z1-τω（z1）-τ、 C，Cj），其中最后一行来自阿姆斯特朗和科尔斯的讨论（2018a）。因此，我们得到EVj，τ=0。此外，这也意味着Var（bLτ（Cj））=1。

至于卵巢，我们有冠状病毒bLτ（Cj），bLτ（Ck）=冠状病毒bLt，τ（Cj）-bLc，τ（Cj），bLt，τ（Ck）-bLc，τ（Ck）=冠状病毒bLt，τ（Cj），bLt，τ（Ck）+ 冠状病毒bLc，τ（Cj），bLc，τ（Ck）,其中最后一行来自独立性假设，我们可以展示covblt，τ（Cj）ω（z1）-τ、 C，Cj），bLt，τ（Ck）ω（z1）-τ、 C，Ck）=Pxi∈XtK（xi，ht，τ（Cj））K（xi，ht，τ（Ck））/σ（xi）Pxi∈XtK（xi，ht，τ（Cj））/σ（xi）Pxi∈XtK（xi，ht，τ（Ck））/σ（xi）×ω（z1）-τ、 C，Cj）ω（z1）-τ、 C，Ck）=ω*t（z1-τ; C、 Cj）ω*t（z1-τ; C、 Ck）z1-τXxi∈XtK（xi，ht，τ（Cj））K（xi，ht，τ（Ck））/σ（xi），其中最后一个等式来自引理A.4和K（xi，ht，τ（Cj）的定义。同样，我们可以展示bLc，τ（Cj），bLc，τ（Ck）=ω*c（z1-τ; Cj，C）ω*c（z1-τ; Ck，C）z1-τXxi∈XtK（xi，hc，τ（Cj））K（xi，hc，τ（Ck））/σ（xi），这证明协方差项具有与（16）中相同的形式。命题4.4的证明。最后一个陈述来自我们论文的引理A.2和阿姆斯特朗和科尔斯ar（2018a）的定理3.1，所以我们关注前面的陈述。首先，我们陈述了Uj的均值和协方差矩阵。给定C={C，…，CJ}，让τ*= τ*（C） 是求解（17）的τ的值。

那么，我们有Euj=Pxi∈XtK（xi，ht，τ）*（Cj）C | |（xi）V-|| /σ（xi）Pxi∈XtK（xi，ht，τ）*（Cj））/σ（xi）+Pxi∈XcK（xi，hc，τ）*（Cj）C | |（xi）V+| |/σ（xi）Pxi∈XcK（xi，hc，τ）*（Cj））/σ（xi）+z1-τ*sd（bLτ）*（Cj））+supf∈F（C）偏差（bLτ）*（Cj）），andCov（Uj，英国）=Pxi∈XtK（xi，ht，τ）*（Cj）K（xi，ht，τ*（Ck））/σ（xi）Pxi∈XtK（xi，ht，τ）*（Cj））/σ（xi）Pxi∈XtK（xi，ht，τ）*（Ck））/σ（xi）+Pxi∈XcK（xi，hc，τ）*（Cj）K（xi，hc，τ*（Ck））/σ（xi）Pxi∈XcK（xi，hc，τ）*（Cj））/σ（xi）Pxi∈XcK（xi，hc，τ）*（Ck））/σ（xi）。为了证明命题中的陈述，定义*C（x）：=-C | |（x）V-|| 1（x）∈ Xt）+C | |（x）V+| | 1（x）∈ Xc）。然后，我们展示\'adpt（C；C）=supf∈F（C）Efmin1≤J≤JLRDf- ^cLτ*（Cj）=: supf∈F（C）Efmin1≤J≤J（Zj（f））=Ef*Cmin1≤J≤J（Zj（f）*C） ）=Ef*Cmin1≤J≤J- ^cLτ*（Cj）。第一次和最后一次的平局由定义决定（自LRDf以来）*C=0），所以我们要展示的是倒数第二个等式。这足以证明，对于每个j∈ {1，…，J}，supf∈F（C）EfLRDf- ^cLτ*（Cj）= Ef*CLRDf*C- ^cLτ*（Cj）= Ef*C^cLτ*（Cj）.注意，（Zj（f））Jj=1具有一个多元正态分布，其中有一些平均向量（uj（f））Jj=1和一个不依赖于f的方差矩阵。这意味着如果f*对于所有j=1，…，Cmax将uj（f）最大化。。。，J、 它还最大化了Efmin1≤J≤J（Zj（f））。对于简写符号，定义χLτ（C）：=supf∈F（C）biasfbLτ（C）+ z1-τsdbLτ（C）.现在，请注意，我们可以∈F（C）EfLRDf- ^cLτ*（Cj）= supf∈F（C）EfLRDf-bLτ*（Cj）+χLτ*（Cj）= supf∈F（C）EfLRDf-bLτ*（Cj）+ χLτ*（Cj），因为χLτ*（Cj）是一个固定数量。

最后一行中的第一个术语可以写成assupf∈F（C）EfLRDf-bLτ*（Cj）= supft，fc∈F（C）Ef英尺（0）-Pxi∈XtK（xi，ht，τ）*（Cj）yi/σ（xi）Pxi∈XtK（xi，ht，τ）*（Cj））/σ（xi）-fc（0）-Pxi∈XcK（xi，hc，τ）*（Cj）yi/σ（xi）Pxi∈XcK（xi，hc，τ）*（Cj））/σ（xi）= supft∈F（C）Eft英尺（0）-Pxi∈XtK（xi，ht，τ）*（Cj）ft（xi）/σ（xi）Pxi∈XtK（xi，ht，τ）*（Cj））/σ（xi）- inffc∈F（C）Efcfc（0）-Pxi∈XcK（xi，hc，τ）*（Cj））fc（xi）/σ（xi）Pxi∈XcK（xi，hc，τ）*（Cj））/σ（xi）.注意，ft（0）和fc（0）可以标准化为0，因为对于某些v，如果我们考虑ft=ft+v∈ R、 eft（0）-Pxi∈XtK（xi，ht，τ）*（Cj）eft（xi）/σ（xi）Pxi∈XtK（xi，ht，τ）*（Cj））/σ（xi）=ft（0）+v-Pxi∈XtK（xi，ht，τ）*（Cj）/σ（xi））（ft（xi）+v）/σ（xi）Pxi∈XtK（xi，ht，τ）*（Cj））/σ（xi）=ft（0）-Pxi∈XtK（xi，ht，τ）*（Cj）ft（xi）/σ（xi）Pxi∈XtK（xi，ht，τ）*（Cj））/σ（xi），同样适用于fc。因此，我们有SUPFT∈F（C）Eft英尺（0）-Pxi∈XtK（xi，ht，τ）*（Cj）ft（xi）/σ（xi）Pxi∈XtK（xi，ht，τ）*（Cj））/σ（xi）= - infft∈F（C），ft（0）=0Pxi∈XtK（xi，ht，τ）*（Cj）ft（xi）/σ（xi）Pxi∈XtK（xi，ht，τ）*（Cj））/σ（xi）。Kwon和Kwon（2020）证明了这个问题的极小值是由byf给出的*t（x）=-C | |（x）V-|| .同样，我们也有- inffc∈F（C）Efcfc（0）-Pxi∈XcK（xi，hc，τ）*（Cj））fc（xi）/σ（xi）Pxi∈XcK（xi，hc，τ）*（Cj））/σ（xi）= supfc∈F（C），fc（0）=0Pxi∈XcK（xi，hc，τ）*（Cj））fc（xi）/σ（xi）Pxi∈XcK（xi，hc，τ）*（Cj））/σ（xi）。Kwon和Kwon（2020）再次给出了byf的最大值*c（x）=c | |（x）V+| |。因此，当f=f时，达到最坏情况下的预期长度*C.最后，很容易看出这一点-^cLj与引理中给出的均值和协方差联合正态分布，当f=f时*C、 这证明了我们的主张。B无偏估计量对于Armstrong和Koles’ar（2018c）中的CAs，我们可以使用数据估计C的下界。我们首先解释d=1的情况的可能性。假设Xt=[xmin，0]和Xc=（0，xmax）≥ 十、≥ 0，我们有Fc（x）- fc（x）≤ C（x）- x） 。（31）设nc:=Pni=1{xi∈ Xc}，并将acm>0设置为pni=1{xi∈ XC，席≤ acm}=nc/2。

然后，我们有nc/2“nXi=1fc（xi）{xi∈ Xc，xi>acm}-nXi=1fc（xi）{xi∈ XC，席≤ acm}#（32）≤Cnc/2nXi=1xi{xi∈ Xc，xi>acm}，（33）所以我们有≥nc/2[Pni=1fc（xi）{xi∈ Xc，xi>acm}-Pni=1fc（xi）{xi∈ XC，席≤ acm}]nc/2[Pni=1xi{xi∈ Xc，xi>acm}-Pni=1xi{xi∈ XC，席≤ [acm}]。（34）我们估计（34）的RHS，用uc表示，用^uc:=nc/2[Pni=1yi{xi∈ Xc，xi>acm}-Pni=1yi{xi∈ XC，席≤ acm}]nc/2[Pni=1xi{xi∈ Xc，xi>acm}-Pni=1xi{xi∈ XC，席≤ [acm}]。（35）我们可以很容易地看到^u是uc的无偏估计量。同样，我们可以使用Xtby^ut:=nt/2[Pni=1yi{xi]中的数据形成一个下界估计量∈ Xt，xi>atm}-Pni=1yi{xi∈ XT，席≤ atm}]nt/2[Pni=1xi{xi∈ Xt，xi>atm}-Pni=1xi{xi∈ XT，席≤ atm}]，（36）其中nt:=Pni=1{xi∈ Xt}和atm<0被设置为pni=1{xi∈ XT，席≤ atm}=nt/2。在Lee（2008）的数据集中，结果是^uc=0.353和^ut=0.355。对于d>1的情况，我们可以使用类似的推理。例如，当d=d+时，我们使用不等式fc（x）- fc（x）≤ C kx- xk，（37）对于任何x，xsuch，x2r≥ X1R对于所有r=1。。。，d、 找到Xc的两个子集，即xc1和Xc2so，即1）x∈ xC2和x∈ Xc1implies x2r≥ X1R对于所有r=1。。。，d、 2）每组中的观察次数等于nc/2。索引席的x，x，…x~nc/2∈ xc1和x/nc/2+1。。。，x~nc∈ Xc2。从中定义一些一对一映射1, 2, ...,~nc到~nc+1，~nc+2。。。，~nc. 然后，我们有了C≥Pnc/2i=1足球俱乐部xj（一）- fc（xi）Pnc/2i=1xj（一）- 席. （38）同样，可以通过将fc（xi）替换为yi来估计下限。在本节中，我们将讨论具有单调多个运行变量的RDD应用程序。当呈现这些经验应用时，我们将RD设计的类别归类为以下三种情况，这取决于运行变量如何与治疗的分配相关。

虽然我们的框架可能覆盖更大类别的模型，但这三种设置似乎是实证研究中最常见的设置。我们让席∈ Rdbe是单个i的runningvariable值，表示s=1时xiby xi（s）的sth元素。。。，d、 一,。MRO（具有“或”条件的多个运行变量）：如果存在某些条件，则处理单个i∈ {1，…，d}使得xi（s）>0（或≤ 0).2. MRA（具有“和”条件的多个运行变量）：如果xi（s）>0（或≤ 0）对于所有s=1。。。，d、 三,。WAV（多个运行变量的加权平均值）：有多个运行变量，治疗状态由这些运行变量的加权平均值决定。因此，个体i被处理为fpds=1wsxi（s）>0（或≤ 0）对于某些正权重w。。。，wd。虽然我们可以将该设计视为一个具有单个运行变量exi=Pds=1wsxi（s）的研发设计，但我们可以通过将该设计视为多维研发设计来获得更丰富的信息。例如，考虑RD设计，如果归一化的数学和读数的平均值大于0，则处理个体I。然后，我们可以考虑处理E参数，例如标准杆数（数学＝0，读数＝0），（数学=-1，阅读=1），或（数学=1，阅读=-1).参考Babii和Kumar（2020）的附录A.3，了解具有单变量单调运行变量的RDD应用。例如，我们的分类不包括地理研发设计，如戴尔（2010）、基尔和提提尤尼克（2015）以及Imbens和Wager（2019）中分析的设计。

虽然我们的一般框架可以纳入这样的模型，我们不考虑他们，因为单调性假设不太可能在这样的背景下举行。下面我们列出了当d>1时，与MRO、MRA或WAVA设置相对应的经验示例。雅各伯和LeeGrand（2004）和Matsudaira（2008）考虑了暑期学校对晚年学术成就的影响。在他们的经验背景下，如果学生的数学成绩或阅读成绩低于某个阈值，就需要参加暑期学校，因此这个例子与MRO案例相对应。结果变量是下一年的数学或阅读成绩。似乎可以假设下一年的任何考试分数在前几年的考试分数中平均增加，所以我们可以在这个例子中施加单调性。或者，不同测试对象之间的单调关系（例如，前一次考试中的阅读分数作为一个连续变量，下一次考试中的数学分数作为结果变量）可能有问题，在这种情况下，我们可以施加部分单调限制。PAPAY等（2010）考虑了高中胡席考试（马萨诸塞综合评价体系）的失败对高中毕业概率的影响。由于考试分为数学和英语两部分，因此该设置也可以被视为MRO案例。似乎可以合理地假设，考试成绩中的毕业概率在增加，所以我们在这个例子中可能也不太出名。凯恩（2003）研究了大学价格补贴对大学入学决定的影响。为了有资格在加州所谓的“加州助学金A”运营的一个此类项目中获得补贴，申请人的高中GPA必须高于一定的分数，而她的收入和资产必须低于一定的分数。因此，本例属于MRA案例。

在高中平均绩点中，大学入学概率似乎在增加，但收入和资产水平是否与结果存在单调关系仍有争议。因此，在这个例子中，我们可以根据经验研究者的信念假设完全单调性或部分单调性。Van der Klaauw（2002）分析了经济援助对学生大学入学决定的影响。在那篇论文中，如果一名学生的SAT分数和GPA的加权平均值超过某个阈值水平，东海岸的一所大学会提供财政援助，因此这个例子对应于WAV设置。就SAT和GPA分数而言，假设入学概率平均增加似乎也是合理的。Chay等人（2005年）调查了分配特定资源的政府项目对学校学业成绩的影响。该资源被分配给学生的数学和语言平均分数低于某个临界点（对应于WAV设置）的学校。假设一所学校的学业成绩比其学生以往的平均考试成绩有所提高，这似乎是合理的。Leuven等人（2007年）评估了政府补贴对学校学术成就的影响。在荷兰，向70%以上处境不利学生的学校提供补贴，该比例按少数民族学生和父母教育水平不超过中学的学生的总和计算。所以这个例子对应于WAV设置。如果我们可以说，一所学校的学业成绩指标在其弱势学生的比例中正在下降，那么我们可能会强加单调性假设。有关多个运行变量的RDD的更多示例，请参考Papay等人（2011）和Wong等人（2013）。

我们还注意到，当ND=1时，上述三种设置都成为标准的一维RD设计。D第50.000.250.500.751.00节的辅助图-1-0.50.0 0.5 1.0xf1（x）0.000.250.500.751.00-1-0.50.0 0.5 1.0xf2（x）0.000.250.500.751.00-1-0.50.0 0.5 1.0xf3（x）0.000.250.500.751.00-1-0.50.0 0.5 1.0xf4（x）图4:x上的回归函数值∈ [-1, 1].